2016年聊城东昌府区中考数学一模试卷(附答案和解释)

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2016年聊城东昌府区中考数学一模试卷(附答案和解释)

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山 课 件 w w w.
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2016年山东省聊城市东昌府区中考数学一模试卷
 
一、选择题(共12小题,每小题3分)
1.81的算术平方根是(  )
A.9 B.±9 C.3 D.±3
2.下列计算结果正确的是(  )
A.(﹣a3)2=a9B.a2•a3=a6
C. ﹣22=﹣2 D.  =1
3.不等式组 的整数解的个数是(  )
A.3 B.5 C.7 D.无数个
4.下列说法正确的是(  )
A.掷一枚均匀的骰子,骰子停止转动后,6点朝上是必然事件
B.甲、乙两人在相同条件下各射击10次,他们的成绩平均数相同,方差分别是S甲2=0.4,S乙2=0.6,则甲的射击成绩较稳定
C.“明天降雨的概率为 ”,表示明天有半天都在降雨
D.了解一批电视机的使用寿命,适合用普查的方式
5.某射击小组有20人,教练根据他们某次射击的数据绘制成如图所示的统计图,则这组数据的众数和中位数分别是(  )
 
A.7,7 B.8,7.5 C.7,7.5 D.8,6.5
6.若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根,则一次函数y=kx+b的大致图象可能是(  )
A.  B.  C.  D.
7.如图,在△ABC中,∠CAB=75°,将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置,使CC′∥AB,则旋转角的度数为(  )
 
A.30° B.40° C.50° D.75°
8.函数y= + 中自变量x的取值范围是(  )
A.x≤2 B.x≤2且x≠1 C.x<2且x≠1 D.x≠1
9.如图,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,得到下面四个结论:
①OA=OD;②AD⊥EF;③当∠A=90°时,四边形AEDF是正方形;④AE2+DF2=AF2+DE2.
其中正确的是(  )
 
A.②③④ B.②④ C.①③④ D.②③
10.△ABC为⊙O的内接三角形,若∠AOC=160°,则∠ABC的度数是(  )
A.80° B.160° C.100° D.80°或100°
11.如图,正六边形ABCDEF内接于圆O,圆O的半径为6,则这个正六边形的边心距OM和 的长分别为(  )
 
A.3、 B.   、π C.3 、 D.3 、2π
12.如图,已知△ABC为等边三角形,AB=2,点D为边AB上一点,过点D作DE∥AC,交BC于E点;过E点作EF⊥DE,交AB的延长线于F点.设AD=x,△DEF的面积为y,则能大致反映y与x函数关系的图象是(  )
 
A.  B.  C.  D.
 
二、填空题(本体共5小题,每小题3分,共15分)
13.分解因式:3x2﹣12x+12=      .
14.在▱ABCD中,M是AD边上一点,且AM= AD,连接BD、MC相交于O点,则S△MOD:S△COB=      .
15.定义:给定关于x的函数y,对于该函数图象上任意两点(x1,y1),(x2,y2),当x1<x2时,都有y1<y2,称该函数为增函数,根据以上定义,可以判断下面所给的函数中,是增函数的有      (填上所有正确答案的序号)
①y=2x;②y=﹣x+1;③y=x2(x>0);④y=﹣ .
16.观察下列图形,它们是按一定规律排列的,依照此规律,第n个图形有      个太阳.
 
17.如图,在平面直角坐标系中,将矩形AOCD沿直线AE折叠(点E在边DC上),折叠后端点D恰好落在边OC上的点F处.若点D的坐标为(10,8),则点E的坐标为      .
 
 
三、解答题
18.已知A= ﹣
(1)化简A;
(2)若x满足﹣1≤x<2,且x为整数,请选择一个适合的x值代入,求A的值.
19.某学校对某班学生“五•一”小长假期间的度假情况进行调查,并根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图,请你根据图中提供的信息解答下面的问题:
(1)求出该班学生的总人数;
(2)补全频数分布直方图;
(3)求出扇形统计图中∠α的度数.
 
20.如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别为边AB、CD的中点,BD是对角线.
(1)求证:△ADE≌△CBF;
(2)若∠ADB是直角,则四边形BEDF是什么四边形?证明你的结论.
 
21.如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O与BC相交于点D,与CA的延长线相交于点E,过点D作DF⊥AC于点F.
(1)试说明DF是⊙O的切线;
(2)若AC=3AE,求tanC.
 
22.如图,在一个18米高的楼顶上有一信号塔DC,李明同学为了测量信号塔的高度,在地面的A处测的信号塔下端D的仰角为30°,然后他正对塔的方向前进了18米到达地面的B处,又测得信号塔顶端C的仰角为60°,CD⊥AB与点E,E、B、A在一条直线上.请你帮李明同学计算出信号塔CD的高度(结果保留整数, ≈1.7, ≈1.4 )
 
23.如图,一次函数y=﹣x+4的图象与反比例y= (k为常数,且k≠0)的图象交于A(1,a),B两点.
(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标;
(2)在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小,求PA+PB的最小值.
 
24.在某市组织的大型商业演出活动中,对团体购买门票实行优惠,决定在原定票价基础上每张降价80元,这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数,现在只花费了4800元.
(1)求每张门票的原定票价;
(2)根据实际情况,活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠政策,原定票价经过连续二次降价后降为324元,求平均每次降价的百分率.
25.如图,已知抛物线y=ax2﹣5ax+2(a≠0)与y轴交于点C,与x轴交于点A(1,0)和点B.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求直线BC的解析式;
(3)若点N是抛物线上的动点,过点N作NH⊥x轴,垂足为H,以B,N,H为顶点的三角形是否能够与△OBC相似(排除全等的情况)?若能,请求出所有符合条件的点N的坐标;若不能,请说明理由.
 
 
 

2016年山东省聊城市东昌府区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
 
一、选择题(共12小题,每小题3分)
1.81的算术平方根是(  )
A.9 B.±9 C.3 D.±3
【考点】算术平方根.
【分析】依据算术平方根的定义求解即可.
【解答】解:∵92=81,
∴81的算术平方根是9.
故选;A.
 
2.下列计算结果正确的是(  )
A.(﹣a3)2=a9B.a2•a3=a6
C. ﹣22=﹣2 D.  =1
【考点】幂的乘方与积的乘方;同底数幂的乘法;零指数幂;负整数指数幂.
【分析】利用幂的乘方与积的乘方,同底数幂的乘法,零指数幂及负整数指数幂的法则判定即可.
【解答】解:A、(﹣a3)2=a6,故本选项不正确,
B、a2•a3=a5,故本选项不正确,
C、 ﹣22=﹣2,故本选项正确,
D、cos60°﹣ =0,故本选项不正确,
故选:C.
 
3.不等式组 的整数解的个数是(  )
A.3 B.5 C.7 D.无数个
【考点】一元一次不等式组的整数解.
【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集,然后求出其公共解集,最后求其整数解即可.
【解答】解: ,
解①得:x>﹣2,
解②得:x≤3.
则不等式组的解集是:﹣2<x≤3.
则整数解是:﹣1,0,1,2,3共5个.
故选B.
 
4.下列说法正确的是(  )
A.掷一枚均匀的骰子,骰子停止转动后,6点朝上是必然事件
B.甲、乙两人在相同条件下各射击10次,他们的成绩平均数相同,方差分别是S甲2=0.4,S乙2=0.6,则甲的射击成绩较稳定
C.“明天降雨的概率为 ”,表示明天有半天都在降雨
D.了解一批电视机的使用寿命,适合用普查的方式
【考点】方差;全面调查与抽样调查;随机事件;概率的意义.
【分析】利用事件的分类、普查和抽样调查的特点、概率的意义以及方差的性质即可作出判断.
【解答】解:A、掷一枚均匀的骰子,骰子停止转动后,6点朝上是可能事件,此选项错误;
B、甲、乙两人在相同条件下各射击10次,他们的成绩平均数相同,方差分别是S甲2=0.4,S乙2=0.6,则甲的射击成绩较稳定,此选项正确;
C、“明天降雨的概率为 ”,表示明天有可能降雨,此选项错误;
D、解一批电视机的使用寿命,适合用抽查的方式,此选项错误;
故选B.
 
5.某射击小组有20人,教练根据他们某次射击的数据绘制成如图所示的统计图,则这组数据的众数和中位数分别是(  )
 
A.7,7 B.8,7.5 C.7,7.5 D.8,6.5
【考点】众数;条形统计图;中位数.
【分析】中位数,因图中是按从小到大的顺序排列的,所以只要找出最中间的一个数(或最中间的两个数)即可,本题是最中间的两个数;对于众数可由条形统计图中出现频数最大或条形最高的数据写出.
【解答】解:由条形统计图中出现频数最大条形最高的数据是在第三组,7环,故众数是7(环);
因图中是按从小到大的顺序排列的,最中间的环数是7(环)、8(环),故中位数是7.5(环).
故选C.
 
6.若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根,则一次函数y=kx+b的大致图象可能是(  )
A.  B.  C.  D.
【考点】根的判别式;一次函数的图象.
【分析】根据一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根,得到判别式大于0,求出kb的符号,对各个图象进行判断即可.
【解答】解:∵x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根,
∴△=4﹣4(kb+1)>0,
解得kb<0,
A.k>0,b>0,即kb>0,故A不正确;
B.k>0,b<0,即kb<0,故B正确;
C.k<0,b<0,即kb>0,故C不正确;
D.k>0,b=0,即kb=0,故D不正确;
故选:B.
 
7.如图,在△ABC中,∠CAB=75°,将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置,使CC′∥AB,则旋转角的度数为(  )
 
A.30° B.40° C.50° D.75°
【考点】旋转的性质.
【分析】根据两直线平行,内错角相等可得∠ACC′=∠CAB,根据旋转的性质可得AC=AC′,然后利用等腰三角形两底角相等求∠CAC′,再根据∠CAC′、∠BAB′都是旋转角解答.
【解答】解:∵CC′∥AB,
∴∠ACC′=∠CAB=65°,
∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′,
∴AC=AC′,
∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×75°=30°,
∴∠CAC′=∠BAB′=30°
故选A.
 
8.函数y= + 中自变量x的取值范围是(  )
A.x≤2 B.x≤2且x≠1 C.x<2且x≠1 D.x≠1
【考点】函数自变量的取值范围.
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义,被开方数大于等于0,分母不等于0,就可以求解.
【解答】解:根据二次根式有意义,分式有意义得:2﹣x≥0且x﹣1≠0,
解得:x≤2且x≠1.
故选:B.
 
9.如图,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,得到下面四个结论:
①OA=OD;②AD⊥EF;③当∠A=90°时,四边形AEDF是正方形;④AE2+DF2=AF2+DE2.
其中正确的是(  )
 
A.②③④ B.②④ C.①③④ D.②③
【考点】全等三角形的判定与性质;正方形的判定.
【分析】根据角平分线性质求出DE=DF,证△AED≌△AFD,推出AE=AF,再逐个判断即可.
【解答】解:根据已知条件不能推出OA=OD,∴①错误;
∵AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,
∴DE=DF,∠AED=∠AFD=90°,
在Rt△AED和Rt△AFD中,
 ,
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL),
∴AE=AF,
∵AD平分∠BAC,
∴AD⊥EF,∴②正确;
∵∠BAC=90°,∠AED=∠AFD=90°,
∴四边形AEDF是矩形,
∵AE=AF,
∴四边形AEDF是正方形,∴③正确;
∵AE=AF,DE=DF,
∴AE2+DF2=AF2+DE2,∴④正确;
故选A.
 
10.△ABC为⊙O的内接三角形,若∠AOC=160°,则∠ABC的度数是(  )
A.80° B.160° C.100° D.80°或100°
【考点】圆周角定理.
【分析】首先根据题意画出图形,由圆周角定理即可求得答案∠ABC的度数,又由圆的内接四边形的性质,即可求得∠ABC的度数.
【解答】解:如图,∵∠AOC=160°,
∴∠ABC= ∠AOC= ×160°=80°,
∵∠ABC+∠AB′C=180°,
∴∠AB′C=180°﹣∠ABC=180°﹣80°=100°.
∴∠ABC的度数是:80°或100°.
故选D.
 
 
11.如图,正六边形ABCDEF内接于圆O,圆O的半径为6,则这个正六边形的边心距OM和 的长分别为(  )
 
A.3、 B.   、π C.3 、 D.3 、2π
【考点】正多边形和圆;弧长的计算.
【分析】连接OC,OD,由正六边形ABCDEF可求出∠COD=60°,进而可求出∠COM=30°,根据30°角的锐角三角函数值即可求出边心距OM的长,再由弧长公式即可求出弧BC的长.
【解答】解:连接OC,OD,
∵正六边形ABCDEF是圆的内接多边形,
∴∠COD=60°,
∵OC=OD,OM⊥CD,
∴∠COM=30°,
∵OC=6,
∴OM=6cos30°=3 ,
∴ = =2π
故选D.
 
 
12.如图,已知△ABC为等边三角形,AB=2,点D为边AB上一点,过点D作DE∥AC,交BC于E点;过E点作EF⊥DE,交AB的延长线于F点.设AD=x,△DEF的面积为y,则能大致反映y与x函数关系的图象是(  )
 
A.  B.  C.  D.
【考点】动点问题的函数图象.
【分析】根据平行线的性质可得∠EDF=∠B=60°,根据三角形内角和定理即可求得∠F=30°,然后证得△EDB是等边三角形,从而求得ED=DB=2﹣x,再根据直角三角形的性质求得EF,最后根据三角形的面积公式求得y与x函数关系式,根据函数关系式即可判定.
【解答】解:∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=60°,
∵DE∥AC,
∴∠EDF=∠B=60°,
∵EF⊥DE,
∴∠DEF=90°,
∴∠F=90°﹣∠EDC=30°;
∵∠ACB=60°,∠EDC=60°,
∴△EDB是等边三角形.
∴ED=DB=2﹣x,
∵∠DEF=90°,∠F=30°,
∴EF= ED= (2﹣x).
∴y= ED•EF= (2﹣x)• (2﹣x),
即y= (x﹣2)2,(x<2),
故选A.
 
二、填空题(本体共5小题,每小题3分,共15分)
13.分解因式:3x2﹣12x+12= 3(x﹣2)2 .
【考点】提公因式法与公式法的综合运用.
【分析】原式提取3后,利用完全平方公式分解即可.
【解答】解:原式=3(x2﹣4x+4)=3(x﹣2)2,
故答案为:3(x﹣2)2
 
14.在▱ABCD中,M是AD边上一点,且AM= AD,连接BD、MC相交于O点,则S△MOD:S△COB= 4:9 .
【考点】相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质.
【分析】根据平行四边形的性质得出AD=BC,AD∥BC,求出 = ,根据相似三角形的判定得出△MOD∽△COB,根据相似得出比例式,即可得出答案.
【解答】解:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,
∵AM= AD,
∴ = ,
∵AD∥BC,
∴△MOD∽△COB,
∴ =( )2=( )2= ,
故答案为:4:9.
 
15.定义:给定关于x的函数y,对于该函数图象上任意两点(x1,y1),(x2,y2),当x1<x2时,都有y1<y2,称该函数为增函数,根据以上定义,可以判断下面所给的函数中,是增函数的有 ①③ (填上所有正确答案的序号)
①y=2x;②y=﹣x+1;③y=x2(x>0);④y=﹣ .
【考点】二次函数的性质;一次函数的性质;正比例函数的性质;反比例函数的性质.
【分析】根据一次函数、二次函数、反比例函数的性质进行分析即可得到答案.
【解答】解:y=2x,2>0,∴①是增函数;
y=﹣x+1,﹣1<0,∴②不是增函数;
y=x2,当x>0时,是增函数,∴③是增函数;
y=﹣ ,在每个象限是增函数,因为缺少条件,∴④不是增函数.
故答案为:①③.
 
16.观察下列图形,它们是按一定规律排列的,依照此规律,第n个图形有 (n+2n﹣1) 个太阳.
 
【考点】规律型:图形的变化类.
【分析】由图形可以看出:第一行小太阳的个数是从1开始连续的自然数,第二行小太阳的个数是1、2、4、8、…、2n﹣1,由此计算得出答案即可.
【解答】解:第一行小太阳的个数为1、2、3、4、…,第n个图形有n个太阳,
第二行小太阳的个数是1、2、4、8、…,第n个图形有2n﹣1个太阳,
所以第n个图形共有(n+2n﹣1)个太阳.
故答案为:n+2n﹣1.
 
17.如图,在平面直角坐标系中,将矩形AOCD沿直线AE折叠(点E在边DC上),折叠后端点D恰好落在边OC上的点F处.若点D的坐标为(10,8),则点E的坐标为 (10,3) .
 
【考点】翻折变换(折叠问题);坐标与图形性质.
【分析】根据折叠的性质得到AF=AD,所以在直角△AOF中,利用勾股定理来求OF=6,然后设EC=x,则EF=DE=8﹣x,CF=10﹣6=4,根据勾股定理列方程求出EC可得点E的坐标.
【解答】解:∵四边形A0CD为矩形,D的坐标为(10,8),
∴AD=BC=10,DC=AB=8,
∵矩形沿AE折叠,使D落在BC上的点F处,
∴AD=AF=10,DE=EF,
在Rt△AOF中,OF= =6,
∴FC=10﹣6=4,
设EC=x,则DE=EF=8﹣x,
在Rt△CEF中,EF2=EC2+FC2,即(8﹣x)2=x2+42,解得x=3,
即EC的长为3.
∴点E的坐标为(10,3),
故答案为:(10,3).
 
 
三、解答题
18.已知A= ﹣
(1)化简A;
(2)若x满足﹣1≤x<2,且x为整数,请选择一个适合的x值代入,求A的值.
【考点】分式的化简求值.
【分析】(1)先通分,再把分子相加减即可;
(2)根据分式有意义的条件选取合适的x的值代入进行计算即可.
【解答】解:(1)A= ﹣
= ﹣
= ﹣
= ;

(2)∵x满足﹣1≤x<2,且x为整数,
∴x=﹣1,0,1,若满足分式有意义,则x=0,
∴当x=0时,A= =﹣1.
 
19.某学校对某班学生“五•一”小长假期间的度假情况进行调查,并根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图,请你根据图中提供的信息解答下面的问题:
(1)求出该班学生的总人数;
(2)补全频数分布直方图;
(3)求出扇形统计图中∠α的度数.
 
【考点】频数(率)分布直方图;扇形统计图.
【分析】(1)根据其它的类型的人数是6人,所占的百分比是12%,据此即可求得总人数;
(2)利用总人数乘以对应的比例求的徒步的人数,然后利用总人数减去其它组的人数求得自驾游的人数,从而补全直方图;
(3)利用360°乘以对应的百分比求得∠α的度数.
【解答】解:(1)该班学生总数是5÷12%=50(人);
(2)徒步的人数是:50×8%=4(人),
自驾游的人数是50﹣12﹣8﹣4﹣6=20(人),
 ;
(3)∠α=360°× =144°.
 
20.如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别为边AB、CD的中点,BD是对角线.
(1)求证:△ADE≌△CBF;
(2)若∠ADB是直角,则四边形BEDF是什么四边形?证明你的结论.
 
【考点】平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质;菱形的判定.
【分析】(1)由四边形ABCD是平行四边形,即可得AD=BC,AB=CD,∠A=∠C,又由E、F分别为边AB、CD的中点,可证得AE=CF,然后由SAS,即可判定△ADE≌△CBF;
(2)先证明BE与DF平行且相等,然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,再连接EF,可以证明四边形AEFD是平行四边形,所以AD∥EF,又AD⊥BD,所以BD⊥EF,根据菱形的判定可以得到四边形是菱形.
【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AB=CD,∠A=∠C,
∵E、F分别为边AB、CD的中点,
∴AE= AB,CF= CD,
∴AE=CF,
在△ADE和△CBF中,

 ,
∴△ADE≌△CBF(SAS);
(2)若∠ADB是直角,则四边形BEDF是菱形,理由如下:
解:由(1)可得BE=DF,
又∵AB∥CD,
∴BE∥DF,BE=DF,
∴四边形BEDF是平行四边形,
连接EF,在▱ABCD中,E、F分别为边AB、CD的中点,
∴DF∥AE,DF=AE,
∴四边形AEFD是平行四边形,
∴EF∥AD,
∵∠ADB是直角,
∴AD⊥BD,
∴EF⊥BD,
又∵四边形BFDE是平行四边形,
∴四边形BFDE是菱形.
 
 
21.如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O与BC相交于点D,与CA的延长线相交于点E,过点D作DF⊥AC于点F.
(1)试说明DF是⊙O的切线;
(2)若AC=3AE,求tanC.
 
【考点】切线的判定.
【分析】(1)连接OD,根据等边对等角得出∠B=∠ODB,∠B=∠C,得出∠ODB=∠C,证得OD∥AC,证得OD⊥DF,从而证得DF是⊙O的切线;
(2)连接BE,AB是直径,∠AEB=90°,根据勾股定理得出BE=2 AE,CE=4AE,然后在RT△BEC中,即可求得tanC的值.
【解答】(1)证明:连接OD,
∵OB=OD,
∴∠B=∠ODB,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∴∠ODB=∠C,
∴OD∥AC,
∵DF⊥AC,
∴OD⊥DF,
∴DF是⊙O的切线;
(2)解:连接BE,
∵AB是直径,
∴∠AEB=90°,
∵AB=AC,AC=3AE,
∴AB=3AE,CE=4AE,
∴BE= =2 AE,
在RT△BEC中,tanC= = = .
 
 
22.如图,在一个18米高的楼顶上有一信号塔DC,李明同学为了测量信号塔的高度,在地面的A处测的信号塔下端D的仰角为30°,然后他正对塔的方向前进了18米到达地面的B处,又测得信号塔顶端C的仰角为60°,CD⊥AB与点E,E、B、A在一条直线上.请你帮李明同学计算出信号塔CD的高度(结果保留整数, ≈1.7, ≈1.4 )
 
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.
【分析】利用30°的正切值即可求得AE长,进而可求得CE长.CE减去DE长即为信号塔CD的高度.
【解答】解:根据题意得:AB=18,DE=18,∠A=30°,∠EBC=60°,
在Rt△ADE中,AE= = =18
∴BE=AE﹣AB=18 ﹣18,
在Rt△BCE中,CE=BE•tan60°=(18 ﹣18) =54﹣18 ,
∴CD=CE﹣DE=54﹣18 ﹣18≈5米.
 
23.如图,一次函数y=﹣x+4的图象与反比例y= (k为常数,且k≠0)的图象交于A(1,a),B两点.
(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标;
(2)在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小,求PA+PB的最小值.
 
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题;轴对称-最短路线问题.
【分析】(1)把点A(1,a)代入一次函数y=﹣x+4,即可得出a,再把点A坐标代入反比例函数y= ,即可得出k,两个函数解析式联立求得点B坐标;
(2)作点B作关于x轴的对称点D,连接AD,交x轴于点P,此时PA+PB=PA+PD=AD的值最小,然后根据勾股定理即可求得.
【解答】解:(1)把点A(1,a)代入一次函数y=﹣x+4,
得a=﹣1+4,
解得a=3,
∴A(1,3),
点A(1,3)代入反比例函数y= ,
得k=3,
∴反比例函数的表达式y= ,
两个函数解析式联立列方程组得 ,
解得x1=1,x2=3,
∴点B坐标(3,1);

(2)作点B作关于x轴的对称点D,交x轴于点C,连接AD,交x轴于点P,此时PA+PB=PA+PD=AD的值最小,
∴D(3,﹣1),
∵A(1,3),
∴AD= =2 ,
∴PA+PB的最小值为2 .
 
 
24.在某市组织的大型商业演出活动中,对团体购买门票实行优惠,决定在原定票价基础上每张降价80元,这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数,现在只花费了4800元.
(1)求每张门票的原定票价;
(2)根据实际情况,活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠政策,原定票价经过连续二次降价后降为324元,求平均每次降价的百分率.
【考点】一元二次方程的应用;分式方程的应用.
【分析】(1)设每张门票的原定票价为x元,则现在每张门票的票价为(x﹣80)元,根据“按原定票价需花费6000元购买的门票张数,现在只花费了4800元”建立方程,解方程即可;
(2)设平均每次降价的百分率为y,根据“原定票价经过连续二次降价后降为324元”建立方程,解方程即可.
【解答】解:(1)设每张门票的原定票价为x元,则现在每张门票的票价为(x﹣80)元,根据题意得
 = ,
解得x=400.
经检验,x=400是原方程的根.
答:每张门票的原定票价为400元;

(2)设平均每次降价的百分率为y,根据题意得
400(1﹣y)2=324,
解得:y1=0.1,y2=1.9(不合题意,舍去).
答:平均每次降价10%.
 
25.如图,已知抛物线y=ax2﹣5ax+2(a≠0)与y轴交于点C,与x轴交于点A(1,0)和点B.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求直线BC的解析式;
(3)若点N是抛物线上的动点,过点N作NH⊥x轴,垂足为H,以B,N,H为顶点的三角形是否能够与△OBC相似(排除全等的情况)?若能,请求出所有符合条件的点N的坐标;若不能,请说明理由.
 
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)把点A坐标代入抛物线y=ax2﹣5ax+2(a≠0)求得抛物线的解析式即可;
(2)求出抛物线的对称轴,再求得点B、C坐标,设直线BC的解析式为y=kx+b,再把B、C两点坐标代入线BC的解析式为y=kx+b,求得k和b即可;
(3)设N(x,ax2﹣5ax+2),分两种情况讨论:①△OBC∽△HNB,②△OBC∽△HBN,根据相似,得出比例式,再分别求得点N坐标即可.
【解答】解:(1)∵点A(1,0)在抛物线y=ax2﹣5ax+2(a≠0)上,
∴a﹣5a+2=0,
∴a= ,
∴抛物线的解析式为y= x2﹣ x+2;
(2)抛物线的对称轴为直线x= ,
∴点B(4,0),C(0,2),
设直线BC的解析式为y=kx+b,
∴把B、C两点坐标代入线BC的解析式为y=kx+b,得
 ,
解得k=﹣ ,b=2,
∴直线BC的解析式y=﹣ x+2;
(3)
方法一:
设N(x,  x2﹣ x+2),分三种情况讨论:
①当△OBC∽△HNB时,如图1,
 = ,
即 = ,
解得x1=5,x2=4(不合题意,舍去),
∴点N坐标(5,2);
②当△OBC∽△HBN时,如图2,
 = ,
即 =﹣ ,
解得x1=2,x2=4(不合题意舍去),
∴点N坐标(2,﹣1);
③当N(x,  x2﹣ x+2)在第二象限时,
H(x,0)在x轴的负半轴上,
∴BH=4﹣x,
∵△OBC∽△HNB,
∴ ,
即 = ,
得到x2﹣x﹣12=0
解得x1=4(舍去); x2=﹣3,
∴N点的坐标为(﹣3,14)
综上所述,N点的坐标为(5,2)、(2,﹣1)或(﹣3,14).

方法二:
以B,N,H为顶点的三角形与△OBC相似,
∴ , ,
设N(2n,2n2﹣5n+2),H(2n,0),
①| |= ,
∴| |=2,
∴2n1=5,2n2=﹣3,
②| |= ,
∴| |= ,
∴2n1=2,2n2=0(舍)
综上所述:存在N1(5,2),N2(2,﹣1),N3(﹣3,14),
使得以点B、N、H为顶点的三角形与△OBC相似.
 

2016年6月30日

文 章来源 莲
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