2018届中考数学复习第18课时二次函数的应用同步练习(有答案)

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2018届中考数学复习第18课时二次函数的应用同步练习(有答案)

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文 章
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w.5 Y k J.cOM 第18课时 二次函数的应用
 
 (60分)
一、选择题(每题6分,共12分)
1.图18-1②是图①中拱形大桥的示意图,桥拱与桥面的交点为O,B,以点O为原点,水平直线OB为x轴,建立平面直角坐标系,桥的拱形可以近似看成抛物线y=-1400(x-80)2+16,桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面,且有AC⊥x轴,若OA=10 m,则桥面离水面的高度AC为      ( B )
 
图18-1
A.16940 m   B.174 m
C.16740 m   D.154 m
【解析】 ∵AC⊥x轴,OA=10 m,∴点C的横坐标为-10.当x=-10时,y=-1400(x-80)2+16=-1400×(-10-80)2+16=-174,∴点C的坐标为-10,-174,∴桥面离水面的高度AC为174 m.
2.[2017•临沂]足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出,足球飞行的路线是一条抛物线,不考虑空气阻力,足球距离地面的高度h(单位:m)与足球被踢出后经过的时间t(单位:s)之间的关系如下表:
t 0 1 2 3 4 5 6 7 …
h 0 8 14 18 20 20 18 4 …
下列结论:①足球距离地面的最大高度为20 m;②足球飞行路线的对称轴是直线t=92;③足球被踢出9 s时落地;④足球被踢出1.5 s时,距离地面的高度是11 m.其中正确结论的个数是           ( B )
A.1  B.2      C.3     D.4
【解析】 利用待定系数法可求出二次函数表达式;将函数表达式配方成顶点式可得对称轴和足球距离地面的最大高度;求出h=0时t的值,即可得足球的落地时间;求出t=1.5 s 时h的值,即可对④作出判断.由表格可知抛物线过点(0,0),(1,8),(2,14),设该抛物线的表达式为h=at2+bt,将点(1,8),(2,14)分别代入,得a+b=8,4a+2b=14,解得a=-1,b=9.∴h=-t2+9t=-t-922+814,则足球距离地面的最大高度为814 m,对称轴是直线t=92,①错误、②正确;∵h=-t2+9t=0,∴当h=0时,t=0或9,③正确;当t=1.5 s时,h=-t2+9t=11.25,④错误.综上所述,正确结论的个数是2.
二、填空题(每题6分,共18分)
3.[2016•台州]竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数,小军相隔1 s依次竖直向上抛出两个小球,假设两个小球离手时离地高度相同,在各自抛出后1.1 s时到达相同的最大离地高度,第一个小球抛出后t(s)时在空中与第2个小球的离地高度相同,则t=__1.6__s.
【解析】 设各自抛出后1.1 s时到达相同的最大离地高度为h,则小球的高度y=a(t-1.1)2+h,由题意,得a(t-1.1)2+h=a(t-1-1.1)2+h,解得t=1.6.故第一个小球抛出后1.6 s时在空中与第二个小球的离地高度相同.
4.如图18-2,在△ABC中,∠B=90°,AB=12 mm,BC=24 mm,动点P从点A开始沿边AB向点B以2 mm/s的速度移动(不与点B重合),动点Q从点B开始沿边BC向点C以4 mm/s的速度移动(不与点C重合).如果P,Q分别从A,B同时出发,那么经过__3__s,四边形APQC的面积最小.
【解析】 设经过t s,四边形面积最小,S四边形APQC=12×12×24-12(12-2t)×4t=4t2-24t+144(0<t<6),∴当t=-b2a=--242×4=3时,S四边形APQC最小.
5.[2017•温州]小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头(如图18-3①),完全开启后,水流路线呈抛物线,把手端点A,出水口B和落水点C恰好在同一直线上,点A至出水管BD的距离为12 cm,洗手盆及水龙头的相关数据如图②所示,现用高10.2 cm的圆柱型水杯去接水,若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E,则点E到洗手盆内侧的距离EH为__24-82__.
 
图18-3
【解析】 建立如答图所示的直角坐标系,过A作AG⊥OC于G,交BD于Q,过M作MP⊥AG于P,由题可得AQ=12,PQ=MD=6,故AP=6,AG=36,∴在Rt△APM中,MP=8,DQ=8=OG,∴BQ=12-8=4.由BQ∥CG可得△ABQ∽△ACG,∴BQCG=AQAG,即4CG=1236,解得CG=12,则OC=12+8=20,∴C(20,0).又∵水流所在抛物线经过点D(0,24),∴可设抛物线表达式为y=ax2+bx+24,把C(20,0),B(12,24)代入,可得24=144a+12b+24,0=400a+20b+24,解得a=-320,b=95,∴抛物线为y=-320x2+95x+24,令y=10.2,解得x1=6+82,x2=6-82(舍去),∴点E的横坐标为6+82,又∵ON=30,∴EH=30-(6+82)=24-82.
三、解答题(共30分)
6.(15分)[2016•郴州]某商店原来平均每天可销售某种水果200 kg,每千克可盈利6元,为减少库存,经市场调查,如果这种水果每千克降价1元,则每天可多售出20 kg.
(1)设每千克水果降价x元,平均每天盈利y元,试写出y关于x的函数表达式;
(2)若要平均每天盈利960元,则每千克应降价多少元?
解:(1)根据题意,得
y=(200+20x)(6-x)=-20x2-80x+1 200.
(2)令y=960,则
960=-20x2-80x+1 200,即x2+4x-12=0,
解得x=2或-6(舍去).
答:若要平均每天盈利960元,则每千克应降价2元.
7.(15分)[2016•南京]如图18-4是抛物线形拱桥,P处有一照明灯,水面OA宽4 m,从O,A两处观测P处,仰角分别为α,β,且tanα=12,tanβ=32,以O为原点,OA所在直线为x轴建立直角坐标系.
       
          图18-4               第7题答图
(1)求点P的坐标;
(2)水面上升1 m后,水面宽多少(2 取1.41,结果精确到0.1 m)?
解:(1)如答图,过点P作PH⊥OA于点H,设PH=3x,
在Rt△OHP中,∵tanα=PHOH=12,∴OH=6x.
在Rt△AHP中,∵tanβ=PHAH=32,∴AH=2x,
∴OA=OH+AH=8x=4,∴x=12,∴OH=3,PH=32,
∴点P的坐标为3,32;
(2)如答图,若水面上升1 m后到达BC位置,过点O(0,0),A(4,0)的抛物线的表达式可设为y=ax(x-4),
∵点P3,32在抛物线y=ax(x-4)上,
∴代入得3a(3-4)=32,解得a=-12,
∴抛物线的表达式为y=-12x(x-4).
当y=1时,-12x(x-4)=1,
解得x1=2+2,x2=2-2,
∴BC=(2+2)-(2-2)=22≈2.8(m).
答:水面上升1 m后,水面宽约为2.8 m.
 (25分)
8.(10分)[2017•德州]随着新农村的建设和旧城的改造,我们的家园越来越美丽.小明家附近的广场中央新修了个圆形喷水池(如图18-5),在水池中心竖直安装了一根高为2 m的喷水管,它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高,水柱落地处离池中心3 m.
 
图18-5
(1)请你建立适当的平面直角坐标系,求出水柱抛物线的函数表达式;
(2)水柱的最大高度是多少?
【解析】 (1)由于题目所给数据均与水池中心相关,故可选取水池中心为原点,原点与水柱落地点所在直线为x轴,水管所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,再利用顶点式求解函数关系式;
(2)抛物线的顶点纵坐标即为水柱的最大高度.
解:(1)如答图,以水管与地面交点为原点,
原点与水柱落地点所在直线为x轴,水管所在直线为y轴,建立平面直角坐标系.由题意可设抛物线的函数表达式为y=a(x-1)2+h(0≤x≤3).
抛物线过点(3,0)和(0,2),代入抛物线表达式,可得4a+h=0,a+h=2,解得a=-23,h=83.
∴抛物线表达式为y=-23(x-1)2+83(0≤x≤3),
化为一般式为y=-23x2+43x+2(0≤x≤3);
(2)由(1)知抛物线表达式为y=-23(x-1)2+83,
当x=1时,y=83.
答:水柱的最大高度为83 m.
9.(15分)[2017•成都]随着地铁和共享单车的发展,“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择,李华从文化宫站出发,先乘坐地铁,准备在离家较近的A,B,C,D中的某一站出地铁,再骑共享单车回家,设他出地铁的站点与文化宫距离为x(单位:km),乘坐地铁的时间y1(单位:min)是关于x的一次函数,其关系如下表:
地铁站 A B C D E   
x(km)  8  9  10  11.5  13
y1(min)  18  20  22  25  28
(1)求y1关于x的函数表达式;
(2)李华骑单车的时间y2(单位:min)也受x的影响,其关系可以用y2=12x2-11x+78来描述,请问:李华应选择在哪一站出地铁,才能使他从文化宫回到家里所需的时间最短?并求出最短时间.
解:(1)设乘坐地铁的时间y1关于x的一次函数是y1=kx+b,
把x=8,y1=18;x=10,y1=22代入,得
18=8k+b,22=10k+b,解得k=2,b=2,
∴y1关于x的函数表达式是y1=2x+2;
(2)设回家所需的时间为y,则y=y1+y2,
即y=2x+2+12x2-11x+78=12x2-9x+80=12(x-9)2+792,∴当x=9时,y最小=792(min).
答:李华选择从B地铁口出站,骑单车回家的时间最短,最短时间为792 min.
 (15分)
10.(15分)[2017•嘉兴]如图18-6,某日的钱塘江观潮信息如下表:
2017年×月×日,天气:阴;能见度:1.8 km.
11:40时,甲地“交叉潮”形成,潮水匀速奔向乙地;
12:10时,潮头到达乙地,形成“一线潮”,开始均匀加速,继续向西;
12:35时,潮头到达丙地,遇到堤坝阻挡后回头,形成“回头潮”.
 
图18-6
按上述信息,小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离s(km)与时间t(min)的函数关系用图③表示,其中:“11:40时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12 km”记为点A(0,12),点B坐标为(m,0),曲线BC可用二次函数s=1125t2+bt+c(b,c是常数)刻画.
(1)求m的值,并求出潮头从甲地到乙地的速度;
(2)11:59时,小红骑单车从乙地出发,沿江边公路以0.48 km/min的速度往甲地方向去看潮,问她几分钟后与潮头相遇?
(3)相遇后,小红立即调转车头,沿江边公路按潮头速度与潮头并行,但潮头过乙地后均匀加速,而单车最高速度为0.48 km/min,小红逐渐落后,问小红与潮头相遇到落后潮头1.8 km共需多长时间?潮水加速阶段速度v=v0+2125(t-30),v0是加速前的速度
解:(1)由题意可知:m=30,∴B(30,0),
∴潮头从甲地到乙地的速度为1230=0.4(km/min);
(2)∵潮头的速度为0.4 km/min,
∴到11:59时,潮头已前进19×0.4=7.6(km),
设小红出发x min与潮头相遇,
∴0.4x+0.48x=12-7.6,解得x=5,
∴小红5 min与潮头相遇;
(3)把B(30,0),C(55,15)代入s=1125t2+bt+c,
解得b=-225,c=-245,∴s=1125t2-225t-245.
∵v0=0.4,∴v=2125(t-30)+25,
当潮头的速度达到单车最高速度0.48 km/min,0.48=2125(t-30)+25,
解得t=35.
此时,s=1125t2-225t-245=115.
∴从t=35 min(12:15时)开始,潮头快于小红速度奔向丙地,小红逐渐落后,但小红仍以0.48 km/min的速度匀速追赶潮头.
设她离乙地的距离为s1,则s1与时间t的函数关系式为s1=0.48t+h(t≥35),
当t=35时,s1=s=115,代入可得h=-735,
∴s1=1225t-735.
最后潮头与小红相距1.8 km时,即s-s1=1.8,
1125t2-225t-245-1225t+735=1.8,
解得t=50或20(不符合题意,舍去),
∵小红与潮头相遇后,按潮头速度与潮头并行到达乙地用时6 min,
∴共需要时间为6+50-30=26(min).
答:小红与潮头相遇到潮头离她1.8 km外共需要26 min. 文 章
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