2016年宝应县八年级数学上期末试卷(含答案和解释)

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2016年宝应县八年级数学上期末试卷(含答案和解释)

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文 章来源
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江苏省扬州市宝应县2015~2016学年度八年级上学期期末数学试卷
 
一、选择题:本大题共8小题,每小题3分,共24分,每小题仅有一个答案正确,请将正确的答案填在答题卡上.
1.36的算术平方根是(  )
A.6 B.﹣6 C.±6 D.
 
2.在平面直角坐标系中,点A(l,3)关于原点O对称的点A′的坐标为(  )
A.(﹣1,3) B.(1,﹣3) C.(3,1) D.(﹣1,﹣3)
 
3.已知实数x,y满足 ,则以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长是(  )
A.20或16 B.20
C.16 D.以上答案均不对
 
4.函数y=x﹣2的图象不经过(  )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
 
5.如图,已知∠ABC=∠DCB,下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是(  )
 
A.∠A=∠D B.AB=DC C.∠ACB=∠DBC D.AC=BD
 
6.如图,已知在△ABC中,CD是AB边上的高线,BE平分∠ABC,交CD于点E,BC=5,DE=2,则△BCE的面积等于(  )
 
A.10 B.7 C.5 D.4
 
7.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AB的垂直平分线DE交AC于D,交AB于E,下述结论错误的是(  )
 
A.BD平分∠ABC B.△BCD的周长等于AB+BC
C.AD=BD=BC D.点D是线段AC的中点
 
8.甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城.在整个行驶过程中,甲、乙两车离开A城的距离y(千米)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数关系如图所示.则下列结论:
①A,B两城相距300千米;              
②乙车比甲车晚出发1小时,却早到1小时;
③乙车出发后2.5小时追上甲车;
④当甲、乙两车相距50千米时,t= 或 .
其中正确的结论有(  )
 
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
 
 
二、填空题:本大题共10小题,每小题3分,共30分,请将答案填在答题卡上.
9.如图,AB=AC,要使△ABE≌△ACD,应添加的条件是      (添加一个条件即可).
 
 
10.若 的值在两个整数a与a+1之间,则a=      .
 
11.口袋内装有一些除颜色外完全相同的3个红球、2个白球.从中任意摸出一个球,那么摸出      球(填“红”或“白”)的概率大.
 
12.将直线y=2x﹣4向上平移5个单位后,所得直线的表达式是      .
 
13.在平面直角坐标系xOy中,点P(2,a)在正比例函数 的图象上,则点Q(a,3a﹣5)位于第      象限.
 
14.已知P1(﹣1,y1),P2(2,y2)是一次函数y=﹣x+3的图象上的两点,则y1      y2(填“>”或“<”或“=”).
 
15.如图,在平面直角坐标系中,将矩形AOCD沿直线AE折叠(点E在边DC上),折叠后端点D恰好落在边OC上的点F处.若点D的坐标为(10,8),则点E的坐标为      .
 
 
16.已知关于x的分式方程 有增根,则a=      .
 
17.如图,经过点B(﹣2,0)的直线y=kx+b与直线y=4x+2相交于点A(﹣1,﹣2),则不等式4x+2<kx+b<0的解集为      .
 
 
18.在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,若点P在边AB上移动,则CP的最小值是      .
 
 
 
三、解答题:共10题,共96分,请将答案填在答题卡上.
19.解方程: .
 
20.计算:( )÷ .
 
21.已知:如图,AB∥CD,E是AB的中点,CE=DE.求证:
(1)∠AEC=∠BED;
(2)AC=BD.
 
 
22.将一盒足量的牛奶按如图1所示倒入一个水平放置的长方体容器中,当容器中的牛奶刚好接触到点P时停止倒入.图2是它的平面示意图,AP=6cm,请根据图中的信息,求出容器中牛奶的高度.
 
 
23.某公园元旦期间,前往参观的人非常多.这期间某一天某一时段,随机调查了部分入园游客,统计了他们进园前等候检票的时间,并绘制成如下图表.表中“10~20”表示等候检票的时间大于或等于10min而小于20min,其它类同.
(1)这里采用的调查方式是      (填“普查”或“抽样调查”),样本容量是      ;
(2)表中a=      ,b=      ,并请补全频数分布直方图;
(3)在调查人数里,若将时间分段内的人数绘成扇形统计图,则“40~50”的圆心角的度数是      .
 
 
24.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,连接DE并延长交CB的延长线于点F,点G在边BC上,且∠GDF=∠ADF.
(1)求证:△ADE≌△BFE;
(2)连接EG,判断EG与DF的位置关系并说明理由.
 
 
25.如图,一次函数 的图象分别与x轴、y轴交于点A、B,以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC,∠BAC=90°.求过B、C两点直线的解析式.
 
 
26.如图,△ABC中,AB=AC=2,∠B=∠C=40°.点D在线段BC上运动(点D不与B、C重合),连接AD,作∠ADE=40°,DE交线段AC于E.
(1)当∠BAD=20°时,∠EDC=      °;
(2)当DC等于多少时,△ABD≌△DCE?试说明理由;
(3)△ADE能成为等腰三角形吗?若能,请直接写出此时∠BAD的度数;若不能,请说明理由.
 
 
27.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知正比例函数y= x与一次函数y=﹣x+7的图象交于点A.
(1)求点A的坐标;
(2)设x轴上有一点P(a,0),过点P作x轴的垂线(垂线位于点A的右侧),分别交y= x和y=﹣x+7的图象于点B、C,连接OC.若BC= OA,求△OBC的面积.
 
 
28.如图①,A、D分别在x轴和y轴上,OD=4cm,CD∥x轴,BC∥y轴,点P从点D出发,以1cm/s的速度,沿五边形OABCD的边匀速运动一周,记顺次连接P、O、D三点所围成图形的面积为Scm2,点P运动的时间为ts,已知S与t之间的函数关系如图②中折线段OEFGHI所示.
(1)求A、B两点的坐标与m的值;
(2)若直线PD将五边形OABCD分成面积相等的两部分,求直线PD的函数表达式.
 
 
 
 

江苏省扬州市宝应县2015~2016学年度八年级上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析
 
一、选择题:本大题共8小题,每小题3分,共24分,每小题仅有一个答案正确,请将正确的答案填在答题卡上.
1.36的算术平方根是(  )
A.6 B.﹣6 C.±6 D.
【考点】算术平方根.
【专题】计算题
【分析】利用算术平方根的定义计算即可得到结果.
【解答】解:36的算术平方根是6.
故选A.
【点评】此题考查了算术平方根,熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键.
 
2.在平面直角坐标系中,点A(l,3)关于原点O对称的点A′的坐标为(  )
A.(﹣1,3) B.(1,﹣3) C.(3,1) D.(﹣1,﹣3)
【考点】关于原点对称的点的坐标.
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点:两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反可直接得到答案.
【解答】解:点A(l,3)关于原点O对称的点A′的坐标为(﹣1,﹣3).
故选:D.
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点,关键是掌握点的坐标的变化规律.
 
3.已知实数x,y满足 ,则以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长是(  )
A.20或16 B.20
C.16 D.以上答案均不对
【考点】等腰三角形的性质;非负数的性质:绝对值;非负数的性质:算术平方根;三角形三边关系.
【专题】分类讨论.
【分析】根据非负数的意义列出关于x、y的方程并求出x、y的值,再根据x是腰长和底边长两种情况讨论求解.
【解答】解:根据题意得
 ,
解得 ,
(1)若4是腰长,则三角形的三边长为:4、4、8,
不能组成三角形;
(2)若4是底边长,则三角形的三边长为:4、8、8,
能组成三角形,周长为4+8+8=20.
故选B.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系;解题主要利用了非负数的性质,分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断.根据题意列出方程是正确解答本题的关键.
 
4.函数y=x﹣2的图象不经过(  )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【考点】一次函数的性质.
【分析】根据k>0确定一次函数经过第一三象限,根据b<0确定与y轴负半轴相交,从而判断得解.
【解答】解:一次函数y=x﹣2,
∵k=1>0,
∴函数图象经过第一三象限,
∵b=﹣2<0,
∴函数图象与y轴负半轴相交,
∴函数图象经过第一三四象限,不经过第二象限.
故选:B.
【点评】本题考查了一次函数的性质,对于一次函数y=kx+b,k>0,函数经过第一、三象限,k<0,函数经过第二、四象限.
 
5.如图,已知∠ABC=∠DCB,下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是(  )
 
A.∠A=∠D B.AB=DC C.∠ACB=∠DBC D.AC=BD
【考点】全等三角形的判定.
【分析】根据题目所给条件∠ABC=∠DCB,再加上公共边BC=BC,然后再结合判定定理分别进行分析即可.
【解答】解:A、添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB,故此选项不合题意;
B、添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB,故此选项不合题意;
C、添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB,故此选项不合题意;
D、添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB,故此选项符合题意;
故选:D.
【点评】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
注意:AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.
 
6.如图,已知在△ABC中,CD是AB边上的高线,BE平分∠ABC,交CD于点E,BC=5,DE=2,则△BCE的面积等于(  )
 
A.10 B.7 C.5 D.4
【考点】角平分线的性质.
【分析】作EF⊥BC于F,根据角平分线的性质求得EF=DE=2,然后根据三角形面积公式求得即可.
【解答】解:作EF⊥BC于F,
∵BE平分∠ABC,ED⊥AB,EF⊥BC,
∴EF=DE=2,
∴S△BCE= BC•EF= ×5×2=5,
故选C.
【点评】本题考查了角的平分线的性质以及三角形的面积,作出辅助线求得三角形的高是解题的关键.
 
7.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AB的垂直平分线DE交AC于D,交AB于E,下述结论错误的是(  )
 
A.BD平分∠ABC B.△BCD的周长等于AB+BC
C.AD=BD=BC D.点D是线段AC的中点
【考点】线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质.
【专题】压轴题.
【分析】由在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,根据等边对等角与三角形内角和定理,即可求得∠ABC与∠C的度数,又由AB的垂直平分线是DE,根据线段垂直平分线的性质,即可求得AD=BD,继而求得∠ABD的度数,则可知BD平分∠ABC;可得△BCD的周长等于AB+BC,又可求得∠BDC的度数,求得AD=BD=BC,则可求得答案;注意排除法在解选择题中的应用.
【解答】解:∵在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,
∴∠ABC=∠C= =72°,
∵AB的垂直平分线是DE,
∴AD=BD,
∴∠ABD=∠A=36°,
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=72°﹣36°=36°=∠ABD,
∴BD平分∠ABC,故A正确;
∴△BCD的周长为:BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=BC+AB,故B正确;
∵∠DBC=36°,∠C=72°,
∴∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=72°,
∴∠BDC=∠C,
∴BD=BC,
∴AD=BD=BC,故C正确;
∵BD>CD,
∴AD>CD,
∴点D不是线段AC的中点,故D错误.
故选D.
【点评】此题考查了等腰三角形的性质,线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理等知识.此题综合性较强,但难度不大,解题的关键是注意数形结合思想的应用,注意等腰三角形的性质与等量代换.
 
8.甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城.在整个行驶过程中,甲、乙两车离开A城的距离y(千米)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数关系如图所示.则下列结论:
①A,B两城相距300千米;              
②乙车比甲车晚出发1小时,却早到1小时;
③乙车出发后2.5小时追上甲车;
④当甲、乙两车相距50千米时,t= 或 .
其中正确的结论有(  )
 
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【考点】一次函数的应用.
【分析】观察图象可判断①②,由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式,可求得两函数图象的交点,可判断③,再令两函数解析式的差为50,可求得t,可判断④,可得出答案.
【解答】解:
由图象可知A、B两城市之间的距离为300km,甲行驶的时间为5小时,而乙是在甲出发1小时后出发的,且用时3小时,即比甲早到1小时,
∴①②都正确;
设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲=kt,
把(5,300)代入可求得k=60,
∴y甲=60t,
设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙=mt+n,
把(1,0)和(4,300)代入可得 ,解得 ,
∴y乙=100t﹣100,
令y甲=y乙可得:60t=100t﹣100,解得t=2.5,
即甲、乙两直线的交点横坐标为t=2.5,
此时乙出发时间为1.5小时,即乙车出发1.5小时后追上甲车,
∴③不正确;
令|y甲﹣y乙|=50,可得|60t﹣100t+100|=50,即|100﹣40t|=50,
当100﹣40t=50时,可解得t= ,
当100﹣40t=﹣50时,可解得t= ,
又当t= 时,y甲=50,此时乙还没出发,
当t= 时,乙到达B城,y甲=250;
综上可知当t的值为 或 或 或t= 时,两车相距50千米,
∴④不正确;
综上可知正确的有①②共两个,
故选B.
【点评】本题主要考查一次函数的应用,掌握一次函数图象的意义是解题的关键,特别注意t是甲车所用的时间.
 
二、填空题:本大题共10小题,每小题3分,共30分,请将答案填在答题卡上.
9.如图,AB=AC,要使△ABE≌△ACD,应添加的条件是 ∠B=∠C或AE=AD (添加一个条件即可).
 
【考点】全等三角形的判定.
【专题】开放型.
【分析】要使△ABE≌△ACD,已知AB=AC,∠A=∠A,则可以添加一个边从而利用SAS来判定其全等,或添加一个角从而利用AAS来判定其全等.
【解答】解:添加∠B=∠C或AE=AD后可分别根据ASA、SAS判定△ABE≌△ACD.
故答案为:∠B=∠C或AE=AD.
【点评】本题考查三角形全等的判定方法;判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.添加时注意:AAA、SSA不能判定两个三角形全等,不能添加,根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键.
 
10.若 的值在两个整数a与a+1之间,则a= 2 .
【考点】估算无理数的大小.
【专题】计算题
【分析】利用”夹逼法“得出 的范围,继而也可得出a的值.
【解答】解:∵2= <  =3,
∴ 的值在两个整数2与3之间,
∴可得a=2.
故答案为:2.
【点评】此题考查了估算无理数的大小的知识,属于基础题,解答本题的关键是掌握夹逼法的运用.
 
11.口袋内装有一些除颜色外完全相同的3个红球、2个白球.从中任意摸出一个球,那么摸出 红 球(填“红”或“白”)的概率大.
【考点】概率公式.
【分析】根据哪种球的个数大摸到那种球的可能性就大直接回答即可.
【解答】解:∵共5个球,有3个红球2个白球,
∴摸到红球的概率大,
故答案为:红.
【点评】本题考查了概率的公式,解题时可以比较球的个数,也可分别求得概率后再比较,难度不大.
 
12.将直线y=2x﹣4向上平移5个单位后,所得直线的表达式是 y=2x+1 .
【考点】一次函数图象与几何变换.
【分析】根据平移的性质,向上平移几个单位b的值就加几.
【解答】解:由题意得:向上平移5个单位后的解析式为:y=2x﹣4+5=2x+1.
故填:y=2x+1.
【点评】本题是关于一次函数的图象与它平移后图象的转变的题目,要熟练掌握平移的性质.
 
13.在平面直角坐标系xOy中,点P(2,a)在正比例函数 的图象上,则点Q(a,3a﹣5)位于第 四 象限.
【考点】一次函数图象上点的坐标特征;点的坐标.
【专题】数形结合.
【分析】把点P坐标代入正比例函数解析式可得a的值,进而根据点的Q的横纵坐标的符号可得所在象限.
【解答】解:∵点P(2,a)在正比例函数 的图象上,
∴a=1,
∴a=1,3a﹣5=﹣2,
∴点Q(a,3a﹣5)位于第四象限.
故答案为:四.
【点评】考查一次函数图象上点的坐标特征;得到a的值是解决本题的突破点.
 
14.已知P1(﹣1,y1),P2(2,y2)是一次函数y=﹣x+3的图象上的两点,则y1 > y2(填“>”或“<”或“=”).
【考点】一次函数图象上点的坐标特征.
【分析】先根据一次函数y=2x+1中k=2判断出函数的增减性,再根据﹣3<2进行解答即可.
【解答】解:∵一次函数y=﹣x+3中k=﹣1<0,
∴y随x的增大而减小,
∵﹣1<2,
∴y1>y2.
故答案为>.
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点及一次函数的性质,熟知一次函数的增减性是解答此题的关键.
 
15.如图,在平面直角坐标系中,将矩形AOCD沿直线AE折叠(点E在边DC上),折叠后端点D恰好落在边OC上的点F处.若点D的坐标为(10,8),则点E的坐标为 (10,3) .
 
【考点】翻折变换(折叠问题);坐标与图形性质.
【分析】根据折叠的性质得到AF=AD,所以在直角△AOF中,利用勾股定理来求OF=6,然后设EC=x,则EF=DE=8﹣x,CF=10﹣6=4,根据勾股定理列方程求出EC可得点E的坐标.
【解答】解:∵四边形A0CD为矩形,D的坐标为(10,8),
∴AD=BC=10,DC=AB=8,
∵矩形沿AE折叠,使D落在BC上的点F处,
∴AD=AF=10,DE=EF,
在Rt△AOF中,OF= =6,
∴FC=10﹣6=4,
设EC=x,则DE=EF=8﹣x,
在Rt△CEF中,EF2=EC2+FC2,即(8﹣x)2=x2+42,解得x=3,
即EC的长为3.
∴点E的坐标为(10,3),
故答案为:(10,3).
 
【点评】本题考查折叠的性质:折叠前后两图形全等,即对应线段相等,对应角相等;对应点的连线段被折痕垂直平分.也考查了矩形的性质以及勾股定理.
 
16.已知关于x的分式方程 有增根,则a= ﹣2 .
【考点】分式方程的增根.
【专题】计算题;分式方程及应用.
【分析】分式方程去分母转化为整式方程,由分式方程有增根,得到x+2=0,求出x的值,代入整式方程即可求出a的值.
【解答】解:去分母得:a﹣x=x+2,
由分式方程有增根,得到x+2=0,即x=﹣2,
把x=﹣2代入整式方程得:a+2=0,
解得:a=﹣2.
故答案为:﹣2.
【点评】此题考查了分式方程的增根,增根问题可按如下步骤进行:①让最简公分母为0确定增根;②化分式方程为整式方程;③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.
 
17.如图,经过点B(﹣2,0)的直线y=kx+b与直线y=4x+2相交于点A(﹣1,﹣2),则不等式4x+2<kx+b<0的解集为 ﹣2<x<﹣1 .
 
【考点】一次函数与一元一次不等式.
【分析】由图象得到直线y=kx+b与直线y=4x+2的交点A的坐标(﹣1,﹣2)及直线y=kx+b与x轴的交点坐标,观察直线y=4x+2落在直线y=kx+b的下方且直线y=kx+b落在x轴下方的部分对应的x的取值即为所求.
【解答】解:∵经过点B(﹣2,0)的直线y=kx+b与直线y=4x+2相交于点A(﹣1,﹣2),
∴直线y=kx+b与直线y=4x+2的交点A的坐标为(﹣1,﹣2),直线y=kx+b与x轴的交点坐标为B(﹣2,0),
又∵当x<﹣1时,4x+2<kx+b,
当x>﹣2时,kx+b<0,
∴不等式4x+2<kx+b<0的解集为﹣2<x<﹣1.
故答案为:﹣2<x<﹣1.
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系:从函数的角度看,就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围;从函数图象的角度看,就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合.
 
18.在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,若点P在边AB上移动,则CP的最小值是 4.8 .
 
【考点】等腰三角形的性质;垂线段最短;三角形的面积;勾股定理.
【分析】作BC边上的高AF,利用等腰三角形的三线合一的性质求BF=3,利用勾股定理求得AF的长,利用面积相等即可求得AB边上的高CP的长.
【解答】解:如图,作AF⊥BC于点F,作CP⊥AB于点P,
根据题意得此时CP的值最小;
解:作BC边上的高AF,
∵AB=AC=5,BC=6,
∴BF=CF=3,
∴由勾股定理得:AF=4,
∴S△ABC= AB•PC= BC•AF= ×5CP= ×6×4
得:CE=4.8
故答案为4.8.
 
【点评】本题考查了等腰三角形、勾股定理及三角形的面积的知识,特别是利用面积相等的方法求一边上的高的方法一定要掌握.
 
三、解答题:共10题,共96分,请将答案填在答题卡上.
19.解方程: .
【考点】解分式方程.
【专题】计算题.
【分析】观察可得方程最简公分母为:(x+1)(x﹣1),方程两边乘最简公分母,可以把分式方程转化为整式方程求解.
【解答】解:方程两边同乘(x+1)(x﹣1),得
(x+1)2﹣4=(x+1)(x﹣1),
整理得2x﹣2=0,
解得x=1.
检验:当x=1时,(x+1)(x﹣1)=0,
所以x=1是增根,应舍去.
∴原方程无解.
【点评】解分式方程的关键是两边同乘最简公分母,将分式方程转化为整式方程,易错点是忽视检验.
 
20.计算:( )÷ .
【考点】分式的混合运算.
【分析】根据分式的加减乘除混合运算法则进行化简.
【解答】解:原式= ﹣
=2a(a﹣1)﹣a(a+1)
=2a2﹣2a﹣a2﹣a
=a2﹣3a.
【点评】本题考查分式的加减乘除混合运算的法则、乘法公式等知识,这里先去括号比较简单,灵活运用法则是解题的关键.
 
21.已知:如图,AB∥CD,E是AB的中点,CE=DE.求证:
(1)∠AEC=∠BED;
(2)AC=BD.
 
【考点】全等三角形的判定与性质.
【专题】证明题.
【分析】(1)根据CE=DE得出∠ECD=∠EDC,再利用平行线的性质进行证明即可;
(2)根据SAS证明△AEC与△BED全等,再利用全等三角形的性质证明即可.
【解答】证明:(1)∵AB∥CD,
∴∠AEC=∠ECD,∠BED=∠EDC,
∵CE=DE,
∴∠ECD=∠EDC,
∴∠AEC=∠BED;
(2)∵E是AB的中点,
∴AE=BE,
在△AEC和△BED中,
 ,
∴△AEC≌△BED(SAS),
∴AC=BD.
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质,关键是根据SAS证明全等.
 
22.将一盒足量的牛奶按如图1所示倒入一个水平放置的长方体容器中,当容器中的牛奶刚好接触到点P时停止倒入.图2是它的平面示意图,AP=6cm,请根据图中的信息,求出容器中牛奶的高度.
 
【考点】相似三角形的应用.
【分析】根据题意得出AP,BP的长,再利用三角形面积求法得出NP的长,进而得出容器中牛奶的高度.
【解答】解:过点P作PN⊥AB于点N,
由题意可得:AP=6cm,AB=10cm,
则BP= =8cm,
∴NP×AB=AP×BP,
∴NP= = =4.8(cm),
∴12﹣4.8=7.2(cm).
答:容器中牛奶的高度为:7.2cm.
 
【点评】此题主要考查了解直角三角形以及三角形面积求法等知识,得出PN的长是解题关键.
 
23.某公园元旦期间,前往参观的人非常多.这期间某一天某一时段,随机调查了部分入园游客,统计了他们进园前等候检票的时间,并绘制成如下图表.表中“10~20”表示等候检票的时间大于或等于10min而小于20min,其它类同.
(1)这里采用的调查方式是 抽样调查 (填“普查”或“抽样调查”),样本容量是 40 ;
(2)表中a= 0.350 ,b= 5 ,并请补全频数分布直方图;
(3)在调查人数里,若将时间分段内的人数绘成扇形统计图,则“40~50”的圆心角的度数是 45° .
 
【考点】频数(率)分布直方图;频数(率)分布表;扇形统计图.
【分析】(1)由于前往参观的人非常多,5月中旬的一天某一时段,随机调查了部分入园游客,统计了他们进园前等候检票的时间,由此即可判断调查方式,根据已知的一组数据可以求出接受调查的总人数c;
(2)总人数乘以频率即可求出b,利用所有频率之和为1即可求出a,然后就可以补全频率分布直方图;
(3)用周角乘以其所在小组的频率即可求得其所在扇形的圆心角;
【解答】解:(1)填抽样调查或抽查;总人数为:8÷0.200=40;

(2)a=1﹣0.200﹣0.250﹣0.125﹣0.075=0.350;
b=8÷0.200×0.125=5;
频数分布直方图如图所示:

(3)“40~50”的圆心角的度数是0.125×360°=45°.
故答案为:抽样调查,40;a=0.350,b=5;45°.
 
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力.同时考查了中位数、频率和频数的定义.
 
24.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,连接DE并延长交CB的延长线于点F,点G在边BC上,且∠GDF=∠ADF.
(1)求证:△ADE≌△BFE;
(2)连接EG,判断EG与DF的位置关系并说明理由.
 
【考点】全等三角形的判定与性质.
【专题】证明题.
【分析】(1)由AD与BC平行,利用两直线平行内错角相等,得到一对角相等,再由一对对顶角相等及E为AB中点得到一对边相等,利用AAS即可得出△ADE≌△BFE;
(2)∠GDF=∠ADE,以及(1)得出的∠ADE=∠BFE,等量代换得到∠GDF=∠BFE,利用等角对等边得到GF=GD,即三角形GDF为等腰三角形,再由(1)得到DE=FE,即GE为底边上的中线,利用三线合一即可得到GE与DF垂直.
【解答】(1)证明:∵AD∥BC,∴∠ADE=∠BFE,
∵E为AB的中点,∴AE=BE,
在△ADE和△BFE中,
 ,
∴△ADE≌△BFE(AAS);

(2)解:EG与DF的位置关系是EG垂直平分DF,
理由为:连接EG,
∵∠GDF=∠ADE,∠ADE=∠BFE,
∴∠GDF=∠BFE,
由(1)△ADE≌△BFE得:DE=FE,即GE为DF上的中线,
∴GE垂直平分DF.
 
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质,平行线的性质,以及等腰三角形的判定与性质,熟练掌握判定与性质是解本题的关键.
 
25.如图,一次函数 的图象分别与x轴、y轴交于点A、B,以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC,∠BAC=90°.求过B、C两点直线的解析式.
 
【考点】一次函数综合题.
【分析】先根据一次函数的解析式求出A、B两点的坐标,再作CD⊥x轴于点D,由全等三角形的判定定理可得出△ABO≌△CAD,由全等三角形的性质可知OA=CD,故可得出C点坐标,再用待定系数法即可求出直线BC的解析式.
【解答】解:∵一次函数 中,令x=0得:y=2;
令y=0,解得x=3.
∴B的坐标是(0,2),A的坐标是(3,0).  
作CD⊥x轴于点D.
∵∠BAC=90°,
∴∠OAB+∠CAD=90°,
又∵∠CAD+∠ACD=90°,
∴∠ACD=∠BAO
又∵AB=AC,∠BOA=∠CDA=90°
∴△ABO≌△CAD,
∴AD=OB=2,CD=OA=3,OD=OA+AD=5.
则C的坐标是(5,3).                   
设BC的解析式是y=kx+b,
根据题意得: ,
解得 .
则BC的解析式是:y= x+2.
 
【点评】本题考查的是一次函数综合题,涉及到用待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定定理与性质,根据题意作出辅助线,构造出全等三角形是解答此题的关键.
 
26.如图,△ABC中,AB=AC=2,∠B=∠C=40°.点D在线段BC上运动(点D不与B、C重合),连接AD,作∠ADE=40°,DE交线段AC于E.
(1)当∠BAD=20°时,∠EDC= 20 °;
(2)当DC等于多少时,△ABD≌△DCE?试说明理由;
(3)△ADE能成为等腰三角形吗?若能,请直接写出此时∠BAD的度数;若不能,请说明理由.
 
【考点】全等三角形的判定与性质;等腰三角形的判定与性质.
【分析】(1)利用三角形的外角的性质得出答案即可;
(2)利用∠ADC=∠B+∠BAD,∠ADC=∠ADE+∠EDC得出∠BAD=∠EDC,进而求出△ABD≌△DCE;
(3)根据等腰三角形的判定以及分类讨论得出即可.
【解答】解:(1)∵∠BAD=20°,∠B=40°,
∴∠ADC=60°,
∵∠ADE=40°,
∴∠EDC=60°﹣40°=20°,
故答案为:20;

(2)当DC=2时,△ABD≌△DCE;
理由:∵∠ADE=40°,∠B=40°,
又∵∠ADC=∠B+∠BAD,∠ADC=∠ADE+∠EDC.
∴∠BAD=∠EDC.
在△ABD和△DCE中,
 .
∴△ABD≌△DCE(ASA);

(3)当∠BAD=30°时,
∵∠B=∠C=40°,∴∠BAC=100°,
∵∠ADE=40°,∠BAD=30°,
∴∠DAE=70°,
∴∠AED=180°﹣40°﹣70°=70°,
∴DA=DE,这时△ADE为等腰三角形; 
当∠BAD=60°时,∵∠B=∠C=40°,∴∠BAC=100°,
∵∠ADE=40°,∠BAD=60°,∠DAE=40°,
∴EA=ED,这时△ADE为等腰三角形.
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质和三角形内角和定理以及等腰三角形的性质等知识,根据已知得出△ABD≌△DCE是解题关键.
 
27.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知正比例函数y= x与一次函数y=﹣x+7的图象交于点A.
(1)求点A的坐标;
(2)设x轴上有一点P(a,0),过点P作x轴的垂线(垂线位于点A的右侧),分别交y= x和y=﹣x+7的图象于点B、C,连接OC.若BC= OA,求△OBC的面积.
 
【考点】两条直线相交或平行问题;勾股定理.
【分析】(1)联立两一次函数的解析式求出x、y的值即可得出A点坐标;
(2)过点A作x轴的垂线,垂足为D,在Rt△OAD中根据勾股定理求出OA的长,故可得出BC的长,根据P(a,0)可用a表示出B、C的坐标,故可得出a的值,由三角形的面积公式即可得出结论.
【解答】解:(1)∵由题意得, ,解得 ,
∴A(4,3);

(2)过点A作x轴的垂线,垂足为D,在Rt△OAD中,由勾股定理得,
OA= = =5.
∴BC= OA= ×5=7.
∵P(a,0),
∴B(a, a),C(a,﹣a+7),
∴BC= a﹣(﹣a+7)= a﹣7,
∴ a﹣7=7,解得a=8,
∴S△OBC= BC•OP= ×7×8=28.
 
【点评】本题考查的是两条直线相交或平行问题,根据题意作出辅助线.构造出直角三角形是解答此题的关键.
 
28.如图①,A、D分别在x轴和y轴上,OD=4cm,CD∥x轴,BC∥y轴,点P从点D出发,以1cm/s的速度,沿五边形OABCD的边匀速运动一周,记顺次连接P、O、D三点所围成图形的面积为Scm2,点P运动的时间为ts,已知S与t之间的函数关系如图②中折线段OEFGHI所示.
(1)求A、B两点的坐标与m的值;
(2)若直线PD将五边形OABCD分成面积相等的两部分,求直线PD的函数表达式.
 
【考点】动点问题的函数图象.
【分析】(1)根据图中信息即可得出结论.
(2)求出直线AB:y= x﹣ ,设P(a, a﹣ ),根据S△POD+S△OAP= S五边形OABCD列出方程解方程即可.
【解答】解:(1)由图象可知A(2,0),B(6,3),
m= ×4×2=4.
(2)设直线AB为y=kx+b,由题意: 解得 ,
∴直线AB为y= x﹣ ,设P(a, a﹣ ),
∵S五边形OABCD=4×2+ (1+4)•4=18,
由题意:S△POD+S△OAP=9,
∴ ×4×a+ ×2×( a﹣ )=9,
∴a= ,
∴点P( , ),
设直线DP为y=k′x+4点P代入得k′=﹣ ,
∴直线DP的解析式为:y=﹣ x+4.
【点评】本题考查一次函数的有关性质、多边形面积问题等知识,属于图象信息题目,理解图中信息是解决问题的关键.

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