随州市广水市2016年中考数学一模试卷(附答案和解释)

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随州市广水市2016年中考数学一模试卷(附答案和解释)

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2016年湖北省随州市广水市中考数学一模试卷
 
一、选择题(本题有10个小题,每小题3分,共30分,每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的)
1.在﹣5,0,π, 这四个数中,最大的有理数的是(  )
A.﹣5 B.0 C.π D.
2.如图所示的几何体,其左视图是(  )
 
A.  B.  C.  D.
3.如图,已知AB∥CD,∠C=70°,∠F=30°,则∠A的度数为(  )
 
A.30° B.35° C.40° D.45°
4.下列计算正确的是(  )
A.3a﹣2a=1 B.|﹣5|=5 C.  =±2 D.2﹣3=﹣6
5.代数式 有意义,则x的取值范围是(  )
A.x≥﹣1且x≠1 B.x≠1 C.x≥1且x≠﹣1 D.x≥﹣1
6.一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为(  )
A.(x+4)2=17 B.(x+4)2=15 C.(x﹣4)2=17 D.(x﹣4)2=15
7.某市测得一周PM2.5的日均值(单位:微克/立方米)如下:31,30,34,35,36,34,31,对这组数据下列说法正确的是(  )
A.众数是35 B.中位数是34 C.平均数是35 D.方差是6
8.若在△ABC中,∠BAC的平分线交BC于D,AC=AB+BD,∠C=30°,则∠B的度数为(  )
A.90° B.75° C.60° D.45°
9.从一块半径是4m的圆形铁片上剪出一个圆心角为90°的扇形,将剪下的扇形围成一个圆锥,圆锥的高是(  )
A.  m B.2m C.4m D.  m
10.如图,某电信公司提供了A,B两种方案的移动通讯费用y(元)与通话时间x(元)之间的关系,则下列结论中正确的有(  )
(1)若通话时间少于120分,则A方案比B方案便宜20元;
(2)若通话时间超过200分,则B方案比A方案便宜12元;
(3)若通讯费用为60元,则B方案比A方案的通话时间多;
(4)若两种方案通讯费用相差10元,则通话时间是145分或185分.
 
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
 
二、填空题(本题有6个小题,每小题3分,共18分)
11.“PM2.5”是指大气中危害健康的直径小于或等于2.5微米的颗粒物.2.5微米即0.0000025米,用科学记数法表示0.0000025为      .
12.如果a的倒数是﹣1,那么a2016等于      .
13.在平面直角坐标系中,将点A(﹣1,2)向右平移3个单位长度得到点B,则点B关于x轴的对称点C的坐标是      .
14.已知:△ABC中,点E是AB边的中点,点F在AC边上,若以A,E,F为顶点的三角形与△ABC相似,则需要增加的一个条件是      .(写出一个即可)
15.如图,小聪同学在东西走向的文一路A处,测得一处公共自行车租用服务点P在北偏东60°方向上,在A处往东90米的B处,又测得该服务点P在北偏东30°方向上,则该服务点P到文一路的距离PC为      .
 
16.如图,下列图形是将正三角形按一定规律排列,则第5个图形中所有正三角形的个数有      .
 
 
三、解答题(本题有9个小题,共72分,解答写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程)
17.解不等式 ,并把它们的解集表示在数轴上.
18.先化简,再求值:(x+1)2+y(y﹣2x)+2x2y÷(﹣xy),其中x﹣y= .
19.甲、乙两人准备整理一批新到的图书,甲单独整理需要40分钟完工;若甲、乙共同整理20分钟后,乙需再单独整理30分钟才能完工.问乙单独整理这批图书需要多少分钟完工?
20.如图,一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y= 的图象交于A、B两点,与x轴交于点C,与y轴交于点D.已知OA= ,tan∠AOC= ,点B的坐标为( ,m).
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)求△AOB的面积.
 
21.为配合全市“禁止焚烧秸秆”工作,某学校举行了“禁止焚烧秸秆,保护环境,从我做起”为主题的演讲比赛,赛后组委会整理参赛同学的成绩,并制作了如图不完整的频数分布表和频数分布直方图
 分数段(分手为x分)  频数  百分比
 60≤x<70  8  20%
 70≤x<80  a  30%
 80≤x≤90  16  b%
 90≤x<100  4  10%
请根据图表提供的信息,解答下列问题:
(1)表中的a=      ,b=      ;请补全频数分布直方图;
(2)若用扇形统计图来描述成绩分布情况,则分数段70≤x<80对应扇形的圆心角的度数是      ;
(3)竞赛成绩不低于90分的4名同学中正好有2名男同学,2名女同学.学校从这4名同学中随机抽2名同学接受电视台记者采访,则正好抽到一名男同学和一名女同学的概率为      .
 
22.如图,在△ABC中,∠B=90°,以AB为直径的⊙O交AC于D,点E为BC的中点,连接DE、AE,AE交⊙O于点F.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若⊙O的直径为2,求AD•AC的值.
 
23.某网店打出促销广告:最潮新款服装30件,每件售价300元.若一次性购买不超过10件时,售价不变;若一次性购买超过10件时,每多买1件,所买的每件服装的售价均降低3元.已知该服装成本是每件200元,设顾客一次性购买服装x件时,该网店从中获利y元.
(1)求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)顾客一次性购买多少件时,该网店从中获利最多?
24.感知:如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,将点E绕点C顺时针旋转90°到点F,易知△CEB≌△CFD.
探究:如图2,在图1中的基础上作∠ECF的角平分线CG,交AD于点G,连接EG,求证:EG=BE+GD.
应用:如图3,在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°,AB=BC.E是AB上一点,且∠DCE=45°,AD=6,DE=10,求直角梯形ABCD的面积.
 
25.如图,在矩形OABC中,OA=5,AB=4,点D为边AB上一点,将△BCD沿直线CD折叠,使点B恰好落在OA边上的点E处,分别以OC、OA所在的直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系.
(1)求AE的长;
(2)求经过O、D、C三点的抛物线的解析式;
(3)若点N在(2)中的抛物线的对称轴上,点M在抛物线上是否存在这样的点M与点N,使得以M,N,C,E为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出M点的坐标;若不存在,请说明理由.
 
 

2016年湖北省随州市广水市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
 
一、选择题(本题有10个小题,每小题3分,共30分,每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的)
1.在﹣5,0,π, 这四个数中,最大的有理数的是(  )
A.﹣5 B.0 C.π D.
【考点】实数大小比较.
【分析】先找出四个数中的有理数,再比较大小即可.
【解答】解:﹣5,0,π, 这四个数中,有理数是﹣5,0,
∵﹣5<0,
∴这四个数中最大的有理数的是0.
故选B.
 
2.如图所示的几何体,其左视图是(  )
 
A.  B.  C.  D.
【考点】简单组合体的三视图.
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图,可得答案.
【解答】解:从左边看是一个矩形的左上角去掉了一个小矩形,
故选:C.
 
3.如图,已知AB∥CD,∠C=70°,∠F=30°,则∠A的度数为(  )
 
A.30° B.35° C.40° D.45°
【考点】平行线的性质.
【分析】先根据平行线的性质得∠BEF=∠C=70°,然后根据三角形外角性质计算∠A的度数.
【解答】解:∵AB∥CD,
∴∠BEF=∠C=70°,
∵∠BEF=∠A+∠F,
∴∠A=70°﹣30°=40°.
故选C.
 
4.下列计算正确的是(  )
A.3a﹣2a=1 B.|﹣5|=5 C.  =±2 D.2﹣3=﹣6
【考点】合并同类项;绝对值;算术平方根;负整数指数幂.
【分析】根据合并同类项的法则、算术平方根以及负整数指数幂进行计算即可.
【解答】解:A、3a﹣2a=a,故A错误;
B、|﹣5|=5,故B正确;
C、 =2,故C错误;
D、2﹣3= ,故D错误,
故选B.
 
5.代数式 有意义,则x的取值范围是(  )
A.x≥﹣1且x≠1 B.x≠1 C.x≥1且x≠﹣1 D.x≥﹣1
【考点】二次根式有意义的条件;分式有意义的条件.
【分析】此题需要注意分式的分母不等于零,二次根式的被开方数是非负数.
【解答】解:依题意,得
x+1≥0且x﹣1≠0,
解得 x≥﹣1且x≠1.
故选:A.
 
6.一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为(  )
A.(x+4)2=17 B.(x+4)2=15 C.(x﹣4)2=17 D.(x﹣4)2=15
【考点】解一元二次方程-配方法.
【分析】方程利用配方法求出解即可.
【解答】解:方程变形得:x2﹣8x=1,
配方得:x2﹣8x+16=17,即(x﹣4)2=17,
故选C
 
7.某市测得一周PM2.5的日均值(单位:微克/立方米)如下:31,30,34,35,36,34,31,对这组数据下列说法正确的是(  )
A.众数是35 B.中位数是34 C.平均数是35 D.方差是6
【考点】方差;加权平均数;中位数;众数.
【分析】根据众数、平均数、中位数和方差的计算公式分别进行计算即可得出答案.
【解答】解:A、31和34出现了2次,出现的次数最多,则众数是31和34,故本选项错误;
B、把这组数据从小到大排列,最中间的数是34,则中位数是34,故本选项错正确;
C、这组数据的平均数是:(31+30+34+35+36+34+31)÷7=33,故本选项错误;
D、这组数据的方差是:  [2(31﹣33)2+(30﹣33)2+2(34﹣33)2+(35﹣33)2+(36﹣33)2]= ,故本选项错误;
故选B.
 
8.若在△ABC中,∠BAC的平分线交BC于D,AC=AB+BD,∠C=30°,则∠B的度数为(  )
A.90° B.75° C.60° D.45°
【考点】全等三角形的判定与性质;三角形的外角性质;等腰三角形的性质.
【分析】利用三角形全等的性质计算.根据已知条件中,两条线段的和等于其中一条线段,可以采用延长短线段或在长线段上截取的方法.综合运用了全等三角形的判定和性质;等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质.
【解答】解:延长AB至E,使BE=BD,
又AC=AB+BD,
∴AE=AC,
在△ADE和△ADC中,
AD=AD,∠EAD=∠CAD,AE=AC,
∴△ADE≌△ADC,
∴∠E=∠C=30°,
∴∠BDE=∠E=30°,
∴∠ABD=∠E+∠BDE=60°.
故选C.
 
 
9.从一块半径是4m的圆形铁片上剪出一个圆心角为90°的扇形,将剪下的扇形围成一个圆锥,圆锥的高是(  )
A.  m B.2m C.4m D.  m
【考点】圆锥的计算.
【分析】设圆锥的底面圆的半径为r,利用圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到2πr= ,解得r=1,然后利用勾股定理计算圆锥的高.
【解答】解:设圆锥的底面圆的半径为r,
根据题意得2πr= ,解得r=1,
所以圆锥的高= = (m).
故选D.
 
10.如图,某电信公司提供了A,B两种方案的移动通讯费用y(元)与通话时间x(元)之间的关系,则下列结论中正确的有(  )
(1)若通话时间少于120分,则A方案比B方案便宜20元;
(2)若通话时间超过200分,则B方案比A方案便宜12元;
(3)若通讯费用为60元,则B方案比A方案的通话时间多;
(4)若两种方案通讯费用相差10元,则通话时间是145分或185分.
 
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【考点】函数的图象.
【分析】根据图象知道:在通话170分钟收费一样,在通话120时A收费30元,B收费50元,其中A超过120分钟后每分钟加收0.4元,B超过200分钟加收每分钟0.4元,由此即可确定有几个正确.
【解答】解:依题意得
A:(1)当0≤x≤120,yA=30,
(2)当x>120,yA=30+(x﹣120)×[(50﹣30)÷]=0.4x﹣18;
B:(1)当0≤x<200,yB=50,
当x>200,yB=50+[(70﹣50)÷](x﹣200)=0.4x﹣30,
所以当x≤120时,A方案比B方案便宜20元,故(1)正确;
当x≥200时,B方案比A方案便宜12元,故(2)正确;
当y=60时,A:60=0.4x﹣18,∴x=195,
B:60=0.4x﹣30,∴x=225,故(3)正确;
当B方案为50元,A方案是40元或者60元时,两种方案通讯费用相差10元,
将yA=40或60代入,得x=145分或195分,故(4)错误;
故选:C.
 
二、填空题(本题有6个小题,每小题3分,共18分)
11.“PM2.5”是指大气中危害健康的直径小于或等于2.5微米的颗粒物.2.5微米即0.0000025米,用科学记数法表示0.0000025为 2.5×10﹣6 .
【考点】科学记数法—表示较小的数.
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10﹣n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
【解答】解:0.0000025=2.5×10﹣6.
故答案为:2.5×10﹣6.
 
12.如果a的倒数是﹣1,那么a2016等于 1 .
【考点】倒数.
【分析】根据倒数的定义先求出a的值,再代入要求的式子即可得出答案.
【解答】解:∵﹣1的倒数是﹣1,
∴a=﹣1,
∴a2016=(﹣1)2016=1;
故答案为:1.
 
13.在平面直角坐标系中,将点A(﹣1,2)向右平移3个单位长度得到点B,则点B关于x轴的对称点C的坐标是 (2,﹣2) .
【考点】坐标与图形变化-平移;关于x轴、y轴对称的点的坐标.
【分析】首先根据横坐标右移加,左移减可得B点坐标,然后再关于x轴对称点的坐标特点:横坐标不变,纵坐标符号改变可得答案.
【解答】解:点A(﹣1,2)向右平移3个单位长度得到的B的坐标为(﹣1+3,2),即(2,2),
则点B关于x轴的对称点C的坐标是(2,﹣2),
故答案为:(2,﹣2).
 
14.已知:△ABC中,点E是AB边的中点,点F在AC边上,若以A,E,F为顶点的三角形与△ABC相似,则需要增加的一个条件是 AF= AC或∠AFE=∠ABC .(写出一个即可)
【考点】相似三角形的判定.
【分析】根据相似三角形对应边成比例或相似三角形的对应角相等进行解答;由于没有确定三角形相似的对应角,故应分类讨论.
【解答】解:分两种情况:
①∵△AEF∽△ABC,
∴AE:AB=AF:AC,
即1:2=AF:AC,
∴AF= AC;
②∵△AFE∽△ACB,
∴∠AFE=∠ABC.
∴要使以A、E、F为顶点的三角形与△ABC相似,则AF= AC或∠AFE=∠ABC.
故答案为:AF= AC或∠AFE=∠ABC.
 
 
15.如图,小聪同学在东西走向的文一路A处,测得一处公共自行车租用服务点P在北偏东60°方向上,在A处往东90米的B处,又测得该服务点P在北偏东30°方向上,则该服务点P到文一路的距离PC为 45  .
 
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题.
【分析】根据题意得到PB=AB=90,根据正弦的定义计算即可.
【解答】解:由题意得,∠PAB=30°,∠PBC=60°,
∴∠APB=∠PBC﹣∠PAB=30°,
∴∠PAB=∠APB,
∴PB=AB=90,
∴PC=AB×sin∠PBC=45 米.
故答案为:45 .
 
16.如图,下列图形是将正三角形按一定规律排列,则第5个图形中所有正三角形的个数有 485 .
 
【考点】规律型:图形的变化类.
【分析】由图可以看出:第一个图形中5个正三角形,第二个图形中5×3+2=17个正三角形,第三个图形中17×3+2=53个正三角形,由此得出第四个图形中53×3+2=161个正三角形,第五个图形中161×3+2=485个正三角形.
【解答】解:第一个图形正三角形的个数为5,
第二个图形正三角形的个数为5×3+2=2×32﹣1=17,
第三个图形正三角形的个数为17×3+2=2×33﹣1=53,
第四个图形正三角形的个数为53×3+2=2×34﹣1=161,
第五个图形正三角形的个数为161×3+2=2×35﹣1=485.
如果是第n个图,则有2×3n﹣1个
故答案为:485.
 
三、解答题(本题有9个小题,共72分,解答写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程)
17.解不等式 ,并把它们的解集表示在数轴上.
【考点】解一元一次不等式组;在数轴上表示不等式的解集.
【分析】分别解两个不等式得到x<2和x≥﹣1,然后根据大于小的小于大的取中间确定不等式组的解集,再利用数轴表示其解集.
【解答】解: ,
解①得x<2,
解②得x≥﹣1,
所以不等式组的解集为﹣1≤x<2.
用数轴表示为: .
 
18.先化简,再求值:(x+1)2+y(y﹣2x)+2x2y÷(﹣xy),其中x﹣y= .
【考点】整式的混合运算—化简求值.
【分析】首先根据完全平方公式和单项式与多项式相乘的法则进行计算,再合并同类项,得出化简结果,然后代入x﹣y的值计算即可.
【解答】解:(x+1)2+y(y﹣2x)+2x2y÷(﹣xy)
=x2+2x+1+y2﹣2xy﹣2x
=x2+1+y2﹣2xy
=(x﹣y)2+1
把x﹣y= 代入得:原式=( )2+1=4.
 
19.甲、乙两人准备整理一批新到的图书,甲单独整理需要40分钟完工;若甲、乙共同整理20分钟后,乙需再单独整理30分钟才能完工.问乙单独整理这批图书需要多少分钟完工?
【考点】分式方程的应用.
【分析】将总的工作量看作单位1,根据本工作分两段时间完成列出分式方程解之即可.
【解答】解:设乙单独整理x分钟完工,根据题意得:
 =1,
解得x=100,
经检验x=100是原分式方程的解.
答:乙单独整理100分钟完工.
 
20.如图,一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y= 的图象交于A、B两点,与x轴交于点C,与y轴交于点D.已知OA= ,tan∠AOC= ,点B的坐标为( ,m).
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)求△AOB的面积.
 
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.
【分析】(1)根据tan∠AOC= ,且OA= ,结合勾股定理可以求得点A的坐标,进一步代入y= 中,得到反比例函数的解析式;然后根据反比例函数的解析式得到点B的坐标,再根据待定系数法求一次函数解析式;
(2)三角形AOB的面积可利用,求和的方法即等于S△AOC+S△COB来求.
【解答】解:(1)过点A作AH⊥x于点H.
在RT△AHO中,tan∠AOH= = ,
所以OH=2AH.
又AH2+HO2=OA2,且OA= ,
所以AH=1,OH=2,
即点A(﹣2,1).
代入y= 得
k=﹣2.
∴反比例函数的解析式为y=﹣ .
又因为点B的坐标为( ,m),
代入解得m=﹣4.
∴B( ,﹣4).
把A(﹣2,1)B( ,﹣4)代入y=ax+b,得
 ,
∴a=﹣2,b=﹣3.
∴一次函数的解析式为y=﹣2x﹣3.

(2)在y=﹣2x﹣3中,当y=0时,x=﹣ .
即C( ,0).
∴S△AOB=S△AOC+S△COB= (1+4)× = .
 
 
21.为配合全市“禁止焚烧秸秆”工作,某学校举行了“禁止焚烧秸秆,保护环境,从我做起”为主题的演讲比赛,赛后组委会整理参赛同学的成绩,并制作了如图不完整的频数分布表和频数分布直方图
 分数段(分手为x分)  频数  百分比
 60≤x<70  8  20%
 70≤x<80  a  30%
 80≤x≤90  16  b%
 90≤x<100  4  10%
请根据图表提供的信息,解答下列问题:
(1)表中的a= 12 ,b= 40 ;请补全频数分布直方图;
(2)若用扇形统计图来描述成绩分布情况,则分数段70≤x<80对应扇形的圆心角的度数是 108° ;
(3)竞赛成绩不低于90分的4名同学中正好有2名男同学,2名女同学.学校从这4名同学中随机抽2名同学接受电视台记者采访,则正好抽到一名男同学和一名女同学的概率为   .
 
【考点】列表法与树状图法;频数(率)分布表;频数(率)分布直方图.
【分析】(1)首先根据第一小组的频数和频率求得总人数,然后减去其它小组的频数即可求得a值,根据总人数和第三小组的频数即可求得b值;
(2)用周角乘以相应分数段所占的百分比即可求得圆心角的度数;
(3)列表将所有等可能的结果列举出来利用概率公式求解即可.
【解答】解:(1)∵60≤x<70小组的频数为8,占20%,
∴8÷20%=40人,
∴a=40﹣8﹣16﹣4=12,b%= ×100%=40%,
故答案为:12,40;

(2)∵70≤x<80小组所占的百分比为30%,
∴70≤x<80对应扇形的圆心角的度数360°×30%=108°,
故答案为:108°;

(3)用A、B表示男生,用a、b表示女生,列表得:
 A B a b
A  AB Aa Ab
B BA  Ba Bb
a aA aB  ab
b bA bB ba 
∵共有12种等可能的结果,其中一男一女的有8种,
∴P(一男一女)= = .
 
22.如图,在△ABC中,∠B=90°,以AB为直径的⊙O交AC于D,点E为BC的中点,连接DE、AE,AE交⊙O于点F.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若⊙O的直径为2,求AD•AC的值.
 
【考点】切线的判定.
【分析】(1)先连接OD和BD,根据圆周角定理求出∠ADB=90°,根据直角三角形斜边上中线性质求出DE=BE,推出∠EDB=∠EBD,∠ODB=∠OBD,即可求出∠ODE=90°,根据切线的判定推出即可.
(2)根据射影定理即可求得.
【解答】(1)证明:连接OD,BD,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠BDC=90°,
∵E为BC的中点,
∴DE=BE=CE,
∴∠EDB=∠EBD,
∵OD=OB,
∴∠ODB=∠OBD,
∵∠ABC=90°,
∴∠EDO=∠EDB+∠ODB=∠EBD+∠OBD=∠ABC=90°,
∴OD⊥DE,
∴DE是⊙O的切线.
(2)解:∵在RT△ABC中,BD⊥AC.
∴AB2=AD•AC,
∵AB=2,
∴AD•AC=4.
 
 
23.某网店打出促销广告:最潮新款服装30件,每件售价300元.若一次性购买不超过10件时,售价不变;若一次性购买超过10件时,每多买1件,所买的每件服装的售价均降低3元.已知该服装成本是每件200元,设顾客一次性购买服装x件时,该网店从中获利y元.
(1)求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)顾客一次性购买多少件时,该网店从中获利最多?
【考点】二次函数的应用.
【分析】(1)根据题意可得出销量乘以每台利润进而得出总利润,进而得出答案;
(2)根据销量乘以每台利润进而得出总利润,即可求出即可.
【解答】解:(1)y= ,
(2)在0≤x≤10时,y=100x,当x=10时,y有最大值1000;
在10<x≤30时,y=﹣3x2+130x,
当x=21 时,y取得最大值,
∵x为整数,根据抛物线的对称性得x=22时,y有最大值1408.
∵1408>1000,
∴顾客一次购买22件时,该网站从中获利最多.
 
24.感知:如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,将点E绕点C顺时针旋转90°到点F,易知△CEB≌△CFD.
探究:如图2,在图1中的基础上作∠ECF的角平分线CG,交AD于点G,连接EG,求证:EG=BE+GD.
应用:如图3,在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°,AB=BC.E是AB上一点,且∠DCE=45°,AD=6,DE=10,求直角梯形ABCD的面积.
 
【考点】正方形的性质;全等三角形的判定与性质;直角梯形.
【分析】探究:求出CE=CF,DF=BE,∠ECG=∠FCG,证△ECG≌△FCG,推出EG=GF即可;
应用:过C作CH⊥AD于H,旋转△BCE到△CHM,推出四边形ABCH是正方形,CD平分∠ECM,由探究证明知:DE=BE+DH,
在Rt△AED中,DE=10,AD=6,由勾股定理求出AE=8,设BE=x,根据BC=AB=x+8=AH得出x+8=6+10﹣x,求出x=4即可.
【解答】探究:证明:∵根据旋转的性质得:△EBC≌△FDC,
∴CE=CF,DF=BE,
∵CG平分∠ECF,
∴∠ECG=∠FCG,
在△ECG和△FCG中
 
∴△ECG≌△FCG(SAS),
∴EG=GF,
∵GF=DG+DF=DG+BE,
∴EG=BE+GD;

应用:
解:如图3,过C作CH⊥AD于H,旋转△BCE到△CHM,
则∠A=∠B=∠CHA=90°,
∵AB=BC,
∴四边形ABCH是正方形,
∵∠DCE=45°,AH=BC,
∴∠DCH+∠ECB=90°﹣45°=45°,
∵由已知证明知:△EBC≌△MHC,
∴∠ECB=∠MCH,
∴∠DCH+∠MCH=45°,
∴CD平分∠ECM,
∴由探究证明知:DE=BE+DH,
在Rt△AED中,DE=10,AD=6,由勾股定理得:AE=8,
设BE=x,则BC=AB=x+8=AH,
即x+8=6+10﹣x,
x=4,
BE=4,
AB=4+8=12,BC=AB=12,
∴梯形ABCD的面积是 ×(6+12)×12=108.
 
 
25.如图,在矩形OABC中,OA=5,AB=4,点D为边AB上一点,将△BCD沿直线CD折叠,使点B恰好落在OA边上的点E处,分别以OC、OA所在的直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系.
(1)求AE的长;
(2)求经过O、D、C三点的抛物线的解析式;
(3)若点N在(2)中的抛物线的对称轴上,点M在抛物线上是否存在这样的点M与点N,使得以M,N,C,E为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出M点的坐标;若不存在,请说明理由.
 
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)根据翻折的性质,可得CE与CB的关系,DE与BD的关系,根据勾股定理,OE的长,根据线段的和差,可得答案;
(2)根据勾股定理,可得m的值,可得D点坐标,根据待定系数法,可得答案;
(3)①以EN为对角线,根据对角线互相平分,可得CM的中点与EN的中点重合,根据中点坐标公式,可得m的值,根据自变量与函数值的对应关系,可得答案;
②当EM为对角线,根据对角线互相平分,可得CN的中点与EM的中点重合,根据中点坐标公式,可得m的值,根据自变量与函数值的对应关系,可得答案;
③当CE为对角线,根据对角线互相平分,可得CE的中点与MN的中点重合,根据中点坐标公式,可得m的值,根据自变量与函数值的对应关系,可得答案.
【解答】解:(1)∵CE=CB=OA=5,CO=AB=4,
∴在Rt△COE中,OE= =3,
∵OE=3,
∴AE=5﹣3=2,
(2)在Rt△ADE中,设AD=m,则DE=BD=4﹣m,由勾股定理,得
AD2+AE2=DE2,
即m2+22=(4﹣m)2,
解得m= ,
∴D(﹣ ,﹣5),
∵C(﹣4,0),O(0,0),
∴设过O、D、C三点的抛物线为y=ax(x+4),
∴﹣5=﹣ a(﹣ +4),
解得a= ,
∴抛物线解析式为y= x(x+4)= x2+ x;
(3)∵抛物线的对称为直线x=﹣2,
∴设N(﹣2,n),
又由题意可知C(﹣4,0),E(0,﹣3),设M(m,y),
①当EN为对角线,即四边形ECNM是平行四边形时,如图1,
 ,
则线段EN的中点
横坐标为 =﹣1,线段CM中点横坐标为 ,
∵EN,CM互相平分,
∴ =﹣1,解得m=2,
又M点在抛物线上,
∴y= ×22+ ×2=16
∴M(2,16);    
②当EM为对角线,即四边形ECMN是平行四边形时,如图2,
 ,
则线段EM的中点,
横坐标为 ,线段CN中点横坐标为 =﹣3,
∵EN,CM互相平分,
∴ =﹣3,解得m=﹣6,
又∵M点在抛物线上,
∴y= ×(﹣6)2+ ×(﹣6)=16,
∴M(﹣6,16);
③当CE为对角线,即四边形EMCN是平行四边形时,如图3,
 ,
m+(﹣2)=﹣5+0,
解得m=﹣3,
当m=﹣3时,y= ×(﹣3)2+ ×(﹣3)=﹣4,
即M(﹣3,﹣4).
综上可知,存在满足条件的点M,其坐标为(2,16)或(﹣6,16)或(﹣3,﹣4).
 
 

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来源 莲山课
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