2016年博白县中考数学一模试卷(含答案和解释)

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2016年博白县中考数学一模试卷(含答案和解释)

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广西玉林市博白县2016年中考数学一模试卷(解析版)

 
一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分)在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的,请将所选选项的宇母涂在相应题号的答題卡上.
1.下列各数中为负数的是(  )
A.﹣1 B.0.1 C.1 D.
2.下列实数中,是有理数的是(  )
A.  B.  C.π D.0
3.森林是地球之肺,每年能为人类提供大约28.3亿吨的有机物.28.3亿吨用科学记数法表示为(  )
A.28.3×107 B.2.83×108 C.0.283×1010 D.2.83×109
4.如图,C、D是线段AB上的两点,且D是线段AC的中点,若AB=10cm,BC=4cm,则AD的长为(  )
 
A.2cm B.3cm C.4cm D.6cm
5.如图是某几何体的三视图,则该几何体的侧面展开图是(  )
 
A.  B.  C.  D.
6.下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是(  )
A.x2+x+1 B.x2+2x﹣1 C.x2﹣1 D.x2﹣6x+9
7.一元二次方程x2+4x﹣3=0的两根为x1、x2,则x1•x2的值是(  )
A.4 B.﹣4 C.3 D.﹣3
8.对于函数y=﹣2x+1,下列结论正确的是(  )
A.它的图象必经过点(﹣1,2)
B.它的图象经过第一、二、三象限
C.当x>1时,y<0
D.y的值随x值的增大而增大
9.学校“清洁校园”环境爱护志愿者的年龄分布如图,那么这些志愿者年龄的众数是(  )
 
A.12岁 B.13岁 C.14岁 D.15岁
10.观察图中尺规作图痕迹,下列说法错误的是(  )
 
A.OE是∠AOB的平分线 B.OC=OD
C.点C、D到OE的距离不相等 D.∠AOE=∠BOE
11.如图,Rt△ABC和Rt△DCA中,∠B=∠ACD=90°,AD∥BC,AB=2,DC=3,则
△ABC与△DCA的面积比为(  )
 
A.2:3 B.2:5 C.4:9 D. :
12.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=9没有实数根,有下列结论:
①b2﹣4ac>0;②abc<0;③m>2.
其中,正确结论的个数是(  )
 
A.0 B.1 C.2 D.3
 
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)请把下列各题的正确答案填写在相应题号的答题卡上.
13.计算:a3÷a2=  .
14.不等式3x+2>1的解集是  .
15.方程 ﹣1=0的解是x=  .
16.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,若AB=5,CD=3,则△ABC的周长是  .
 
17.如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,⊙O的半径为1,则 的长为  .
 
18.在平面直角坐标系的第一象限内,边长为1的正方形ABCD的边均平行于坐标轴,A点的坐标为(a,a).如图,若曲线 与此正方形的边有交点,则a的取值范围是  .
 
 
三、解答题(共8大题,共66分)
19.(6分)计算:  +(﹣1)2016﹣( )﹣1.
20.(6分)已知关于x的一元二次方程x2﹣2 x+m=0有两个不相等的实数根,求实数m的最大整数值.
21.(8分)某学习小组由3名男生和1名女生组成,在一次合作学习后,开始进行成果展示.
(1)如果随机抽取1名同学单独展示,那么女生展示的概率为  ;
(2)如果随机抽取2名同学共同展示,求同为男生的概率.
22.(8分)如图,A,B两地之间有一座山,汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A﹣C﹣B行驶,现开通隧道后,汽车直接沿直线AB行驶.已知AC=10km,∠A=30°,∠B=45°,则隧道开通后,汽车从A地到B地比原来少走多少千米?(结果精确到0.1km)(参考数据: ≈1.41, ≈1.73)
 
23.(8分)如图,以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC,BC的交点分别为D,E.且 = .
(1)求证:AB=AC;
(2)若AB=10,BC=12,求cos∠ABD的值.
 
24.(8分)目前节能灯在城市已基本普及,某商场计划购进甲,乙两种节能灯共1200只,这两种节能灯的进价、售价如表:
 进价(元/只) 售价(元/只)
甲型 25 30
乙型 45 60
(1)如何进货,进货款恰好为46000元?
(2)如何进货,商场销售完节能灯时获利恰好是进货价的30%,此时利润为多少元?
25.(10分)如图,正方形ABCD的边长为1,AB边上有一动点P,连接PD,线段PD绕点P顺时针旋转90°后,得到线段PE,且PE交BC于F,连接DF,过点E作EQ⊥AB的延长线于点Q.
(1)求线段PQ的长;
(2)问:点P在何处时,△PFD∽△BFP,并说明理由.
 
26.(12分)如图,直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B,抛物线y=a(x﹣2)2+k经过点A、B,并与X轴交于另一点C,其顶点为P.
(1)求a,k的值;
(2)抛物线的对称轴上有一点Q,使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形,求Q点的坐标;
(3)在抛物线及其对称轴上分别取点M、N,使以A,C,M,N为顶点的四边形为正方形,求此正方形的边长.
 
 
 

2016年广西玉林市博白县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
 
一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分)在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的,请将所选选项的宇母涂在相应题号的答題卡上.
1.下列各数中为负数的是(  )
A.﹣1 B.0.1 C.1 D.
【考点】正数和负数.
【分析】根据小于0的数叫做负数解答即可.
【解答】解:A、﹣2014,是负数,故本选项正确;
B、0.1是正数,故本选项错误;
C、1是正数,故本选项错误;
D、 是正数,故本选项错误.
故选A.
【点评】本题考查了正数和负数,是基础题,熟记概念是解题的关键.
 
2.下列实数中,是有理数的是(  )
A.  B.  C.π D.0
【考点】实数.
【分析】根据有理数是有限小数或无限不循环小数,可得答案.
【解答】解: , ,π是无理数,
0是有理数,
故选:D.
【点评】本题考查了实数,有理数是有限小数或无限不循环小数,无理数是无限不循环小数.
 
3.森林是地球之肺,每年能为人类提供大约28.3亿吨的有机物.28.3亿吨用科学记数法表示为(  )
A.28.3×107 B.2.83×108 C.0.283×1010 D.2.83×109
【考点】科学记数法—表示较大的数.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答】解:28.3亿=28.3×108=2.83×109.
故选D.
【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
 
4.如图,C、D是线段AB上的两点,且D是线段AC的中点,若AB=10cm,BC=4cm,则AD的长为(  )
 
A.2cm B.3cm C.4cm D.6cm
【考点】两点间的距离.
【分析】由AB=10cm,BC=4cm,可求出AC=AB﹣BC=6cm,再由点D是AC的中点,则可求得AD的长.
【解答】解:∵AB=10cm,BC=4cm,
∴AC=AB﹣BC=6cm,
又∵点D是AC的中点,
∴AD= AC=3cm.
答:AD的长为3cm.
故选:B.
【点评】本题考查了两点间的距离,利用线段差及中点性质是解题的关键.
 
5.如图是某几何体的三视图,则该几何体的侧面展开图是(  )
 
A.  B.  C.  D.
【考点】由三视图判断几何体;几何体的展开图.
【分析】由三视图可以看出,此几何体是一个圆柱,指出圆柱的侧面展开图即可.
【解答】解:根据几何体的三视图可以得到该几何体是圆柱,圆柱的侧面展开图是矩形,且高度=主视图的高,宽度=俯视图的周长.
故选A.
【点评】本题考查了由三视图判断几何体及几何体的侧面展开图的知识,重点考查由三视图还原实物图的能力,及几何体的空间感知能力,是立体几何题中的基础题.
 
6.下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是(  )
A.x2+x+1 B.x2+2x﹣1 C.x2﹣1 D.x2﹣6x+9
【考点】因式分解-运用公式法.
【分析】根据完全平方公式的特点:两项平方项的符号相同,另一项是两底数积的2倍,对各选项分析判断后利用排除法求解.
【解答】解:A、x2+x+1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点,故A错误;
B、x2+2x﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点,故B错误;
C、x2﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点,故C错误;
D、x2﹣6x+9=(x﹣3)2,故D正确.
故选:D.
【点评】本题考查了用公式法进行因式分解,能用公式法进行因式分解的式子的特点需熟记.
 
7.一元二次方程x2+4x﹣3=0的两根为x1、x2,则x1•x2的值是(  )
A.4 B.﹣4 C.3 D.﹣3
【考点】根与系数的关系.
【分析】根据根与系数的关系求解.
【解答】解:x1•x2=﹣3.
故选D.
【点评】本题考查了根与系数的关系:x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=﹣ ,x1x2= .
 
8.对于函数y=﹣2x+1,下列结论正确的是(  )
A.它的图象必经过点(﹣1,2)
B.它的图象经过第一、二、三象限
C.当x>1时,y<0
D.y的值随x值的增大而增大
【考点】一次函数的性质.
【分析】根据一次函数的系数结合一次函数的性质,即可得知B、D选项不正确,再分别代入x=﹣1,x=1求出与之对应的y值,即可得出A不正确,C正确,此题得解.
【解答】解:A、令y=﹣2x+1中x=﹣1,则y=3,
∴一次函数的图象不过点(﹣1,2),即A不正确;
B、∵k=﹣2<0,b=1>0,
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限,即B不正确;
C、∵k=﹣2<0,
∴一次函数中y随x的增大而减小.
∵令y=﹣2x+1中x=1,则y=﹣1,
∴当x>1时,y<0成立,即C正确;
D、∵k=﹣2<0,
∴一次函数中y随x的增大而减小,D不正确.
故选C.
【点评】本题考查了一次函数的图象以及一次函数的性质,解题的关键是逐条分析四个选项.本题属于基础题,难度不大,解决该题时,熟悉一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象与系数的关系是解题的关键.
 
9.学校“清洁校园”环境爱护志愿者的年龄分布如图,那么这些志愿者年龄的众数是(  )
 
A.12岁 B.13岁 C.14岁 D.15岁
【考点】条形统计图;众数.
【分析】根据众数的定义,就是出现次数最多的数,据此即可判断.
【解答】解:众数是14岁.
故选:C.
【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用.读懂统计图,从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据.
 
10.观察图中尺规作图痕迹,下列说法错误的是(  )
 
A.OE是∠AOB的平分线 B.OC=OD
C.点C、D到OE的距离不相等 D.∠AOE=∠BOE
【考点】角平分线的性质.
【分析】根据图形的画法得出OE是∠AOB的角平分线,再根据尺规作图的画法结合角平分线的性质逐项分析四个选项即可得出结论.
【解答】解:根据尺规作图的画法可知:OE是∠AOB的角平分线.
A、OE是∠AOB的平分线,A正确;
B、OC=OD,B正确;
C、点C、D到OE的距离相等,C不正确;
D、∠AOE=∠BOE,D正确.
故选C.
【点评】本题考查了尺规作图中的作角的平分线以及角平分线的性质,解题的关键是逐项分析四个选项.本题属于基础题,难度不大,牢记尺规作图的方法和步骤是关键.
 
11.如图,Rt△ABC和Rt△DCA中,∠B=∠ACD=90°,AD∥BC,AB=2,DC=3,则
△ABC与△DCA的面积比为(  )
 
A.2:3 B.2:5 C.4:9 D. :
【考点】相似三角形的判定与性质.
【分析】由AD∥BC,得出∠ACB=∠DAC,证得△ABC∽△DCA,再由面积的比等于相似比的平方,即可得到问题答案.
【解答】解:∵AD∥BC,
∴∠ACB=∠DAC
又∵∠B=∠ACD=90°,
∴△CBA∽△ACD,
∴ ,
∵AB=2,DC=3,
∴ ,
∴ = ,
故选C.
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的性质,通过证明三角形相似得出面积比等于相似比的平方是解决问题的关键.
 
12.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=9没有实数根,有下列结论:
①b2﹣4ac>0;②abc<0;③m>2.
其中,正确结论的个数是(  )
 
A.0 B.1 C.2 D.3
【考点】二次函数图象与系数的关系.
【分析】根据抛物线与x轴的交点个数对①进行判断;由抛物线开口方向得a<0,由抛物线的对称轴在y轴的右侧得b>0,由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c>0,则可对②进行判断;由ax2+bx+c﹣m=0没有实数根得到抛物线y=ax2+bx+c与直线y=m没有公共点,加上二次函数的最大值为2,则m>2,于是可对③进行判断.
【解答】解:∵抛物线与x轴有2个交点,
∴b2﹣4ac>0,故①正确;

∵抛物线开口向下,
∴a<0,
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧,
∴b>0,
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,
∴c>0,
∴abc<0,故②正确;

∵ax2+bx+c﹣m=9没有实数根,
即抛物线y=ax2+bx+c与直线y=m+9没有公共点,
∵二次函数的最大值为2,
∴m>7,故③错误.
故选:C.
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴的范围求2a与b的关系,以及二次函数与方程之间的转换,根的判别式的熟练运用.
 
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)请把下列各题的正确答案填写在相应题号的答题卡上.
13.计算:a3÷a2= a .
【考点】同底数幂的除法.
【分析】根据同底数幂的除法,底数不变指数相减即可求解.
【解答】解:a3÷a2=a.
故答案是:a.
【点评】本题考查同底数幂的除法法则,一定要记准法则才能做题.
 
14.不等式3x+2>1的解集是 x>﹣  .
【考点】解一元一次不等式.
【分析】先移项,然后把x的系数化为1即可.
【解答】解:移项得3x>﹣1,
系数化为1得x>﹣ .
故答案为x>﹣ .
【点评】本题考查了解一元一次不等式:根据不等式的性质解一元一次不等式基本操作方法与解一元一次方程基本相同,都有如下步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤化系数为1.
 
15.方程 ﹣1=0的解是x= 2 .
【考点】解分式方程.
【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.
【解答】解:去分母得:2﹣x=0,
解得:x=2,
经检验x=2是分式方程的解.
故答案为:2.
【点评】此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.
 
16.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,若AB=5,CD=3,则△ABC的周长是 16 .
 
【考点】等腰三角形的性质.
【分析】运用等腰三角形的性质,可得BD=CD,再求出△ABC的周长.
【解答】解:∵在△ABC中,AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形,
又∵AD⊥BC于点D
∴BD=CD
∵AB=5,CD=3
∴△ABC的周长=5+3+3+5=16.
故答案为:16.
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质,熟练掌握等腰三角形中的三线合一是解题的关键.
 
17.如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,⊙O的半径为1,则 的长为   .
 
【考点】弧长的计算;正多边形和圆.
【分析】求出圆心角∠AOB的度数,再利用弧长公式解答即可.
【解答】解:∵ABCDEF为正六边形,
∴∠AOB=360°× =60°,
 的长为 = .
故答案为: .
【点评】此题将扇形的弧长公式与多边形的性质相结合,构思巧妙,利用了正六边形的性质.
 
18.在平面直角坐标系的第一象限内,边长为1的正方形ABCD的边均平行于坐标轴,A点的坐标为(a,a).如图,若曲线 与此正方形的边有交点,则a的取值范围是  ≤a  .
 
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征.
【分析】根据题意得出C点的坐标(a﹣1,a﹣1),然后分别把A、C的坐标代入求得a的值,即可求得a的取值范围.
【解答】解:∵A点的坐标为(a,a).
根据题意C(a﹣1,a﹣1),
当C在曲线 时,则a﹣1= ,
解得a= +1,
当A在曲线 时,则a= ,
解得a= ,
∴a的取值范围是 ≤a .
故答案为 ≤a .
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,点的坐标适合解析式是解题的关键.
 
三、解答题(共8大题,共66分)
19.计算:  +(﹣1)2016﹣( )﹣1.
【考点】实数的运算;负整数指数幂.
【分析】原式利用二次根式性质,乘方的意义,以及负整数指数幂法则计算即可得到结果.
【解答】解:原式=2+1﹣2
=1.
【点评】此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
 
20.已知关于x的一元二次方程x2﹣2 x+m=0有两个不相等的实数根,求实数m的最大整数值.
【考点】根的判别式.
【分析】若一元二次方程有两不等实数根,则根的判别式△=b2﹣4ac>0,建立关于m的不等式,求出m的取值范围.
【解答】解:∵一元二次方程x2﹣2 x+m=0有两个不相等的实数根,
∴△=8﹣4m>0,
解得m<2,
故整数m的最大值为1.
【点评】此题考查了根的判别式,总结:一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;
(3)△<0⇔方程没有实数根.
 
21.某学习小组由3名男生和1名女生组成,在一次合作学习后,开始进行成果展示.
(1)如果随机抽取1名同学单独展示,那么女生展示的概率为   ;
(2)如果随机抽取2名同学共同展示,求同为男生的概率.
【考点】列表法与树状图法.
【分析】(1)4名学生中女生1名,求出所求概率即可;
(2)列表得出所有等可能的情况数,找出同为男生的情况数,即可求出所求概率.
【解答】解:(1)如果随机抽取1名同学单独展示,那么女生展示的概率为 ;

(2)列表如下:
 男 男 男 女
男 ﹣﹣﹣ (男,男) (男,男) (女,男)
男 (男,男) ﹣﹣﹣ (男,男) (女,男)
男 (男,男) (男,男) ﹣﹣﹣ (女,男)
女 (男,女) (男,女) (男,女) ﹣﹣﹣
所有等可能的情况有12种,其中同为男生的情况有6种,
则P= = .
【点评】此题考查了列表法与树状图法,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
 
22.如图,A,B两地之间有一座山,汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A﹣C﹣B行驶,现开通隧道后,汽车直接沿直线AB行驶.已知AC=10km,∠A=30°,∠B=45°,则隧道开通后,汽车从A地到B地比原来少走多少千米?(结果精确到0.1km)(参考数据: ≈1.41, ≈1.73)
 
【考点】勾股定理的应用.
【分析】过点C作AB的垂线CD,垂足为D,在直角△ACD和直角△CBD中,解直角三角形求出CD,AD,BC,就可以得到结论.
【解答】解:过点C作AB的垂线CD,垂足为D.
∵AC=10km,∠A=30°,
∴CD= AC=5(km).
AD= = =5 (km).
在Rt△CDB中,∵∠B=45°,
∴CD=BD=5km.
∴BC= = =5 (km).
∴从A地到B地汽车少走的距离是:AC+BC﹣AB.
即AC+BC﹣AB=AC+BC﹣(AD+BD)
=10+5 ﹣(5 +5)
=5×(1+ ﹣ )
≈5×(1+1.41﹣1.73)
≈3.4(km).
答:隧道开通后,汽车从A地到B地少走约3.4(km).
 
【点评】解一般三角形,求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题,解决的方法就是作高线.
 
23.如图,以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC,BC的交点分别为D,E.且 = .
(1)求证:AB=AC;
(2)若AB=10,BC=12,求cos∠ABD的值.
 
【考点】直线与圆的位置关系;全等三角形的判定与性质;勾股定理;圆周角定理;解直角三角形.
【分析】(1)先连结AE,根据ASA判定△AEB≌△AEC,再根据全等三角形的性质得出AB=AC;
(2)先根据等腰三角形的性质以及勾股定理,求得AE和BE的长,再根据面积法求得BD的长,最后计算cos∠ABD的值.
【解答】(1)方法一:连结AE,
∵AB是直径,
∴∠AEB=∠AEC=90°,
∵ ,
∴∠BAE=∠CAE,
又AE=AE,
∴△AEB≌△AEC(ASA),
∴AB=AC;
方法二:∵AB是直径,
∴∠ADB=∠CDB=90°,
∵ ,
∴DE=BE,
∴∠CBD=∠BDE,
∴∠C=∠CDE,
∵ABED是圆内接四边形,
∴∠CDE=∠CBA,
∴∠C=∠CBA,
∴AB=AC;

(2)由(1)知△ABC为等腰三角形,AE⊥BC,
∴BE=CE= BC= ×12=6,
∵在Rt△ABE中,AB=10,BE=6,
∴AE= =8,
∵AB是直径,
∴∠ADB=90°,
∴ ,
∴ ,
∴ .
 
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、圆周角定理以及勾股定理的综合应用,解决问题的关键是作辅助线,构造全等三角形.解题时注意面积法的运用.
 
24.目前节能灯在城市已基本普及,某商场计划购进甲,乙两种节能灯共1200只,这两种节能灯的进价、售价如表:
 进价(元/只) 售价(元/只)
甲型 25 30
乙型 45 60
(1)如何进货,进货款恰好为46000元?
(2)如何进货,商场销售完节能灯时获利恰好是进货价的30%,此时利润为多少元?
【考点】一元一次方程的应用.
【分析】(1)设商场购进甲型节能灯x只,则购进乙型节能灯(1200﹣x)只,由题意可得等量关系:甲型的进货款+乙型的进货款=46000元,根据等量关系列出方程,再解方程即可;
(2)设商场购进甲型节能灯a只,则购进乙型节能灯(1200﹣a)只,由题意可得:甲型的总利润+乙型的总利润=总进货款×30%,根据等量关系列出方程,再解即可.
【解答】解:(1)设商场购进甲型节能灯x只,则购进乙型节能灯(1200﹣x)只,
由题意,得:
25x+45(1200﹣x)=46000,
解得:x=400.
购进乙型节能灯1200﹣400=800(只),
答:购进甲型节能灯400只,购进乙型节能灯800只进货款恰好为46000元;

(2)设商场购进甲型节能灯a只,则购进乙型节能灯(1200﹣a)只,
由题意,得:(30﹣25)a+(60﹣45)(1200﹣a)=[25a+45(1200﹣a)]×30%.
解得:a=450.
购进乙型节能灯1200﹣450=750只.
5 a+15(1200﹣a)=13500元.
答:商场购进甲型节能灯450只,购进乙型节能灯750只时利润为13500元.
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用,关键是正确理解题意,找出题目中的等量关系,设出未知数,列出方程.
 
25.(10分)(2014•柳州)如图,正方形ABCD的边长为1,AB边上有一动点P,连接PD,线段PD绕点P顺时针旋转90°后,得到线段PE,且PE交BC于F,连接DF,过点E作EQ⊥AB的延长线于点Q.
(1)求线段PQ的长;
(2)问:点P在何处时,△PFD∽△BFP,并说明理由.
 
【考点】相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;正方形的性质.
【分析】(1)由题意得:PD=PE,∠DPE=90°,又由正方形ABCD的边长为1,易证得△ADP≌△QPE,然后由全等三角形的性质,求得线段PQ的长;
(2)易证得△DAP∽△PBF,又由△PFD∽△BFP,根据相似三角形的对应边成比例,可得证得PA=PB,则可求得答案.
【解答】解:(1)根据题意得:PD=PE,∠DPE=90°,
∴∠APD+∠QPE=90°,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠A=90°,
∴∠ADP+∠APD=90°,
∴∠ADP=∠QPE,
∵EQ⊥AB,
∴∠A=∠Q=90°,
在△ADP和△QPE中,
 ,
∴△ADP≌△QPE(AAS),
∴PQ=AD=1;

(2)∵△PFD∽△BFP,
∴ ,
∵∠ADP=∠EPB,∠CBP=∠A,
∴△DAP∽△PBF,
∴ ,
∴ = ,
∴PA=PB,
∴PA= AB=
∴当PA= ,即点P是AB的中点时,△PFD∽△BFP.
 
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及全等三角形的判定与性质.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.
 
26.(12分)(2014•益阳)如图,直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B,抛物线y=a(x﹣2)2+k经过点A、B,并与X轴交于另一点C,其顶点为P.
(1)求a,k的值;
(2)抛物线的对称轴上有一点Q,使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形,求Q点的坐标;
(3)在抛物线及其对称轴上分别取点M、N,使以A,C,M,N为顶点的四边形为正方形,求此正方形的边长.
 
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)先求出直线y=﹣3x+3与x轴交点A,与y轴交点B的坐标,再将A、B两点坐标代入y=a(x﹣2)2+k,得到关于a,k的二元一次方程组,解方程组即可求解;
(2)设Q点的坐标为(2,m),对称轴x=2交x轴于点F,过点B作BE垂直于直线x=2于点E.在Rt△AQF与Rt△BQE中,用勾股定理分别表示出AQ2=AF2+QF2=1+m2,BQ2=BE2+EQ2=4+(3﹣m)2,由AQ=BQ,得到方程1+m2=4+(3﹣m)2,解方程求出m=2,即可求得Q点的坐标;
(3)当点N在对称轴上时,由NC与AC不垂直,得出AC为正方形的对角线,根据抛物线的对称性及正方形的性质,得到M点与顶点P(2,﹣1)重合,N点为点P关于x轴的对称点,此时,MF=NF=AF=CF=1,且AC⊥MN,则四边形AMCN为正方形,在Rt△AFN中根据勾股定理即可求出正方形的边长.
【解答】解:(1)∵直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B,
∴A(1,0),B(0,3).
又∵抛物线y=a(x﹣2)2+k经过点A(1,0),B(0,3),
∴ ,解得 ,
故a,k的值分别为1,﹣1;

(2)设Q点的坐标为(2,m),对称轴x=2交x轴于点F,过点B作BE垂直于直线x=2于点E.
在Rt△AQF中,AQ2=AF2+QF2=1+m2,
在Rt△BQE中,BQ2=BE2+EQ2=4+(3﹣m)2,
∵AQ=BQ,
∴1+m2=4+(3﹣m)2,
∴m=2,
∴Q点的坐标为(2,2);

(3)当点N在对称轴上时,NC与AC不垂直,所以AC应为正方形的对角线.
又∵对称轴x=2是AC的中垂线,
∴M点与顶点P(2,﹣1)重合,N点为点P关于x轴的对称点,其坐标为(2,1).
此时,MF=NF=AF=CF=1,且AC⊥MN,
∴四边形AMCN为正方形.
在Rt△AFN中,AN= = ,即正方形的边长为 .
 
 
【点评】本题是二次函数的综合题型,其中涉及到的知识点有二元一次方程组的解法,等腰三角形的性质,勾股定理,二次函数的性质,正方形的判定与性质,综合性较强,难度适中.

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来源莲山
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