八年级数学上册15.3分式方程(人教版)

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八年级数学上册15.3分式方程(人教版)

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文 章来
源莲山 课件 w w
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15.3 分式方程
第1课时 解分式方程
教学目标】
1.通过经历实际问题→列分式方程→探究解分式方程的过程,体会分式方程是一种有效描述现实世界的模型,发展学生分析问题解决问题的能力,增强“用数学”的意识.
2.理解分式方程的概念,会解可化为一元一次方程的分式方程.
3.通过学习分式方程的解法,使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程,把未知问题转化成已知问题,从而渗透数学的转化思想.
4.了解分式方程产生增根的原因,掌握解分式方程验根的方法.
【重点难点】
重点:正确、完整地解可化为一元一次方程的分式方程.
难点:产生增根的原因.

教学过程设计┃
教学过程 设计意图
一、创设情境,导入新课
问题1:课件出示本章引言中的问题.
让学生独立思考,回忆以往所学知识,顺势复习分式以及方程的相关知识.
问题2:为了帮助遭受地震的灾区重建家园,某学校号召同学们自愿捐款.已知第一次捐款总额为4800元,第二次捐款总额为5000元,第二次捐款人数比第一次多20人,而且两次人均捐款额恰好相等.如果设第一次捐款人数为x人,那么x满足怎样的方程?
有了问题1,估计问题2学生能轻松拿下,得到答案.
至此得到两个方程:9030+v=6030-v,4800x=5000x+20.
议一议:上面所得到的方程是我们以前学过的方程吗?以前我们学过什么方程?试举例说明.
明确:不是,以前学过一元一次方程和二元一次方程,如x-1=3,x+y=7等.
比一比:以前学过的方程与上面刚得到的两个方程有什么不同?
以前学过的都是整式方程,里面没有分式,而刚才的两个方程都含分式,且有未知数处在分母的位置上.
说一说:你能尝试给它一个名字吗?说一说命名的原因.
估计学生能答出——分式方程,因为里面含有分式.
想一想:方程12x+13(x+1)=16是不是分式方程?为什么?你能归纳出分式方程的概念吗?
不是,因为它不含分式,分母中没有未知数.
分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
师总结:分式方程和我们以前研究的一(二)元一次方程一样能刻画现实世界,是一种反映现实世界的数学模型,但它从形式上又与它们不同:分母中含有未知数.要使上述2个问题得到真正的解决,则必须想方设法解出所列的分式方程.那么如何解分式方程呢?今天我们就一起来学习“分式方程的解法”. 问题1是本章章前的引例,以此实际问题复习分式及方程的有关知识,避开了生拖硬拽,顺乎学生的心理需求;考虑到一个方程不足以引起学生的心理指向,于是设置了问题2,二者合起来,为分式方程的现身提供了“物质”载体.
二、师生互动,探究新知
问题1:试解分式方程:(1)9030+v=6030-v;(2)4800x=5000x+20.
为了解决本问题,请同学们先思考并回答以下问题:
(1)回顾一下一元一次方程是怎么去分母的,从中能否得到一点启发? 
可师生共解方程3x-12+5x+23=2.
(2)能不能效仿有分母的一元一次方程的解法,想办法去掉分式方程的分母把它转化为整式方程呢?
在学生回答的基础上,基本形成求解的思路,抓住时机让学生尝试练习,两中等生板演.
由于长时间解整式方程的惯性,检验环节已经淡化,估计学生会忘记检验.
师:在学生完成后,概括出:
解分式方程的过程实质上是将方程的两边乘以同一个整式,约去分母,把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母.
至此,虽然不完善,但已经通过模仿解决了怎样化“整”的问题,应肯定学生所为,并通过巡视、交流发现问题,尤其要抓住去分母的关键——确定最简公分母.着重提炼出求解的基本思想以及与含分母的整式方程的差异.接着为了突出检验的必要性,完善解分式方程的步骤,特出示以下练习:
试一试:解方程1x-1=2x2-1.
学生易得:
方程两边同乘以(x+1)(x-1),约去分母,得
x+1=2.
解这个整式方程,得
x=1.
反问:x=1真是原分式方程的解吗?
督促学生进行检验、反思.学生通过代回发现:x=1时,原方程的分母为0,分式根本没有意义,产生困惑:问题出在哪里?
组织学生讨论,达成共识:问题只能出现在“去分母”这一步,其他步骤一点问题都没有.师捕住时机,提出问题2.
问题2:同样是分式方程,前面解的两个方程为什么没有碰到这样的麻烦?解一元一次方程为什么也没有这些麻烦?具体一些,就是为什么9030+v=6030-v去分母后所得整式方程90(30-v)=60(30+v)的解就是原分式方程的解,而1x-1=2x2-1去分母后所得整式方程x+1=2的解却不是原分式方程的解呢?
真理愈辩愈明,通过学生们思想的交流、思维的碰撞,在相互补遗和老师的参与下明朗起来:
因为在去分母时,两边乘了一个含未知数的整式,是否为零是事先不知道的,我们实际上是假定不为零来操作的,而第一个方程化整后的解不能使“(30+v)(30-v)”等于零,避开了麻烦,而1x-1=2x2-1去分母后所得整式方程的解恰好使得两边乘的整式“(x+1)(x-1)”等于零,这样就扩大了未知数的范围,以致出现分母为零的现象,因此x=1只是化整后整式方程的解,而不是原分式方程的解,所以原方程无解.整式方程在去分母时,两边乘以的数是否为零一目了然,自然不会遇到以上的麻烦.由此得出结论,解分式方程必须检验.
问题3:解分式方程,如何检验?
组织学生讨论,由于有了前面解方程的基本经验和刚才的辩论,估计学生能作答.
方法一:和整式方程的检验一样,将去分母后获得的整式方程的解代入原方程的左右两端,看它们是否相等.
方法二:将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解. 设置问题1,蕴藏矛盾,通过尝试练习挑起矛盾,设置问题2,3深化矛盾,引导学生刨根问底化解矛盾,在反思中形成解分式方程的方法、步骤.
三、运用新知,解决问题
1.解方程:2x-3=3x.
分析:题小能量大,注意挖掘,鼓励学生算法的多样性.思路一:方程两边同乘最简公分母x(x-3);思路二:利用比例的性质“内项之积等于外项之积”;思路三:利用“分式的基本性质”,左右通分,得2xx(x-3)=3(x-3)x(x-3)再求解.
2.解方程:xx-1-1=3(x-1)(x+2).
完成后,提出思考题:
1.由以上两个例子及前面的解题经历,请同学们归纳解分式方程的基本思想、基本方法和基本步骤.
2.你推测一下,可化为一元一次方程的分式方程的解的情况.
明确:
1.(1)基本思想:分式方程――→去分母整式方程.
(2)基本方法:方程两边乘以最简公分母.
(3)基本步骤:①在方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程(一元一次方程);②解这个整式方程;③检验.
2.此类分式方程要么有一解,要么无解,两种可能. 
四、课堂小结,提炼观点
在探索中遇到困难,你是怎么办的?对自己在本节课的学习情况进行反思、评价.本节课你能提出什么问题? 
五、布置作业,巩固提升
必做题:教材第154页 复习巩固1
选做题:解方程:(1)3x2-2x+1=2(x-1)2+4x-11-x2;
(2)xx-2-2xx-3=1-x2x(x-5)+6.

 

【板书设计】
解分式方程
9030+v=6030-v 4800x=5000x+20
一般步骤:
①去分母;
②求解;
③检验.
【教学反思】
本设计首先创设出生活情境,让学生经历从实际问题抽象出数学、概括分式方程这一“数学化”的过程,体会分式方程的模型作用,以及分式方程解法的过程,会解可化为一元一次方程的分式方程,会检验根的合理性.
 


第2课时 分式方程的实际应用
 

【教学目标】
1.会列分式方程解决比较简单的实际问题并能检验根的合理性.
2.以工程问题为例,能将此类实际问题中的相等关系用分式方程表示,提高运用方程思想解决问题的能力.
【重点难点】
重点:实际生活中相关工程问题类的分式方程应用题的分析应用.
难点:将实际问题中的等量关系用分式方程表示并且求得结果.

┃教学过程设计┃
教学过程 设计意图
一、创设情境,导入新课
问题1:快速解方程.
(1)x-8x-7-17-x=8;(2)7x2+x+1x2-x=6x2-1.
反思1:解分式方程的基本思路和步骤是什么?
反思2:解分式方程与解整式方程的根本区别是什么?
问题2:你能解决如下实际问题吗?
某运输公司需要装一批货物,由于机械设备没有即时到位,只好先用人工装运,6小时完成了一半任务;后来机械装运和人工装运同时进行,1小时完成了后一半任务.(如果设单独采用机械装运x小时可以完成后一半任务,那么x满足怎样的方程?请找出此题中存在的数量关系) 基本知识是应用能否顺利进行的资本.通过问题1的解决返扣上一节的所学,为应用的开展铺设好“路基”.然后通过问题2,把生活中常见的工程问题摆出来.
二、师生互动,探究新知
学生交流上述问题2,达成基本共识.
等量关系:(人工装运的工作效率+机械装运的工作效率)×1=12.
由人工搬运6小时完成一半任务可知,完成整个搬运任务需要12小时,故人工单独搬运1小时完成整个任务的112,亦即人工装运的工作效率;由单独采用机械装运x小时可以完成后一半任务可知,单独采用机械装运完成整个搬运任务需要2x小时,故单独采用机械装运1小时完成整个搬运任务的12x,也就是机械装运的工作效率.通过以上分析可得: ×1=12,即16+1x=1.
教师小结:客观世界中存在着大量的问题需要用分式方程去解决,当我们掌握好相关的知识和方法后,就可以运用它们分析和解决实际问题,这也恰恰体现了我们经常谈到的一个关键词:“学以致用”. 这一环节意在实现从解分式方程到列分式方程的过渡,通过答问,窥探学生的“学习现实”,为信息交流提供丰实的资源,以此体现数学学习是不断生成问题和解决问题的过程,在这个过程中把工程问题的基本规律揭示出来.
三、运用新知,解决问题
教材第152页例3.
分析:本题没有具体的工作量,常常把工作量虚拟为1,工作时间的单位为“月”.甲队一个月完成总工程的13,设乙队如果单独施工1个月能完成总工程的1x,那么甲队半个月完成总工程的16,乙队半个月完成总工程的12x,两队半个月完成总工程的16+12x.等量关系为:甲队单独做的工作量+两队共同做的工作量=总工程量1,则有13+16+12x=1.

四、课堂小结,提炼观点
本节课学习了哪些知识?对本节课的学习情况进行反思、评价,你有哪些收获? 
五、布置作业,巩固提升
必做题:教材第154页 综合运用第4、5题
选做题:1.请你根据所给方程16+3x=1联系生活实际,编写一道应用题.
2.一小船由A港到B港顺流需行6小时,由B港到A港逆流需行8小时,一天,小船从早晨6点由A港出发顺流到B港时,发现一救生圈在途中掉落水中,立刻返回,1小时后找到救生圈.问:
(1)若小船按水流速度由A港漂流到B港需要多少小时?
(2)救生圈是何时掉入水中的? 
 


【板书设计】
列分式方程解决实际问题
工程问题: 
(112+12x)×1=12
13+16+12x=1

【教学反思】
本节课整堂精心铺垫,结合具体的数学内容采用“问题情境——建立数学模型——解释应用与拓展”的模式展开,选择生动有趣的、有现实意义的.对学生具有一定挑战性的、有助于学生实践创新的内容,使学生在自主探索和合作交流的过程中建立数学模型,并用数学模型描述日常生活,从而使数学学习过程成为数学方法的掌握和数学思想的建构的过程,让学生形成良好的数学思维习惯和应用意识,能够自觉地用数学的眼光观察世界,提高发现问题、分析问题、解决问题的能力.


第3课时 含字母系数的分式方程

【教学目标】
1.会解简单的字母系数的分式方程,能应用分式方程的解法进行简单的公式变形.
2.以路程问题为依托,正确分析实际问题中的数量关系,找准等量关系,进而列出分式方程,加深对方程模型的认识.
【重点难点】
重点:通过建立数学模型,发展思维以及解含字母系数的分式方程.
难点:通过建立数学模型,发展思维以及解含字母系数的分式方程.

┃教学过程设计┃
教学过程 设计意图
一、创设情境,导入新课
问题:动物趣闻
自从上次龟兔赛跑乌龟大胜兔子以后,它就成了动物界的体育明星,可是偏偏有一只蚂蚁不服气,于是它给乌龟下了一封挑战书.
乌龟先生:
我与你进行比赛,兔子先生做裁判,从小柳树开始跑到相距12米的大柳树下,比赛枪声响后,先到者是冠军.
蚂蚁
比赛结束后,蚂蚁并没有取胜,已知乌龟的速度是蚂蚁的1.2倍,提前1分钟跑到终点,请你算算它们各自的速度. 本问题将分式方程的应用镶嵌于学生喜闻乐见的童话故事中,意在拨开学生的兴趣之门,激发学生的学习热情,知趣共融,双收双赢.
二、师生互动,探究新知
为了帮助学生形成对此类问题清晰的思路,学会使用列表等辅助手段,特出示以下表格,让学生填空.
设蚂蚁的速度为x米/分.
 速度(米/分) 路程(米) 时间(分)
蚂蚁   
乌龟   
教师板书解题过程.
教学说明:在解答过程中,有关路程问题的关系式——路程=速度×时间得到强化,为后续学习打开局面.另外,本题的思路不唯一,可根据速度关系或时间关系列方程,要注意方法的多样化.解答完成后,要不失时机地进行德育教育,激励学生学习乌龟这种锲而不舍的精神,做学习中的常胜将军. 有了情境带来的兴致,就容易激发学生高涨的热情,教师要善于利用图表帮助学生理清思路,展开充分的交流,把涉及路程问题的规律揭示出来,为后续解决问题打开局面.
三、运用新知,解决问题
1.第六次火车大提速后,从北京到上海的火车运行速度提高了25%,运行时间缩短了2h.已知北京到上海的铁路全长为1462km.设火车原来的速度为xkm/h,则下面所列方程正确的是(  )
A.1462x-1462x(1+25%)=2      B.1462x(1-25%)-1462x=2
C.146225%x-1462x=2  D.1462x-146225%=2
2.教材第153页例4.
分析:本题是一个典型的行程问题,基本关系是速度=路程时间.由于题中用字母表示已知数(量),容易干扰学生的审题,当然,它们的实现都离不开化归思想的支持.等量关系:提速前所用的时间=提速后所用的时间. 
四、课堂小结,提炼观点
本节课学习了哪些知识?你有什么收获?还有哪些困惑? 
五、布置作业,巩固提升
教材第154、155页 综合运用第2、3、6题 
 

【板书设计】
列分式方程解决实际问题
行程问题:
12x-121.2x=1
sx=s+50x+v

【教学反思】
本节课是在充分钻研教材的基础上,遵循新课程理念教师要创造性地使用教材的要求,从学生已有的知识经验出发,选择了学生更感兴趣的、更贴近学生生活实际的教学内容,以期让数学学习成为生动有趣的、富于创造性的过程,改变多数学生提起应用题就头疼的局面.

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