九年级数学上册第24章圆单元测试题(人教版附答案)

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九年级数学上册第24章圆单元测试题(人教版附答案)

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文 章来 源莲山 课件 w w
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 第二十四章圆单元测试
一、单选题(共10题;共30分)
1、如图,⊙O是△ABC的外接圆,已知∠ABO=50°,则∠ACB的大小为( )
A、40°    B、30°     C、45°      D、50°
2、下列说法:
①平分弦的直径垂直于弦;②三点确定一个圆;③相等的圆心角所对的弧相等;④垂直于半径的直线是圆的切线;⑤三角形的内心到三条边的距离相等。
其中不正确的有( )个。
A、1      B、2      C、3      D、4
3、如图,四边形ABCD内接于⊙O,已知∠ADC=140°,则∠AOC的大小是(  )
A、80°     B、100°     C、60°      D、40°
4、已知Rt△ACB,∠ACB=90°,I为内心,CI交AB于D,BD= , AD= , 则S△ACB=(  )       
A、12      B、6      C、3       D、7.5
5、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,以点C为圆心,CA为半径的圆与AB交于点D,则AD的长为(  )
 
A、       B、       C、        D、
6、如图,⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E,F,∠E=α,∠F=β,则∠A=(  )
 
A、α+β      B、       C、180﹣α﹣β        D、
7、如图,在平面直角坐标系中,⊙P的圆心是(2,a)(a>2),半径为2,函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为   ,则a的值是( )
A、2        B、2+         C、2         D、2+ 
8、如图,已知AB是⊙O的直径,∠CAB=50°,则∠D的度数为(   )  
A、20°      B、40°      C、50°       D、70°
9、已知A、B、C三点在⊙O上,且AB是⊙O内接正三角形的边长,AC是⊙O内接正方形的边长,则∠BAC的度数为(   )       
A、15°或105°       B、75°或15°       C、75°        D、105°
10、如图,在⊙O中,∠ABC=52°,则∠AOC等于(   )  
A、52°       B、80°       C、90°        D、104°
二、填空题(共8题;共25分)
11、如图,⊙O是 ABC的外接圆, OCB=40°,则 A的度数等于________°.
12、如图,已知半圆O的直径AB=4,沿它的一条弦折叠.若折叠后的圆弧与直径AB相切于点D,且AD:DB=3:1,则折痕EF的长________ .

13、如图,若∠1=∠2,那么 与  ________相等.(填一定、一定不、不一定)
 
14、如图,AB是半圆O的直径,点C、D是半圆O的三等分点,若弦CD=2,则图中阴影部分的面积为________.

15、已知扇形的圆心角为150°,它所对应的弧长20πcm,则此扇形的半径是________ cm,面积是________ cm2 .
16、如图,△ABC是⊙O的内接三角形,AD是⊙O的直径,∠ABC=50°,则∠CAD=________.  
17、若一个圆锥的侧面积是它底面积的2倍,则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是________.   
18、已知一圆锥的底面半径为1cm,母线长为4cm,则它的侧面积为________cm2(结果保留π).   
三、解答题(共5题;共35分)
19、已知:△ABC是边长为4的等边三角形,点O在边AB上,⊙O过点B且分别与边AB,BC相交于点D,E,EF⊥AC,垂足为F.
(1)求证:直线EF是⊙O的切线;
(2)当直线DF与⊙O相切时,求⊙O的半径.


20、【阅读材料】已知,如图1,在面积为S的△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,内切圆O的半径为r,连接OA,OB,OC,△ABC被划分为三个小三角形.
∵S=S△OBC+S△OAC+S△OAB= BC•r+ AC•r+ AB•r= ar+ br+ cr= (a+b+c)r.
∴r=  .
(1)【类比推理】如图2,若面积为S的四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆),各边长分别为AB=a,BC=b,CD=c,AD=d,求四边形的内切圆半径r的值;
(2)【理解应用】如图3,在Rt△ABC中,内切圆O的半径为r,⊙O与△ABC各边分别相切于D、E和F,已知AD=3,BD=2,求r的值.

21、如图,公路MN与公路PQ在点P处交汇,且∠QPN=30°,点A处有一所中学,AP=160m.假设拖拉机行驶时,周围100m以内会受到噪音的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否受到噪音影响?说明理由;如果受影响,且知拖拉机的速度为18km/h,那么学校受影响的时间是多少秒?
 
 

22、如图,已知矩形ABCD的边AB=3cm、BC=4cm,以点A为圆心,4cm为半径作⊙A,则点B、C、D与⊙A怎样的位置关系.


23、已知圆的半径为R,试求圆内接正三角形、正四边形、正六边形的边长之比.   
 


四、综合题(共1题;共10分)
24、(2017•襄阳)如图,AB为⊙O的直径,C、D为⊙O上的两点,∠BAC=∠DAC,过点C做直线EF⊥AD,交AD的延长线于点E,连接BC.  
(1)求证:EF是⊙O的切线;   
(2)若DE=1,BC=2,求劣弧  的长l.   

答案解析
一、单选题
1、【答案】 A
【考点】圆周角定理
【解析】【分析】根据等边对等角及圆周角定理求角即可.【解答】∵OA=OB
∴∠OAB=∠OBA=50°
∴∠AOB=80°
∴∠ACB=40°.
故选A.【点评】此题综合运用了等边对等角、三角形的内角和定理以及圆周角定理
2、【答案】 D
【考点】垂径定理,确定圆的条件,三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】①中被平分的弦是直径时,不一定垂直,故错误;
②不在同一条直线上的三个点才能确定一个圆,故错误;
③应强调在同圆或等圆中,否则错误;
④中垂直于半径,还必须经过半径的外端的直线才是圆的切线,故错误;
⑤三角形的内心是三角形三个角平分线的交点,所以到三条边的距离相等,故正确;
综上所述,①、②、③、④错误。
【分析】举出反例图形,即可判断①②③④;根据角平分线性质即可推出⑤.
3、【答案】 A
【考点】圆周角定理,圆内接四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,∴∠ABC+∠ADC=180°,∴∠ABC=180°﹣140°=40°.∴∠AOC=2∠ABC=80°.故选A.
【分析】根据圆内接四边形的性质求得∠ABC=40°,利用圆周角定理,得∠AOC=2∠B=80°.
4、【答案】B                   
【考点】三角形的内切圆与内心               
【解析】【解答】解:∵I为内心,
∴CD平分∠ACB,
∴ ,
设AC=4x,BC=3x,
∴AB= =5x,
∴5x= + , 解得x=1,
∴AC=4,BC=3,
∴S△ACB= ×4×3=6.
故选B.
 
【分析】根据内心的性质得CD平分∠ACB,则根据角平分线定理得到 , 于是可设AC=4x,BC=3x,再利用勾股定理得到AB=5x,则有5x= + , 解得x=1,所以AC=4,BC=3,然后根据三角形面积公式求解.   
5、【答案】A                   
【考点】垂径定理               
【解析】【解答】解:∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,
∴AB= ,
过C作CM⊥AB,交AB于点M,如图所示,
∵CM⊥AB,
∴M为AD的中点,
∵S△ABC= AC•BC= AB•CM,且AC=3,BC=4,AB=5,
∴CM= ,
在Rt△ACM中,根据勾股定理得:AC2=AM2+CM2  , 即9=AM2+( )2  ,
解得:AM= ,
∴AD=2AM= .
故选A.
 
【分析】先根据勾股定理求出AB的长,过C作CM⊥AB,交AB于点M,由垂径定理可知M为AD的中点,由三角形的面积可求出CM的长,在Rt△ACM中,根据勾股定理可求出AM的长,进而可得出结论.   
6、【答案】D                   
【考点】圆内接四边形的性质               
【解析】【解答】连结EF,如图,
∵四边形ABCD为圆的内接四边形,
∴∠ECD=∠A,
∵∠ECD=∠1+∠2,
∴∠A=∠1+∠2,
∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°,
∴2∠A+α+β=180°,
∴∠A= .
故选D.
 
【分析】连结EF,如图,根据圆内接四边形的性质得∠ECD=∠A,再根据三角形外角性质得∠ECD=∠1+∠2,则∠A=∠1+∠2,然后根据三角形内角和定理有∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°,即2∠A+α+β=180°,再解方程即可.   
7、【答案】 B
【考点】圆的认识,直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解:过P点作PE⊥AB于E,过P点作PC⊥x轴于C,交AB于D,连接PA.
∵PE⊥AB,AB=2   ,半径为2,
∴AE=   AB=   ,PA=2,
根据勾股定理得:PE=   =1,
∵点A在直线y=x上,
∴∠AOC=45°,
∵∠DCO=90°,
∴∠ODC=45°,
∴△OCD是等腰直角三角形,
∴OC=CD=2,
∴∠PDE=∠ODC=45°,
∴∠DPE=∠PDE=45°,
∴DE=PE=1,
∴PD=   .
∵⊙P的圆心是(2,a),
∴a=PD+DC=2+   .
故选:B.

【分析】过P点作PE⊥AB于E,过P点作PC⊥x轴于C,交AB于D,连接PA.分别求出PD、DC,相加即可.
8、【答案】B                   
【考点】圆周角定理               
【解析】【解答】解:∵AB为⊙O的直径,  ∴∠ACB=90°,
∵∠CAB=50°,
∴∠CBA=40°,
∴∠D=40°,
故选B.
【分析】首先利用直径所对的圆周角是直角得到直角三角形,然后求得另一锐角的度数,从而求得所求的角的度数.   
9、【答案】B                   
【考点】圆周角定理               
【解析】【解答】解:①如图1所示:  ∵AB是⊙O内接正三角形的边长,AC是⊙O内接正方形的边长,
∴∠AOB=120°,∠AOC=90°,
∴∠BCO=360°﹣120°﹣90°=150°,
∴∠BAC=  ∠BOC=75°;
②如图2所示,同①得出∠BAC=15°,
故选:B.
 
 
【分析】先求出∠BOC的度数,然后根据圆周角定理求解,注意分类讨论.   
10、【答案】D                   
【考点】圆周角定理               
【解析】【解答】解:∵∠ABC=52°,  ∴∠AOC=2×52°=104°,
故选:D.
【分析】根据圆周角定理可得∠AOC=2∠ABC,进而可得答案.   
二、填空
11、【答案】 50°
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】在△OCB中,OB=OC(⊙O的半径),
∴∠OBC=∠0CB(等边对等角);
∵∠OCB=40°,∠C0B=180°-∠OBC-∠0CB,
∴∠COB=100°;
又∵∠A= ∠C0B(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半),
∴∠A=50°
【分析】在等腰三角形OCB中,求得两个底角∠OBC、∠0CB的度数,然后根据三角形的内角和求得∠COB=100°;最后由圆周角定理求得∠A的度数并作出选择.
12、【答案】 
【考点】垂径定理,切线的性质
【解析】【解答】如图,过O作弦BC的垂线OP,垂足为D,分别与弧的交点为A、G,过切点F作PF⊥半径OC交OP于P点,

∵OP⊥BC,∴BD=DC,即OP为BC的中垂线. ∴OP必过弧BGC所在圆的圆心.
又∵OE为弧BGC所在圆的切线,PF⊥OE,∴PF必过弧BGC所在圆的圆心.
∴点P为弧BGC所在圆的圆心.
∵弧BAC沿BC折叠得到弧BGC,∴⊙P为半径等于⊙O的半径,即PF=PG=OE=2,并且AD=GD.
∴OG=AP.
而F点分⊙O的直径为3:1两部分,∴OF=1.
在Rt△OPF中,设OG=x,则OP=x+2,
∴OP2=OF2+PF2 , 即(x+2)2=12+22 , 解得x= .
∴AG=2-( )= .∴DG= .∴OD=OG+DG= .
在Rt△OBD中,BD2=OB2+OD2 , 即BD2=22-( )2 , ∴BD= .
∴BC=2BD=  .
【分析】运用垂径定理和切线的性质作答。
13、【答案】一定                   
【考点】圆心角、弧、弦的关系               
【解析】【解答】解:∵∠1=∠2,
∴ = .
故答案为:一定.
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系进行解答即可.   
14、【答案】 
【考点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解:如图连接OC、OD、BD.

∵点C、D是半圆O的三等分点,
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°,
∵OC=OD=OB,
∴△COD、△OBD是等边三角形,
∴∠COD=∠ODB=60°,OD=CD=2,
∴OC∥BD,
∴S△BDC=S△BDO ,
∴S阴=S扇形OBD= 
【分析】首先证明OC∥BD,得到S△BDC=S△BDO , 所以S阴=S扇形OBD , 由此即可计算.本题考查圆的有关知识、扇形的面积,三角形的面积等知识,解题的关键是学会把求不规则图形面积转化为求规则图形的面积,属于中考常考题型.
15、【答案】 24;240π
【考点】弧长的计算,扇形面积的计算
【解析】【解答】解:设扇形的半径是r,则   =20π 解得:r=24.
扇形的面积是:   ×20π×24=240π.
故答案是:24和240π.
【分析】根据弧长公式即可得到关于扇形半径的方程,然后根据扇形的面积公式即可求解.
16、【答案】40°                   
【考点】圆周角定理               
【解析】【解答】解:连接CD,  
∵AD是⊙O的直径,
∴∠ACD=90°,
∵∠D=∠ABC=50°,
∴∠CAD=90°﹣∠D=40°.
故答案为:40°.
【分析】首先连接CD,由AD是⊙O的直径,根据直径所对的圆周角是直角,可求得∠ACD=90°,又由圆周角定理,可得∠D=∠ABC=50°,继而求得答案.   
17、【答案】180°                   
【考点】圆锥的计算               
【解析】【解答】解:设底面圆的半径为r,侧面展开扇形的半径为R,扇形的圆心角为n度.  由题意得S底面面积=πr2  ,
l底面周长=2πr,
S扇形=2S底面面积=2πr2  ,
l扇形弧长=l底面周长=2πr.
由S扇形=  l扇形弧长×R得2πr2=  ×2πr×R,
故R=2r.
由l扇形弧长=  得:
2πr= 
解得n=180°.
故答案为180°.
【分析】根据圆锥的侧面积是底面积的2倍得到圆锥底面半径和母线长的关系,根据圆锥侧面展开图的弧长=底面周长即可求得圆锥侧面展开图的圆心角度数.   
18、【答案】4π                   
【考点】圆锥的计算               
【解析】【解答】解:圆锥的侧面积=  •2π•1•4=4π(cm2).  故答案为4π.
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算.   
三、解答题
19、【答案】 (1)连接OE
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠C=60°.

∵OB="OE,"
∴∠OEB=∠C =60°,
∴OE∥AC.
∵EF⊥AC,
∴∠EFC=90°.
∴∠OEF=∠EFC=90°.
∴OE⊥EF,
∵⊙O与BC边相交于点E,
∴E点在圆上.
∴EF是⊙O的切线;
(2)连接DF,DE.
∵DF是⊙O的切线,
∴∠ADF=∠BDF=90°
设⊙O的半径为r,则BD=2r,
∵AB=4,
∴AD=4-2r,
∵BD=2r,∠B=60°,
∴DE= r,
∵∠BDE=30°,∠BDF="90°."
∴∠EDF=60°,
∵DF、EF分别是⊙O的切线,
∴DF=EF=DE= r,
在Rt△ADF中,
∵∠A=60°,
∴tan∠DFA=
解得 .
∴⊙O的半径是
【考点】切线的判定与性质
【解析】【分析】(1)连接OE,得到∠OEB =60°,从而OE∥AC.,根据平行线的性质即可得到直线EF是⊙O的切线;
(2)连接DF,DE.构造直角三角形,解直角三角形即可。
20、【答案】解:(1)如图2,连接OA、OB、OC、OD.
 
∵S=S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD= ar br cr dr= (a+b+c+d)r,
∴r= ;
(2)如图3连接OE、OF,则四边形OECF是正方形,
 
OE=EC=CF=FO=r,
在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2  ,
(3+r)2+(2+r)2=52  ,
r2+5r﹣6=0,
解得:r=1.                   
【考点】三角形的内切圆与内心               
【解析】【分析】(1)已知已给出示例,我们仿照例子,连接OA,OB,OC,OD,则四边形被分为四个小三角形,且每个三角形都以内切圆半径为高,以四边形各边作底,这与题目情形类似.仿照证明过程,r易得.
(2)如图3,连接OE、OF,则四边形OECF是正方形,OE=EC=CF=FO=r,解直角三角形求得结果.   
21、【答案】解:学校受到噪音影响.理由如下:
作AH⊥MN于H,如图,
∵PA=160m,∠QPN=30°,
∴AH= PA=80m,
而80m<100m,
∴拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校受到噪音影响,
以点A为圆心,100m为半径作⊙A交MN于B、C,如图,
∵AH⊥BC,
∴BH=CH,
在Rt△ABH中,AB=100m,AH=80m,
BH= =60m,
∴BC=2BH=120m,
∵拖拉机的速度=18km/h=5m/s,
∴拖拉机在线段BC上行驶所需要的时间= =24(秒),
∴学校受影响的时间为24秒.
 
【考点】直线与圆的位置关系               
【解析】【分析】作AH⊥MN于H,根据含30度的直角三角形三边的关系得到AH= PA=80m,由于这个距离小于100m,所以可判断拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校受到噪音影响;然后以点A为圆心,100m为半径作⊙A交MN于B、C,根据垂径定理得到BH=CH,再根据勾股定理计算出BH=60m,则BC=2BH=120m,然后根据速度公式计算出拖拉机在线段BC上行驶所需要的时间.   
22、【答案】解:连接AC,
∵AB=3cm,BC=AD=4cm,
∴AC=5cm,
∴点B在⊙A内,点D在⊙A上,点C在⊙A外.
 
【考点】点与圆的位置关系               
【解析】【分析】连接AC,根据勾股定理求出AC的长,进而得出点B,C,D与⊙A的位置关系   
23、【答案】解:如图①所示,
连接O1 A,作O1 E⊥AD于E,
∵O1 A=R,∠O1 AE=45°,
∴AE=O1 A•cos45°= R,
∴AD=2AE= R;
如图②所示:
连接O2 A,O2 B,
则O2 B⊥AC,
∵O2 A=R,∠O2 AF=30°,∠AO2 B=60°,
∴△AO2 B是等边三角形,AF=O2A•cos30°= R,
∴AB=R,AC=2AF= R;
∴圆内接正三角形、正四边形、正六边形的边长之比 R: R:R= : :1.
 
【考点】正多边形和圆               
【解析】【分析】根据题意画出图形,通过解直角三角形用R分别表示出它们的边长,进而可得出结论.   
四、综合题
24、【答案】(1)证明:连接OC,  ∵OA=OC,
∴∠OAC=∠DAC,∴∠DAC=∠OCA,
∴AD∥OC,
∵∠AEC=90°,∴∠OCF=∠AEC=90°,
∴EF是⊙O的切线;
 
(2)解:连接OD,DC,  ∵∠DAC=  DOC,∠OAC=  BOC,
∴∠DAC=∠OAC,
∵ED=1,DC=2,
∴sin∠ECD=  ,
∴∠ECD=30°,
∴∠OCD=60°,
∵OC=OD,
∴△DOC是等边三角形,
∴∠BOC=∠COD=60°,OC=2,
∴l=  =  π.                   
【考点】切线的判定与性质,弧长的计算               
【解析】【分析】(1)连接OC,根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠DAC,求得∠DAC=∠OCA,推出AD∥OC,得到∠OCF=∠AEC=90°,于是得到结论;(2)连接OD,DC,根据角平分线的定义得到∠DAC=∠OAC,根据三角函数的定义得到∠ECD=30°,得到∠OCD=60°,得到∠BOC=∠COD=60°,OC=2,于是得到结论.    

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