2017年九年级数学上4.4 探索三角形相似的条件(北师大版)

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2017年九年级数学上4.4 探索三角形相似的条件(北师大版)

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文 章来源 莲
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5Y k J. c oM

4.4 探索三角形相似的条件
第1课时 两角分别相等的判定方法
 
1.理解相似三角形的定义,掌握定义中的两个条件.
2.掌握两角分别相等的两个三角形相似这个判定定理.(重点)
3.会运用本课的判定定理证明三角形相似,并会应用它解决一些问题.(难点)
 
阅读教材P89~90,自学“例1”,完成下列内容:
(一)知识探究
1.三角分别________、三边________的两个三角形叫做相似三角形.
2.两角分别________的两个三角形相似.
(二)自学反馈
下列是两位同学运用相似三角形的定义判定下图中两个三角形是否相似的过程,你认为他们的说法是否正确?为什么?并写出你的解答.
 
甲同学:虽然这两个三角形的三个内角分别相等,但是它们的边的比不相等,ACIJ≠ABHJ≠BCHI,所以他们不相似.
乙同学:这两个三角形的三个内角分别相等,对应边之比也相等,所以它们相似.
这两个三角形相似,理由:∵∠C=∠H,∠A=∠I,
∠B=∠J,又∵ACHI=BCHJ=ABIJ,
∴△ABC∽△IJH.
  注意对应关系,可类比全等三角形中找对应边和对应角的方法.
 
活动1 小组讨论
例 如图,D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点,DE∥BC,AB=7,AD=5,DE=10,求BC的长.
 
解:∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.
∴△ADE∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似).
∴ADAB=DEBC.
∴BC=AB×DEAD=7×105=14.
  先判定三角形相似,再运用相似三角形的定义可计算边的长.
活动2 跟踪训练
1.下面能够相似的一组三角形为(  )
  A.两个等腰三角形         B.两个直角三角形
  C.两个等边三角形           D.以上都不对
2.如图,AB∥CD∥EF,则图中相似三角形有(  )
  A.4对               B.3对
  C.2对               D.1对
 
3.如图,∠AED=∠B,则一定可得(  )
  A.AD∶AC=AE∶AB        B.DE∶BC=AD∶DB
  C.DE∶BC=AE∶AC        D.AD∶AB=AE∶AC
 
4.如图,∠C=∠E=90°,AC=3,BC=4,AE=2,则AD=________.
 
5.如图,锐角三角形ABC的边AB,AC上的高线EC,BF相交于点D,请写出图中的两对相似三角形________________(用相似符号连接).
 
6.如图,已知∠A=∠C,那么△OAB与△OCD相似吗?OA•OD=OB•OC成立吗?为什么?
 
活动3 课堂小结
1.相似三角形的定义:三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.
2.相似三角形的判定定理1:两角分别相等的两个三角形相似.
 
【预习导学】
(一)知识探究
1.相等 成比例 2.相等
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1.C 2.B 3.A 4.103 5.△BDE∽△CDF,△ABF∽△ACE
6.相似.成立.∵∠AOB=∠COD,∠A=∠C,∴△OAB∽△OCD.∴OAOC=OBOD.∴OA•OD=OB•OC.

第2课时 两边成比例且夹角相等的判定方法
 
1.掌握两边成比例且夹角相等的两个三角形相似这个判定定理.(重点)
2.会运用本课的判定定理证明三角形相似,并会应用它解决一些问题.(难点)
 
阅读教材P91~92,自学“例2”,完成下列内容:
(一)知识探究
两边________且________相等的两个三角形相似.
(二)自学反馈
根据下列条件,判断△ABC和△A′B′C′是否相似,并说明理由.
如图,已知∠B=50°,AB=2,BC=3,∠B′=50°,A′B′=4,B′C′=6.
 
 
活动1 小组讨论
例 如图,D,E分别是△ABC的边AC,AB上的点,AE=1.5,AC=2,BC=3,且ADAB=34,求DE的长.
 
解:∵AE=1.5,AC=2,
∴AEAC=34.
∵ADAB=34,
∴ADAB=AEAC.
又∵∠EAD=∠CAB,
∴△ADE∽△ABC(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).
∴DEBC=ADAB=34.
∵BC=3,
∴DE=34BC=34×3=94.
  判断两个三角形相似,在已知一个角相等的情况下,夹这个角的两边的比相等有两种情形,不要只考虑其中一种情形,而忽视了另一种.
易错提示:1.只有两边成比例的两个三角形不一定相似,如:两个等腰三角形就未必相似;
2.两边成比例,且其中一边所对的角相等,这样的两个三角形不一定相似.
活动2 跟踪训练
1.如图,不等长的两条对角线AC、BD相交于O点,且将四边形ABCD分为甲、乙、丙、丁四个三角形,若OA∶OC=OB∶OD=1∶2,则下列关于此四个三角形的关系中说法正确的是(  )
  A.甲、丙相似,乙、丁相似              B.甲、丙相似,乙、丁不相似
  C.甲、丙不相似,乙、丁相似            D.甲、丙不相似,乙、丁不相似
 
2.如图,若AC∶AD=AB∶AC,则△________∽△________,∠ACD=∠________.
 
3.如图所示,BC与AD相交于O点,OB∶OC=3∶1,OA=12 cm,OD=4 cm,AB=30 cm,则CD=________cm.
 
4.在△ABC和△A′B′C′中,若∠B=∠B′,AB=6,BC=8,B′C′=4,则当A′B′=________时,△ABC∽△A′B′C′.
5.如图,在钝角△ABC中,AB=6,AC=12,点D从A点出发沿AB以1 cm/s的速度向B点移动,点E从C点出发沿CA以2 cm/s的速度向A点移动,如果两点同时移动,经过________秒时,△ADE与△ABC相似.
 
活动3 课堂小结
相似三角形的判定定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.

 
【预习导学】
(一)知识探究
成比例 夹角
(二)自学反馈
△ABC和△A′B′C′相似.理由:∵ABA′B′=24=12,BCB′C′=36=12,∴ABA′B′=BCB′C′.又∵∠B=∠B′,∴△ABC∽△A′B′C′.
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1.B 2.ACD ABC ABC 3.10 4.3 5.3或4.8

第3课时 三边成比例的判定方法
 
1.掌握三边成比例的两个三角形相似这个判定定理.(重点)
2.会运用本课的判定定理证明三角形相似,会根据已知条件选择合适的判定方法判定三角形相似,并会应用它们解决一些问题.(难点)
 
阅读教材P93~94,自学“例3”,完成下列内容:
(一)知识探究
1.三边成比例的两个三角形________.
2.两角分别________的两个三角形相似.
3.两边________且________相等的两个三角形相似.
(二)自学反馈
若△ABC的各边都分别扩大为原来的2倍,得到△A′B′C′,则下列结论正确的是(  )
  A.△ABC与△A′B′C′的对应角不相等
  B.△ABC与△A′B′C′不一定相似
  C.△ABC与△A′B′C′的相似比为1∶2
  D.△ABC与△A′B′C′的相似比为2∶1
 
活动1 小组讨论
例1 如图,在△ABC和△ADE中,ABAD=BCDE=ACAE,∠BAD=20°,求∠CAE的度数.
 
解:∵ABAD=BCDE=ACAE,
∴△ABC∽△ADE(三边成比例的两个三角形相似).
∴∠BAC=∠DAE.
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,
即∠BAD=∠CAE.
∵∠BAD=20°,
∴∠CAE=20°.
  本例是对刚得到的相似三角形的判定定理的一个应用,先由本课所学定理结合已知条件可判断两三角形相似,再通过观察图形,寻找∠BAD和∠CAE的关系.
例2 如图,△ABC与△A′B′C′相似吗?你有哪些判断方法?
 
△ABC∽△A′B′C′.
判断方法有:
(1)三边成比例的两个三角形相似;
(2)两角分别相等的两个三角形相似;
(3)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似;
(4)定义法.
  以方格纸为背景呈现两个三角形,意在运用不同判定方法进行判断.
活动2 跟踪训练
1.下列四个三角形中,与左图中的三角形相似的是(  )
 
2.在△ABC和△A′B′C′中,AB=12,BC=15,AC=24,A′B′=20,B′C′=25,A′C′=40,则△ABC和△A′B′C′________(填“相似”或“不相似”).
3.如图所示,要使△ABC∽△DEF,则x=________.
 
4.如图,点O是△ABC外的一点,分别在射线OA,OB,OC上取一点A′,B′,C′,使得OA′OA=OB′OB=OC′OC=3,连接A′B′,B′C′,C′A′,所得△A′B′C′与△ABC是否相似?说明理由.
 
5.已知:如图,∠ABC=∠CDB=90°,AC=a,BC=b,当BD与a,b之间满足怎样的关系时,这两个三角形相似?
 
活动3 课堂小结
1.相似三角形的判定定理3:三边成比例的两个三角形相似.
2.根据题目的具体情况,选择适当的方法判定三角形相似.
3.本节学习中体现的数学思想:数形结合、分类讨论.

 
【预习导学】
(一)知识探究
1.相似 2.相等 3.成比例 夹角
(二)自学反馈
C
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1.B 2.相似 3.40
4.相似.∵OA′OA=OC′OC=3,∠AOC=∠A′OC′,∴△AOC∽△A′OC′.∴A′C′AC=OA′OA=3.同理可得B′C′BC=3,A′B′AB=3,∴A′C′AC=B′C′BC=A′B′AB.∴△A′B′C′∽△ABC. 5.∵∠ABC=∠CDB=90°,(1)当BCBD=ABCD时,△ABC∽△CDB,此时BCBD=ABCD=ACBC,即ab=bBD.∴BD=b2a.即当BD=b2a时,△ABC∽△CDB;(2)当ABBD=BCCD时,△ABC∽△BDC,此时ABBD=BCCD=ACBC,即a2-b2BD=ab,BD=baa2-b2.∴当BD=baa2-b2时,△ABC∽△BDC.综上所述,当BD=b2a或BD=baa2-b2时,这两个三角形相似.

第4课时 黄金分割
 
知道黄金分割的定义;会找一条线段的黄金分割点;会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.
 
阅读教材P95~97,自学“例4”,完成下列内容:
(一)知识探究
一般地,点C把线段分成两条线段AC和BC(如图),如果ACAB=BCAC,那么称线段AB被点C________,点C叫做线段AB的______________,AC与AB的比叫做________.其中ACAB=5-12≈0.618.
 
(二)自学反馈
已知点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC) ,则BC∶AB=(  )
  A.5-12                  B.5+12
  C.3-52                  D.3+52
 
活动1 小组讨论
例 古希腊时期的巴台农神庙,如果把图中的用 虚线表示的矩形画成图中的矩形ABCD,以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD,那么我们可以惊奇地发现,BEBC=BCAB.点E是AB的黄金分割点吗?矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗?
 
解:∵四边形AEFD为正方形,
∴AE=AD.
∵四边形ABCD为矩形,
∴BC=AD.
∴AE=BC.
∵BEBC=BCAB,∴BEAE=AEAB.
∴点E是AB的黄金分割点,
AEAB=5-12.∴ADAB=5-12.
∴矩形ABCD的宽与长的比是黄金比.
活动2 跟踪训练
1.已知点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC),若AB=4 cm,则AC的长为(  )
  A.(25-2)cm              B.(6-25)cm
  C.(5-1)cm               D.(3-5)cm
2.把长为7 cm的线段进行黄金分割,则分成的较短的线段长为(  )
  A.7(5-1)2               B.21-752
  C.21+752                  D.75-212
3.已知点C是线段AB的黄金分割点,若ACAB=5-12,则CBAC=________,CBAB=________.
4.如图,扇子的圆心角为α,余下扇形的圆心角为β,为了使扇子的外形美观,通常情况下α与β的比按黄金比例设计,若取黄金比为0.6,则α=________度.
 
5.电视节目主持人在主持节目时,站在舞台的黄金分割点处最自然得体.如图,若舞台AB长为20 m,试计算主持人应走到离A点至少________m处.(结果精确到0.1 m)
 
6.已知线段AB=10 cm,点C是它的黄金分割点,求AC的长.
活动3 课堂小结
1.什么叫做黄金分割?黄金比是多少?
2.一条线段有几个黄金分割点?
3.如何用尺规作线段的黄金分割点和黄金矩形?
4.如何说明一个点是一条线段的黄金分割点?

 
【预习导学】
(一)知识探究
黄金分割 黄金分割点 黄金比
(二)自学反馈
C
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1.A 2.B 3.5-12 3-52 4.135 5.7.6
6.分两种情况讨论:当点C靠近点A时,AC=10×3-52=(15-55)cm;当点C靠近点B时,AC=10×5-12=(55-5)cm.
 

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