北师大版八年级数学下第三章图形的平移与旋转全章复习与巩固(提高)知识讲解

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北师大版八年级数学下第三章图形的平移与旋转全章复习与巩固(提高)知识讲解

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《图形的平移与旋转》全章复习与巩固(提高)知识讲解
【学习目标】
1.了解平移、旋转、中心对称,探索它们的基本性质;
2.能够按要求作出简单平面图形经过平移、旋转后的图形,能作出简单平面图形经过一次或两次图形变换后的图形;
3.利用平移、旋转、中心对称、轴对称及其组合进行图案设计;
4.认识和欣赏轴对称、平移、旋转在现实生活中的应用.
【知识网络】
 
【要点梳理】
要点一、平移变换
1. 平移的概念:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移,平移不改变图形的形状和大小.
要点诠释:
(1)平移是运动的一种形式,是图形变换的一种,本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换;
(2)图形的平移有两个要素:一是图形平移的方向,二是图形平移的距离;
(3)图形的平移是指图形整体的平移,经过平移后的图形,与原图形相比,只改变了位置,而不改变图形的形状和大小.
2.平移的基本性质:一个图形和它经过平移所得的图形中,对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等;对应线段平行(或在一条直线上)且相等,对应角相等.
要点诠释:
(1)要注意正确找出“对应线段,对应角”,从而正确表达基本性质的特征;
(2)“对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等”,这个基本性质既可作为平移图形之间的性质,又可作为平移作图的依据.
3. 平移与坐标变换:
 (1)点的平移
点的平移引起坐标的变化规律:在平面直角坐标中,将点(x,y)向右(或左)平移a个单位长度,可以得到对应点(x+a,y)(或(x-a,y));将点(x,y)向上(或下)平移b个单位长度,可以得到对应点(x,y+b)(或(x,y-b)).
要点诠释:上述结论反之亦成立,即点的坐标的变化引起的点相应的平移变换.
 (2)图形的平移
平移是图形的整体运动.在平面直角坐标系内,一个图形进行了平移变化,则它上面的所有点的坐标都发生了同样的变化,其变化规律遵循:“右加左减,纵不变;上加下减,横不变”.
要点诠释:
(1)上述结论反之亦成立,即如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度;如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度.
(2)一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形,可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的.
要点二、旋转变换
1.旋转概念:在平面内,将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转.这个定点称为旋转中心,转动的角称为旋转角.
要点诠释:
(1)旋转后的图形与原图形的形状、大小都相同,但形状、大小都相同的两个图形不一定能通过旋转得到.
(2)旋转的角度一般小于360°.
(3)旋转的三个要素:旋转中心、旋转角度和旋转方向(即顺时针或逆时针方向)

2.旋转变换的性质:
  一个图形和它经过旋转所得的图形中,对应点到旋转中心的距离相等,任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角;对应线段相等,对应角相等.
3.旋转作图步骤:
  ①分析题目要求,找出旋转中心,确定旋转角.
  ②分析所作图形,找出构成图形的关键点.
  ③沿一定的方向,按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点.
  ④ 按原图形连结方式顺次连结各对应点.

要点三、中心对称与图案设计
1.中心对称:
把一个图形绕着某一点旋转180°,它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做它们的对称中心,这两个图形称为成中心对称的.
要点诠释:中心对称的性质:
成中心对称的两个图形中,对应点所连线段经过对称中心,且被对称中心平分.
2. 中心对称图形:
  把一个图形绕着某点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个点叫做它的对称中心.
要点诠释:中心对称作图步骤:
  ① 连结决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心,并且延长至2倍,得到各点的对称点.
  ② 按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.
3.图形变换与图案设计的基本步骤
①确定图案的设计主题及要求;
②分析设计图案所给定的基本图案;
③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换,实现由基本图案到各部分图案的有机组合;
④对图案进行修饰,完成图案.
4.平移、轴对称、旋转三种变换的关系:
图形经过平移、旋转或轴对称的变换后,虽然对应位置改变了,但大小和形状没有改变,即两个图形是全等的.

【典型例题】
类型一、平移变换
 1. 阅读理解题.
(1)两条直线a,b相交于一点O,如图①,有两对不同的对顶角;
(2)三条直线a,b,c相交于点O,如图②,则把直线平移成如图③所示的图形,可数出6对不同的对顶角;
(3)四条直线a,b,c,d相交于一点O,如图④,用(2)的方法把直线c平移,可数出      对不同的对顶角;
(4)n条直线相交于一点O,用同样的方法把直线平移后,有         对不同的对顶角;
(5)2013条直线相交于一点O,用同样的方法把直线平移后,有             对不同的对顶角.
 
【思路点拨】
(3)画出图形,根据图形得出即可;
(4)根据以上能得出规律,有n(n-1)对不同的对顶角;
(5)把n=2013代入求出即可.
【答案与解析】
解:(3)
如图有12对不同的对顶角,
故答案为:12.
 
(4)有n(n-1)对不同的对顶角,
 故答案为:n(n-1);
(5)把n=2013代入得:2013×(2013-1)=4050156,
 故答案为:4050156.
【总结升华】本题考查了平移与对顶角的应用,关键是能根据题意得出规律.
举一反三:
【变式】(2017•莒县模拟)如图,△ABC的面积为2,将△ABC沿AC方向平移至△DFE,且AC=CD,则四边形AEFB的面积为(  ).
 
  A.6   B.8   C.10   D.12
【答案】C
 2.(2015春•召陵区期中)如图①,将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2,得到封闭图形A1A2B2B1(即阴影部分),在图②中,将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3,得到封闭图形A1A2A3 B3B2B1(即阴影部分).
 
(1)在图③中,请你类似地画一条有两个折点的折线,同样向右平移1个单位,从而得到一个封闭图形,并用阴影表示;
(2)请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积(设长方形水平方向长均为a,竖直方向长均为b):S1=     ,S2=     ,S3=      ;
(3)如图④,在一块长方形草地上,有一条弯曲的小路(小路任何地方的水平宽度都是2个单位),请你求出空白部分表示的草地面积是多少?
(4)如图⑤,若在(3)中的草地又有一条横向的弯曲小路(小路任何地方的度都是1个单位),请你求出空白部分表示的草地的面积是多少?
【思路点拨】(1)根据题意,直接画图即可,注意答案不唯一,只要画一条有两个折点的折线,得到一个封闭图形即可.
(2)结合图形,根据平移的性质可知,①②③中阴影部分的面积都可看作是以a﹣1为长,b为宽的长方形的面积.
(3)结合图形,通过平移,阴影部分可平移为以a﹣2米为长,b米为宽的长方形,根据长方形的面积可得小路部分所占的面积.
(4)结合图形可知,小路部分所占的面积=a米为长,b米为宽的长方形的面积﹣a米为长,1米为宽的长方形的面积﹣2米为长,b米为宽的长方形的面积+2米为长,1米为宽的长方形的面积.
【答案与解析】
解:(1)画图如下:
 
(2)S1=ab﹣b,S=ab﹣b,S2=ab﹣b,S3=ab﹣b
猜想:依据前面的有关计算,可以猜想草地的面积仍然是ab﹣b
方案:1、将“小路”沿着左右两个边界“剪去”;
2、将左侧的草地向右平移一个单位;
3、得到一个新的矩形
理由:在新得到的矩形中,其纵向宽仍然是b.其水平方向的长变成了a﹣1,
所以草地的面积就是:b(a﹣1)=ab﹣b.
(3)∵小路任何地方的水平宽度都是2个单位,
∴空白部分表示的草地面积是(a﹣2)b;
(4)∵小路任何地方的宽度都是1个单位,
∴空白部分表示的草地面积是ab﹣a﹣2b+2.
【总结升华】本题主要考查了利用平移设计图案,用到的知识点是矩形的性质和平移的性质,能利用平移的性质把不规则的图形拆分或拼凑为简单图形来计算草地的面积是解题的关键.
举一反三:
【变式】如图,面积为12cm2的△ABC沿BC方向平移至△DEF的位置,平移距离是边BC长的两倍,则图中四边形ACED的面积为(  ).
    A.24cm2    B.36cm2    C.48cm2    D.无法确定
    
【答案】B.
四边形ABED是平行四边形且S四边形ABED=S四边形ACFD,而S四边形ACED=S四边形ABED-S△ABC.
类型二、旋转变换
 3.正方形ABCD中对角线AC、BD相交于点O,E是AC上一点,F是OB上一点,且OE=OF,回答下列问题:
(1)在图中1,可以通过平移、旋转、翻折中的哪一种方法,使△OAF变到△OBE的位置.请说出其变化过程.
(2)指出图(1)中AF和BE之间的关系,并证明你的结论.
(3)若点E、F分别运动到OB、OC的延长线上,且OE=OF(如图2),则(2)中的结论仍然成立吗?若成立,请证明你的结论;若不成立,请说明你的理由.
 
【思路点拨】
(1)根据图形特点即可得到答案;
(2)延长AF交BE于M,根据正方形性质求出AB=BC,∠AOB=∠BOC,证△AOF≌△BOE,推出AF=BE,∠FAO=∠EBO,根据三角形内角和定理证出即可;
(3)延长EB交AF于N,根据正方形性质推出∠ABD=∠ACB=45°,AB=BC,得到∠ABF=∠BCE,同法可证△ABF≌△BCE,推出AF=BE,∠F=∠E,∠FAB=∠EBC,得到∠E+∠FAB+∠BAO=90°即可.
【答案与解析】
解:(1)旋转,以点O为旋转中心,逆时针旋转90度.
(2)图(1)中AF和BE之间的关系:AF=BE;AF⊥BE.
 证明:延长AF交BE于M,
∵正方形ABCD,
∴AC⊥BD,OA=OB,
∴∠AOB=∠BOC=90°,
在△AOF和△BOE中
 
∴△AOF≌△BOE(SAS),
∴AF=BE,∠FAO=∠EBO,
∵∠EBO+∠OEB=90°,
∴∠FAO+∠OEB=90°,
∴∠AME=90°,
∴AF⊥BE,
即AF=BE,AF⊥BE.
   
(3)成立;
证明:延长EB交AF于N,
∵正方形ABCD,
∴∠ABD=∠ACB=45°,AB=BC,
∵∠ABF+∠ABD=180°,∠BCE+∠ACB=180°,
∴∠ABF=∠BCE,
∵AB=BC,BF=CE,
∴△ABF≌△BCE,
∴AF=BE,∠F=∠E,∠FAB=∠EBC,
∵∠F+∠FAB=∠ABD=45°,
∴∠E+∠FAB=45°,
∴∠E+∠FAB+∠BAO=45°+45°=90°,
∴∠ANE=180°-90°=90°,
∴AF⊥BE,
即AF=BE,AF⊥BE.
【总结升华】本题主要考查对正方形的性质,全等三角形的性质和判定,三角形的内角和定理,旋转的性质等知识点的连接和掌握,综合运用这些性质进行推理是解此题的关键.
 4. 如图1,O为正方形ABCD的中心,分别延长OA、OD到点F、E,使OF=2OA,OE=2OD,连接
EF.将△EOF绕点O逆时针旋转 角得到△E1OF1(如图2).
(1)探究AE1与BF1的数量关系,并给予证明;
(2)当 =30°时,求证:△AOE1为直角三角形.
 
【思路点拨】(1)要证AE1=BF1,就要首先考虑它们是全等三角形的对应边;
            (2)要证△AOE1为直角三角形,就要考虑证∠E1AO=90°.
【答案与解析】
解:(1)AE1=BF1,证明如下:
      ∵O为正方形ABCD的中心,∴OA=OB=OD.∴OE=OF .
      ∵△E1OF1是△EOF绕点O逆时针旋转 角得到,∴OE1=OF1.
      ∵ ∠AOB=∠EOF=900, ∴ ∠E1OA=900-∠F1OA=∠F1OB.
       在△E1OA和△F1OB中, ,
∴△E1OA≌△F1OB(SAS).
       ∴ AE1=BF1.
       
(2)取OE1中点G,连接AG.
           ∵∠AOD=900, =30° ,
∴ ∠E1OA=900- =60°.
           ∵OE1=2OA,∴OA=OG,∴ ∠E1OA=∠AGO=∠OAG=60°.
           ∴ AG=GE1,∴∠GAE1=∠GE1A=30°.
∴ ∠E1AO=90°.
           ∴△AOE1为直角三角形.
【总结升华】正方形的性质,旋转的性质,全等三角形的判定和性质,直角三角形的判定.
举一反三:
【变式】在等边三角形ABC中有一点P,已知PC=2, PA=4,PB= ,则∠APB=      .
 
【答案】90°

类型三、中心对称与图形设计
 5.如图,方格纸中四边形ABCD的四个顶点均在格点上,将四边形ABCD向右平移5格得到四边形A1B1C1D1.再将四边形A1B1C1D1,绕点A逆时针旋转180°,得到四边形A1B2C2D2.
(1)在方格纸中画出四边形A1B1C1D1和四边形A1B2C2D2.
(2)四边形ABCD与四边形A1B2C2D2.是否成中心对称?若成中心对称,请画出对称中心;若不成中心对称,请说明理由.
 
【思路点拨】
(1)首先把各个顶点平移,以及作出对称点,然后顺次连接各个对称点即可作出对称图形;
(2)观察所作图形,对称点连线的交点就是对称中心.
【答案与解析】
解:(1)
 
(2)两个图形关于点O对称中心.
【总结升华】本题考查旋转变换作图,在找旋转中心时,要抓住“动”与“不动”,看图是关键.
举一反三:
【变式】(罗平县校级期末)每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,在建立平面直角坐标系后,△ABC的顶点均在格点上,
①写出A、B、C的坐标.
②以原点O为对称中心,画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1,并写出A1、B1、C1.
 
【答案】
解:①A(1,﹣4),B(5,﹣4),C(4,﹣1);
②A1(﹣1,4),B1(﹣5,4),C1(﹣4,1),如图所示:
 
 6.如图,这两幅图是怎样利用旋转、平移或轴对称进行设计的?你能依照其中的图案自己设计一个图案吗?
【答案与解析】
解:(1)答案不惟一,可以看作是一个小正方形图案连续平移48次,平移前后所有的图形共同组成的图案.
(2)答案不唯一,可以看作是一组竖条线组成的等腰直角三角形,以直角顶点为中心、按同一个方向分别旋转 ,旋转前后的四个图形共同组成的图案.

【总结升华】本题考查利用旋转设计图案的知识,基本图案的寻找较为灵活,对于不同的基本图形需要作的几何变换也不同.
举一反三:
【变式】下列图形中,能通过某个基本图形平移得到的是(  ).
A.     B.    C.    D. 
【答案】D.

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