2017年中考数学压轴题专项训练试题(上海市附答案)

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2017年中考数学压轴题专项训练试题(上海市附答案)

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5Y k J. c oM

上海市2017年中考数学压轴题专项训练
1.(本题满分12分,第(1)小题满分3分,第(2)小题满分4分,第(3)小题满分5分)
如图,已知抛物线 经过 、 两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2 求 的值;
(3)过点B作BC  轴,垂足为点C,点M是抛物线上一点,直线MN平行于 轴交直线AB于点N,如果M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形,求点N的坐标.
 

1.解:(1)将A(0,-1)、B(4,-3)分别代入
得 , ………………………………………………………………(1分)
解,得  …………………………………………………………………(1分)
所以抛物线的解析式为  ……………………………………………(1分)
(2)过点B作BC  轴,垂足为C,过点A作AH OB,垂足为点H ………(1分)
在 中,OA=1,  ……………………………(1分)
∴ ,∴ ,  ………………(1分)
在 中,    ………………………………(1分)
(3)直线AB的解析式为 ,  ……………………………………………(1分)
设点M的坐标为 ,点N坐标为
那么MN= ;   …………………………(1分)
∵M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形,∴MN=BC=3
解方程 =3得 ;    ……………………………………………(1分)
解方程 得 或 ;   ………………………………………(1分)
所以符合题意的点N有4个
    ……………………………………………………………………………………(1分)

2.(本题满分14分,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分5分,第(3)小题满分5分)
在Rt△ABC中,∠ACB = 90°,经过点B的直线l(l不与直线AB重合)与直线BC的夹角等于∠ABC,分别过点C、点A作直线l的垂线,垂足分别为点D、点E.
(1)如图1,当点E与点B重合时,若AE=4,判断以C点为圆心CD长为半径的圆C与直线AB的位置关系并说明理由;
(2)如图2,当点E在DB延长线上时,求证:AE=2CD;
(3)记直线CE与直线AB相交于点F,若 ,CD = 4,求BD的长.

 

2.解:(1)过点C作CF⊥AB,垂足为点F. ……………………………………………(1分)
∵∠AED=90°,∠ABC=∠CBD,∴∠ABC=∠CBD =45°,
∵∠ACB=90°,∠ABC=45°,AE=4,∴CF=2,BC= ,…………………………(1分)
又∵∠CBD=∠ABC=45°,CD⊥l,∴CD=2, …………………………………………(1分)
∴CD=CF=2,∴圆C与直线AB相切.……………………………………………………(1分)
(2)证明:延长AC交直线l于点G.   ………………………………………………(1分)
∵∠ACB = 90°,∠ABC =∠GBC,∴∠BAC =∠BGC.
∴AB = GB.…………………………………………………………………………………(1分)
∴AC = GC.…………………………………………………………………………………(1分)
∵AE⊥l,CD⊥l,∴AE∥CD.
∴ . …………………………………………………………………………(1分)
∴AE = 2CD. ………………………………………………………………………………(1分)
(3)(I)如图1,当点E在DB延长线上时:
过点C作CG∥l交AB于点H,交AE于点G,则∠CBD =∠HCB.
∵∠ABC =∠CBD,∴∠ABC =∠HCB.∴CH = BH.………(1分)
∵∠ACB = 90°,∴∠ABC +∠BAC =∠HCB +∠HCA = 90°.
∴∠BAC =∠HCA.∴CH = AH = BH.
∵CG∥l,∴ .
设CH = 5x,则BE = 6x,AB = 10x.
在Rt△ABE中, .
由(2)知AE = 2CD = 8,∴ ,得 .
∴CH = 5,BE = 6,AB = 10.
∵CG∥l,∴ ,∴HG=3.……………………(1分)
∴CG = CH + HG = 8.
易证四边形CDEG是矩形,∴DE = CG = 8.
∴ .…………………………………………(1分)
(II)如图2,当点E在DB上时:
同理可得CH = 5,BE = 6,HG = 3.…………………………(1分)
∴ .
∴BD=DE + BE = 8.…………………………………………………………………………(1分)
综上所述,BD的长为2或8.

 

3.已知点A(2,﹣2)和点B(﹣4,n)在抛物线y=ax2(a≠0)上.
(1)求a的值及点B的坐标;
(2)点P在y轴上,且△ABP是以AB为直角边的三角形,求点P的坐标;
(3)将抛物线y=ax2(a≠0)向右并向下平移,记平移后点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,若四边形ABB′A′为正方形,求此时抛物线的表达式.
 

【考点】二次函数图象上点的坐标特征;坐标与图形变化-平移.
【分析】(1)把点A(2,﹣2)代入y=ax2,得到a,再把点B代入抛物线解析式即可解决问题.
(2)求出直线AB解析式,再分别求出过点A垂直于AB的直线的解析式,过点B垂直于直线AB的解析式即可解决问题.
(3)先求出点A′坐标,确定是如何平移的,再确定抛物线顶点的坐标即可解决问题.
【解答】解:(1)把点A(2,﹣2)代入y=ax2,得到a=﹣,
∴抛物线为y=﹣x2,
∴x=﹣4时,y=﹣8,
∴点B坐标(﹣4,﹣8),
∴a=﹣,点B坐标(﹣4,﹣8).
(2)设直线AB为y=kx+b,则有 ,解得 ,
∴直线AB为y=x﹣4,
∴过点B垂直AB的直线为y=﹣x﹣12,与y轴交于点P(0,﹣12),
过点A垂直AB的直线为y=﹣x,与y轴交于点P′(0,0),
∴点P在y轴上,且△ABP是以AB为直角边的三角形时.点P坐标为(0,0),或(0,﹣12).
(3)如图四边形ABB′A′是正方形,过点A作y轴的垂线,过点B、点A′作x轴的垂线得到点E、F.
∵直线AB解析式为y=﹣x﹣12,∴△ABF,△AA′E都是等腰直角三角形,
∵AB=AA′= =6 ,
∴AE=A′E=6,
∴点A′坐标为(8,﹣8),
∴点A到点A′是向右平移6个单位,向下平移6个单位得到,
∴抛物线y=﹣x2的顶点(0,0),向右平移6个单位,向下平移6个单位得到(6,﹣6),
∴此时抛物线为y=﹣(x﹣6)2﹣6.
 

 


4.已知,AB=5,tan∠ABM=,点C、D、E为动点,其中点C、D在射线BM上(点C在点D的左侧),点E和点D分别在射线BA的两侧,且AC=AD,AB=AE,∠CAD=∠BAE.
 
(1)当点C与点B重合时(如图1),联结ED,求ED的长;
(2)当EA∥BM时(如图2),求四边形AEBD的面积;
(3)联结CE,当△ACE是等腰三角形时,求点B、C间的距离.

【考点】三角形综合题.
【分析】(1)如图1中,延长BA交DE于F,作AH⊥BD于H,先证明BF⊥DE,EF=DF,再利用△ABH∽△DBF,得 = ,求出DF即可解决问题.
(2)先证明四边形ADBE是平行四边形,根据S平行四边形ADBE=BD•AH,计算即可.
(3)由题意AC≠AE,EC≠AC,只有EA=EC,利用四点共圆先证明四边形ADBE是平行四边形,求出DH、CH即可解决问题.
【解答】解:(1)如图1中,延长BA交DE于F,作AH⊥BD于H.
 
在RT△ABH中,∵∠AHB=90°,
∴sin∠ABH= =,
∴AH=3,BH= =4,
∵AB=AD,AH⊥BD,
∴BH=DH=4,
在△ABE 和△ABD中,
 ,
∴△ABD≌△ABE,
∴BE=BD,∠ABE=∠ABD,
∴BF⊥DE,EF=DF,
∵∠ABH=∠DBF,∠AHB=∠BFD,
∴△ABH∽△DBF,
∴ = ,
∴DF= ,
∴DE=2DF= .
(2)如图2中,作AH⊥BD于H.
 
∵AC=AD,AB=AE,∠CAD=∠BAE,
∴∠AEB=∠ABE=∠ACD=∠ADC,
∵AE∥BD,
∴∠AEB+∠EBD=180°,
∴∠EBD+∠ADC=180°,
∴EB∥AD,
∵AE∥BD,
∴四边形ADBE是平行四边形,
∴BD=AE=AB=5,AH=3,
∴S平行四边形ADBE=BD•AH=15.
(3)由题意AC≠AE,EC≠AC,只有EA=EC.
如图3中,
 
∵∠ACD=∠AEB(已证),
∴A、C、B、E四点共圆,
∵AE=EC=AB,
∴ = ,
∴ = ,
∴∠AEC=∠ABC,
∴AE∥BD,
由(2)可知四边形ADBE是平行四边形,
∴AE=BD=AB=5,
∵AH=3,BH=4,
∴DH=BD﹣BH=1,
∵AC=AD,AH⊥CD,
∴CH=HD=1,
∴BC=BD﹣CD=3.
 
5.如图,已知二次函数y=x2+bx+c图象顶点为C,与直线y=x+m图象交于AB两点,其中A点的坐标为(3,4),B点在y轴上.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)联结AC,求∠BAC的正切值;
(3)点P为直线AB上一点,若△ACP为直角三角形,求点P的坐标.
 
【分析】(1)先把A点坐标代入y=x+m求出m得到直线AB的解析式为y=x+1,这可求出直线与y轴的交点B的坐标,然后把A点和B点坐标代入y=x2+bx+c中得到关于b、c的方程组,再解方程组求出b、c即可得到抛物线解析式;
(2)如图,先抛物线解析式配成顶点式得到C(1,0),再利用两点间的距离公式计算出BC2=2,AB2=18,AC2=20,然后利用勾股定理的逆定理可证明△ABC为直角三角形,∠ACB=90°,于是利用正切的定义计算tan∠BAC的值;
(3)分类讨论:当∠APC=90°时,有(2)得点P在B点处,此时P点坐标为(0,1);当∠ACP=90°时,利用(2)中结论得tan∠PAC= = ,则PC= AC,设P(t,t+1),然后利用两点间的距离公式得到方程t2+(t+1﹣1)2= 20,再解方程求出t即可得到时P点坐标.
【解答】解:(1)把A(3,4)代入y=x+m得3+m=4,解得m=1
∴直线AB的解析式为y=x+1,
∵当x=0时,y=x+1=1,
∴B(0,1),
把B(0,1),A(3,4)代入y=x2+bx+c得 ,解得 ,
∴抛物线解析式为y=x2﹣2x+1;
(2)如图,
∵y=x2﹣2x+1=(x﹣1)2,
∴C(1,0),
∴BC2=12+12=2,AB2=32+(4﹣1)2=18,AC2=(3﹣1)2+42=20,
而2+18=20,
∴BC2+AB2=AC2,
∴△ABC为直角三角形,∠ACB=90°,
∴tan∠BAC= = = ;
(3)当∠APC=90°时,点P在B点处,此时P点坐标为(0,1);
当∠ACP=90°时,∵tan∠PAC= = ,
∴PC= AC,
设P(t,t+1),
∴t2+(t+1﹣1)2= 20,解得t1=﹣ ,t2= (舍去),此时P点坐标为(﹣ ,﹣  +1),
综上所述,满足条件的P点坐标为(0,1)或(﹣ ,﹣  +1).
 
【点评】本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征;能运用待定系数法求二次函数解析式;理解坐标与图形性质,记住两点间的距离公式;能利用勾股定理的逆定理证明直角三角形.
 
6.如图,▱ABCD中,AB=8,AD=10,sinA= ,E、F分别是边AB、BC上动点(点E不与A、B重合),且∠EDF=∠DAB,DF延长线交射线AB于G.
(1)若DE⊥AB时,求DE的长度;
(2)设AE=x,BG=y,求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域;
(3)当△BGF为等腰三角形时,求AE的长度.
 
【分析】(1)DE⊥AB时,根据sinA= 即可解决问题.
(2)如图2中,作DM⊥AB于M,根据DG2=DM2+MG2=AGEG,列出等式即可解决问题.
(3)分三种情形①BF=BG,②FB=FG,③GB=GF,根据BF∥AD,得出比例式,列方程即可解决.
【解答】解:(1)如图1中,
 
∵DE⊥AB,
∴sinA= = ,
∵AD=10,
∴DE=8.
(2)如图2中,
 
作DM⊥AB于M,由(1)可知DM=8,AM=6,MG=AB﹣AM=8﹣6=2,
∴DG2=DM2+MG2,
∵∠DGE=∠DGA,∠GDE=∠A,
∴△DGE∽△AGD,
∴ = ,
∴DG2=AGEG,
∴DM2+MG2=AGEG,
∴82+(2+y)2=(8+y)(8+y﹣x),
∴y= (0<x<8)
(3)①当BF=FG时,∵BF∥AD,
∴ = ,
∴AD=AG=10,
∴y=2,即 =2,解得x=2,
∴AE=2.
②当FB=FG时,∵BF∥AD,
∴ = ,
∴AD=DG=10,
∵DM⊥AG,
∴AM=MB=6,
∴AG=12,
∴y=4,即 =4,
解得x= .
③当GB=GF时,∵BF∥AD,∠GBF=∠BFG,
∴∠A=∠GBF,∠ADG=∠BFG,
∴∠A=∠ADG,
∵∠A=∠EDG,
∴∠EDG=∠ADG,
∴此时点E与点A重合,不合题意.
综上所述AE=2或 时,△BFG是等腰三角形.
【点评】本题考查四边形综合题、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识,解题的关键是灵活应用这些知识解决问题,学会用方程的思想解决问题,属于中考常考题型.
 

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