2016年高邮市八年级数学上期末试卷(附答案和解释)

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2016年高邮市八年级数学上期末试卷(附答案和解释)

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章 来源莲山课件 ww w.
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2015-2016学年江苏省扬州市高邮市八年级(上)期末数学试卷

一、选择题:(每题3分,共24分)
1.下列图形中不是轴对称图形的是(     )
A.  B.  C.  D.

2.16的算术平方根是(     )
A.±4 B.﹣4 C.4 D.±8

3.点M(﹣3,2)关于y轴对称的点的坐标为(     )
A.(﹣3,﹣2) B.(3,﹣2) C.(3,2) D.(﹣3,2)

4.化简 的结果是(     )
A.x+1 B.  C.x﹣1 D.

5.下列四组线段中,可以构成直角三角形的是(     )
A.4,5,6 B.2,3,4 C. ,3,4 D.1, ,3

6.如图,若BC=EC,∠BCE=∠ACD,则添加不能使△ABC≌△DBC的条件是(     )
 
A.AB=DE B.∠B=∠E C.AC=DC D.∠A=∠D

7.已知A(x1,y1),B(x2,y2)是一次函数y=2x﹣kx+1图象上的不同两个点,m=(x1﹣x2)(y1﹣y2),则当m<0时,k的取值范围是(     )
A.k<0 B.k>0 C.k<2 D.k>2

8.如图,Rt△ABC,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,将边Ac沿CE翻折,使点A落在AB上的D处,再将边BC沿CF翻折,使点B落在CD的延长线上的点F处,两条折痕与斜边AB分别交于点E、F,则线段BF的长为(     )
 
A.  B.  C.  D.


二、填空题(每题3分,共30分)
9.在实数1.732, 中,无理数的个数为__________.

10.一个等腰三角形的一个角为50°,则它的顶角的度数是__________.

11.一次函数y=﹣2x+1的图象一定不经过第__________象限.

12.如图,在3×3的正方形网格中有四个格点,A、B、C、D,以其中一点为原点,网格线所在直线为坐标轴,建立平面直角坐标系,使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称,则原点是__________点.
 

13.如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC,交AC于点D,且AD=2,BC=5,则△BCD的面积是__________.
 

14.一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图,则kx+b>x+a的解集是__________.
 

15.如图,AB=AC=AD,∠BAD=80°,则∠BCD的大小是__________.
 

16.若关于x的方程 + =2的解为正数,则m的取值范围是__________.

17.已知一次函数y=kx+b,若3k﹣b=2,则它的图象一定经过的定点坐标为__________.

18.如图,在直角坐标系中,点A、B的坐标分别为(2,4)和(3、0)点C是y轴上的一个动点,且A、B、C三点不在同一条直线上,在运动的过程中,当△ABC是以AB为底的等腰三角形时,此时点C的坐标为__________.
 


三、解答题:(10个小题,共96分)
19.(1)计算:
(2)求x的值:25(x+2)2﹣36=0.

20.解分式方程:
(1) =1
(2)2﹣ .

21.先化简: ,然后从﹣2≤x≤2的范围内选择一个合适的整数作为x的值代入求值.

22.春节前夕,某商店根据市场调查,用2000元购进第一批盒装花,上市后很快售完,接着又用4200元购进第二批这种盒装花.已知第二批所购的盒数是第一批所购花盒数的3倍,且每盒花的进价比第一批的进价少6元.求第一批盒装花每盒的进价.

23.如图,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,CE⊥AB,AE=CE.求证:
(1)△AEF≌△CEB;
(2)AF=2CD.
 

24.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是△ABC的一条角平分线.点O、E、F分别在BD、BC、AC上,且四边形OECF是正方形.
(1)求证:点O在∠BAC的平分线上;
(2)若AC=5,BC=12,求OE的长.
 

25.如图,一次函数y=﹣x+m的图象和y轴交于点B,与正比例函数y= x图象交于点P(2,n).
(1)求m和n的值;
(2)求△POB的面积.
 

26.如图,在边长为4的正方形ABCD中,请画出以A为一个顶点,另外两个顶点在正方形ABCD的边上,且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形.(要求:只要画出示意图,并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3)
 

27.如图,P为正方形ABCD的边BC上一动点(P与B、C不重合),连接AP,过点B作BQ⊥AP交CD于点Q,将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′,延长QC′交BA的延长线于点M.
(1)试探究AP与BQ的数量关系,并证明你的结论;
(2)当AB=3,BP=2PC,求QM的长;
(3)当BP=m,PC=n时,求AM的长.
 

28.小亮和小刚进行赛跑训练,他们选择了一个土坡,按同一路线同时出发,从坡脚跑到坡顶再原路返回坡脚.他们俩上坡的平均速度不同,下坡的平均速度则是各自上坡平均速度的1.5倍.设两人出发x min后距出发点的距离为y m.图中折线表示小亮在整个训练中y与x的函数关系,其中A点在x轴上,M点坐标为(2,0).
(1)A点所表示的实际意义是__________; =__________;
(2)求出AB所在直线的函数关系式;
(3)如果小刚上坡平均速度是小亮上坡平均速度的一半,那么两人出发后多长时间第一次相遇?
 


 

2015-2016学年江苏省扬州市高邮市八年级(上)期末数学试卷


一、选择题:(每题3分,共24分)
1.下列图形中不是轴对称图形的是(     )
A.  B.  C.  D.
【考点】轴对称图形.
【分析】根据轴对称图形的概念求解.
【解答】解:A、不是轴对称图形,故本选项正确;
B、是轴对称图形,故本选项错误;
C、是轴对称图形,故本选项错误;
D、是轴对称图形,故本选项错误.
故选A.
【点评】本题考查了轴对称图形的概念:轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称轴折叠后可重合.

2.16的算术平方根是(     )
A.±4 B.﹣4 C.4 D.±8
【考点】算术平方根.
【分析】根据算术平方根的定义求解即可求得答案.
【解答】解:∵42=16,
∴16的算术平方根是4.
故选C.
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义,解决本题的关键是明确一个正数的算术平方根就是其正的平方根.

3.点M(﹣3,2)关于y轴对称的点的坐标为(     )
A.(﹣3,﹣2) B.(3,﹣2) C.(3,2) D.(﹣3,2)
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标.
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点:横坐标互为相反数,纵坐标不变.即点P(x,y)关于y轴的对称点P′的坐标是(﹣x,y),可以直接得到答案.
【解答】解:点M(﹣3,2)关于y轴对称的点的坐标为(3,2),
故选:C.
【点评】此题主要考查了考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系.是需要识记的内容,比较基础,关键是熟记点的坐标变化规律.

4.化简 的结果是(     )
A.x+1 B.  C.x﹣1 D.
【考点】分式的加减法.
【专题】计算题
【分析】原式变形后,利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果.
【解答】解:原式= ﹣ = = =x+1.
故选A
【点评】此题考查了分式的加减法,熟练掌握运算法则是解本题的关键.

5.下列四组线段中,可以构成直角三角形的是(     )
A.4,5,6 B.2,3,4 C. ,3,4 D.1, ,3
【考点】勾股定理的逆定理.
【分析】由勾股定理的逆定理,只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可.
【解答】解:A、42+52≠62,不能构成直角三角形,故不符合题意;
B、22+32≠64,不能构成直角三角形,故不符合题意;
C、( )2+32=42,能构成直角三角形,故符合题意;
D、12+( )2≠32,不能构成直角三角形,故不符合题意.
故选C.
【点评】本题考查勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形.

6.如图,若BC=EC,∠BCE=∠ACD,则添加不能使△ABC≌△DBC的条件是(     )
 
A.AB=DE B.∠B=∠E C.AC=DC D.∠A=∠D
【考点】全等三角形的判定.
【分析】先求出∠ACB=∠DCE,再根据全等三角形的判定定理(SAS,ASA,AAS,SSS)逐个判断即可.
【解答】解:∵∠BCE=∠ACD,
∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE,
∴∠ACB=∠DCE,
A、根据BC=CE,AB=DE,∠ACB=∠DCE不能推出△ABC≌△DEC,故本选项正确;
B、因为∠ACB=∠DCE,∠B=∠E,BC=CE,所以符合AAS定理,即能推出△ABC≌△DEC,故本选项错误;
C、因为BC=CE,∠ACB=∠DCE,AC=CD,所以符合SAS定理,即能推出△ABC≌△DEC,故本选项错误;
D、因为∠A=∠D,∠ACB=∠DCE,BC=CE,所以符合AAS定理,即能推出△ABC≌△DEC,故本选项错误;
故选A.
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用,能理解和运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键,注意:全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,难度适中.

7.已知A(x1,y1),B(x2,y2)是一次函数y=2x﹣kx+1图象上的不同两个点,m=(x1﹣x2)(y1﹣y2),则当m<0时,k的取值范围是(     )
A.k<0 B.k>0 C.k<2 D.k>2
【考点】一次函数图象上点的坐标特征.
【分析】根据一次函数的性质判断出y随x的增大而减小,从而得出2﹣k<0.
【解答】解:∵A(x1,y1)、B(x2,y2)是一次函数y=2x﹣kx+1图象上的不同两个点,m=(x1﹣x2)( y1﹣y2)<0,
∴该函数图象是y随x的增大而减小,
∴2﹣k<0,
解得 k>2.
故选D.
【点评】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征,要根据函数的增减性进行推理,是一道基础题.

8.如图,Rt△ABC,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,将边Ac沿CE翻折,使点A落在AB上的D处,再将边BC沿CF翻折,使点B落在CD的延长线上的点F处,两条折痕与斜边AB分别交于点E、F,则线段BF的长为(     )
 
A.  B.  C.  D.
【考点】翻折变换(折叠问题).
【分析】首先根据折叠可得CD=AC=3,B′C=BC=4,∠ACE=∠DCE,∠BCF=∠B′CF,CE⊥AB,然后求得△ECF是等腰直角三角形,进而求得∠B′FD=90°,CE=EF= ,ED=AE= ,从而求得B′D=1,DF= ,在Rt△B′DF中,由勾股定理即可求得B′F的长,进而得出BF的长.
【解答】解:根据折叠的性质可知CD=AC=3,B′C=BC=4,∠ACE=∠DCE,∠BCF=∠B′CF,CE⊥AB,
∴B′D=4﹣3=1,∠DCE+∠B′CF=∠ACE+∠BCF,
∵∠ACB=90°,
∴∠ECF=45°,
∴△ECF是等腰直角三角形,
∴EF=CE,∠EFC=45°,
∴∠BFC=∠B′FC=135°,
∴∠B′FD=90°,
∵S△ABC= AC•BC= AB•CE,
∴AC•BC=AB•CE,
∵根据勾股定理求得AB=5,
∴CE= ,
∴EF= ,ED=AE= ,
∴DF=EF﹣ED= ,
∴B′F= .
∴BF=B'F= ,
故选B.
【点评】此题主要考查了翻折变换,等腰三角形的判定和性质,勾股定理的应用等,根据折叠的性质求得相等的相等相等的角是本题的关键.

二、填空题(每题3分,共30分)
9.在实数1.732, 中,无理数的个数为2.
【考点】无理数.
【分析】无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念,一定要同时理解有理数的概念,有理数是整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数,而无限不循环小数是无理数.由此即可判定选择项.
【解答】解: , 是无理数,
故答案为:2.
【点评】此题主要考查了无理数的定义,其中初中范围内学习的无理数有:π,2π等;开方开不尽的数;以及像0.1010010001…,等有这样规律的数.

10.一个等腰三角形的一个角为50°,则它的顶角的度数是50°或80°.
【考点】等腰三角形的性质;三角形内角和定理.
【分析】等腰三角形一内角为50°,没说明是顶角还是底角,所以有两种情况.
【解答】解:(1)当50°角为顶角,顶角度数即为50°;

(2)当50°为底角时,顶角=180°﹣2×50°=80°.
故填50°或80°.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理;若题目中没有明确顶角或底角的度数,做题时要注意分情况进行讨论,这是十分重要的,也是解答问题的关键.

11.一次函数y=﹣2x+1的图象一定不经过第三象限.
【考点】一次函数图象与系数的关系.
【专题】数形结合.
【分析】根据了一次函数与系数的关系可判断一次函数y=﹣2x+1的图象经过第一、二、四象限.
【解答】解:∵k=﹣2<0,
∴一次函数y=﹣2x+1的图象经过第二、四象限;
∵b=1>0,
∴一次函数y=﹣2x+1的图象与y轴的交点在x轴上方,
∴一次函数y=﹣2x+1的图象经过第一、二、四象限,不经过第三象限.
故答案为三.
【点评】本题考查了一次函数与系数的关系:由于y=kx+b与y轴交于(0,b),当b>0时,(0,b)在y轴的正半轴上,直线与y轴交于正半轴;当b<0时,(0,b)在y轴的负半轴,直线与y轴交于负半轴.k>0,b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限;k>0,b<0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限;k<0,b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限;k<0,b<0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限.

12.如图,在3×3的正方形网格中有四个格点,A、B、C、D,以其中一点为原点,网格线所在直线为坐标轴,建立平面直角坐标系,使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称,则原点是B点.
 
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标.
【分析】以每个点为原点,确定其余三个点的坐标,找出满足条件的点,得到答案.
【解答】解:当以点B为原点时,
A(﹣1,﹣1),C(1,﹣1),
则点A和点C关于y轴对称,符合条件.
故答案为:B点.
【点评】本题考查的是关于x轴、y轴对称的点的坐标和坐标确定位置,掌握平面直角坐标系内点的坐标的确定方法和对称的性质是解题的关键.

13.如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC,交AC于点D,且AD=2,BC=5,则△BCD的面积是5.
 
【考点】角平分线的性质.
【分析】首先作DE⊥BC,利用角平分线的性质可得DE=DA=2,利用三角形的面积公式可得结果.
【解答】解:过点D作DE⊥BC,
∵BD平分∠ABC,∠A=90°,
∴DE=DA=2,
∴S△BCD= = =5.
故答案为:5.
 
【点评】本题主要考查了角平分线的性质,作出恰当的辅助线是解答此题的关键.

14.一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图,则kx+b>x+a的解集是x<﹣2.
 
【考点】一次函数与一元一次不等式.
【专题】整体思想.
【分析】把x=﹣2代入y1=kx+b与y2=x+a,由y1=y2得出 =2,再求不等式的解集.
【解答】解:把x=﹣2代入y1=kx+b得,
y1=﹣2k+b,
把x=﹣2代入y2=x+a得,
y2=﹣2+a,
由y1=y2,得:﹣2k+b=﹣2+a,
解得 =2,
解kx+b>x+a得,
(k﹣1)x>a﹣b,
∵k<0,
∴k﹣1<0,
解集为:x< ,
∴x<﹣2.
故答案为:x<﹣2.
【点评】本题主要考查一次函数和一元一次不等式,本题的关键是求出 =2,把 看作整体求解集.

15.如图,AB=AC=AD,∠BAD=80°,则∠BCD的大小是140°.
 
【考点】等腰三角形的性质.
【分析】在△ABC中可得∠BCA= (180°﹣∠BAC),在△ACD中可得∠DCA= (180°﹣∠CAD),结合条件,两式相加可求得∠BCD的大小.
【解答】解:∵AB=AC=AD,
∴∠BCA=∠B= (180°﹣∠BAC),∠DCA=∠D= (180°﹣∠CAD),
∴∠BCD=∠BCA+∠DCA= (180°﹣∠BAC)+ (180°﹣∠CAD)=180°﹣ (∠BAC+∠CAD)=180°﹣ ∠BAD=180°﹣40°=140°,
故答案为:140°.
【点评】本题主要考查等角三角形的性质及三角形内角和定理,掌握等边对等角和三角形内角和为180°是解题的关键.

16.若关于x的方程 + =2的解为正数,则m的取值范围是m<6且m≠0.
【考点】分式方程的解.
【分析】首先解方程求得方程的解,根据方程的解是正数,即可得到一个关于m的不等式,从而求得m的范围.
【解答】解:∵关于x的方程 + =2有解,
∴x﹣2≠0,
∴x≠2,
去分母得:2﹣x﹣m=2(x﹣﹣2),
即x=2﹣ ,
根据题意得:2﹣ >0且2﹣ ≠2,
解得:m<6且m≠0.
故答案是:m<6且m≠0.
【点评】本题主要考查了分式方程的解的符号的确定,正确求解分式方程是解题的关键.

17.已知一次函数y=kx+b,若3k﹣b=2,则它的图象一定经过的定点坐标为(﹣3,﹣2).
【考点】一次函数图象上点的坐标特征.
【分析】把一次函数解析式转化为y=k(x+3)+2,可知点(﹣3,﹣2)在直线上,且与系数无关.
【解答】解:∵3k﹣b=2,
∴b=3k﹣2,
∴y=kx+b=kx+3k﹣2=k(x+3)﹣2,
∴函数一定过点(﹣3,﹣2),
故答案为(﹣3,﹣2).
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征,是基础题型.

18.如图,在直角坐标系中,点A、B的坐标分别为(2,4)和(3、0)点C是y轴上的一个动点,且A、B、C三点不在同一条直线上,在运动的过程中,当△ABC是以AB为底的等腰三角形时,此时点C的坐标为(0, ).
 
【考点】等腰三角形的判定;坐标与图形性质.
【分析】根据等腰三角形的判定,可得AC=BC,根据解方程,可得C点的坐标.
【解答】解:设C点坐标为(0,a),当△ABC是以AB为底的等腰三角形时,BC=AC,平方,得
BC2=AC2,22+(4﹣a)2=32+a2,
化简,得8a=11,
解得a= ,
故点C的坐标为(0, ),
故答案为(0, ).
【点评】本题考查了一次函数综合题,(1)利用了待定系数法求函数解析式;(2)利用了线段垂直平分线的性质,两点之间线段最短;(3)利用了等腰三角形的判定.

三、解答题:(10个小题,共96分)
19.(1)计算:
(2)求x的值:25(x+2)2﹣36=0.
【考点】实数的运算;平方根.
【专题】计算题;实数.
【分析】(1)原式利用立方根的定义及绝对值的代数意义化简,计算即可得到结果;
(2)方程整理后,利用平方根定义开方即可求出解.
【解答】解:(1)原式=1﹣2+ ﹣ +1+ = ;
(2)方程整理得:(x+2)2= ,
开方得:x+2=± ,
解得:x1=﹣ ,x2=﹣ .
【点评】此题考查了实数的运算,以及平方根,熟练掌握运算法则是解本题的关键.

20.解分式方程:
(1) =1
(2)2﹣ .
【考点】解分式方程.
【分析】(1)观察可得最简公分母是(x+3)(x﹣3),方程两边乘最简公分母,可以把分式方程转化为整式方程求解.
(2)观察可得最简公分母是(x﹣2),方程两边乘最简公分母,可以把分式方程转化为整式方程求解.
【解答】解:(1)方程的两边同乘(x+3)(x﹣3),得
3+x(x+3)=(x+3)(x﹣3),
解得x=﹣4.
检验:把x=﹣4代入(x+3)(x﹣3)=7≠0.
故原方程的解为:x=﹣4;
(2)原方程可化为:2+ = ,
方程的两边同乘(x﹣2),得
2(x﹣2)+1=3﹣x,
解得x=2.
检验:把x=2代入(x+3)(x﹣3)=﹣5≠0.
均原方程的解为:x=2.
【点评】本题考查了解分式方程,(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.
(2)解分式方程一定注意要验根.

21.先化简: ,然后从﹣2≤x≤2的范围内选择一个合适的整数作为x的值代入求值.
【考点】分式的化简求值.
【专题】计算题;分式.
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算,约分后利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果,把x=﹣2代入计算即可求出值.
【解答】解:原式= • ﹣ = ﹣ = ,
当x=﹣2时,原式= =7.
【点评】此题考查了分式的化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.

22.春节前夕,某商店根据市场调查,用2000元购进第一批盒装花,上市后很快售完,接着又用4200元购进第二批这种盒装花.已知第二批所购的盒数是第一批所购花盒数的3倍,且每盒花的进价比第一批的进价少6元.求第一批盒装花每盒的进价.
【考点】分式方程的应用.
【分析】设第一批盒装花每盒的进价为x元,根据第二批所购的盒数是第一批所购花盒数的3倍,每盒花的进价比第一批的进价少6元,列出方程求解即可.
【解答】解:设第一批盒装花每盒的进价为x元,根据题意列方程得:
 = ,
解得:x=20,
经检验:x=20是原方程的根;
答:第一批盒装花每盒的进价是20元.
【点评】本题考查分式方程的应用,分析题意,找到合适的等量关系,列出方程是解决问题的关键;注意分式方程要检验.

23.如图,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,CE⊥AB,AE=CE.求证:
(1)△AEF≌△CEB;
(2)AF=2CD.
 
【考点】全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质.
【专题】证明题.
【分析】(1)由AD⊥BC,CE⊥AB,易得∠AFE=∠B,利用全等三角形的判定得△AEF≌△CEB;
(2)由全等三角形的性质得AF=BC,由等腰三角形的性质“三线合一”得BC=2CD,等量代换得出结论.
【解答】证明:(1)∵AD⊥BC,CE⊥AB,
∴∠BCE+∠CFD=90°,∠BCE+∠B=90°,
∴∠CFD=∠B,
∵∠CFD=∠AFE,
∴∠AFE=∠B
在△AEF与△CEB中,
 ,
∴△AEF≌△CEB(AAS);

(2)∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BC=2CD,
∵△AEF≌△CEB,
∴AF=BC,
∴AF=2CD.
【点评】本题主要考查了全等三角形性质与判定,等腰三角形的性质,运用等腰三角形的性质是解答此题的关键.

24.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是△ABC的一条角平分线.点O、E、F分别在BD、BC、AC上,且四边形OECF是正方形.
(1)求证:点O在∠BAC的平分线上;
(2)若AC=5,BC=12,求OE的长.
 
【考点】角平分线的性质;全等三角形的判定与性质;正方形的性质.
【分析】(1)过点O作OM⊥AB,由角平分线的性质得OE=OM,由正方形的性质得OE=OF,易得OM=OF,由角平分线的判定定理得点O在∠BAC的平分线上;
(2)由勾股定理得AB的长,利用方程思想解得结果.
【解答】(1)证明:过点O作OM⊥AB,
∵BD是∠ABC的一条角平分线,
∴OE=OM,
∵四边形OECF是正方形,
∴OE=OF,
∴OF=OM,
∴AO是∠BAC的角平分线,即点O在∠BAC的平分线上;

(2)解:∵在Rt△ABC中,AC=5,BC=12,
∴AB= = =13,
设CE=CF=x,BE=BM=y,AM=AF=z,
∴ ,
解得: ,
∴CE=2,
∴OE=2.
 
【点评】本题主要考查了正方形的性质,以及角平分线定理及性质,熟练掌握正方形的性质,运用方程思想是解本题的关键.

25.如图,一次函数y=﹣x+m的图象和y轴交于点B,与正比例函数y= x图象交于点P(2,n).
(1)求m和n的值;
(2)求△POB的面积.
 
【考点】两条直线相交或平行问题;二元一次方程组的解.
【专题】计算题;代数几何综合题.
【分析】(1)先把P(2,n)代入y= x即可得到n的值,从而得到P点坐标为(2,3),然后把P点坐标代入y=﹣x+m可计算出m的值;
(2)先利用一次函数解析式确定B点坐标,然后根据三角形面积公式求解.
【解答】解:(1)把P(2,n)代入y= x得n=3,
所以P点坐标为(2,3),
把P(2,3)代入y=﹣x+m得﹣2+m=3,解得m=5,
即m和n的值分别为5,3;

(2)把x=0代入y=﹣x+5得y=5,
所以B点坐标为(0,5),
所以△POB的面积= ×5×2=5.
【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题:若直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2平行,则k1=k2;若直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2相交,则由两解析式所组成的方程组的解为交点坐标.

26.如图,在边长为4的正方形ABCD中,请画出以A为一个顶点,另外两个顶点在正方形ABCD的边上,且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形.(要求:只要画出示意图,并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3)
 
【考点】作图—应用与设计作图;等腰三角形的判定;勾股定理;正方形的性质.
【专题】作图题.
【分析】①以A为圆心,以3为半径作弧,交AD、AB两点,连接即可;②连接AC,在AC上,以A为端点,截取1.5个单位,过这个点作AC的垂线,交AD、AB两点,连接即可;③以A为端点在AB上截取3个单位,以截取的点为圆心,以3个单位为半径画弧,交BC一个点,连接即可;④连接AC,在AC上,以C为端点,截取1.5个单位,过这个点作AC的垂线,交BC、DC两点,然后连接A与这两个点即可;⑤以A为端点在AB上截取3个单位,再作着个线段的垂直平分线交CD一点,连接即可.
【解答】解:满足条件的所有图形如图所示:
    
【点评】此题主要考查了作图﹣应用与设计作图,关键是掌握等腰三角形的判定方法.

27.如图,P为正方形ABCD的边BC上一动点(P与B、C不重合),连接AP,过点B作BQ⊥AP交CD于点Q,将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′,延长QC′交BA的延长线于点M.
(1)试探究AP与BQ的数量关系,并证明你的结论;
(2)当AB=3,BP=2PC,求QM的长;
(3)当BP=m,PC=n时,求AM的长.
 
【考点】四边形综合题;全等三角形的判定与性质;勾股定理;正方形的性质;轴对称的性质.
【专题】综合题;压轴题.
【分析】(1)要证AP=BQ,只需证△PBA≌△QCB即可;
(2)过点Q作QH⊥AB于H,如图.易得QH=BC=AB=3,BP=2,PC=1,然后运用勾股定理可求得AP(即BQ)= ,BH=2.易得DC∥AB,从而有∠CQB=∠QBA.由折叠可得∠C′QB=∠CQB,即可得到∠QBA=∠C′QB,即可得到MQ=MB.设QM=x,则有MB=x,MH=x﹣2.在Rt△MHQ中运用勾股定理就可解决问题;
(3)过点Q作QH⊥AB于H,如图,同(2)的方法求出QM的长,就可得到AM的长.
【解答】解:(1)AP=BQ.
理由:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABC=∠C=90°,
∴∠ABQ+∠CBQ=90°.
∵BQ⊥AP,∴∠PAB+∠QBA=90°,
∴∠PAB=∠CBQ.
在△PBA和△QCB中,
 ,
∴△PBA≌△QCB,
∴AP=BQ;

(2)过点Q作QH⊥AB于H,如图.
∵四边形ABCD是正方形,
∴QH=BC=AB=3.
∵BP=2PC,
∴BP=2,PC=1,
∴BQ=AP= = = ,
∴BH= = =2.
∵四边形ABCD是正方形,
∴DC∥AB,
∴∠CQB=∠QBA.
由折叠可得∠C′QB=∠CQB,
∴∠QBA=∠C′QB,
∴MQ=MB.
设QM=x,则有MB=x,MH=x﹣2.
在Rt△MHQ中,
根据勾股定理可得x2=(x﹣2)2+32,
解得x= .
∴QM的长为 ;

(3)过点Q作QH⊥AB于H,如图.
∵四边形ABCD是正方形,BP=m,PC=n,
∴QH=BC=AB=m+n.
∴BQ2=AP2=AB2+PB2,
∴BH2=BQ2﹣QH2=AB2+PB2﹣AB2=PB2,
∴BH=PB=m.
设QM=x,则有MB=QM=x,MH=x﹣m.
在Rt△MHQ中,
根据勾股定理可得x2=(x﹣m)2+(m+n)2,
解得x=m+n+ ,
∴AM=MB﹣AB=m+n+ ﹣m﹣n= .
∴AM的长为 .
 
【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称的性质等知识,设未知数,然后运用勾股定理建立方程,是求线段长度常用的方法,应熟练掌握.

28.小亮和小刚进行赛跑训练,他们选择了一个土坡,按同一路线同时出发,从坡脚跑到坡顶再原路返回坡脚.他们俩上坡的平均速度不同,下坡的平均速度则是各自上坡平均速度的1.5倍.设两人出发x min后距出发点的距离为y m.图中折线表示小亮在整个训练中y与x的函数关系,其中A点在x轴上,M点坐标为(2,0).
(1)A点所表示的实际意义是小亮出发 分钟回到了出发点; = ;
(2)求出AB所在直线的函数关系式;
(3)如果小刚上坡平均速度是小亮上坡平均速度的一半,那么两人出发后多长时间第一次相遇?
 
【考点】一次函数的应用.
【分析】(1)根据已知M点的坐标进而得出上坡速度,再利用已知下坡的平均速度则是各自上坡平均速度的1.5倍,得出下坡速度以及下坡所用时间,进而得出A点实际意义和OM,AM的长度,即可得出答案;
(2)根据A,B两点坐标进而利用待定系数法求出一次函数解析式即可;
(3)根据小刚上坡平均速度是小亮上坡平均速度的一半首先求出小刚的上坡的平均速度,进而利用第一次相遇两人中小刚在上坡,小亮在下坡,即可得出小亮返回时两人速度之和为:120+360=480(m/min),进而求出所用时间即可.
【解答】解:(1)根据M点的坐标为(2,0),则小亮上坡速度为: =240(m/min),则下坡速度为:240×1.5=360(m/min),
故下坡所用时间为: = (分钟),
故A点横坐标为:2+ = ,纵坐标为0,得出实际意义:小亮出发 分钟回到了出发点;
 = = .
故答案为:小亮出发 分钟回到了出发点; .

(2)由(1)可得A点坐标为( ,0),
设y=kx+b,将B(2,480)与A( ,0)代入,得:
 ,
解得 .
所以y=﹣360x+1200.

(3)小刚上坡的平均速度为240×0.5=120(m/min),
小亮的下坡平均速度为240×1.5=360(m/min),
由图象得小亮到坡顶时间为2分钟,此时小刚还有480﹣2×120=240m没有跑完,两人第一次相遇时间为2+240÷(120+360)=2.5(min).(或求出小刚的函数关系式y=120x,再与y=﹣360x+1200联立方程组,求出x=2.5也可以.)
【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式和利用图象联系实际问题,根据已知得出两人的行驶速度是解题关键.
 


章 来源莲山课件 ww w.
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