2017年九年级数学上册4.5 相似三角形判定定理的证明(北师大版)

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2017年九年级数学上册4.5 相似三角形判定定理的证明(北师大版)

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4.5 相似三角形判定定理的证明
 
1.理解相似三角形三个判定定理的证明过程,加深对相似三角形的理解与认识.(重点)
2.应用相似三角形判定定理的证明解决有关问题.(难点)
 
阅读教材P99~102,自学三个例题,完成下列内容:
1.两角分别相等的两个三角形相似.
2.两边成比 例且夹角相等的两个三角形相似.
3.三边成比例的两个三角形相似.
(一)知识探究
(二)自学反馈
下列图形中不一定相似的是(  )
  A.各有一个角是45°的两个等腰三角形
  B.各有一个角是60°的两个等腰三角形
  C.各有一个角是110°的两个等腰三角形
  D.两个等腰直角三角形
 
活动1 小组讨论
例 已知:如图,在△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′,∠B=∠B′.求证:△ABC∽△A′B′C′.
 
证明:在△ABC的边AB(或它的延长线)上截取AD=A′B′,过点D作BC的平行线,交AC于点E,则
∠ADE=∠B,∠AED=∠C,ADAB=AEAC(平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例).
过点D作AC的平行线,交BC于点F,则
ADAB=CFCB(平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例).
∴AEAC=CFCB.
∵DE∥BC,DF∥AC,
∴四边形DFCE是平行四边形.
∴DE=CF.
∴AEAC=DECB.
∴ADAB=AEAC=DEBC.
而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED=∠C,
∴△ADE∽△ABC.
∵∠A=∠A′,∠ADE=∠B=∠B′,AD=A′B′,
∴△ADE≌△A′B′C′.
∴△ABC∽△A′B′C′.
  根据例题中的证明思路,思考:“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”和“三边成比例的两个三角形相似”该如何证明,三条定理的证明思路有相似之处,定理3的证明过程中,证明两三角形相似时要运用比例变换和等量代换,恒等变形的难度有所增加.
活动2 跟踪训练
1.在矩形ABCD中,E、F分别是CD、BC上的点,若∠AEF=90°,则一定有(  )
  A.△ADE∽△AEF              B.△ECF∽△AEF
  C.△ADE∽△ECF              D.△AEF∽△ABF
 
2.如图,已知△ABC中,P为AB上一点,在下列四个条件中:①∠ACP=∠B;②∠APC=∠ACB;③AC2=AP•AB;④AB•CP=AP•CB.能满足△APC∽△ACB的条件是(  )
  A.①②④          B.①③④
  C.②③④          D.①②③
 
3.如图,∠DAB=∠CAE,请补充一个条件:________,使△ABC∽△ADE.
 
4.如图,在等边△ABC中,P为BC上一点,D为AC上一点,且∠APD=60°,BP=1, CD=23,则△ABC的边长为________.
 
5.如图,在正方形ABCD中,P是BC边上的点,且BP=3PC,Q是CD的中点.求证:△A DQ∽△QCP.
 
6.如图,△ABC中,D,E,F分别是AB,AC,BC的中点.求证:△DE F∽△CBA.
 
活动3 课堂小结
1.相似三角形判定定理的证明
(1)两角对应相等,两三角形相似.
(2)三边对应成比例,两三角形相似.
(3)两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.
2.相似三角形判定定理的应用


【预习导学】
(二)自学反馈
A
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1.C 2.D 3.∠D=∠B或∠AED=∠C或ADAB=AEAC 4.3
5.证明:设正方形ABCD的边长为a.∵BP=3PC,∴PC=14BC=14a.∴ADQC=a12a=2,DQCP=12a14a=2.∴ADQC=DQCP.∵∠D=∠C=90°,∴△ADQ∽△QCP.
6.证明:∵D,E,F分别是AB,AC,BC的中点,∴DEBC=12,DFAC=12,EFAB=12.∴DEBC=DFAC=EFAB.∴△DEF∽△CBA.

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