九年级数学上册《垂直于弦的直径》学案分析

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九年级数学上册《垂直于弦的直径》学案分析

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九年级数学上册《垂直于弦的直径》学案分析

教学内容】垂直于弦的直径
教学目标】
1.知识目标:①通过观察实验,使学生理解圆的轴对称性;
             ②掌握垂径定理,理解其证明,并会用它解决有关的证明与计算问题;
             ③掌握辅助线的作法——作弦心距。
2.能力目标:①通过定理探究,培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力;
             ②向学生渗透“由特殊到一般”的基本思想方法。
    3.情感目标:①通过探究垂径定理的活动,激发学生探究、发现数学问题的兴趣,培养学生大胆猜想、乐于探究的良好品质;
       ②培养学生观察能力,激发学生的好奇心和求知欲,并从数学学习活动中获得成功的体验。
【教学重点】垂径定理及其应用。
【教学难点】垂径定理的语言表述。
【教学方法】探究发现法和直观演示法
【教学资源与工具设计】1.每位学生准备几张圆形纸片和作图工具;
2.教师准备一张圆形纸片和自制的多媒体课件;
3.上课环境为多媒体大屏幕环境。
【教学设计】
一、《垂直于弦的直径》教学设计 教学活动设计:
 
 
二、教学过程设计:
  (一)创设情境   引入新课
 
《垂直于弦的直径》教学设计 1.利用多媒体演示赵州桥图片
同学们,这座桥是我国隋代工匠李春建造的赵州桥(如图)。因它位于现在的历史文化名城河北省赵县(古称赵州)而得名,是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥,距今已有1400多年历史,被誉为“华北四宝之一”,它的结构是当时世界桥梁界的首创,这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。

 
 
2.导入:赵州桥的桥拱呈圆弧形的(如图1),它的跨度(弧所对的弦长)为37.4米,拱高(弧的中点到弦AB的距离,也叫弓形高)为7.2米。请问:桥拱的半径(即 AB所在圆的半径)是多少?
通过本节课的学习,我们将能很容易解决这一问题。
(二)《垂直于弦的直径》教学设计 动手实践,发现新知
⒈同学们能不能找到下面这个圆的圆心?动手试一试,有方
法的同学请举手。
   ⒉问题:①在找圆心的过程中,把圆纸片折叠时,两个半圆  _______
②刚才的实验说明圆是____________,对称轴是经过圆心的每
一条_________。
   3.板书 圆的轴对称性:圆是轴对称图形,过圆心的任意一条直线(或直径所在的直线)都是它的对称轴。
(三)创设情境,探索垂径定理
1.画一画
《垂直于弦的直径》教学设计 在圆中作图:(1)任意作一条弦 AB;(2)作直径CD,使CD⊥AB,垂足为E。说明CD是垂于弦的直径。(板书课题:垂直于弦的直径)
2.问题
(1)这个图形是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?
(2)你能发现图中有哪些相等的线段和弧?为什么?
3.实验  观察  猜想
让学生折叠圆形纸片得出结论,分小组讨论,找出图中相等的量。
教师在学生充分观察对折后的图片的几何性质后,将学生分析得到的几何等量关系在黑板上板书,为数学符号语言翻译定理奠定基础。
4.归纳定理
垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。
垂径定理的几何语言叙述:
5.议一议《垂直于弦的直径》教学设计
《垂直于弦的直径》教学设计如果把定理中的CD⊥AB换为AE=BE(用多媒体课件展示)时,那么CD⊥AB吗? 《垂直于弦的直径》教学设计吗?分小组讨论,得出结论,让学生证明后,试着用语言叙述,用多媒体展示出。
平分弦(       )的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。
把右图展示给学生,弦AB和CD互相平分,但CD⊥AB吗?
填出上面的空(非直径)
推论的符号语言:
∵CD为直径,AE=BE(AB非直径)
            ∴CD⊥AB  《垂直于弦的直径》教学设计
6.定理的巩固
找一找  在下列哪个图中有 《垂直于弦的直径》教学设计
《垂直于弦的直径》教学设计 《垂直于弦的直径》教学设计 《垂直于弦的直径》教学设计 《垂直于弦的直径》教学设计 《垂直于弦的直径》教学设计
 
(四)例题示范,变式练习
《垂直于弦的直径》教学设计【例1】如图,在⊙O中,若弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm,求⊙O的半径。
分析:因为已知“圆心O到AB的距离为3cm”,
所以要作辅助线OE⊥AB;因为要求半径,所以还要连结OA。                                                
解:(略)引导学生归纳:此类问题可以归结为直角三角形求解。“过圆心作弦的垂线段”,构成三边为“半径半弦弦心距”(略释弦心距的含义)的直角三角形的“七字口诀”,然后结合勾股定理得出三边的数量关系: 《垂直于弦的直径》教学设计
【例2】.
《垂直于弦的直径》教学设计
(五)应用迁移  巩固提高
《垂直于弦的直径》教学设计1.如图是一条排水管的截面。已知排水管的半径10cm,
水面宽AB=12cm。求水的最大深度.
2.以上是垂径定理在计算中的基本应用方法,那么在证明题中又能怎样应用定理呢?
展示练习2:如图,已知在两同心圆⊙O中,大圆弦AB交小圆于C,D,则AC与BD间可能存在什么关系?
《垂直于弦的直径》教学设计 《垂直于弦的直径》教学设计 《垂直于弦的直径》教学设计
      例2图             变式1              变式2
这是一道开放性题目,结论并不难猜,有例1做基础,也很好证明。
变式1,如图,若将AB向下平移,当移到过圆心时,结论AC=BD还成立吗?
变式2,如图,连结OA,OB,设AO=BO,求证AC=BD
变式3,连结OC,OD,设OC=OD,求证AC=BD
《垂直于弦的直径》教学设计                《垂直于弦的直径》教学设计
        变式3                              变式4
变式题组的给出,则利用几何画板的功能,展示出图形之间的内在关系,增强学生的识图能力,揭示解决问题的关键--过圆心向弦做垂线。变式题组由A、B层学生抢答,精彩者上个人英雄榜,调动学生的积极性。
变式4,当弦AB移到与小圆只有一个交点时,AC与BC相等吗?
《垂直于弦的直径》教学设计2. 你能找到原来镜子的圆心吗?
 
 
(六)总结反思   拓展升华
1.本节学习的数学知识是圆的轴对称性和垂径定理及其推论。
注意:(1)定理的几种基本图形。
(2)计算中三个量的关系 《垂直于弦的直径》教学设计 。
《垂直于弦的直径》教学设计(3)证明中常用的辅助线——作弦心距。
2.本节学习的数学方法是数形结合和转化思想。
思考  如图,⊙O的直径为10,弦AB=8,P是弦AB上的一个动点,
那么OP长的取值范围是       。
(七)作业
87页第一题,88页第8,9,10题
(八)板书设计

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