2016学年八年级数学下期末试卷(北京市东城区有答案和解释)

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2016学年八年级数学下期末试卷(北京市东城区有答案和解释)

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2015-2016学年北京市东城区八年级(下)期末数学试卷
 
一、选择题(本题共30分,每小题3分)下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的
1.下列四组线段中,可以构成直角三角形的是(  )
A.1, ,  B.2,3,4 C.1,2,3 D.4,5,6
2.某地需要开辟一条隧道,隧道AB的长度无法直接测量.如图所示,在地面上取一点C,使点C均可直接到达A,B两点,测量找到AC和BC的中点D,E,测得DE的长为1100m,则隧道AB的长度为(  )
 
A.3300m B.2200m C.1100m D.550m
3.平行四边形ABCD 中,有两个内角的比为1:2,则这个平行四边形中较小的内角是(  )
A.45° B.60° C.90° D.120°
4.在“我的中国梦”演讲比赛中,有5名学生参加决赛,他们决赛的最终成绩各不相同.其中的一名学生想要知道自己能否进入前3名,不仅要了解自己的成绩,还要了解这5名学生成绩的(  )
A.中位数 B.众数 C.平均数 D.方差
5.一次函数y=﹣ x+1的图象不经过的象限是(  )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
6.已知一元二次方程x2﹣6x+c=0有一个根为2,则另一根为(  )
A.2 B.3 C.4 D.8
7.已知菱形的两条对角线的长分别是6和8,则菱形的周长是(  )
A.36 B.30 C.24 D.20
8.关于x的一元二次方程(a﹣5)x2﹣4x﹣1=0有实数根,则a满足(  )
A.a≥1 B.a>1且a≠5 C.a≥1且a≠5 D.a≠5
9.如图,函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(m,3),则不等式2x≥ax+4的解集为(  )
 
A.x≥  B.x≤3 C.x≤  D.x≥3
10.如图,大小两个正方形在同一水平线上,小正方形从图①的位置开始,匀速向右平移,到图③的位置停止运动.如果设运动时间为x,大小正方形重叠部分的面积为y,则下列图象中,能表示y与x的函数关系的图象大致是(  )
 
A.  B.  C.  D.
 
二、填空题:(本题共24分,每小题3分)
11.写出一个图象经过一,三象限的正比例函数y=kx(k≠0)的解析式(关系式)  .
12.甲乙两人8次射击的成绩如图所示(单位:环)根据图中的信息判断,这8次射击中成绩比较稳定的是  (填“甲”或“乙”)
 
13.方程x2﹣2x=0的根是  .
14.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,若CD=6cm,则EF=  cm.
 
15.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题:“今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺.引葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长各几何?”这个数学问题的意思是说:“有一个水池,水面是一个边长为1丈(1丈=10尺)的正方形,在水池正中央长有一根芦苇,芦苇露出水面 1 尺.如果把这根芦苇拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少?”设这个水池的深度是x尺,根据题意,可列方程为  .
 
16.如图,在平面直角坐标系xOy中,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(﹣3,0),(2,0),点D在y轴上,则点C的坐标是  .
 
17.如图,沿折痕AE折叠矩形ABCD的一边,使点D落在BC边上一点F处.若AB=8,且△ABF的面积为24,则EC的长为  .
 
18.在数学课上,老师提出如下问题:
如图1,将锐角三角形纸片ABC(BC>AC)经过两次折叠,得到边AB,BC,CA上的点D,E,F.使得四边形DECF恰好为菱形.
小明的折叠方法如下:
如图2,(1)AC边向BC边折叠,使AC边落在BC边上,得到折痕交AB于D; (2)C点向AB边折叠,使C点与D点重合,得到折痕交BC边于E,交AC边于F.
老师说:“小明的作法正确.”
请回答:小明这样折叠的依据是  .
 
 
三、解方程:(本题共8分,每小题8分)
19.解方程:
(1)2x2﹣3x+1=0.
(2)x2﹣8x+1=0.(用配方法)
 
四、解答题:(本题共18分,21-22每小题4分,23-24每小题4分)
20.某乡镇企业生产部有技术工人15人,生产部为了合理制定产品的每月生产定额,统计了这15人某月的加工零件个数.(如下表)
每人加工零件数 54 45 30 24 21 12
人  数 1 1 2 6 3 2
(1)写出这15人该月加工零件数的平均数、中位数和众数;
(2)假设生产部负责人把每位工人的月加工零件数定为24件,你认为是否合理?为什么?如果不合理,请你设计一个较为合理的生产定额,并说明理由.
21.某地区2014年投入教育经费2500万元,2016年投入教育经费3025万元,求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率.
22.如图,已知E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的点,且BE=DF.
(1)求证:四边形AECF是平行四边形;
(2)若BC=10,∠BAC=90°,且四边形AECF是菱形,求BE的长.
 
23.如图,直线AB与x轴交于点A(1,0),与y轴交于点B(0,﹣2).
(1)求直线AB的解析式;
(2)若直线AB上的点C在第一象限,且S△BOC=2,求点C的坐标.
 
 
五、解答题:(本大题共20分,25-26题每题6分,27题8分)
24.在数学兴趣小组活动中,小明进行数学探究活动.将边长为2的正方形ABCD与边长为3的正方形AEFG按图1位置放置,AD与AE在同一条直线上,AB与AG在同一条直线上.
(1)小明发现DG=BE且DG⊥BE,请你给出证明.
(2)如图2,小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转,当点B恰好落在线段DG上时,请你帮他求出此时△ADG的面积.
 
25.已知:关于x的一元二次方程ax2﹣2(a﹣1)x+a﹣2=0(a>0).
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)设方程的两个实数根分别为x1,x2(其中x1>x2).若y是关于a的函数,且y=ax2•x1,求这个函数的表达式;
(3)将(2)中所得的函数的图象在直线a=2的左侧部分沿直线a=2翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象.请你结合这个新的图象直接写出:当关于a的函数y=2a+b的图象与此图象有两个公共点时,b的取值范围是  .
 
26.如图,将矩形ABCD置于平面直角坐标系中,其中AD边在x轴上,AB=2,直线MN:y=x﹣4沿x轴的负方向以每秒1个单位的长度平移,设在平移过程中该直线被矩形ABCD的边截得的线段长度为m,平移时间为t,m与t的函数图象如图2所示.
(1)点A的坐标为  ,矩形ABCD的面积为  ;
(2)求a,b的值;
(3)在平移过程中,求直线MN扫过矩形ABCD的面积S与t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围.
 
 
 

2015-2016学年北京市东城区八年级(下)期末数学试卷
参考答案与试题解析
 
一、选择题(本题共30分,每小题3分)下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的
1.下列四组线段中,可以构成直角三角形的是(  )
A.1, ,  B.2,3,4 C.1,2,3 D.4,5,6
【考点】勾股定理的逆定理.
【分析】求出两小边的平方和、最长边的平方,看看是否相等即可.
【解答】解:A、∵12+( )2=( )2,
∴以1、 、 为边组成的三角形是直角三角形,故本选项正确;
B、∵22+32≠42,
∴以2、3、4为边组成的三角形不是直角三角形,故本选项错误;
C、∵12+22≠32,
∴以1、2、3为边组成的三角形不是直角三角形,故本选项错误;
D、∵42+52≠62,
∴以4、5、6为边组成的三角形不是直角三角形,故本选项错误;
故选A.
 
2.某地需要开辟一条隧道,隧道AB的长度无法直接测量.如图所示,在地面上取一点C,使点C均可直接到达A,B两点,测量找到AC和BC的中点D,E,测得DE的长为1100m,则隧道AB的长度为(  )
 
A.3300m B.2200m C.1100m D.550m
【考点】三角形中位线定理.
【分析】根据三角形中位线定理得到AB=2DE,计算即可.
【解答】解:∵D,E为AC和BC的中点,
∴AB=2DE=2200m,
故选:B.
 
3.平行四边形ABCD 中,有两个内角的比为1:2,则这个平行四边形中较小的内角是(  )
A.45° B.60° C.90° D.120°
【考点】平行四边形的性质.
【分析】根据平行四边形的性质可知,平行四边形的对角相等,邻角互补,故该平行四边形的四个角的比值为1:2:1:2,所以可以计算出平行四边形的各个角的度数.
【解答】解:根据平行四边形的相邻的两个内角互补知,设较小的内角的度数为X,
则有:x+2x=180°
∴x=60°,
即较小的内角是60°
故选B.
 
4.在“我的中国梦”演讲比赛中,有5名学生参加决赛,他们决赛的最终成绩各不相同.其中的一名学生想要知道自己能否进入前3名,不仅要了解自己的成绩,还要了解这5名学生成绩的(  )
A.中位数 B.众数 C.平均数 D.方差
【考点】统计量的选择.
【分析】由于比赛取前3名进入决赛,共有5名选手参加,故应根据中位数的意义分析.
【解答】解:因为5位进入决赛者的分数肯定是5名参赛选手中最高的,
而且5个不同的分数按从小到大排序后,中位数及中位数之前的共有3个数,
故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否进入决赛了,
故选:A.
 
5.一次函数y=﹣ x+1的图象不经过的象限是(  )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【考点】一次函数图象与系数的关系.
【分析】根据一次函数y=﹣ x+1中k=﹣ <0,b=1>0,判断出函数图象经过的象限,即可判断出一次函数y=﹣ x+1的图象不经过的象限是哪个.
【解答】解:∵一次函数y=﹣ x+1中k=﹣ <0,b=1>0,
∴此函数的图象经过第一、二、四象限,
∴一次函数y=﹣ x+1的图象不经过的象限是第三象限.
故选:C.
 
6.已知一元二次方程x2﹣6x+c=0有一个根为2,则另一根为(  )
A.2 B.3 C.4 D.8
【考点】根与系数的关系.
【分析】利用根与系数的关系来求方程的另一根.
【解答】解:设方程的另一根为α,则α+2=6,
解得α=4.
故选C.
 
7.已知菱形的两条对角线的长分别是6和8,则菱形的周长是(  )
A.36 B.30 C.24 D.20
【考点】菱形的性质.
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质,利用对角线的一半,根据勾股定理求出菱形的边长,再根据菱形的四条边相等求出周长即可.
【解答】解:如图所示,
根据题意得AO= ×8=4,BO= ×6=3,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=DA,AC⊥BD,
∴△AOB是直角三角形,
∴AB= =5,
∴此菱形的周长为:5×4=20.
故选:D.
 
8.关于x的一元二次方程(a﹣5)x2﹣4x﹣1=0有实数根,则a满足(  )
A.a≥1 B.a>1且a≠5 C.a≥1且a≠5 D.a≠5
【考点】根的判别式.
【分析】由方程有实数根可知根的判别式b2﹣4ac≥0,结合二次项的系数非零,可得出关于a一元一次不等式组,解不等式组即可得出结论.
【解答】解:由已知得: ,
解得:a≥1且a≠5.
故选C.
 
9.如图,函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(m,3),则不等式2x≥ax+4的解集为(  )
 
A.x≥  B.x≤3 C.x≤  D.x≥3
【考点】一次函数与一元一次不等式.
【分析】将点A(m,3)代入y=2x得到A的坐标,再根据图形得到不等式的解集.
【解答】解:将点A(m,3)代入y=2x得,2m=3,
解得,m= ,
∴点A的坐标为( ,3),
∴由图可知,不等式2x≥ax+4的解集为x≥ .
故选:A.
 
10.如图,大小两个正方形在同一水平线上,小正方形从图①的位置开始,匀速向右平移,到图③的位置停止运动.如果设运动时间为x,大小正方形重叠部分的面积为y,则下列图象中,能表示y与x的函数关系的图象大致是(  )
 
A.  B.  C.  D.
【考点】动点问题的函数图象.
【分析】小正方形运动过程中,y与x的函数关系为分段函数,即当0≤x<完全重叠前,函数为为增函数;当完全重叠时,函数为平行于x轴的线段;当不再完全重叠时,函数为为减函数.即按照自变量x分为三段.
【解答】解:依题意,阴影部分的面积函数关系式是分段函数,
面积由“增加→不变→减少”变化.
故选:C.
 
二、填空题:(本题共24分,每小题3分)
11.写出一个图象经过一,三象限的正比例函数y=kx(k≠0)的解析式(关系式) y=2x .
【考点】正比例函数的性质.
【分析】根据正比例函数y=kx的图象经过一,三象限,可得k>0,写一个符合条件的数即可.
【解答】解:∵正比例函数y=kx的图象经过一,三象限,
∴k>0,
取k=2可得函数关系式y=2x.
故答案为:y=2x.
 
12.甲乙两人8次射击的成绩如图所示(单位:环)根据图中的信息判断,这8次射击中成绩比较稳定的是 甲 (填“甲”或“乙”)
 
【考点】方差;折线统计图.
【分析】根据方差的意义:方差反映了一组数据的波动大小,方差越大,波动性越大,反之也成立.观察图中的信息可知小华的方差较小,故甲的成绩更加稳定.
【解答】解:由图表明乙这8次成绩偏离平均数大,即波动大,而甲这8次成绩,分布比较集中,各数据偏离平均小,方差小,
则S甲2<S乙2,即两人的成绩更加稳定的是甲.
故答案为:甲.
 
13.方程x2﹣2x=0的根是 x1=0,x2=2 .
【考点】解一元二次方程-因式分解法.
【分析】因为x2﹣2x可提取公因式,故用因式分解法解较简便.
【解答】解:因式分解得x(x﹣2)=0,
解得x1=0,x2=2.
故答案为x1=0,x2=2.
 
14.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,若CD=6cm,则EF= 6 cm.
 
【考点】三角形中位线定理;直角三角形斜边上的中线.
【分析】首先根据在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半可得AB=2CD=12cm,再根据中位线的性质可得EF= AB=6cm.
【解答】解:∵∠ACB=90°,D为AB中点,
∴AB=2CD,
∵CD=6cm,
∴AB=12cm,
∵E、F分别是BC、CA的中点,
∴EF= AB=6cm,
故答案为:6.
 
15.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题:“今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺.引葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长各几何?”这个数学问题的意思是说:“有一个水池,水面是一个边长为1丈(1丈=10尺)的正方形,在水池正中央长有一根芦苇,芦苇露出水面 1 尺.如果把这根芦苇拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少?”设这个水池的深度是x尺,根据题意,可列方程为 x2+52=(x+1)2 .
 
【考点】勾股定理的应用.
【分析】首先设水池的深度为x尺,则这根芦苇的长度为(x+1)尺,根据勾股定理可得方程x2+52=(x+1)2,再解即可.
【解答】解:设水池的深度为x尺,由题意得:
x2+52=(x+1)2,
解得:x=12,
则x+1=13,
答:水深12尺,芦苇长13尺,
故答案为:x2+52=(x+1)2.
 
16.如图,在平面直角坐标系xOy中,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(﹣3,0),(2,0),点D在y轴上,则点C的坐标是 (5,4) .
 
【考点】菱形的性质;坐标与图形性质.
【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长,进而求出C点坐标.
【解答】解:∵菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(﹣3,0),(2,0),点D在y轴上,
∴AB=5,
∴DO=4,
∴点C的坐标是:(5,4).
故答案为:(5,4).
 
17.如图,沿折痕AE折叠矩形ABCD的一边,使点D落在BC边上一点F处.若AB=8,且△ABF的面积为24,则EC的长为 3 .
 
【考点】翻折变换(折叠问题);矩形的性质.
【分析】先依据△ABF的面积为24,求出BF的长,再根据勾股定理求出AF,也就是BC的长,接下来,求得CF的长,设EC=x,则FE=DE=8﹣x,在△EFC中,依据勾股定理列出关于x的方程,从而可求得EC的长.
【解答】解:∵AB=8,S△ABF=24
∴BF=6.
∵在Rt△ABF中,AF= =10,
∴AD=AF=BC=10
∴CF=10﹣6=4
设EC=x,则EF=DE=8﹣x.
在Rt△ECF中,EF2=CF2+CE2,即(8﹣x)2=x2+42,解得,x=3.
∴CE=3.
故答案为:3.
 
18.在数学课上,老师提出如下问题:
如图1,将锐角三角形纸片ABC(BC>AC)经过两次折叠,得到边AB,BC,CA上的点D,E,F.使得四边形DECF恰好为菱形.
小明的折叠方法如下:
如图2,(1)AC边向BC边折叠,使AC边落在BC边上,得到折痕交AB于D; (2)C点向AB边折叠,使C点与D点重合,得到折痕交BC边于E,交AC边于F.
老师说:“小明的作法正确.”
请回答:小明这样折叠的依据是 CD和EF是四边形DECF对角线,而CD和EF互相垂直且平分(答案不唯一) .
 
【考点】菱形的判定;翻折变换(折叠问题).
【分析】根据折叠的性质得到CD和EF互相垂直且平分,结合菱形的判定定理“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”证得结论.
【解答】解:如图,连接DF、DE.
根据折叠的性质知,CD⊥EF,且OD=OC,OE=OF.
则四边形DECF恰为菱形.
故答案是:CD和EF是四边形DECF对角线,而CD和EF互相垂直且平分(答案不唯一).
 
 
三、解方程:(本题共8分,每小题8分)
19.解方程:
(1)2x2﹣3x+1=0.
(2)x2﹣8x+1=0.(用配方法)
【考点】解一元二次方程-因式分解法;解一元二次方程-配方法.
【分析】(1)先分解因式,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可;
(2)移项,配方,开方,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可.
【解答】解:(1)2x2﹣3x+1=0,
(2x﹣1)(x﹣1)=0,
2x﹣1=0,x﹣1=0,
x1= ,x2=1;

(2)x2﹣8x+1=0,
x2﹣8x=﹣1,
x2﹣8x+16=﹣1+16,
(x﹣4)2=15,
x﹣4=± ,
x1=4+ ,x2=4﹣ .
 
四、解答题:(本题共18分,21-22每小题4分,23-24每小题4分)
20.某乡镇企业生产部有技术工人15人,生产部为了合理制定产品的每月生产定额,统计了这15人某月的加工零件个数.(如下表)
每人加工零件数 54 45 30 24 21 12
人  数 1 1 2 6 3 2
(1)写出这15人该月加工零件数的平均数、中位数和众数;
(2)假设生产部负责人把每位工人的月加工零件数定为24件,你认为是否合理?为什么?如果不合理,请你设计一个较为合理的生产定额,并说明理由.
【考点】众数;统计表;加权平均数;中位数.
【分析】(1)先根据加权平均数公式即可求得平均数,再将表中的数据按照从大到小的顺序排列,根据中位数和众数的概念求解即可;
(2)应根据(1)中求出的中位数和众数综合考虑.
【解答】解:(1)平均数= = =26(件),
将表中的数据按照从大到小的顺序排列,可得出第8名工人的加工零件数为24件,且零件加工数为24的工人最多,
故中位数为:24件,众数为:24件.
答:这15人该月加工零件数的平均数为26件,中位数为24件,众数为24件.
(2)24件较为合理,24既是众数,也是中位数,且24小于人均零件加工数,是大多数人能达到的定额.
 
21.某地区2014年投入教育经费2500万元,2016年投入教育经费3025万元,求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率.
【考点】一元二次方程的应用.
【分析】一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率),2015年要投入教育经费是2500(1+x)万元,在2015年的基础上再增长x,就是2016年的教育经费数额,即可列出方程求解.
【解答】解:设增长率为x,根据题意2015年为2500(1+x)万元,2016年为2500(1+x)2万元.
则2500(1+x)2=3025,
解得x=0.1=10%,或x=﹣2.1(不合题意舍去).
答:这两年投入教育经费的平均增长率为10%.
 
22.如图,已知E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的点,且BE=DF.
(1)求证:四边形AECF是平行四边形;
(2)若BC=10,∠BAC=90°,且四边形AECF是菱形,求BE的长.
 
【考点】平行四边形的判定与性质;菱形的性质.
【分析】(1)首先由已知证明AF∥EC,BE=DF,推出四边形AECF是平行四边形.(2)由已知先证明AE=BE,即BE=AE=CE,从而求出BE的长.
【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,且AD=BC,
∴AF∥EC,
∵BE=DF,
∴AF=EC,
∴四边形AECF是平行四边形.

(2)解:∵四边形AECF是菱形,
∴AE=EC,
∴∠1=∠2,
∵∠3=90°﹣∠2,∠4=90°﹣∠1,
∴∠3=∠4,
∴AE=BE,
∴BE=AE=CE= BC=5.
 
 
23.如图,直线AB与x轴交于点A(1,0),与y轴交于点B(0,﹣2).
(1)求直线AB的解析式;
(2)若直线AB上的点C在第一象限,且S△BOC=2,求点C的坐标.
 
【考点】待定系数法求一次函数解析式.
【分析】(1)设直线AB的解析式为y=kx+b,将点A(1,0)、点B(0,﹣2)分别代入解析式即可组成方程组,从而得到AB的解析式;
(2)设点C的坐标为(x,y),根据三角形面积公式以及S△BOC=2求出C的横坐标,再代入直线即可求出y的值,从而得到其坐标.
【解答】解:(1)设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0),
∵直线AB过点A(1,0)、点B(0,﹣2),
∴ ,
解得 ,
∴直线AB的解析式为y=2x﹣2.

(2)设点C的坐标为(x,y),
∵S△BOC=2,
∴ •2•x=2,
解得x=2,
∴y=2×2﹣2=2,
∴点C的坐标是(2,2).
 
五、解答题:(本大题共20分,25-26题每题6分,27题8分)
24.在数学兴趣小组活动中,小明进行数学探究活动.将边长为2的正方形ABCD与边长为3的正方形AEFG按图1位置放置,AD与AE在同一条直线上,AB与AG在同一条直线上.
(1)小明发现DG=BE且DG⊥BE,请你给出证明.
(2)如图2,小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转,当点B恰好落在线段DG上时,请你帮他求出此时△ADG的面积.
 
【考点】四边形综合题.
【分析】(1)利用正方形得到条件,判断出△ADG≌△ABE,根据全等三角形的性质即可得到结论;
(2)利用正方形的性质在Rt△AMD中,∠MDA=45°,AD=2从而得出AM=DM= ,在Rt△AMG中,AM2+GM2=AG2从而得出GM= 即可.
【解答】(1)如图1,延长EB交DG于点H,
 
∵四边形ABCD与四边形AEFG是正方形,
∴AD=AB,∠DAG=∠BAE=90°,AG=AE
在△ADG与△ABE中, ,
∴△ADG≌△ABE(SAS),
∴∠AGD=∠AEB,
∵△ADG中∠AGD+∠ADG=90°,
∴∠AEB+∠ADG=90°,
∵△DEH中,∠AEB+∠ADG+∠DHE=180°,
∴∠DHE=90°,
∴DG⊥BE;

(2)如图2,过点A作AM⊥DG交DG于点M,
 
∠AMD=∠AMG=90°,
∵BD是正方形ABCD的对角,
∴∠MDA=45°
在Rt△AMD中,
∵∠MDA=45°,AD=2,
∴AM=DM= ,
在Rt△AMG中,
∵AM2+GM2=AG2
∴GM= ,
∵DG=DM+GM= + ,
∴S△ADG= DG•AM= ( + ) =1+  .
 
25.已知:关于x的一元二次方程ax2﹣2(a﹣1)x+a﹣2=0(a>0).
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)设方程的两个实数根分别为x1,x2(其中x1>x2).若y是关于a的函数,且y=ax2•x1,求这个函数的表达式;
(3)将(2)中所得的函数的图象在直线a=2的左侧部分沿直线a=2翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象.请你结合这个新的图象直接写出:当关于a的函数y=2a+b的图象与此图象有两个公共点时,b的取值范围是 ﹣11<b<﹣5 .
 
【考点】翻折变换(折叠问题);根的判别式;根与系数的关系;一次函数的性质.
【分析】(1)根据一元二次方程的根的判别式判断即可;
(2)先根据一元二次方程的求根公式得出x1,x2,即可得出函数函数关系式;
(3)画出新函数的图形和直线y=2a+b,利用图形和直线与y轴的交点坐标即可得出结论.
【解答】(1)证明:∵ax2﹣2(a﹣1)x+a﹣2=0(a>0)是关于x的一元二次方程,
∴△=[﹣2(a﹣1)]2﹣4a(a﹣2)=4>0,
∴方程ax2﹣2(a﹣1)x+a﹣2=0(a>0)有两个不相等的实数根.


(2)解:由求根公式,得x= = .
∴x=1或x=1﹣ .  
∵a>0,x1>x2,
∴x1=1,x2=1﹣ ,
∴y=ax2•x1=a×(1﹣ )﹣1=a﹣3.
即函数的表达式y=a﹣3(a>0),


(3)解:如图,直线BD刚好和折线CBA只有一个公共点,再向下平移,就和这些CBA有两个公共点,
继续向下平移到直线CE的位置和直线CBA刚好有1个公共点,再向下平移和这些CBA也只有一个公共点,
由(2)知,函数的表达式y=a﹣3(a>0),
当a=2时,y=2﹣3=﹣1,
∴B(2,﹣1),
由折叠得,C(4,﹣3),
当函数y=2a+b的图象过点B时,
∴﹣1=2×2+b,
∴b=﹣5,
当函数y=2a+b的图象过点C时,
∴﹣3=2×4+b,
∴b=﹣11,
∴﹣11<b<﹣5.
故答案为:﹣11<b<﹣5.
 
 
26.如图,将矩形ABCD置于平面直角坐标系中,其中AD边在x轴上,AB=2,直线MN:y=x﹣4沿x轴的负方向以每秒1个单位的长度平移,设在平移过程中该直线被矩形ABCD的边截得的线段长度为m,平移时间为t,m与t的函数图象如图2所示.
(1)点A的坐标为 (1,0) ,矩形ABCD的面积为 8 ;
(2)求a,b的值;
(3)在平移过程中,求直线MN扫过矩形ABCD的面积S与t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围.
 
【考点】一次函数综合题.
【分析】(1)根据直线解析式求出点N的坐标,然后根据函数图象可知直线平移3个单位后经过点A,从而求的点A的坐标,由点F的横坐标可求得点D的坐标,从而可求得AD的长,据此可求得ABCD的面积;
(2)如图1所示;当直线MN经过点B时,直线MN交DA于点E,首先求得点E的坐标,然后利用勾股定理可求得BE的长,从而得到a的值;如图2所示,当直线MN经过点C时,直线MN交x轴于点F,求得直线MN与x轴交点F的坐标从而可求得b的值;
(3)当0≤t<3时,直线MN与矩形没有交点;当3≤t<5时,如图3所示S=△EFA的面积;当5≤t<7时,如图4所示:S=SBEFG+SABG;当7≤t≤9时,如图5所示.S=SABCD﹣SCEF.
【解答】解:(1)令直线y=x﹣4的y=0得:x﹣4=0,解得:x=4,
∴点M的坐标为(4,0).
由函数图象可知:当t=3时,直线MN经过点A,
∴点A的坐标为(1,0)
沿x轴的负方向平移3个单位后与矩形ABCD相交于点A,
∵y=x﹣4沿x轴的负方向平移3个单位后直线的解析式是:y=x+3﹣4=x﹣1,
∴点A的坐标为 (1,0);
由函数图象可知:当t=7时,直线MN经过点D,
∴点D的坐标为(﹣3,0).
∴AD=4.
∴矩形ABCD的面积=AB•AD=4×2=8.
(2)如图1所示;当直线MN经过点B时,直线MN交DA于点E.
 
∵点A的坐标为(1,0),
∴点B的坐标为(1,2)
设直线MN的解析式为y=x+c,
将点B的坐标代入得;1+c=2.
∴c=1.
∴直线MN的解析式为y=x+1.
将y=0代入得:x+1=0,解得x=﹣1,
∴点E的坐标为(﹣1,0).
∴BE= = =2 .
∴a=2
如图2所示,当直线MN经过点C时,直线MN交x轴于点F.
 
∵点D的坐标为(﹣3,0),
∴点C的坐标为(﹣3,2).
设MN的解析式为y=x+d,将(﹣3,2)代入得:﹣3+d=2,解得d=5.
∴直线MN的解析式为y=x+5.
将y=0代入得x+5=0,解得x=﹣5.
∴点F的坐标为(﹣5,0).
∴b=4﹣(﹣5)=9.
(3)当0≤t<3时,直线MN与矩形没有交点.
∴s=0.
当3≤t<5时,如图3所示;
 
S= = = ;
当5≤t<7时,如图4所示:过点B作BG∥MN.
 
由(2)可知点G的坐标为(﹣1,0).
∴FG=t﹣5.
∴S=SBEFG+SABG=2(t﹣5)+ =2t﹣8.
当7≤t≤9时,如图5所示.
 
FD=t﹣7,CF=2﹣DF=2﹣(t﹣7)=9﹣t.
S=SABCD﹣SCEF=8﹣ = .
综上所述,S与t的函数关系式为S= .
 
2017年2月22日

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来源 莲山课
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