高一数学上册知识点整理:二次函数知识点的定义和解题思路

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高一数学上册知识点整理:二次函数知识点的定义和解题思路

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高一数学上册知识点整理:二次函数知识点的定义和解题思路


I.定义与定义表达式
  一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:
  y=ax^2+bx+c
  (a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>;0时,开口方向向上,a<;0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。)
  则称y为x的二次函数。
  二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
  II.二次函数的三种表达式
  一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
  顶点式:y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P(h,k)]
  交点式:y=a(x-x?)(x-x?)[仅限于与x轴有交点A(x?,0)和B(x?,0)的抛物线]
  注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:
  h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a
  III.二次函数的图像
  在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像,
  可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。
  IV.抛物线的性质
  1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线
  x=-b/2a.
  对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P.
  特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
  2.抛物线有一个顶点P,坐标为
  P(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
  当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ=b^2-4ac=0时,P在x轴上。
  3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
  当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。
  |a|越大,则抛物线的开口越小。
  4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
  当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;
  当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。
  5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
  抛物线与y轴交于(0,c)

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