2016年辽阳县中考数学一模试卷(附答案和解释)

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2016年辽阳县中考数学一模试卷(附答案和解释)

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山课件 w ww.5 Y K j.Co M


2016年辽宁省辽阳市辽阳县中考数学一模试卷
 
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.﹣ 的绝对值是(  )
A.﹣2016 B.  C.﹣  D.2016
2.下面的计算正确的是(  )
A.3x2•4x2=12x2 B.x3•x5=x15 C.x4÷x=x3 D.(x5)2=x7
3.太阳的温度很高,其表面温度大概有6 000℃,而太阳中心的温度达到了19 200 000℃,用科学记数法可将19 200 000表示为(  )
A.1.92×106 B.1.92×107 C.1.92×108 D.1.92×109
4.如图,已知BD∥AC,∠1=65°,∠A=40°,则∠2的大小是(  )
 
A.55° B.65° C.75° D.85°
5.一个几何体的三视图如图所示,那么这个几何体的侧面积是(  )
 
A.4π B.6π C.8π D.12π
6.如图,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,将△ABC绕点 A逆时针旋转75°,得到△AB′C′,过点B′作B′D⊥CA,交CA的延长线于点D,若AC=6,则AD的长为(  )
 
A.2 B.3 C.2  D.3
7.若关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+2x﹣2=0有不相等实数根,则k的取值范围是(  )
A.k>  B.k≥  C.k> 且k≠1 D.k≥ 且k≠1
8.小明记录了某市连续10天的最高气温如表:
最高气温(℃) 20 22 25 26
天数 1 3 2 4
那么关于这10天的最高气温的说法正确的是(  )
A.中位数23.5 B.众数22 C.方差46 D.平均数24
9.商场举行摸奖促销活动,对于“抽到一等奖的概率为O.1”.下列说法正确的是(  )
A.抽10次奖必有一次抽到一等奖
B.抽一次不可能抽到一等奖
C.抽10次也可能没有抽到一等奖
D.抽了9次如果没有抽到一等奖,那么再抽一次肯定抽到一等奖
10.如图,已知点A(4,0),O为坐标原点,P是线段OA上任意一点(不含端点O,A),过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下,它们的顶点分别为B、C,射线OB与射线AC相交于点D.当△ODA是等边三角形时,这两个二次函数的最大值之和等于(  )
 
A.  B.    C.2  D.  
 
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.把多项式2a3﹣8a分解因式的结果是      .
12.使 有意义的x的取值范围是      .
13.在一个不透明的口袋中,有四个完全相同的小球,把它们分别标号为1、2、3、4,随机地摸取一个小球记下标号后放回,再随机地摸取一个小球记下标号,则两次摸取的小球标号都是1的概率为      .
14.如图,在矩形ABCD中,AB=2DA,以点A为圆心,AB为半径的圆弧交DC于点E,交AD的延长线于点F,设DA=2,图中阴影部分的面积为      .
 
15.在江岸区创建文明城区的活动中,有两段长度相等的彩色砖道铺设任务,分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工.如图是反映所铺设彩色砖道的长度y(米)与施工时间x(时)之间关系的部分图象.如果甲队施工速度不变,乙队在开挖6小时后,施工速度增加到12米/时,结果两队同时完成了任务,则甲队从开始施工到完工所铺设的彩色道砖的长度为      米.
 
16.如图,BC是⊙O弦,D是BC上一点,DO交⊙O于点A,连接AB、OC,若∠A=20°,∠C=30°,则∠AOC的度数为      .
 
17.如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABO的顶点O与原点重合,顶点B在x轴上,∠ABO=90°,OA与反比例函数y= 的图象交于点D,且OD=2AD,过点D作x轴的垂线交x轴于点C.若S四边形ABCD=10,则k的值为      .
 
18.如图,n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上,设△B2D1C1的面积为S1,△B3D2C2的面积为S2,…,△Bn+1DnCn的面积为Sn,则S2=      ;Sn=      .(用含n的式子表示)
 
 
三、解答题(第19题10分,第20题12分,共22分)
19.先化简,后求值: ,其中x=3.
20.为了贯彻“减负增效”精神,掌握2014~2015学年度九年级600名学生每天的自主学习情况,某校学生会随机抽查了2014~2015学年度九年级的部分学生,并调查他们每天自主学习的时间.根据调查结果,制作了两幅不完整的统计图(图1,图2),请根据统计图中的信息回答下列问题:
(1)本次调查的学生人数是      人;
(2)图2中α是      度,并将图1条形统计图补充完整;
(3)请估算该校2014~2015学年度九年级学生自主学习时间不少于1.5小时有      人;
(4)老师想从学习效果较好的4位同学(分别记为A,B,C,D,其中A为小亮)随机选择两位进行学习经验交流,用列表法或树状图的方法求出选中小亮A的概率.
 
 
四、解答题(每题12分,共24分)
21.如图,己知点A(1, )在反比例函数y= (x>0)的图象上,连接OA,将线段OA绕点D顺时针方向旋转30°,得到线段OB.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)判断点B是否在反比例函数图象上,并说明理由;
(3)设直线AB的解析式为y=ax+b,请直接写出不等式ax+b﹣ <0的解集.
 
22.某超市用3000元购进某种干果,由于销售状况良好,超市又用9000元第二次购进该干果,但第二次的进价比第一次的提高了20%,第二次购进干果数量是第一次的2倍还多300千克.
(1)求该干果的第一次进价是每千克多少元?
(2)百姓超市按每千克9元的价格出售,当大部分干果售出后,余下的按售价的8折售完,若两次销售这种干果的利润不少于5820元,则最多余下多少千克干果按售价的8折销售.
 
五、解答题
23.如图,某风景区的湖心岛有一凉亭A,其正东方向有一棵大树B,小明想测量A、B之间的距离,他从湖边的C处测得A在北偏西45°方向上,测得B在北偏东32°方向上,且量得B、C之间的距离为100米,根据上述测量结果,请你帮小明计算A、B之间的距离是多少?(精确到1米,参考数据:sin32°=0.5299,cos32°=0.8480)
 
 
六、解答题
24.如图,AB为⊙O的直径,P是BA延长线上一点,PC切⊙O于点C,CG是⊙O的弦,CG⊥AB,垂足为D.
(1)求证:∠PCA=∠ABC;
(2)过点A作AE∥PC,交⊙O于点E,交CD于点F,连接BE.若sin∠P= ,CF=5,求BE的长.
 
 
七、解答题
25.已知:正方形ABCD的边长为4,点E为BC的中点,点P为AB上一动点,沿PE翻折△BPE得到△FPE,直线PF交CD边于点Q,交直线AD于点G,联接EQ.
 
(1)如图,当BP=1.5时,求CQ的长;
(2)如图,当点G在射线AD上时,BP=x,DG=y,求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;
(3)延长EF交直线AD于点H,若△CQE与△FHG相似,求BP的长.
 
八、解答题
26.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=﹣ +c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),交y轴的正半轴于点C,其顶点为M,MH⊥x轴于点H,MA交y轴于点N,sin∠MOH= .
(1)求此抛物线的函数表达式;
(2)过H的直线与y轴相交于点P,过O,M两点作直线PH的垂线,垂足分别为E,F,若 = 时,求点P的坐标;
(3)将(1)中的抛物线沿y轴折叠,使点A落在点D处,连接MD,Q为(1)中的抛物线上的一动点,直线NQ交x轴于点G,当Q点在抛物线上运动时,是否存在点Q,使△ANG与△ADM相似?若存在,求出所有符合条件的直线QG的解析式;若不存在,请说明理由.
 
 
 

2016年辽宁省辽阳市辽阳县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
 
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.﹣ 的绝对值是(  )
A.﹣2016 B.  C.﹣  D.2016
【考点】绝对值.
【分析】根据相反数的意义,求解即可.注意正数的绝对值是本身,0的绝对值为0,负数的绝对值是其相反数.
【解答】解:∵﹣ 的绝对值等于其相反数,
∴﹣ 的绝对值是 .
故选B
 
2.下面的计算正确的是(  )
A.3x2•4x2=12x2 B.x3•x5=x15 C.x4÷x=x3 D.(x5)2=x7
【考点】同底数幂的除法;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方;单项式乘单项式.
【分析】根据单项式的乘法、同底数幂的乘法和除法、幂的乘方等知识点进行判断.
【解答】解:A、3x2•4x2=12x4,故本选项错误;
B、x3•x5=x8,故本选项错误;
C、正确;
D、(x5)2=x10,故本选项错误.
故选C.
 
3.太阳的温度很高,其表面温度大概有6 000℃,而太阳中心的温度达到了19 200 000℃,用科学记数法可将19 200 000表示为(  )
A.1.92×106 B.1.92×107 C.1.92×108 D.1.92×109
【考点】科学记数法—表示较大的数.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答】解:将19 200 000用科学记数法表示为:1.92×107.
故选:B.
 
4.如图,已知BD∥AC,∠1=65°,∠A=40°,则∠2的大小是(  )
 
A.55° B.65° C.75° D.85°
【考点】平行线的性质.
【分析】先根据平行线的性质求出∠C,再根据三角形内角和定理求出∠2的大小即可.
【解答】解:∵BD∥AC,∠1=65°,
∴∠C=∠1=65°,
∵∠A=40°,
∴∠2=180°﹣∠A﹣∠C=75°,
故选C.
 
5.一个几何体的三视图如图所示,那么这个几何体的侧面积是(  )
 
A.4π B.6π C.8π D.12π
【考点】由三视图判断几何体.
【分析】根据三视图正视图以及左视图都为矩形,底面是圆形,则可想象出这是一个圆柱体.侧面积=底面周长×高.
【解答】解:∵圆柱的直径为2,高为3,
∴侧面积为2× ×2×3π=6π.
故选B.
 
6.如图,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,将△ABC绕点 A逆时针旋转75°,得到△AB′C′,过点B′作B′D⊥CA,交CA的延长线于点D,若AC=6,则AD的长为(  )
 
A.2 B.3 C.2  D.3
【考点】旋转的性质.
【分析】在直角△ABC中利用勾股定理即可求得AB的长,则AB′的长即可求得,然后根据旋转角的定义利用角的和差求得∠B′AD的度数,在直角△B′AD中利用三角函数即可求解.
【解答】解:在直角△ABC中,AB= = =6 ,
则AB'=AB=6 .
在直角△B'AD中,∠B′AD=180°﹣∠BAC﹣∠BAB′=180°﹣45°﹣75°=60°.
则AD=AB′•cos∠B′AD=6 × =3 .
故选D.
 
7.若关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+2x﹣2=0有不相等实数根,则k的取值范围是(  )
A.k>  B.k≥  C.k> 且k≠1 D.k≥ 且k≠1
【考点】根的判别式;一元二次方程的定义.
【分析】根据判别式的意义得到△=22﹣4(k﹣1)×(﹣2)>0,然后解不等式即可.
【解答】解:∵关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+2x﹣2=0有不相等实数根,
∴△=22﹣4(k﹣1)×(﹣2)>0,
解得k> ;且k﹣1≠0,即k≠1.
故选:C.
 
8.小明记录了某市连续10天的最高气温如表:
最高气温(℃) 20 22 25 26
天数 1 3 2 4
那么关于这10天的最高气温的说法正确的是(  )
A.中位数23.5 B.众数22 C.方差46 D.平均数24
【考点】方差;加权平均数;中位数;众数.
【分析】利用方差的计算公式、加权平均数的计算公式、中位数及众数的定义分别求解后即可确定正确的选项.
【解答】解:A、排序后位于中间位置的两数为25,25,故中位数为25,故错误;
B、数据26出现了4次,最多,故众数为26,故错误;
平均数为 (20+22×3+25×2+26×4)=24,
方差为  [(20﹣24)2+3×(22﹣24)2+2×(25﹣24)2+4×(26﹣24)2]=44,故错误;
故D正确,
故选D.
 
9.商场举行摸奖促销活动,对于“抽到一等奖的概率为O.1”.下列说法正确的是(  )
A.抽10次奖必有一次抽到一等奖
B.抽一次不可能抽到一等奖
C.抽10次也可能没有抽到一等奖
D.抽了9次如果没有抽到一等奖,那么再抽一次肯定抽到一等奖
【考点】概率的意义.
【分析】根据概率是频率(多个)的波动稳定值,是对事件发生可能性大小的量的表现进行解答即可.
【解答】解:根据概率的意义可得“抽到一等奖的概率为O.1”就是说抽10次可能抽到一等奖,也可能没有抽到一等奖,
故选:C.
 
10.如图,已知点A(4,0),O为坐标原点,P是线段OA上任意一点(不含端点O,A),过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下,它们的顶点分别为B、C,射线OB与射线AC相交于点D.当△ODA是等边三角形时,这两个二次函数的最大值之和等于(  )
 
A.  B.    C.2  D.  
【考点】二次函数的最值;等边三角形的性质.
【分析】连接PB、PC,根据二次函数的对称性可知OB=PB,PC=AC,从而判断出△POB和△ACP是等边三角形,再根据等边三角形的性质求解即可.
【解答】解:如图,连接PB、PC,
由二次函数的性质,OB=PB,PC=AC,
∵△ODA是等边三角形,
∴∠AOD=∠OAD=60°,
∴△POB和△ACP是等边三角形,
∵A(4,0),
∴OA=4,
∴点B、C的纵坐标之和为4× =2 ,
即两个二次函数的最大值之和等于2 .
故选C.
 
 
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.把多项式2a3﹣8a分解因式的结果是 2a(a+2)(a﹣2) .
【考点】提公因式法与公式法的综合运用.
【分析】首先提取公因式进而利用平方差公式法分解因式得出即可.
【解答】解:2a3﹣8a=2a(a2﹣4)=2a(a+2)(a﹣2).
故答案为:2a(a+2)(a﹣2).
 
12.使 有意义的x的取值范围是 x≥2 .
【考点】二次根式有意义的条件.
【分析】当被开方数x﹣2为非负数时,二次根式才有意义,列不等式求解.
【解答】解:根据二次根式的意义,得
x﹣2≥0,解得x≥2.
 
13.在一个不透明的口袋中,有四个完全相同的小球,把它们分别标号为1、2、3、4,随机地摸取一个小球记下标号后放回,再随机地摸取一个小球记下标号,则两次摸取的小球标号都是1的概率为   .
【考点】列表法与树状图法.
【分析】列表得出所有等可能的情况数,找出两次摸取的小球标号都是1的情况数,即可求出所求的概率.
【解答】解:列表如下:
 1 2 3 4
1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1)
2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2)
3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3)
4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4)
所有等可能的情况有16种,其中两次摸取的小球标号都是1的情况有1种,
则P= .
故答案为:
 
14.如图,在矩形ABCD中,AB=2DA,以点A为圆心,AB为半径的圆弧交DC于点E,交AD的延长线于点F,设DA=2,图中阴影部分的面积为  π﹣2  .
 
【考点】矩形的性质;扇形面积的计算.
【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得∠AED=30°,然后求出DE,再根据阴影部分的面积=S扇形AEF﹣S△ADE列式计算即可得解.
【解答】解:∵AB=2DA,AB=AE(扇形的半径),
∴AE=2DA=2×2=4,
∴∠AED=30°,
∴∠DAE=90°﹣30°=60°,
DE= = =2 ,
∴阴影部分的面积=S扇形AEF﹣S△ADE,
= ﹣ ×2×2 ,
= π﹣2 .
故答案为: π﹣2 .
 
15.在江岸区创建文明城区的活动中,有两段长度相等的彩色砖道铺设任务,分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工.如图是反映所铺设彩色砖道的长度y(米)与施工时间x(时)之间关系的部分图象.如果甲队施工速度不变,乙队在开挖6小时后,施工速度增加到12米/时,结果两队同时完成了任务,则甲队从开始施工到完工所铺设的彩色道砖的长度为 110 米.
 
【考点】一次函数的应用.
【分析】(1)设函数关系是为y=kx+b,然后利用待定系数法求解即可;
(2)先求出甲队的速度,然后设甲队从开始到完工所铺设彩色砖道的长度为z米,再根据6小时后两队所用的时间相等列方程求解即可.
【解答】解:(1)设乙队在2≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y=kx+b,
由图可知,函数图象过点(2,30),(6,50),
 ,
解得 .
∴y=5x+20;
(2)由图可知,甲队速度是:60÷6=10(米/时),
设甲队从开始到完工所铺设彩色道砖的长度为z米,
依题意得 ,
解得z=110.
答:甲队从开始到完工所铺设彩色道砖的长度为110米.
 
16.如图,BC是⊙O弦,D是BC上一点,DO交⊙O于点A,连接AB、OC,若∠A=20°,∠C=30°,则∠AOC的度数为 100° .
 
【考点】圆周角定理.
【分析】设∠AOC=x°,根据圆周角定理得到∠B的度数,根据三角形的外角的性质列出方程,解方程得到答案.
【解答】解:设∠AOC=x°,则∠B= x°,
∵∠AOC=∠ODC+∠C,∠ODC=∠B+∠A,
∴x=20°+30°+ x,
解得x=100°.
故答案为:100°.
 
17.如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABO的顶点O与原点重合,顶点B在x轴上,∠ABO=90°,OA与反比例函数y= 的图象交于点D,且OD=2AD,过点D作x轴的垂线交x轴于点C.若S四边形ABCD=10,则k的值为 ﹣16 .
 
【考点】相似三角形的判定与性质;反比例函数系数k的几何意义.
【分析】证△DCO∽△ABO,推出 = = = ,求出 =( )2= ,求出S△ODC=8,根据三角形面积公式得出 OC×CD=8,求出OC×CD=16即可.
【解答】解:∵OD=2AD,
∴ = ,
∵∠ABO=90°,DC⊥OB,
∴AB∥DC,
∴△DCO∽△ABO,
∴ = = = ,
∴ =( )2= ,
∵S四边形ABCD=10,
∴S△ODC=8,
∴ OC×CD=8,
OC×CD=16,
∵双曲线在第二象限,
∴k=﹣16,
故答案为:﹣16.
 
18.如图,n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上,设△B2D1C1的面积为S1,△B3D2C2的面积为S2,…,△Bn+1DnCn的面积为Sn,则S2=   ;Sn=   .(用含n的式子表示)
 
【考点】相似三角形的判定与性质;等边三角形的性质.
【分析】由三角形的相似性可求得S2、S3、S4的值,则Sn的值也可用含n的式子表示出来.
【解答】解:由于各三角形为等边三角形,且各边长为2,过各三角形的顶点B1、B2、B3…向对边作垂线,垂足为M1、M2、M3,
∵△AB1C1是等边三角形,
∴AD1=AC1•sin60°=2× = ,
∵△B1C1B2也是等边三角形,
∴C1B1是∠AC1B2的角平分线,
∴AD1=B2D1= ,
故S1=S△B2C1A﹣S△AC1D1= ×2× ﹣ ×2× = ;
S2=S△B3C2A﹣S△AC2D2= ×4× ﹣ ×4× =2 ﹣ = ;
作AB∥B1C1,使AB=AB1,连接BB1,则B2,B3,…Bn在一条直线上.
∵Bn Cn∥AB,
∴ = = ,
∴BnDn= •AB= ,
则DnCn=2﹣BnDn=2﹣ = .
△BnCnBn+1是边长是2的等边三角形,因而面积是: .
△Bn+1DnCn面积为Sn= • = • = .
即第n个图形的面积Sn= .
 
 
三、解答题(第19题10分,第20题12分,共22分)
19.先化简,后求值: ,其中x=3.
【考点】分式的化简求值.
【分析】首先将括号里面通分,能分解因式的分解因式,进而化简后求值得出.
【解答】解: ,
=( + )×
= ×
= ,
当x=3时,原式= = .
 
20.为了贯彻“减负增效”精神,掌握2014~2015学年度九年级600名学生每天的自主学习情况,某校学生会随机抽查了2014~2015学年度九年级的部分学生,并调查他们每天自主学习的时间.根据调查结果,制作了两幅不完整的统计图(图1,图2),请根据统计图中的信息回答下列问题:
(1)本次调查的学生人数是 40 人;
(2)图2中α是 54 度,并将图1条形统计图补充完整;
(3)请估算该校2014~2015学年度九年级学生自主学习时间不少于1.5小时有 330 人;
(4)老师想从学习效果较好的4位同学(分别记为A,B,C,D,其中A为小亮)随机选择两位进行学习经验交流,用列表法或树状图的方法求出选中小亮A的概率.
 
【考点】列表法与树状图法;用样本估计总体;扇形统计图;条形统计图.
【分析】(1)由自主学习的时间是1小时的有12人,占30%,即可求得本次调查的学生人数;
(2)由 ×360°=54°,40×35%=14;即可求得答案;
(3)首先求得这40名学生自主学习时间不少于1.5小时的百分比,然后可求得该校九年级学生自主学习时间不少于1.5小时的人数;
(4)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与选中小亮A的情况,再利用概率公式求解即可求得答案.
【解答】解:(1)∵自主学习的时间是1小时的有12人,占30%,
∴12÷30%=40,
故答案为:40;

 (2) ×360°=54°,
40×35%=14;补充图形如图:
 ,
故答案为:54;

(3)600× =330,
故答案为:330;

(4)画树状图得:
 
∵共有12种等可能的结果,选中小亮A的有6种,
∴P(A)= = .
 
四、解答题(每题12分,共24分)
21.如图,己知点A(1, )在反比例函数y= (x>0)的图象上,连接OA,将线段OA绕点D顺时针方向旋转30°,得到线段OB.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)判断点B是否在反比例函数图象上,并说明理由;
(3)设直线AB的解析式为y=ax+b,请直接写出不等式ax+b﹣ <0的解集.
 
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.
【分析】(1)根据反比例函数图象上点的坐标特征可计算出k= ,于是得到反比例函数解析式为y= ;
(2)作AE⊥y轴于E,BF⊥x轴于F,如图,在Rt△OAE中根据正切定义得到tan∠AOE= ,则∠AOE=30°,所以OA=2AE=2,再根据旋转的性质得∠AOB=30°,OB=OA=2,于是可计算出∠BOF=30°,接着在Rt△BOF中,利用含30度的直角三角形三边的关系得BF= OB=1,OF= BF= ,则B( ,1),然后根据反比例函数图象上点的坐标特征判断点B( ,1)是否在反比例函数y= 的图象上;
(2)观察函数图象,写出反比例函数图象在直线AB上方所对应的自变量的范围即可.
【解答】解:(1)∵点A(1, )在反比例函数y= (x>0)的图象上,
∴k=1× = ,
∴反比例函数解析式为y= ;
(2)点B在反比例函数图象上.理由如下:
作AE⊥y轴于E,BF⊥x轴于F,如图,
在Rt△OAE中,∵AE=1,OE= ,
∴tan∠AOE= = ,
∴∠AOE=30°,OA=2AE=2,
∵线段OA绕点O顺时针方向旋转30°,得到线段OB,
∴∠AOB=30°,OB=OA=2,
∴∠BOF=30°,
在Rt△BOF中,BF= OB=1,
OF= BF= ,
∴B( ,1),
∵当x= 时,y= =1,
∴点B( ,1)在反比例函数y= 的图象上;
(2)0<x<1或x> .
 
 
22.某超市用3000元购进某种干果,由于销售状况良好,超市又用9000元第二次购进该干果,但第二次的进价比第一次的提高了20%,第二次购进干果数量是第一次的2倍还多300千克.
(1)求该干果的第一次进价是每千克多少元?
(2)百姓超市按每千克9元的价格出售,当大部分干果售出后,余下的按售价的8折售完,若两次销售这种干果的利润不少于5820元,则最多余下多少千克干果按售价的8折销售.
【考点】分式方程的应用;一元一次不等式的应用.
【分析】(1)设该种干果的第一次进价是每千克x元,则第二次进价是每千克(1+20%)x元.根据第二次购进干果数量是第一次的2倍还多300千克,列出方程,解方程即可求解.
(2)根据利润=售价﹣进价列出不等式并解答.
【解答】解:(1)设该种干果的第一次进价是每千克x元,则第二次进价是每千克(1+20%)x元,
由题意,得 =2× +300,
解得x=5,
经检验x=5是方程的解.
答:该种干果的第一次进价是每千克5元.

(2)设当大部分干果售出后,余下a千克按售价的8折售完,
由题意得:[ + ﹣a]×9+9×80%a﹣≥5820,
解得a≤600.
答:当大部分干果售出后,余下的按售价的8折售完,若两次销售这种干果的利润不少于5820元,则最多余下600千克干果按售价的8折销售.
 
五、解答题
23.如图,某风景区的湖心岛有一凉亭A,其正东方向有一棵大树B,小明想测量A、B之间的距离,他从湖边的C处测得A在北偏西45°方向上,测得B在北偏东32°方向上,且量得B、C之间的距离为100米,根据上述测量结果,请你帮小明计算A、B之间的距离是多少?(精确到1米,参考数据:sin32°=0.5299,cos32°=0.8480)
 
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题.
【分析】本题可通过构建直角三角形来解答,过点C作AB的垂线交AB于D,CD是直角三角形ACD和CBD的公共直角边,要先求出CD的值然后再求AD,BD的值,进而得出AB的长.
【解答】解:过点C作AB的垂线交AB于D,
∵B点在A点的正东方向上,
∴∠ACD=45°,∠DCB=32°,
在Rt△BCD中,BC=100,
∴DB=BCsin32°≈1000.5299=52.99(米),
CD=BCcos32°≈1000.8480=84.80(米),
在Rt△ACD中,AD=CD,
∴AB=AD+DB≈84.80+52.99=137.79(米)≈138(米).
 
 
六、解答题
24.如图,AB为⊙O的直径,P是BA延长线上一点,PC切⊙O于点C,CG是⊙O的弦,CG⊥AB,垂足为D.
(1)求证:∠PCA=∠ABC;
(2)过点A作AE∥PC,交⊙O于点E,交CD于点F,连接BE.若sin∠P= ,CF=5,求BE的长.
 
【考点】切线的性质;勾股定理;解直角三角形.
【分析】(1)连接OC,由PC切⊙O于点C,得到OC⊥PC,于是得到∠PCA+∠OCA=90°,由AB为⊙O的直径,得到∠ABC+∠OAC=90°,由于OC=OA,证得∠OCA=∠OAC,于是得到结论;
(2)由AE∥PC,得到∠PCA=∠CAF根据垂径定理得到 ,于是得到∠ACF=∠ABC,由于∠PCA=∠ABC,推出∠ACF=∠CAF,根据等腰三角形的性质得到CF=AF,在Rt△AFD中,AF=5,sin∠FAD= ,求得FD=3,AD=4,CD=8,在Rt△OCD中,设OC=r,根据勾股定理得到方程r2=(r﹣4)2+82,解得r=10,得到AB=2r=20,由于AB为⊙O的直径,得到∠AEB=90°,在Rt△ABE中,由sin∠EAD= ,得到 于是求得结论.
【解答】(1)证明:连接OC,
∵PC切⊙O于点C,
∴OC⊥PC,
∴∠PCO=90°,
∴∠PCA+∠OCA=90°,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠ABC+∠OAC=90°,
∵OC=OA,
∴∠OCA=∠OAC,
∴∠PCA=∠ABC;

(2)解:∵AE∥PC,
∴∠PCA=∠CAF,
∵AB⊥CG,
∴ ,
∴∠ACF=∠ABC,
∵∠PCA=∠ABC,
∴∠ACF=∠CAF,
∴CF=AF,
∵CF=5,
∴AF=5,
∵AE∥PC,
∴∠FAD=∠P,
∵sin∠P= ,
∴sin∠FAD= ,
在Rt△AFD中,AF=5,sin∠FAD= ,
∴FD=3,AD=4,∴CD=8,
在Rt△OCD中,设OC=r,
∴r2=(r﹣4)2+82,
∴r=10,
∴AB=2r=20,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠AEB=90°,在Rt△ABE中,
∵sin∠EAD= ,∴ ,
∵AB=20,
∴BE=12.
 
 
七、解答题
25.已知:正方形ABCD的边长为4,点E为BC的中点,点P为AB上一动点,沿PE翻折△BPE得到△FPE,直线PF交CD边于点Q,交直线AD于点G,联接EQ.
 
(1)如图,当BP=1.5时,求CQ的长;
(2)如图,当点G在射线AD上时,BP=x,DG=y,求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;
(3)延长EF交直线AD于点H,若△CQE与△FHG相似,求BP的长.
【考点】相似形综合题.
【分析】(1)首先确定∠PEQ=90°,即PE⊥EQ,然后利用△PBE∽△ECQ,列出比例式求出CD的长度;
(2)根据△PBE∽△ECQ,求出DQ的表达式;由QD∥AP,列出比例式求解;
(3)本问分两种情形,需要分类讨论,避免漏解.
【解答】解:(1)由翻折性质,可知PE为∠BPQ的角平分线,且BE=FE.
∵点E为BC中点,
∴EC=EB=EF,
∴QE为∠CQP的角平分线.
∵AB∥CD,
∴∠BPQ+∠CQP=180°,即2∠EPQ+2∠EQP=180°,
∴∠EPQ+∠EQP=90°,
∴∠PEQ=90°,即PE⊥EQ.
易证△PBE∽△ECQ,
∴ ,即 ,
解得:CQ= .

(2)由(1)知△PBE∽△ECQ,
∴ ,即 ,
∴CQ= ,∴DQ=4﹣ .
∵QD∥AP,∴ ,又AP=4﹣x,AG=4+y,
∴ ,
∴y= (1<x<2).

(3)由题意知:∠C=90°=∠GFH.
①当点G在线段AD的延长线上时,如答图1所示.
由题意知:∠G=∠CQE
∵∠CQE=∠FQE,
∴∠DQG=∠FQC=2∠CQE=2∠G.
∵∠DQG+∠G=90°,
∴∠G=30°,
∴∠BEP=∠CQE=∠G=30°,
∴BP=BE•tan30°= ;
 
②当点G在线段DA的延长线上时,如答图2所示.
由题意知:∠FHG=∠CQE.
同理可得:∠G=30°,
∴∠BPE=∠G=30°,
∴∠BEP=60°,
∴BP=BE•tan60°= .
综上所述,BP的长为 或 .
 
八、解答题
26.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=﹣ +c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),交y轴的正半轴于点C,其顶点为M,MH⊥x轴于点H,MA交y轴于点N,sin∠MOH= .
(1)求此抛物线的函数表达式;
(2)过H的直线与y轴相交于点P,过O,M两点作直线PH的垂线,垂足分别为E,F,若 = 时,求点P的坐标;
(3)将(1)中的抛物线沿y轴折叠,使点A落在点D处,连接MD,Q为(1)中的抛物线上的一动点,直线NQ交x轴于点G,当Q点在抛物线上运动时,是否存在点Q,使△ANG与△ADM相似?若存在,求出所有符合条件的直线QG的解析式;若不存在,请说明理由.
 
【考点】二次函数综合题;勾股定理;相似三角形的判定与性质.
【分析】(1)由抛物线y=﹣ +c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),交y轴的正半轴于点C,其顶点为M,MH⊥x轴于点H,MA交y轴于点N,sin∠MOH= ,求出c的值,进而求出抛物线方程;
(2)如图1,由OE⊥PH,MF⊥PH,MH⊥OH,可证△OEH∽△HFM,可知HE,HF的比例关系,求出P点坐标;
(3)首先求出D点坐标,写出直线MD的表达式,由两直线平行,两三角形相似,可得NG∥MD,直线QG解析式.
【解答】解:(1)∵M为抛物线y=﹣ +c的顶点,
∴M(2,c).
∴OH=2,MH=|c|.
∵a<0,且抛物线与x轴有交点,
∴c>0,
∴MH=c,
∵sin∠MOH= ,
∴ = .
∴OM= c,
∵OM2=OH2+MH2,
∴MH=c=4,
∴M(2,4),
∴抛物线的函数表达式为:y=﹣ +4.

(2)如图1,∵OE⊥PH,MF⊥PH,MH⊥OH,
∴∠EHO=∠FMH,∠OEH=∠HFM.
∴△OEH∽△HFM,
∴ = = ,
∵ = ,
∴MF=HF,
∴∠OHP=∠FHM=45°,
∴OP=OH=2,
∴P(0,2).
如图2,同理可得,P(0,﹣2).
 

(3)∵A(﹣1,0),
∴D(1,0),
∵M(2,4),D(1,0),
∴直线MD解析式:y=4x﹣4,
∵ON∥MH,∴△AON∽△AHM,
∴ = = = ,
∴AN= ,ON= ,N(0, ).
如图3,若△ANG∽△AMD,可得NG∥MD,
∴直线QG解析式:y=4x+ ,
如图4,若△ANG∽△ADM,可得 =
∴AG= ,
∴G( ,0),
∴QG:y=﹣ x+ ,
综上所述,符合条件的所有直线QG的解析式为:y=4x+ 或y=﹣ x+ .
 

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