2018年河北中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第2章方程组与不等式组第4节一元一次不等式组及应用精讲试题

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2018年河北中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第2章方程组与不等式组第4节一元一次不等式组及应用精讲试题

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第四节 一元一次不等式(组)及应用
 
河北五年中考命题规律
年份 题号 考查点 考查内容 分值 总分
2017 26 (3) 一元一次不等式的应用 以销售问题为背景,考查一元一次不等式解决实际问题 3 3
2016年未考查
2015 23 一元一次不等式的应用 以往水容器中装球为背景考查列一次函数表达式和列一元一次不等式解决实际问题 10 10
2014 6 一元一次不等式的解法 一元一次不等式的解集在数轴上的表示(结合一次函数图像所经过象限求出未知系数的取值范围) 2 2
2013 21(2) 一元一次不等式的解法 新定义下求一元一次不等式解集,并将解集在数轴上表示出来 5 5
命题规律 纵观河北近五年中考,一元一次不等式(组)在中考中每年最多设一道题,分值2~10分,题型有两种,选择、解答.其中一元一次不等式的解法在选择题中考了1次,解答题中考了1次,而一元一次不等式的 应用在2015、2017年各考查了1次.


河北五年中考真题及模拟                  

  一元一次不等式(组)的解法
1.(2013河北中考)定义新运算:对于任意实数a,b,都有a⊕b=a(a-b)+1,等式 右边是通常的加法、减法及乘法运算,比如:2⊕5=2×(2-5)+1=2×(-3)+1=-6+1=-5.若3⊕x的值小于13,求 x的取值范围,并在如图所示的数轴上表示出来.

 
解:由3⊕x小于13,得3(3-x)+1<13,
去括号,得9-3x+1<13,
移项合并,得-3x<3,解得x>-1.
在数轴上表示如图.

  一元一次不等式的应用
2.(2015河北中考)水平放置的容器内原有210 mm高的水,如图,将若干个球逐一放入该容器中,每放入一个大球水面就上升4 mm, 每放入一个小球水面就上升3 mm,假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出.设水面高为y mm.
(1)只放入大球,且个数为x大,求y与x大的函数关系式;(不必写出x大的范围)
(2)仅放入6个大球后,开始放入小球,且小球个数为x小.
①求y与x小的函数关系式;(不必写出x小的范围)
②限定水面高不超过260 mm,最多能放入几个小球?
 
解:(1)y=4x大+210;
(2)①当x大=6时,y=4×6+210=234,
∴y=3x小+234;
 ②依题意,得3x小+234≤260,
解得x小≤823,
∵x小为自然数,∴x小最大为8,
即最多能放入8个小球.
 
 ,中考考点清单)
                  

  不等式的概念及性质
1.不等式:一般地,用不等号连接的式子叫做__不等式__.
2.不等式的解:能使不等式成立的未知数的__值__叫做不等式的解;一个含有未知数的不等式的解的全体,叫做不等式的__解集__.
3.不等式的基本性质:
性质1:不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向__不变__;
性质2:不等式两边同乘(或除以)以一个正数,不等号的方向__不变__;
性质3:不等式两边同乘(或除以)以一个负数,不等号的方向__改变__.
【温馨提示】不等式的基本性质 是不等式变形的重要依据,性质3——不等号的方 向会发生改变这是不等式独有的性质.

  一元一次不等式的解法及数轴表示
4.一元一次不等式:只含有__一个__未知数,且未知数的次数是__1次__的不等式,叫做一元一次不等式,其一般形式是__ax+b>0__或ax+b<0(a≠0).
5.解一元一次不等式的一般步骤:(1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)__合并同类项__;(5)系数化为1.
6.一元一次不等式的解集在数轴上的表示

解集在
数轴上
的表示 
__x<a__ 

__x>a__ 

__x≤a__ 

__x≥a__  

【温馨提示】(1)已知一元一次不等式(组)的解集,确定其中字母的取值范围的方法是:①逆用不等式(组)的解集确定;②分类讨论确定;③从反面求解确定;④借助于数轴确定.

(2)解决实际应用题:应紧紧抓住“至多”“至少”“不大于”“不小于”“不超过”“等于”“大于”“小于”等关键词.注意分析题中的不等关系,列出不等式(组),然后根据不等式(组)的解法,结合 题意求解.

  一元一次不等式组的解法及数轴表示
7.一元一次不等式组:含有相同未知数的若干个__一元一次__不等式所组成的不等式组叫做一元一次不等式组.
8.一元一次不等式组的解集:一元一次不等式组中各个不等式的__解集__的公共部分.
9.解一元一次不等式组的步骤:(1)先求出各个不等式的__解集__;(2)再利用数轴找它们的__公共部分__;(3)写出不等式组的解集.
10.几种常见的不等式组的解集(a<b,且a,b为常数)如表:

 

不等式
组(其中
a<b) 图示 解集 口诀
x≥a,x≥b
 
__x≥b__ 同大取大
x≤a,x≤b
 
__x≤a__ 同小取小
x≥a,x≤b
 
__a≤x≤b_ _ 大小、小大
中间找
x≤a,x≥b
 
__空集__ 小小、大大
找不到
11.求不等式(组)的特殊解,一方面要先求不等式(组)的__解集__,然后在解集中找__特殊__解.
  列不等式(组)解应用题
12.列不等式(组)解应用题的步骤:(1)找出实际问题中的__不等__关系,设定未知数,列出不等式(组);(2)解不等式(组);(3)从不等式(组)的解集中求出符合题意的答案.     
                                           ,中考重难点突破                  

  一元一次不等式(组)的解法
【例1】(1)(2017石家庄中考模拟)解不等式2x-13-5x+12≤1,并把它的解集在数轴上表示出来;
(2)求不等式组3x-7<2,①2x+3≥1②的解集,并把它们的解集在数轴上表示出来.
【解析】解一元一次不等式(组)时,一般是先分别求出每个不等式的解集,再借助数轴找出它们的公共部分,这样就可以确定出不等式组的解集.
【答案】解:(1)去分母,得2(2x-1)-3(5x+1)≤6.
去括号,得4x-2-15x-3≤6.
移项,得4x-15x≤6+2+3.
合并同类项,得-11x≤11.
系数化为1,得x≥-1.
这个不等式的解集在数轴上表示如下:
 
(2)解不等式①,得x<3.
解不等式②,得x≥-1.
∴不等式组的解集为:-1≤x<3.
解集在数轴上表示为:
 
 
1.若x>y,则下列式子中错误的是( D )
A.x-3>y-3
B.3x>3y
C.x+3>y+3
D.-3x>-3y
2.(2017福州中考)不等式组x+1>0,x-3>0的解集为( B )
A.x>-1  B.x>3
C.x<-1  D.x<3
3.(2016石家庄长安质检)把某不等式组中两个不等式的解集表示在数轴上,如图所示,则这个不等式组可能是( A )
 
A.x>-1,x≤2  B.x≥-1,x<2
C.x≥-1,x≤2  D.x<-1,x≥2
  根据不等式组的整数解确定字母的取值范围
【例2】关于x的不等式组3x-1>4(x-1),x<m的解集为x<3,那么m的 取值范围是( D )
A.m=3  B.m>3
C.m<3  D.m≥3
【解析】给出不等式组的解集,确定其中一个不等式的解集,最有效的方法是用数轴.
【答案】D
 
4.(2016沧州九中模拟)若关于x的一元一次不等式组x-a>0,1-2x>x-2无解,则a的取值范围为__a≥1__.
  一元一次不等式的应用
【例3】(2017邯郸中考模拟)小宏准备用50元钱买甲、乙两种饮料共10瓶.已知甲饮料每瓶7元,乙饮料每瓶4元,则小宏最多能买________瓶甲饮料.
【解析】买东西时,首先要保证“钱够用”,即花的钱不能超过50元;还应注意,用不等式(组)解决问题,设未知数时,不要加“最多”.设小宏买x瓶甲饮料,则买乙饮料(10-x)瓶.则7x+4(10-x)≤50,解得x≤ 313.所以小宏最多能买3瓶甲饮料.
【答案】3
 
5.为增强居民节约用电意识,某市对居民用电实行“阶梯收费”,具体收费标准见表:

一户居民一个月
用电量的范围 电费价格
(单位:元/千瓦时)
不超过160千瓦时的部分 x
超过160千瓦时的部分 x+0. 15
某居民五月份用电190千瓦时,缴纳电费90元.
(1)求x和超出部分电费单价;
(2)若该户居民六月份所缴电费不低于75元且不超过84元,求该户居民六月份的用电量范围.
解:(1)根据题意,得
160x+(190-160)(x+0.15)=90,
解得x=0.45,
则超出部分的电费单价为x+0.15=0.6元/千瓦时;
(2)设该户居民六月份的用电量为a千瓦时.
则75≤160×0.45+0.6(a-160)≤84,
解得165≤a≤180.
则该户居民六月份的用电量范围为165千瓦时到180千瓦时.

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