九年级数学上第23章图形的相似单元测试题(华师大含答案)

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九年级数学上第23章图形的相似单元测试题(华师大含答案)

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第23章图形的相似单元测试
一、单选题(共10题;共30分)
1.如图,在△ABC中.∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,则图中相似三角形共有(  )
 
A、1对     B、2对     C、3对      D、4对
2.如图,这是圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射到圆桌后在地面上形成圆形的示意图。已知桌面直径为1.2m,桌面离地面1m。 若灯泡离地面3m,则地面上阴影部分的面积为
 
A、0.36πm2     B、0.81πm      C、0.64πm2      D、3.24πm2
3.将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是(  )       
A、等腰三角形      B、锐角三角形     C、直角三角形      D、钝角三角形
4.如图,在5×5的正方形方格中,△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上,作一个与△ABC相似的△DEF  , 使它的三个顶点都在小正方形的顶点上,则△DEF的最大面积是(  ).
 
A、5     B、10     C 、       D、
5.已知两个三角形相似,对应中线之比为1:4,那么对应周长之比为(  )       
A、1:2      B、1:16      C、1:4       D、无法确定
6.已知两个相似三角形的对应边长分别为9cm和11cm,它们的周长相差20cm,则这两个三角形的周长分别为(  )           
A.45cm,65cm       B.90cm,110cm     C.45cm,55cm      D.70cm,90cm
7.如图,A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点,如果△RPQ∽△ABC,那么点R应是甲、乙、丙、丁四点中的(  )
 
A.甲     B.乙       C.丙       D.丁
8.如图,l1∥l2∥l3  , 根据“平行线分线段成比例定理”,下列比例式中正确的是(  )
  
A.ADBC=CEDF      B.ADBE=BCAF    C.ABCD=CDEF       D.ADBC=DFCE
9.如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,AC=12,F是DE上一点,连接AF,CF,DF=1.若∠AFC=90°,则BC的长度为(  )
 
A.12      B.13     C.14       D.15
10.在平面直角坐标系中,已知点E(﹣4,2),F(﹣2,﹣2),以原点O为位似中心,相似比为   ,把△EFO缩小,则点E的对应点E′的坐标是(   )
A、(﹣2,1)    B、(﹣8,4)   C、(﹣8,4)或(8,﹣4)     D、(﹣2,1)或(2,﹣1)
二、填空题(共8题;共25分)
11.如图,AD∥BE∥CF  , 直线l1  , l2与这三条平行线分别交于点A  , B  , C和点D  , E  , F  ,   ,DE=6,则EF=________.
 
12.如图,甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时,乙的影子与甲的影子的末端恰好在同一点,已知甲、乙两同学相距1m,甲身高1.8m,乙身高1.5m,则甲的影子是________ m.
 
13.如图,在平面直角坐标系中,△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形,且点B(3,1),B′(6,2).
请你根据位似的特征并结合点B的坐标变化回答下列问题:
①若点A(52  , 3),则A′的坐标为________
②△ABC与△A′B′C′的相似比为________
 
14.在方格纸中,每个小格的顶点叫做格点,以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.如图,请你在4×4的方格纸中,画一个格点三角形A1B1C1  , 使△A1B1C1与格点三角形ABC相似(相似比不为1).
________ .
 
15.已知 xy=13  , 那么xx+y=________
16.(2012•梧州)如图,正方形ABCD的边长为4,点A的坐标为(﹣1,1),AB平行于x轴,则点C的坐标为________. 
17.(2014•镇江)如图,CD是△ABC的中线,点E、F分别是AC、DC的中点,EF=1,则BD=________. 
三、解答题(共5题;共35分)
18.(2015•邵阳)如图,某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度,他们通过调整测量位置,使斜边DF与地面保持平行,并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上,已知DE=0.5米,EF=0.25米,目测点D到地面的距离DG=1.5米,到旗杆的水平距离DC=20米,求旗杆的高度.
 

 


19.如果一个图形经过分割,能成为若干个与自身相似的图形,我们称它为“相似分割的图形”,如图所示的等腰直角三角形和矩形就是能相似分割的图形.
 
(1)你能否再各举出一个 “能相似分割”的三角形和四边形?
(2)一般的三角形是否是“能相似分割的图形”?如果是请给出一种分割方案并画出图形,否则说明理由.

 


20.如图,△ABC中,EF∥BC,FD∥AB,AE=12,BE=18,AF=14,CD=24,求线段FC,EF的长.
 

 


21.如图,AB与CD相交于点O,△OBD∽△OAC,  =  ,OB=4,求AO和AB的长.  


四、综合题(共1题;共10分)
22.小明利用灯光下自己的影子长度来测量路灯的高度.如图,CD和EF是两等高的路灯,相距27m,身高1.5m的小明(AB)站在两路灯之间(D、B、F共线),被两路灯同时照射留在地面的影长BQ=4m,BP=5m.
 
(1)小明距离路灯多远?   
(2)求路灯高度.   
 

答案解析
一、单选题
1、【答案】C                   
【考点】相似三角形的判定               
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定定理及已知即可得到存在的相似三角形.
【解答】∵∠ACB=90°,CD⊥AB,
∴△ABC∽△ACD,
△ACD∽△CBD,
△ABC∽△CBD,
所以有三对相似三角形.
故选C.
【点评】本题主要考查相似三角形的判定定理:(1)两角对应相等的两个三角形相似.(2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.(3)三边对应成比例的两个三角形相似
2、【答案】B                   
【考点】相似三角形的应用               
【解析】【分析】设地面上阴影部分的半径为xm,先根据相似三角形的性质求得x的值,再根据圆的面积公式即可求得结果.
设地面上阴影部分的半径为xm,由题意得:
1.2÷2x=3-13.
解得x=0.9,
则地面上阴影部分的面积为0.92π=0.81π,
故选B.
【点评】解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质:相似三角形的对应边成比例.   
3、【答案】C                   
【考点】相似三角形的判定与性质               
【解析】【解答】将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形与原三角形相似,根据相似三角形的对应角相等可知得到的三角形是直角三角形.故选:C.
【分析】根据三组对应边的比相等的三角形相似,再由相似三角形的性质即可求解.此题主要考查相似三角形的判定及性质.   
4、【答案】A                   
【考点】相似三角形的性质               
【解析】【解答】从图中可以看出△ABC的三边分别是2,  ,  ,
要让△ABC的相似三角形最大,就要让DF为网格最大的对角线,即是  ,
所以这两,相似三角形的相似比是  :  =  :5
△ABC的面积为2×1÷2=1,
所以△DEF的最大面积是5.故选A .
【分析】要让△ABC的相似三角形最大,就要让AC为网格最大的对角线,据此可根据相似三角形的性质解答.   
5、【答案】C                   
【考点】相似三角形的性质               
【解析】【解答】解:∵两个相似三角形的对应中线之比为1:4,
∴这两个三角形的相似比为1:4,
∴这两个三角形的周长比是1:4.
故选:C.
【分析】由两个相似三角形的对应中线之比为1:4,根据相似三角形对应中线的比等于相似比,即可求得这两个三角形的相似比,又由相似三角形周长的比等于相似比,即可求得答案.   
6、【答案】B                   
【考点】相似三角形的性质               
【解析】【解答】解:∵两个相似三角形的对应边长分别为9cm和11cm,
∴两个相似三角形的相似比为9:11,
∴两个相似三角形的周长比为9:11,
设两个相似三角形的周长分别为9x、11x,
由题意得,11x﹣9x=20,
解得,x=10,
则这两个三角形的周长分别为90cm,110cm,
故选:B.
【分析】根据题意求出两个相似三角形的相似比,根据相似三角形的性质求出两个相似三角形的周长比,列方程计算即可.   
7、【答案】B                   
【考点】相似三角形的性质               
【解析】【解答】解:∵△RPQ∽△ABC,∴
∴△RPQ的高为6.
故点R应是甲、乙、丙、丁四点中的乙处.
故选B.
【分析】根据相似三角形的对应高的比等于相似比,代入数值即可求得结果.   
8、【答案】D                   
【考点】平行线分线段成比例               
【解析】【解答】解:∵l1∥l2∥l3  ,
∴ADBC=DFCE  , A错误;
  , B错误;
  , C错误;
ADBC=DFCE  , D正确.
故选:D.
【分析】根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可.   
9、【答案】C                   
【考点】三角形中位线定理               
【解析】【解答】解:如图,∵∠AFC=90°,AE=CE,
∴EF=12AC=6,DE=1+6=7;
∵D,E分别是AB,AC的中点,
∴DE为△ABC的中位线,
∴BC=2DE=14,
故选C.
 
【分析】如图,首先证明EF=6,继而得到DE=7;证明DE为△ABC的中位线,即可解决问题.   
10、【答案】 D
【考点】坐标与图形性质,位似变换
【解析】【解答】解:∵点E(﹣4,2),以O为位似中心,相似比为   , ∴点E的对应点E′的坐标为:(﹣4×   ,2×   )或(﹣4×(﹣   ),2×(﹣   )),
即(﹣2,1)或(2,﹣1),
故选:D.
【分析】根据在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k进行计算即可.
二、填空
11、【答案】9                   
【考点】平行线分线段成比例               
【解析】【解答】:∵AD∥BE∥CF  ,
∴  ,即  ,
∴EF=9.
故答案为:9.
【分析】先根据平行线分线段成比例定理得到  ,即  ,再根据比例性质求出EF . 此题考查了平行线分线段成比例定理.   
12、【答案】6                   
【考点】相似三角形的应用               
【解析】【解答】解:设甲的影长是x米,
∵BC⊥AC,ED⊥AC,
∴△ADE∽△ACB,
DEBC=ADAC
∵CD=1m,BC=1.8m,DE=1.5m,
∴1.51.8=x-1x
解得:x=6.
所以甲的影长是6米.
【分析】根据甲的身高与影长构成的三角形与乙的身高和影长构成的三角形相似,列出比例式解答.   
13、【答案】(5,6);1:2                   
【考点】位似变换               
【解析】【解答】解:(1)①∵点B(3,1),B′(6,2),
∴位似比为2,
∴若点A(52  , 3),则A′的坐标(5,6);
②△ABC与△A′B′C′的相似比为1:2;
故答案为(5,6),1:2;
【分析】(1)①观察点B点和B′点的坐标得到位似比为2,然后根据此规律确定A′的坐标(5,6);
②易得△ABC与△A′B′C′的相似比为1:2;   
14、【答案】答案如图                   
【考点】相似三角形的应用               
【解析】【解答】解:如图所示:
 
【分析】在4×4的方格纸中,使△A1B1C1与格点三角形ABC相似,根据对应边相似比相等,对应角相等,可知要画一个135度的钝角,因为要在4×4的方格纸中,所以钝角的两边只能缩小,又要在格点上,所以要缩小为1和2  , 画出这样的两边长后,三角形的三点就确定了.顺次连接即可.   
15、【答案】14                   
【考点】比例的性质               
【解析】【解答】解:∵xy=13的两个内项是y、1,两个外项是x、3,
∴  ,
根据合比定理,知  ;
又∵上式的两个内项是x和4,两个外项是x+y和1,
∴  .
故答案为:14 .
【分析】根据比例的性质及合比定理解答.   
16、【答案】 (3,5)
【考点】坐标与图形性质
【解析】【解答】解:如图,∵正方形ABCD的边长为4,点A的坐标为(﹣1,1), ∴点C的横坐标为4﹣1=3,
点C的纵坐标为4+1=5,
∴点C的坐标为(3,5).
故答案为:(3,5).
【分析】用正方形的边长加上点A的横坐标得到点C的横坐标,加上点A的纵坐标得到点C的纵坐标,从而得解.
17、【答案】 2
【考点】三角形中位线定理
【解析】【解答】解:∵点E、F分别是AC、DC的中点, ∴EF是△ADC的中位线,
∴EF=   AD,
∵EF=1,
∴AD=2,
∵CD是△ABC的中线,
∴BD=AD=2,
故答案为:2.
【分析】由题意可知EF是△ADC的中位线,由此可求出AD的长,再根据中线的定义即可求出BD的长.
三、解答题
18、【答案】【解答】解:由题意可得:△DEF∽△DCA,
则DEDC=EFAC,
∵DE=0.5米,EF=0.25米,DG=1.5m,DC=20m,
∴0.520=0.25AC,
解得:AC=10,
故AB=AC+BC=10+1.5=11.5(m),
答:旗杆的高度为11.5m.                   
【考点】相似三角形的应用               
【解析】【分析】根据题意可得:△DEF∽△DCA,进而利用相似三角形的性质得出AC的长,即可得出答案.   
19、【答案】解:(1)“能相似分割”的三角形为直角三角形,
“能相似分割”的四边形为一组底角是60°,腰与一底相等的等腰梯形.
(2)如图,任意三角形都是“能相似分割的图形”,
分割方案:顺次连接三角形三边中点,将三角形分成的四个三角形都和原三角形相似.
 
【考点】作图—相似变换               
【解析】【分析】
(1)根据相似的性质,即相似比相等,对应角相等,可找出直角三角形,从直角顶点向斜边作高,则把三角形分成了二个与原三角形相似的三角形.四边形为一组底角是60°、腰与一底相等的等腰梯形;
(2)能,因为顺次连接三角形三边中点,将三角形分成的四个三角形都和原三角形相似.   
20、【答案】解:∵EF∥BC,FD∥AB,
∴四边形EBDF是平行四边形,
∴EF=BD,DF=BE=18,
设EF=x,
∵EF∥BC,FD∥AB,
∴△AEF∽△ABC∽△FDC,
∴ EFDC=AEDF,即x24=1218,
解得x=16,即EF=16,
FC=AC﹣AF=21.                   
【考点】平行线分线段成比例               
【解析】【分析】由EF∥BC、FD∥AB可以得到△AEF∽△ABC∽△FDC,根据相似三角形的对应边成比例,即可求出线段EF的长.   
21、【答案】解:  ∵△OBD∽△OAC,
∴  =  =  ,
∴  =  ,解得OA=6,
∴AB=OA+OB=4+6=10                   
【考点】相似三角形的性质               
【解析】【分析】由相似比可求得OA的长,再利用线段的和可求得AB长.   
四、综合题
22、【答案】(1)解答:设DB=xm,
∵AB∥CD  ,
∴∠QBA=∠QDC  , ∠QAB=∠QCD  ,
∴△QAB∽△QCD
∴ 
同理可得 
∵CD=EF
∴ 
∴ 
∴x=12
即小明距离路灯12m .
(2)由  得 
∴CD=6
即路灯高6m.
【考点】相似三角形的应用
【解析】【分析】先由已知条件得△QAB∽△QCD  , 列出比例式  ,同理可得  ,根据CD=EF  , 把相关数值代入可得小明距离路灯多远;第二题根据第一题得到的比例式及数值,计算可得路灯高度.

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