2016镇海区九年级数学上册期末试卷(含答案和解释)

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2016镇海区九年级数学上册期末试卷(含答案和解释)

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山 课 件 w w w.
5Y k J. c oM

2015-2016学年浙江省宁波市镇海区九年级(上)期末数学试卷
 
一、选择题
1.抛物线y=﹣ x2+1的顶点坐标是(  )
A.(0,1) B.( ,1) C.(﹣ ,﹣1) D.(2,﹣1)
2.在半径为12的⊙O中,60°圆心角所对的弧长是(  )
A.6π B.4π C.2π D.π
3.如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,∠B=70°,则∠D的度数是(  )
 
A.110° B.90° C.70° D.50°
4.数学课上,老师让学生尺规作图画Rt△ABC,使其斜边AB=c,一条直角边BC=a.小明的作法如图所示,你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是(  )
 
A.勾股定理
B.直径所对的圆周角是直角
C.勾股定理的逆定理
D.90°的圆周角所对的弦是直径
5.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列关系式错误的是(  )
 
A.a<0 B.b>0 C.b2﹣4ac>0 D.a+b+c<0
6.如图所示.在等分的圆形纸片上作随机扎针实脸,针头扎在阴影区城内的概率为(  )
 
A.  B.  C.  D.
7.若二次函数y=ax2+c的图象经过点P(1,3),则该图象必经过点(  )
A.(1,﹣3) B.(﹣1,3) C.(3,﹣1) D.(﹣3,1)
8.已知 a= b,那么a:b=(  )
A.10:3 B.3:10 C.2:15 D.15:2
9.如图,AB为⊙O的直径,P点在AB延长线上,PM切⊙O于M点,若OA=a,PM= a,那么△PMB的周长为(  )
 
A.2a B.2 a C.a D.(2+ )a
10.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=4,那么cosA为(  )
 
A.  B.  C.  D.
11.如图,⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,EA是⊙O的切线.若∠EAC=120°,则∠ABC的度数是(  )
 
A.80° B.70° C.60° D.50°
12.若抛物线y=x2+bx+c与x轴有唯一公共点,且过点A(m,n),B(m﹣8,n),则n=(  )
A.12 B.14 C.16 D.18
 
二、填空
13.已知 ≠0,则 的值为  .
14.二次函数y=x2﹣2x+3的最小值是  .
15.下列4个事件:①异号两数相加,和为负数;②异号两数相减,差为正数;③异号两数相乘,积为正数;④异号两数相除,商为负数.必然事件是  ,不可能事件是  .(将事件的序号填上即可)
16.如图是一个古代车轮的碎片,小明为求其外圆半径,连接外圆上的两点A、B,并使AB与车轮内圆相切于点D,半径为OC⊥AB交外圆于点C.测得CD=10cm,AB=60cm,则这个车轮的外圆半径是  .
 
17.如图,网格中的四个格点组成菱形ABCD,则tan∠DBC的值为  .
 
18.如图,已知点D在锐角三角形ABC的BC边上,AB>AC,点E、F分别是△ABD、△ACD的外心,且EF=BC,那么∠ADC=  度.
 
 
三、解答题
19.计算: .
20.如图,在△ABC中,已知DE∥BC,AD=4,DB=8,DE=3.
(1)求 的值;
(2)求BC的长.
 
21.有一个抛物线形的拱形桥洞,桥面离水面的距离为5.6米,桥洞离水面的最大高度为4m,跨度为10m,如图所示,把它的图形放在直角坐标系中.
(1)求这条抛物线所对应的函数关系式.
(2)如图,在对称轴右边1m处,桥洞离桥面的高是多少?
 
22.甲同学做抛正四面体骰子(如图:均匀的正四面体形状,各面分别标有数字1、2、3、4)实验,共抛了60次,向下面数字出现的次数如表:
 向下面数字  1 2   3 4
 出现次数 11   16 18   15
(1)计算此次实验中出现向下面数字为4的频率;
(2)如果甲、乙两同学各抛一枚这样的骰子,请用表格或树状图表示:两枚骰子向下面数字之和的所有等可能性结果,并求出和为3的倍数的概率.
 
23.如图,A为某旅游景区的最佳观景点,游客可从B处乘坐缆车先到达小观景平台DE观景,然后再由E处继续乘坐缆车到达A处,返程时从A处乘坐升降电梯直接到达C处,已知:AC⊥BC于C,DE∥BC,BC=110米,DE=9米,BD=60米,α=32°,β=68°,求AC的高度.(参考数据:sin32°≈0.53;cos32°≈0.85;tan32°≈0.62;sin68°≈0.93;cos68°≈0.37;tan68°≈2.48)
 
24.教材的《课题学习》要求同学们用一张正三角形纸片折叠成正六边形,小明同学按照如下步骤折叠:
 
请你根据小明同学的折叠方法,回答以下问题:
(1)如果设正三角形ABC的边长为a,那么CO=  (用含a的式子表示);
(2)根据折叠性质可以知道△CDE的形状为  三角形;
(3)请同学们利用(1)、(2)的结论,证明六边形KHGFED是一个六边形.
25.如图,等边三角形ACD内接于⊙O,直径AB与弦CD交于点F,过点B作⊙O的切线BM,交AD的延长线于点E.
(1)求证:弦CD∥BM;
(2)已知DE=2,连结OE,求OE的长.
 
26.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=a(x﹣1)2+4与x轴交于点A、B两点,与y轴交于点C,且点B的坐标为(3,0),点P在这条抛物线的第一象限图象上运动.过点P作y轴的垂线与直线BC交于点Q,以PQ为边作Rt△PQF,使∠PQF=90°,点F在点Q的下方,且QF=1,设线段PQ的长度为d,点P的横坐标为m.
(1)求这条抛物线所对应的函数表达式;
(2)求d与m之间的函数关系式;
(3)当Rt△PQF的边PF被y轴平分时,求d的值;
(4)以OB为直角边作等腰直角三角形OBD,其中点D在第一象限,直接写出点F落在△OBD的边上时m的值.
 
 
 

2015-2016学年浙江省宁波市镇海区九年级(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析
 
一、选择题
1.抛物线y=﹣ x2+1的顶点坐标是(  )
A.(0,1) B.( ,1) C.(﹣ ,﹣1) D.(2,﹣1)
【考点】二次函数的性质.
【分析】利用抛物线顶点坐标公式可求得答案.
【解答】解:
∵﹣ =﹣ =0,  = =1,
∴顶点坐标为(0,1),
故选A.
【点评】本题主要考查二次函数的性质,掌握二次函数的顶点坐标公式是解题的关键.
 
2.在半径为12的⊙O中,60°圆心角所对的弧长是(  )
A.6π B.4π C.2π D.π
【考点】弧长的计算.
【分析】根据弧长公式计算即可.
【解答】解:L= = =4π,
故选B.
【点评】本题主要考查了弧长公式.
 
3.如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,∠B=70°,则∠D的度数是(  )
 
A.110° B.90° C.70° D.50°
【考点】圆内接四边形的性质.
【分析】先根据圆内接四边形的对角互补得出∠D+∠B=180°,即可解答.
【解答】解:∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,
∴∠D+∠B=180°,
∴∠D=180°﹣70°=110°,
故选:A.
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质,熟知圆内接四边形对角互补的性质是解答此题的关键.
 
4.数学课上,老师让学生尺规作图画Rt△ABC,使其斜边AB=c,一条直角边BC=a.小明的作法如图所示,你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是(  )
 
A.勾股定理
B.直径所对的圆周角是直角
C.勾股定理的逆定理
D.90°的圆周角所对的弦是直径
【考点】作图—复杂作图;勾股定理的逆定理;圆周角定理.
【分析】由作图痕迹可以看出AB是直径,∠ACB是直径所对的圆周角,即可作出判断.
【解答】解:由作图痕迹可以看出O为AB的中点,以O为圆心,AB为直径作圆,然后以B为圆心BC=a为半径花弧与圆O交于一点C,故∠ACB是直径所对的圆周角,所以这种作法中判断∠ACB是直角的依据是:直径所对的圆周角是直角.
故选:B.
【点评】本题主要考查了尺规作图以及圆周角定理的推论,能够看懂作图过程是解决问题的关键.
 
5.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列关系式错误的是(  )
 
A.a<0 B.b>0 C.b2﹣4ac>0 D.a+b+c<0
【考点】二次函数图象与系数的关系.
【专题】计算题
【分析】根据抛物线的开口方向对A进行判断;根据抛物线的对称轴位置对B进行判断;根据抛物线与x轴的交点个数对C进行判断;根据自变量为1所对应的函数值为正数对D进行判断.
【解答】解:A、抛物线开口向下,则a<0,所以A选项的关系式正确;
B、抛物线的对称轴在y轴的右侧,a、b异号,则b>0,所以B选项的关系式正确;
C、抛物线与x轴有2个交点,则△=b2﹣4ac>0,所以D选项的关系式正确;
D、当x=1时,y>0,则a+b+c>0,所以D选项的关系式错误.
故选D.
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系:对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小,当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右.(简称:左同右异);常数项c决定抛物线与y轴交点:抛物线与y轴交于(0,c).抛物线与x轴交点个数由△决定:△=b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.
 
6.如图所示.在等分的圆形纸片上作随机扎针实脸,针头扎在阴影区城内的概率为(  )
 
A.  B.  C.  D.
【考点】几何概率.
【分析】由题意知本题是一个几何概型,试验包含的所有事件对应的图形是整个圆.而满足条件的事件对应的是阴影部分,根据几何概型概率公式得到结果.
【解答】解:由题意知本题是一个几何概型,
试验包含的所有事件是对应的图形是整个圆,
而满足条件的事件是事件对应的是阴影部分,
由几何概型概率公式得到P= = .
故选C.
【点评】本题考查几何概型,几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到.几何概型和古典概型是高中必修中学习的高考时常以选择和填空出现,有时文科会考这种类型的解答题.
 
7.若二次函数y=ax2+c的图象经过点P(1,3),则该图象必经过点(  )
A.(1,﹣3) B.(﹣1,3) C.(3,﹣1) D.(﹣3,1)
【考点】二次函数图象上点的坐标特征.
【分析】先求出二次函数的对称轴,根据二次函数的对称性即可得出结论.
【解答】解:∵二次函数y=ax2+c的对称轴为y轴,图象经过点P(1,3),
∴则该图象必经过点(﹣1,3).
故选B.
【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征,熟知二次函数的对称性是解答此题的关键.
 
8.已知 a= b,那么a:b=(  )
A.10:3 B.3:10 C.2:15 D.15:2
【考点】比例的性质.
【分析】设a=5k,则b= k,根据比例的性质即可求得.
【解答】解:设a=5k,
∵ a= b,
∴b= k,
∴ = = ,
故选A.
【点评】本题考查了比例的性质,熟练掌握比例的性质是关键.
 
9.如图,AB为⊙O的直径,P点在AB延长线上,PM切⊙O于M点,若OA=a,PM= a,那么△PMB的周长为(  )
 
A.2a B.2 a C.a D.(2+ )a
【考点】切线的性质.
【分析】首先连接OM,由PM切⊙O于M点,若OA=a,PM= a,可求得OP的长,继而求得BP的长,即可得OB=BP,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可求得BM的长,则可求得△PMB的周长.
 
【解答】解:连接OM,
∵PM切⊙O于M点,
∴OM⊥PM,
∴∠OMP=90°,
∵OM=OA=a,PM= a,
∴OP= =2a,
∵OB=OA=a,
∴BP=OP﹣OB=2a﹣a=a,
∴OB= OP=OM,
∴MB= OP=a,
∴△PMB的周长为:BM+BP+PM=a+a+ a=(2+ )a.
故选D.
 
【点评】此题考查了切线的性质以及直角三角形的性质.注意准确作出辅助线是解此题的关键.
 
10.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=4,那么cosA为(  )
 
A.  B.  C.  D.
【考点】锐角三角函数的定义.
【分析】根据勾股定理求出AC,根据余弦的定义计算即可.
【解答】解:∵∠C=90°,AB=5,BC=4,
∴AC= =3,
∴cosA= = ,
故选:B.
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义,掌握锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦是解题的关键.
 
11.如图,⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,EA是⊙O的切线.若∠EAC=120°,则∠ABC的度数是(  )
 
A.80° B.70° C.60° D.50°
【考点】切线的性质.
【分析】根据EA是⊙O的切线,AD是⊙O的直径,得到∠EAD=90°,由∠EAC=120°,所以∠DAC=∠EAC﹣∠EAD=30°,根据AD是⊙O的直径,所以∠ACD=90°,进而得到∠ADC=180°﹣∠ACD﹣∠DAC=60°,根据圆周角定理得∠ABC=∠ADC=60°.
【解答】解:∵EA是⊙O的切线,AD是⊙O的直径,
∴∠EAD=90°,
∵∠EAC=120°,
∴∠DAC=∠EAC﹣∠EAD=30°,
∵AD是⊙O的直径,
∴∠ACD=90°,
∴∠ADC=180°﹣∠ACD﹣∠DAC=60°,
∴∠ABC=∠ADC=60°(圆周角定理),
故选:C.
【点评】本题考查切线的性质和圆周角定理,解决本题的关键是掌握圆周角定理的内容.
 
12.若抛物线y=x2+bx+c与x轴有唯一公共点,且过点A(m,n),B(m﹣8,n),则n=(  )
A.12 B.14 C.16 D.18
【考点】抛物线与x轴的交点.
【分析】由题意b2﹣4c=0,得b2=4c,又抛物线过点A(m,n),B(m﹣8,n),可知A、B关于直线x=﹣ 对称,所以A(﹣ +4,n),B(﹣ ﹣4,n),把点A坐标代入y=x2+bx+c,化简整理即可解决问题.
【解答】解:由题意b2﹣4c=0,
∴b2=4c,
又∵抛物线过点A(m,n),B(m﹣8,n),
∴A、B关于直线x=﹣ 对称,
∴A(﹣ +4,n),B(﹣ ﹣4,n),
把点A坐标代入y=x2+bx+c,
n=(﹣ +4)2+b(﹣ +4)+c=﹣ b2+16+c,
∵b2=4c,
∴n=16.
故选C.
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点,待定系数法等知识,解题的关键是记住△=b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点,△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点,△=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点,属于中考常考题型.
 
二、填空题
13.已知 ≠0,则 的值为   .
【考点】比例的性质.
【分析】根据比例的性质,可用a表示b、c,根据分式的性质,可得答案.
【解答】解:由比例的性质,得
c= a,b= a.
 = = = .
故答案为: .
【点评】本题考查了比例的性质,利用比例的性质得出a表示b、c是解题关键,又利用了分式的性质.
 
14.二次函数y=x2﹣2x+3的最小值是 2 .
【考点】二次函数的最值.
【分析】把函数的解析式化为顶点式的形式即可解答.
【解答】解:∵二次函数y=x2﹣2x+3可化为y=(x﹣1)2+2的形式,
∴二次函数y=x2﹣2x+3的最小值是2.
【点评】本题由于函数的二次项系数较小,所以可把函数解析式化为顶点式即y=a(x+h)2+k的形式解答.
 
15.下列4个事件:①异号两数相加,和为负数;②异号两数相减,差为正数;③异号两数相乘,积为正数;④异号两数相除,商为负数.必然事件是 ④ ,不可能事件是 ③ .(将事件的序号填上即可)
【考点】随机事件.
【分析】必然事件就是一定发生的事件,不可能事件就是一定不会发生的事件,依据定义即可判断.
【解答】解:①异号两数相加,和为负数,是随机事件;
②异号两数相减,差为正数,是随机事件;
③异号两数相乘,积为正数,是不可能事件;
④异号两数相除,商为负数,是必然事件.
故必然事件是④,不可能事件是③.
故答案是:④;③.
【点评】本题考查了必然事件和不可能事件的定义,解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.
 
16.如图是一个古代车轮的碎片,小明为求其外圆半径,连接外圆上的两点A、B,并使AB与车轮内圆相切于点D,半径为OC⊥AB交外圆于点C.测得CD=10cm,AB=60cm,则这个车轮的外圆半径是 50cm .
 
【考点】垂径定理的应用;勾股定理;切线的性质.
【分析】根据垂径定理求得AD=30cm,然后根据勾股定理即可求得半径.
【解答】解:如图,连接OA,
∵CD=10cm,AB=60cm,
∵CD⊥AB,
∴OC⊥AB,
∴AD= AB=30cm,
∴设半径为r,则OD=r﹣10,
根据题意得:r2=(r﹣10)2+302,
解得:r=50.
∴这个车轮的外圆半径长为50cm.
故答案为:50cm.
 
【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用,作出辅助线构建直角三角形是本题的关键.
 
17.如图,网格中的四个格点组成菱形ABCD,则tan∠DBC的值为 3 .
 
【考点】菱形的性质;解直角三角形.
【专题】网格型.
【分析】连接AC与BD相交于点O,根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD,BO= BD,CO= AC,再利用勾股定理列式求出AC、BD,然后根据锐角的正切等于对边比邻边列式计算即可得解.
【解答】解:如图,连接AC与BD相交于点O,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,BO= BD,CO= AC,
由勾股定理得,AC= =3 ,
BD= = ,
所以,BO= × = ,
CO= ×3 = ,
所以,tan∠DBC= = =3.
故答案为:3.
 
【点评】本题考查了菱形的性质,解直角三角形,主要利用了菱形的对角线互相垂直平分,作辅助线构造出直角三角形是解题的关键.
 
18.如图,已知点D在锐角三角形ABC的BC边上,AB>AC,点E、F分别是△ABD、△ACD的外心,且EF=BC,那么∠ADC= 30 度.
 
【考点】三角形的外接圆与外心.
【分析】先构造直角三角形,求出∠BEA=60°,进而用圆内接四边形的性质即可得出.
【解答】解:如图,
 
作EH⊥BC,FG⊥BC,
∴HG= BC,
∴HG= EF,
作FM⊥EH,
∴FM=HG= EF,
∴∠MEF=30°,
∴∠BEA=60°,
作内接四边形ADBN,
∴∠ADC=∠N,
∵∠N= ∠BEA=30°,
∴∠ADC=30°.
故答案为30
【点评】此题是三角形内接圆与内心,主要考查了直角三角形性质,圆内接四边形的性质,解本题的关键是作出辅助线.
 
三、解答题
19.计算: .
【考点】特殊角的三角函数值;二次根式的加减法.
【分析】将sin60°= ,tan30°= 代入运算,然后将二次根式化简、合并即可.
【解答】解:原式=
=
= .
【点评】本题考查了二次根式的加减及特殊角的三角函数值,特殊角的三角函数值是需要同学们熟练记忆的内容.
 
20.如图,在△ABC中,已知DE∥BC,AD=4,DB=8,DE=3.
(1)求 的值;
(2)求BC的长.
 
【考点】相似三角形的判定与性质.
【专题】计算题
【分析】(1)先证明△ADE∽△ABC,然后利用相似比可求出 的值;
(2)先证明△ADE∽△ABC,然后利用相似比可求出BC的长.
【解答】解:(1)∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC,
∴ = = = ;
(2)∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC,
∴ = ,即 = ,
∴BC=9.
【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质:在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用,寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形.在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长.
 
21.有一个抛物线形的拱形桥洞,桥面离水面的距离为5.6米,桥洞离水面的最大高度为4m,跨度为10m,如图所示,把它的图形放在直角坐标系中.
(1)求这条抛物线所对应的函数关系式.
(2)如图,在对称轴右边1m处,桥洞离桥面的高是多少?
 
【考点】二次函数的应用.
【专题】应用题
【分析】(1)由题意可知抛物线的顶点坐标,设函数关系式为y=a(x﹣5)2+4,将已知坐标代入关系式求出a的值.
(2)对称轴右边1米处即x=6,代入解析式求出y=值.
【解答】解:(1)由题意可知,抛物线的顶点坐标为(5,4),
所以设此桥洞所对应的二次函数关系式为y=a(x﹣5)2+4,
由图象知该函数过原点,将O(0,0)代入上式,得:0=a(0﹣5)2+4,
解得a=﹣ ,
故该二次函数解析式为y=﹣ (x﹣5)2+4,

(2)对称轴右边1米处即x=6,此时y=﹣ (6﹣5)2+4=3.84,
因此桥洞离桥面的高5.6﹣3.84=1.76米.
【点评】本题考查的是二次函数的实际应用.考查了现实中的二次函数问题,赋予传统试题新的活力.
 
22.甲同学做抛正四面体骰子(如图:均匀的正四面体形状,各面分别标有数字1、2、3、4)实验,共抛了60次,向下面数字出现的次数如表:
 向下面数字  1 2   3 4
 出现次数 11   16 18   15
(1)计算此次实验中出现向下面数字为4的频率;
(2)如果甲、乙两同学各抛一枚这样的骰子,请用表格或树状图表示:两枚骰子向下面数字之和的所有等可能性结果,并求出和为3的倍数的概率.
 
【考点】模拟实验;列表法与树状图法.
【分析】(1)根据频率= ,计算即可.
(2)用表格写出所有可能,再根据概率的定义计算即可.
【解答】解:(1)出现向下面数字为4的频率为= = .
(2)两枚骰子向下面数字之和的所有等可能性结果见表格,
 
共16种可能,和为3的倍数的有5种可能,
∴P(数字之和为3的倍数)= .
【点评】本题考查频率、频数、总数的关系,概率、树状图、列表法等知识,解题的关键是熟练掌握这些知识,属于中考常考题型.
 
23.如图,A为某旅游景区的最佳观景点,游客可从B处乘坐缆车先到达小观景平台DE观景,然后再由E处继续乘坐缆车到达A处,返程时从A处乘坐升降电梯直接到达C处,已知:AC⊥BC于C,DE∥BC,BC=110米,DE=9米,BD=60米,α=32°,β=68°,求AC的高度.(参考数据:sin32°≈0.53;cos32°≈0.85;tan32°≈0.62;sin68°≈0.93;cos68°≈0.37;tan68°≈2.48)
 
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.
【分析】根据已知和余弦的概念求出DF的长,得到CG的长,根据正切的概念求出AG的长,求和得到答案.
【解答】解:∵cos∠DBF= ,
∴BF=60×0.85=51,
FH=DE=9,
∴EG=HC=110﹣51﹣9=50,
∵tan∠AEG= ,
∴AG=50×2.48=124,
∵sin∠DBF= ,
∴DF=60×0.53=31.8,
∴CG=31.8,
∴AC=AG+CG=124+31.8=155.8.
 
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用,掌握锐角三角函数的概念和坡角的概念是解题的关键,解答时注意:正确作出辅助线构造直角三角形准确运用锐角三角函数的概念列出算式.
 
24.教材的《课题学习》要求同学们用一张正三角形纸片折叠成正六边形,小明同学按照如下步骤折叠:
 
请你根据小明同学的折叠方法,回答以下问题:
(1)如果设正三角形ABC的边长为a,那么CO=  a (用含a的式子表示);
(2)根据折叠性质可以知道△CDE的形状为 等边 三角形;
(3)请同学们利用(1)、(2)的结论,证明六边形KHGFED是一个六边形.
【考点】正多边形和圆;翻折变换(折叠问题).
【分析】(1)根据折叠的性质即可得到结论;
(2)根据折叠的性质即可得到结论;
(3)由(2)知△CDE为等边三角形,根据等边三角形的性质得到CD=CE=DE= CO÷cos30°= a,
求得∠ADE=∠BED=120°,同理可得,AH=AK=KH= a,BG=BF=GF= a,∠CKH=∠BHK=120°,由于AB=BC=AC=a,于是得到结论.
【解答】解:(1)∵正三角形ABC的边长为a,
由折叠的性质可知,点O是三角形的重心,
∴CO= a;
故答案为:  a;
(2)△CDE为等边三角形;
故答案为:等边;
(3)由(2)知△CDE为等边三角形,
∴CD=CE=DE= CO÷cos30°= a,
∠ADE=∠BED=120°,
同理可得,AH=AK=KH= a,BG=BF=GF= a,∠CKH=∠BHK=120°,
∵AB=BC=AC=a,
∴DE=DK=KH=HG=GF=FE= a,∠ADE=∠BED=∠CKH=∠BHK=∠CFG=∠AGF=120°,
∴六边形KHGFED是一个正六边形.
【点评】本题考查了正多形与圆,折叠的性质,三角形的重心的性质,等边三角形的性质,熟练掌握各定理是解题的关键.
 
25.如图,等边三角形ACD内接于⊙O,直径AB与弦CD交于点F,过点B作⊙O的切线BM,交AD的延长线于点E.
(1)求证:弦CD∥BM;
(2)已知DE=2,连结OE,求OE的长.
 
【考点】切线的性质;等边三角形的性质.
【分析】(1)根据切线的性质得到AB⊥BE,根据等边三角形的性质得到AD=AC,由垂径定理得到CD⊥AB,于是得到结论;
(2)连接OE,过O作ON⊥AD于N,由(1)知,△ACD是等边三角形,得到∠DAC=60°又直角三角形的性质得到BE= AE,ON= AO,设⊙O的半径为:r则ON= r,AN=DN= r,由于得到EN=2+ ,BE= AE= ,在Rt△DEF与Rt△BEO中,由勾股定理列方程即可得到结论.
【解答】(1)证明∵AB是⊙O的直径,BM是⊙O的切线,
∴AB⊥BE,
∵△ABC是等边三角形,
∴AD=AC,
∴ = ,
∴CD⊥AB,
∴CD∥BM;

(2)解:连接OE,过O作ON⊥AD于N,由(1)知,△ACD是等边三角形,
∴∠DAC=60°
∵AD=AC,CD⊥AB,
∴∠DAB=30°,
∴BE= AE,ON= AO,
设⊙O的半径为:r,
∴ON= r,AN=DN= r,
∴EN=2+ ,BE= AE= ,
在Rt△NEO与Rt△BEO中,
OE2=ON2+NE2=OB2+BE2,
即( )2+(2+ )2=r2+ ,
∴r=2 ,
∴OE2=( )2+25=28,
∴OE=2 .
 
【点评】本题考查了切线的性质,垂径定理,等边三角形的判定,直角三角形的性质,勾股定理,过O作ON⊥AD于N,构造直角三角形是解题的关键.
 
26.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=a(x﹣1)2+4与x轴交于点A、B两点,与y轴交于点C,且点B的坐标为(3,0),点P在这条抛物线的第一象限图象上运动.过点P作y轴的垂线与直线BC交于点Q,以PQ为边作Rt△PQF,使∠PQF=90°,点F在点Q的下方,且QF=1,设线段PQ的长度为d,点P的横坐标为m.
(1)求这条抛物线所对应的函数表达式;
(2)求d与m之间的函数关系式;
(3)当Rt△PQF的边PF被y轴平分时,求d的值;
(4)以OB为直角边作等腰直角三角形OBD,其中点D在第一象限,直接写出点F落在△OBD的边上时m的值.
 
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)把点B(3,0)代入抛物线y=a(x﹣1)2+4求出a即可.
(2)求出直线BC的解析式,根据P、Q两点纵坐标相同,求出点Q的横坐标即可解决问题.
(3)当Rt△PQF的边PF被y轴平分时,点P与点Q关于y轴对称,如图1中,根据P、Q两点横坐标互为相反数,列出方程即可解决问题.
(4)如图2中,分两种情形当点F在直线OD上时,当点F在直线OB上时,分别列出方程即可解决问题.
【解答】解;(1)把点B(3,0)代入抛物线y=a(x﹣1)2+4,得4a+4=0,
∴a=﹣1,
∴抛物线的解析式为y=﹣(x﹣1)2+4,=﹣x2+2x+3.

(2)对于抛物线y=﹣x2+2x+3,当x=0时,y=3,
∴C(0,3),∵B(3,0),设直线BC的解析式为y=kx+b,则有 ,解得 ,
∴直线BC的解析式为y=﹣x+3,
∵点P坐标(m,﹣m2+2m+3),
∴点Q的纵坐标为﹣m2+2m+3,则﹣x+3=﹣m2+2m+3,
∴x=m2﹣2m,
∴点Q的坐标为(m2﹣2m,﹣m2+2m+3),
∵0<m<3,
∴d=m﹣(m2﹣2m)=﹣m2+3m.

(3)当Rt△PQF的边PF被y轴平分时,点P与点Q关于y轴对称,如图1中,
 
∴P、Q两点横坐标互为相反数,
∴m2﹣2m+m=0,解得m=1或0(舍弃),
∴m=1,d=3﹣1﹣2.

(4)如图2中,
 
∵F(m2﹣2m,﹣m2+2m+2),
当点F在直线OD上时,m2﹣2m=﹣m2+2m+2,解得m=1+ 或1﹣ (舍弃),
当点F在直线OB上时,﹣m2+2m+2=0,解得m=1+ 或1﹣ (舍弃),
综上所述,当m=1+ 或1+ 时,点F落在△OBD的边上.
【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、一次函数等知识,解题的关键是灵活应用待定系数法解决问题,学会分类讨论,不能漏解,属于中考压轴题.

文 章来源 莲
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