2018届中考数学复习第三讲第3课时分段函数的应用同步练习(附答案)

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2018届中考数学复习第三讲第3课时分段函数的应用同步练习(附答案)

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来源莲山
课件 w ww.5 y kj.Co m 第3课时 分段函数的应用
 
 (60分)
1.(15分)[2017•安徽]某超市销售一种商品,成本每千克40元,规定每千克售价不低于成本,且不高于80元.经市场调查,每天的销售量y(kg)与每千克售价x(元)满足一次函数关系,部分数据如下表:
售价x(元/kg) 50 60 70
销售量y(kg) 100 80 60
(1)求y与x之间的函数表达式;
(2)设商品每天的总利润为W(元),求W与x之间的函数表达式(利润=收入—成本);
(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况,并指出售价为多少元时获得最大利润,最大利润是多少?
解:(1)根据题意,设y=kx+b,其中k,b为待定的常数,
由表中的数据得50k+b=100,60k+b=80,解得k=-2,b=200,
∴y=-2x+200(40≤x≤80);
(2)根据题意得W=y •(x-40)=(-2x+200)(x-40)=-2x2+280x-
8 000(40≤x≤80);
(3)由(2)可知:W=-2(x-70)2+1 800,∴当售价x在满足 40≤x≤70的范围内,利润W随着x的增大而增大;当售价在满足 70<x≤80的范围内,利润W随着x的增大而减小.∴当x=70时,利润W取得最大值,最大值为1 800元.
2.(15分)[2016•襄阳]襄阳市某企业积极响应政府“创新发展”的号召,研发了一种新产品.已知研发、生产这种产品的成本为30元/件,且年销售量y(万件)关于售价x(元/件)的函数表达式为:
y=-2x+140(40≤x<60),-x+80(60≤x≤70).
(1)若企业销售该产品获得的年利润为W(万元),请直接写出年利润关于售价x(元/件)的函数表达式;
(2)当该产品的售价x(元/件)为多少时,企业销售该产品获得的年利润最大?最大年利润是多少?
(3)若企业销售该产品的年利润不少于750万元,试确定该产品的售价x(元/件)的取值范围.
解:(1)W=-2x2+200x-4 200(40≤x<60),-x2+110x-2 400(60≤x≤70);
(2)由(1)知,当40≤x<60时,W=-2(x-50)2+800.
∵-2<0,∴当x=50时,W有最大值800.
当60≤x≤70时,W=-(x-55)2+625.
∵-1<0,∴当60≤x≤70时,W随x的增大而减小,
∴当x=60时,W有最大值为600.
∵800>600,∴W最大值为800万元.
答:当该产品的售价定为50元/件时,销售该产品的年利润最大,最大利润为800万元;
(3)当40≤x<60时,令W=750,得
-2(x-50)2+800=750,解得x1=45,x2=55.
由函数W=-2(x-50)2+800的性质可知,
当45≤x≤55时,W≥750,
当60≤x≤70时,W最大值为600<750.
答:要使企业销售该产品的年利润不少于750万元,该产品的销售价x(元/件)的取值范围为45≤x≤55.
3.(15分)[2017•荆州]荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖.已知每千克小龙虾养殖成本为6元,在整个销售旺季的80天里,销售单价p(元/kg)与时间第t天之间的函数关系为p=14t+16(1≤t≤40,t为整数),-12t+46(41≤t≤80,t为整数),日销售量y(kg)与时间第t天之间的函数关系如图3-3-1所示.
(1)求日销售量y与时间t的函数关系式?
(2)哪一天的日销售利润最大?最大利润是多少?
(3)该养殖户有多少天日销售利润不低于2 400元?
(4)在实际销售的前40天中,该养殖户决定每销售1 kg小龙虾,就捐赠m(m<7)元给村里的特困户.在这前40天中,每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大,求m的取值范围.
【解析】 (1)根据函数图象,利用待定系数法求解可得;
(2)设日销售利润为W,分1≤t≤40和41≤t≤80两种情况,根据“总利润=每千克利润×销售”列出函数表达式,由二次函数的性质分别求得最值即可判断;
(3)求出W=2 400时x的值,结合函数图象即可得出答案;
(4)依据(2)中相等关系列出函数表达式,确定其对称轴,由1≤t≤40且销售利润随时间t的增大而增大,结合二次函数的性质可得答案.
解:(1)设函数表达式为y=kt+b,
将(1,198),(80,40)代入,得198=k+b,40=80k+b,解得k=-2,b=200,
∴y=-2t+200(1≤t≤80,t为整数);
(2)设日销售利润为W,则W=(p-6)y,
①当1≤t≤40时,W=14t+16-6(-2t+200)=-12(t-30)2+2 450,
∴当t=30时,W最大=2 450;
②当41≤t≤80时,w=-12t+46-6(-2t+200)=(t-90)2-100,
∴当t=41时,W最大=2 301,
∵2 450>2 301,
∴第30天的日销售利润最大,最大利润为2 450元;
(3)由(2)得当1≤t≤40时,W=-12(t-30)2+2 450,
令W=2 400,即-12(t-30)2+2 450=2 400,解得t1=20,t2=40,
由函数W=-12(t-30)2+2 450的图象(如答图)可知,当20≤t≤40时,日销售利润不低于2 400元,
 
第3题答图
而当41≤t≤80时,W最大=2 301<2 400,
∴t的取值范围是20≤t≤40,∴共有21天符合条件;
(4)设日销售利润为W,根据题意,得
W=14t+16-6-m(-2t+200)=-12 t2+(30+2m)t+2 000-200m,其函数图象的对称轴为t=2m+30,
∵W随t的增大而增大,且1≤t≤40,
∴由二次函数的图象及其性质可知2m+30≥40,
解得m≥5,又∵m<7,∴5≤m<7.
4.(15分)小慧和小聪沿图3-3-2①中景区公路游览.小慧乘坐车速为30 km/h的电动汽车,早上7:00从宾馆出发,游玩后中午12:00回到宾馆.小聪骑车从飞瀑出发前往宾馆,速度为20 km/h,途中遇见小慧时,小慧恰好游完一景点后乘车前往下一景点,上午10:00小聪到达宾馆.图②中的图象分别表示两人离宾馆的路程s(km)与时间t(h)的函数关系.试结合图中信息回答:
 
图3-3-2
(1)小聪上午几点钟从飞瀑出发?
(2)试求线段AB,GH的交点B的坐标,并说明它的实际意义;
(3)如果小聪到达宾馆后,立即以30 km/h的速度按原路返回,那么返回途中他几点钟遇见小慧?
解:(1)小聪从飞瀑到宾馆所用的时间为50÷20=2.5(h),
∵小聪上午10:00到达宾馆,
∴小聪从飞瀑出发的时刻为10-2.5=7.5,即7:30.
答:小聪早上7:30从飞瀑出发;
(2)设直线GH的函数表达式为s=kt+b,
由于点G的坐标为12,50,点H的坐标为(3,0),
则有50=12k+b,0=3k+b,解得k=-20,b=60,
∴直线GH的函数表达式为s=-20t+60,
又∵点B的纵坐标为30,
∴当s=30时,得-20t+60=30,解得t=32,
∴点B的坐标为32,30.
答:点B的实际意义是上午8:30小慧与小聪在离宾馆30  km(即景点草甸)处第一次相遇;
(3)方法一:设直线DF的函数表达式为s=k1t+b1,该直线过点D和F(5,0),
由于小慧从飞瀑回到宾馆所用时间为50÷30=53(h),
∴小慧从飞瀑准备返回时t=5-53=103(h),
即点D的坐标为103,50.
则有103k1+b1=50,5k1+b1=0,解得k1=-30,b1=150.
∴直线DF的函数表达式为s=-30t+150,
∵小聪上午10:00到达宾馆后立即以30 km/h的速度返回飞瀑,所需时间为50÷30=53(h).
如答图,HM为小聪返回时s关于t的函数图象,
∴点M的横坐标为3+53=143,∴M143,50,
设直线HM的函数表达式为s=k2t+b2,该直线过点H(3,0)和M 143,50,
则有50=143k2+b2,0=3k2+b2,解得k2=30,b2=-90.
∴直线HM的函数表达式为s=30t-90,
由30t-90=-30t+150,解得t=4,即11:00.
答:小聪返回途中上午11:00遇见小慧;
方法二:如答图,过点E作EQ⊥x轴于点Q,由题意,可得点E的纵坐标为两人相遇时距宾馆的路程,
又∵两人速度均为30 km/h,
∴该路段两人所花时间相同,即HQ=QF,
∴点E的横坐标为4.
答:小聪返回途中上午11:00遇见小慧.
 (20分)
5.(20分)[2017•黄冈]月电科技有限公司用160万元,作为新产品的研发费用,成功研制出了一种市场急需的电子产品,已于当年投入生产并进行销售.已知生产这种电子产品的成本为4元/件,在销售过程中发现:每年的年销售量y(万件)与销售价格x(元/件)的关系如图3-3-3所示,其中AB为反比例函数图象的一部分,BC为一次函数图象的一部分.设公司销售这种电子产品的年利润为W(万元).(注:若上一年盈利,则盈利不计入下一年的年利润;若上一年亏损,则亏损记做下一年的成本)
 
图3-3-3
(1)请求出y(万件)与x(元/件)之间的函数关系式.
(2)求出第一年这种电子产品的年利润W(万元)与x(元/件)之间的函数关系式,并求出第一年年利润的最大值.
(3)假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润W(万元)取得最大值时进行销售,现根据第一年的盈亏情况,决定第二年将这种电子产品每件的销售价格x(元)定在8元以上(x>8),当第二年的年利润不低于103万元时,请结合年利润W(万元)与销售价格x(元/件)的函数示意图,求销售价格x(元/件)的取值范围.
【解析】 (1)求y(万件)与x(元/件)之间的函数关系式,结合图象,是一个分段函数,已知点坐标,运用待定系数法可求;
(2)根据“年利润=年销售量×每件的利润-成本(160万元)”,可求出年利润W(万元)与x(元/件)之间的函数关系式,但要注意的是和第(1)问一样是分段函数,根据每段的函数特征分别求出最大值,再比较这两个数值的大小,从而确定第一年的年利润的最大值;
(3)根据条件“第二年的年利润不低于103万元”,可得W≥103,这是一个一元二次不等式,观察年利润W(万元)与销售价格x(元/件)的函数示意图,从而得出结果.
解:(1)当4≤x≤8时,设 y=kx,将A(4,40)代入,得
k=4×40=160.
∴y与x之间的函数关系式为y=160x.
当8<x≤28时,设y=kx+b,将B(8,20),C(28,0)代入,得8k+b=20,28k+b=0.   解得k=-1,b=28.
∴y与x之间的函数关系式为y=-x+28.
∴综上所述,得y=160x(4≤x≤8),-x+28(8<x≤28);
(2)当4≤x≤8时,W=(x-4)×y-160=(x-4)×160x-160=-640x.
∵W随着x的增大而增大,
∴当x=8时,Wmax=-6408 =-80.
当8<x≤28时,W=(x-4)×y-160 =(x-4)×(-x+28)-160=-x2+32x-272=-(x-16) 2-16.
∴当x=16时,Wmax=-16.∵-16>-80,
∴当每件的销售价格定为16元时,第一年的年利润的最大值为-16万元.
(3)∵第一年的年利润为-16万元.
∴16万元应作为第二年的成本.
又∵x>8,
∴第二年的年利润W=(x-4)(-x+28)-16
=-x2+32x-128,
令W=103,则-x2+32x-128=103,解得x1=11,x2=21.
在平面直角坐标系中,画出W与x的函数示意图如答图,观察示意图可知:当W≥103时,11≤x≤21.
∴当11≤x≤21时,第二年的年利润W不低于103万元.
 (20分)
6.(20分)[2017•随州]某水果店在两周内,将标价为10元/斤的某种水果,经过两次降价后的价格为8.1元/斤,并且两次降价的百分率相同.
(1)求该种水果每次降价的百分率;
(2)从第一次降价的第1天算起,第x天(x为正数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示.已知该种水果的进价为4.1元/斤,设销售该水果第x(天)的利润为y(元),求y与x(1≤x<15)之间的函数关系式,并求出第几天时销售利润最大?
时间x(天) 1≤x<9 9≤x<15 x≥15
售价(元/斤) 第1次降价后的价格 第2次降价后的价格 
销量(斤) 80-3x 120-x
储存和损耗费用(元) 40+3x 3x2-64x+400
(3)在(2)的条件下,若要使第15天的利润比(2)中最大利润最多少127.5元,则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元?
【解析】 (1)设该种水果每次降价的百分率为x,则第一次降价后的价格为10(1-x),第二次降价后的价格为10(1-x)2,进而可得方程;
(2)分两种情况考虑,先利用“利润=(售价-进价)×销量-储存和损耗费用”,再分别求利润的最大值,比较大小确定结论;
(3)设第15天在第14天的价格基础上降a元,利用不等关系“(2)中最大利润-[(8.1-a-4.1)×销量-储存和损耗费用]≤127.5”求解.
解:(1)设该种水果每次降价的百分率为x,依题意,
得10(1-x)2=8.1,
解得x1=0.1=10%,x2=1.9(不合题意,舍去).
答:该种水果每次降价的百分率为10%.
(2)第一次降价后的销售价格为10×(1-10%)=9(元/斤),
当1≤x<9时,y=(9-4.1)(80-3x)-(40+3x)=-17.7x+352;
当9≤x<15时,y=(8.1-4.1)(120-x)-(3x2-64x+400)=-3x2+60x+80,
综上所述,y与x的函数关系式为
y=-17.7x+352(1≤x<9,x为整数),-3x2+60x+80(9≤x<15,x为整数).
当1≤x<9时,y=-17.7x+352,
∴当x=1时,y最大=334.3(元);
当9≤x<15时,y=-3x2+60x+80=-3(x-10)2+380,
∴当x=10时,y最大=380(元).
∵334.3<380,
∴在第10天时销售利润最大.
(3)设第15天在第14天的价格上最多可降a元,依题意,得
380-[(8.1-a-4.1)(120-15)-(3×152-64×15+400)]≤127.5,解得a≤0.5,
则第15天在第14天的价格上最多可降0.5元.
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