2018年河北中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第3章函数及其图像第5节二次函数的图像及性质精讲试题

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2018年河北中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第3章函数及其图像第5节二次函数的图像及性质精讲试题

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j.Co M

第五节 二次函数的图像及性质
河北五年中考命题规律
年份 题号 考查点 考查内容 分值 总分
2017 15 二次函数的图像 二次函数图像与反比例函数的图像综合应用 2 2
2016 26 二次函数的图像和性质 以二次函数与反比例函数图像为背景,以动线、动点形式确定交点的取值范围 12 12
2015 25 二次函数表达式的确定及性质 给出三点坐标:(1)求二次函数表达式;(2)比较两点函数值的大小;(3)给出线段被分的比,求顶点的横坐标 11 11
2014 24 二次函数表达式的确定及图像的平移规律 以平面直角坐标系中的格点图为背景:(1)求二次函数表达式及顶点坐标;(2)求二次函数表达式并判断点是否在函数图像上;(3)写出满足经过九个格点中的三个的所有抛物线条数 11 11
2013 20 二次函数的图像及性质 以二次函数图像旋转为背景,求某段函数图像上点的纵坐标 3 3
命题 规律 二次函数的图像及性质在中考中一般设置1道题,分值为2~11分,在选择、填空和解答题中均有涉及.纵观河北近五年中考,本课时常考类型有:(1)二次函数表达式的确定;(2)二次函数图像的分析与判断;(3)二次函数图像及性质的相关计算;(4)以二次函数、反比例函数为背景,探究动线、动点问题.


河北五年中考真题及模拟)  

  二次函数的图像及性质
1.
 
(2017河北中考)如图,若抛物线y=-x2+3与x轴围成封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标都是整数)的个数为k,则反比例函数y=kx(x>0)的图像是( D )
 ,A)   ,B)
 ,C)   ,D)
2.(2017石家庄中考模拟)二次函数y=-2(x-3)2-6图像的对称轴和最值分别为( B )
A.直线x=-3,6  B.直线x=3,6
C.直线x=-3,-6  D.直线x=3,-6
3.(2017保定中考模拟)已知两点A(-5,y1),B(3,y2)均在抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上,点C(x0,y0)是该抛物线的顶点.若y1>y2≥y0,则x0的取值范围是( B )
A.x0>-5  B.x0>-1
C.-5<x0<-1  D.-2<x0<3
4.(2016石家庄四十三中一模)已知二次函数y=2(x-3)2+1.下列说法:①其图像的开口向下 ;②其图像的对称轴为直线x=-3;③其图像顶点坐标为(3,-1);④当x<3时,y随x的增大而减小.其中说法正确的有( A )
A.1个  B.2个  C.3个  D.4个
5.(2017唐山中考模拟)某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图像时,列出了下面的表格:

x … -2 -1 0 1 2 …
y … -11 -2 1 -2 -5 …
由于粗心,他算错了其中一个y值,则这个错误的数值是( D )
A.-11   B.-2  C.1  D.-5
   二次函数表达式的确定
 
6.(2016保定十七中模拟)如图,正方形ABCD的边长为10,四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD的顶点上,且它们的各边与正方形ABCD各边平行或垂直.若小正方形的边长为x,且0<x≤10,阴影部分的面积为y,则能反映y与x之间函数关系的大 致图像是( D )
 ,A) ,B) ,C) ,D)
7.(2017保定中考模拟)若将抛物线y=2x2向左平移1个单位长度,则所得的抛物线是( C )
A.y=2x2+1  B.y=2x2-1
C.y=2(x+1)2  D.y=2(x-1)2
8 .(2016保定十七中一模)已知抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点为(m,0),则代数式m2-m+2 015的值为__2__016__.
9.(2015河北中考)如图,已知点O(0,0),A(-5,0),B(2,1),抛物线l:y=-(x-h)2+1(h为常数)与y轴的交点为C.
(1)l经过点B,求它的表达式,并写出此时l的对称轴及顶点坐标;
(2)设点C的纵坐标为yC,求yC的最大值,此时l上有两点(x1,y1),(x2,y2),其中x1>x2≥0,比较y1与y2的大小;
(3)当线段OA被l只分为两部分,且这两部分的比是1∶4时,求h的值.
 
解:(1)把x=2,y=1代入y=-(x-h)2+1,得h=2.∴表达式为y=-(x-2)2+1(或y=-x2+4x-3).对称轴为直线x=2,顶点B(2,1);
(2)点C的横坐标为0,则yC=-h2+1,∴当h=0时,yC有最大值为1.此时,l为y=-x2+1,对称轴为y轴,当x≥0时,y随着x的增大而减小,∴x1>x2≥0时,y1<y2;
(3)把OA分1∶4两部分的点为(-1,0)或(-4,0).把x=-1,y=0代入y=-(x-h)2+1,得h=0或h=-2.但h=-2时,OA被分为三部分,不合题意,舍去.同样,把x=-4,y=0代入y=-(x-h)2+1,得h=-5或h=-3(舍去).∴h的值为0或-5.
 
10.(2014河北中考)如图,2×2网格(每个小正方形的边长为1)中有A,B,C,D,E,F,G,H,O九个格点.抛物线l的表达式为y=(-1)nx2+bx+c(n为整数).
(1)n为奇数,且l经过点H(0,1)和C(2,1),求b,c的值,并直接写出哪个格点是该抛物线的顶点;
(2)n为偶数,且l经过点A(1,0)和B(2,0),通过计算说明点F(0,2)和H(0,1)是否在该抛物线上;
(3)若l经过这九个格点中的三个,直接写出所有满足这样条件的抛物线条数.
解:(1)n为奇数时,y=-x2+bx+c.
∵l经过点H(0,1)和C(2,1),
∴c=1,-4+2b+c=1,解得b=2,c=1,
∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+1,
∴y=-(x-1)2+2,
∴顶点为格点E(1,2);
(2)n为偶数时,y=x2+bx+c,
∵l经过点A(1,0)和B(2,0).
∴1+b+c=0,4+2b+c=0,解得b=-3,c=2.
∴抛物线的表达式为y=x2-3x+2,
当x=0时,y=2,
∴点F(0,2)在抛物线y=x2-3x+2的图像上,点H(0,1)不在抛物线y=x2-3x+2的图像上;(3)所有满足条件的抛物线共有8条.
 
                        
中考考点清单        

  二次函数的概念及表达式
1.定义:一般地,如果两个变量x和y之间的函数关系,可以表示成y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a≠0),那么称y是x的二次函数,其中,a叫做二次项系数,b叫做一次项系数,c叫做常数项.
2.三种表示方法:
(1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0);
(2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其中二次函数的顶点坐标是(h,k) ;
(3)交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.
3.三种表达式之间的关系
顶点式――→确定一般式――→因式分解两点式
4.二次函数表达式的确定:
(1)求解二次函数表达式的方法一般用待定系数法,根据所给条件的不同,要灵活选用函数表达式;
①当已知抛物线上任意三点时,通常设为一般式y=ax2+bx+c形式;
②当已知抛物线的顶点或对称轴时,通常设为顶点式y=a(x-h)2+k形式;
③当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时,通常设为两点式y=a(x-x1)(x-x2).
(2)步骤:
①设二次函数的表达式;
②根据已知条件,得到关于待定系数的方程组;
③解方程组,求出待定系数的值,从而写出函数的表达式.
  二次函数的图像及其性质
二次函数的图像及其性质近五年考查三大题型均有 涉及.结合的背景有:(1)与规律探索结合的旋转抛物线;(2)以两个抛物线结合为背景;(3)与正方形结合.
设问方式有:(1)求点坐标;(2)判断结论的正误;(3)判断不符合条件的函数图像;(4)求表达式;(5)求最值.
5.图像性质
函 数 二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 
图像 
 

续表

对称轴 直线x=__-b2a__
直线x=-b2a

顶点
坐标 -b2a,4ac-b24a
-b2a,4ac-b24a

增减性 在对称轴的左侧,即x<-b2a时,y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,即当x>-b2a时,y随x的增大而增大,简记为“左减右增” 在对称轴的左侧,即当x<-b2a时,y随x的增大而增大;在对称轴的右侧,即当x>-b2a时,y随x的增大而减小,简记为“左增右减”
最值 抛物线有最低点,当__x=-b2a__时,y有最小值,y最小值=4ac-b24a
抛物线有最高点,当x=-b2a时,y有最大值,y最大值=__4ac-b24a__

6.系数a,b,c与二次函数的图像关系
项目字母 字母的符号 图像的特征
a  
a>0 开口向上 
a<0 _ _开口向下__ 
b  
b=0 对称轴为y轴 
ab>0(b与a同号) 对称轴在y轴左侧 
ab<0(b与a异号) 对称轴在y轴右侧 
c  
c=0 __经过原点__ 
c>0 与y轴正半轴相交 
c<0 与y轴负半轴相交 
b2-4ac  
b2-4ac=0 与x轴有唯一交点(顶点) 
b2-4ac>0 与x轴有两个不同交点 
b2-4ac<0 与x轴没有交点 
特殊
关系  
当x=1时,y=a+b+c  
当x=-1时,y=a-b+c  
若a+b+c>0,即x=1时,y>0  
若a-b+c>0,即x=-1时,y>0  
  二次函数图像的平移
7.平移步骤:
(1)将抛物线表达式转化为顶点式y=a(x-h)2+k,确定其顶点坐标;
(2)保持抛物线的形状不变,平移顶点坐标(h,k)即可.
8. 平移规律:

移动方向 平移前的表达式 平移后的表达式 规律
向左平移
m个单位长度 y=a(x-h)2+k y=a(x-h+m)2+k 左加
向右平移
m个单位长度 y=a(x-h)2+k y =a(x-h-m)2+k 右减
向上平移
m个单位长度 y=a(x-h)2+k y=a(x-h)2+k+m 上加

续表

移动方向 平移前的表达式 平移后的表达式 规律
向下平移
m个单位长度 y=a(x-h)2+k y=a(x-h)2+k-m 下减
口诀:左加右减、上加下减   
  二次函数与一元二次方程的关系
9.当抛物线与x轴有两个交点时,两交点的横坐标就是对应的一元二次方程的两个不相等的实数根.
10.当抛物线与x轴只有一个交点时,该交点的横坐标就是对应的一元二次方程的两个相等的实数根.
11.当抛物线与x轴没有交点时,对应的一元二次方程无实数根.
 

 ,中考重难点突破
                  

  二次函数的图像及性质
【例1】(2017孝感中考)二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示,反比例函数y=bx与一次函数y=cx+a在同一平面直角坐标系中的大致图像是( B )
 
 ,A)   ,B)
 ,C)   ,D)
【解析】∵y=ax2+bx+c的图像的开口向下,∴a<0,∵对称轴在y轴的右侧,∴b>0,与y轴正半轴相交,∴c>0,∴反比例函数的图像经过第一、三象限,一次函数的图像经过第一、三、四象限.故选B.
【答案】B
 
1.(2017广州中考)a≠0,函数y=ax与y=-ax2+a在同一直角坐标系中的大致图像可能是( D )
 ,A)   ,B)
 ,C)   ,D)
  抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)的图像与a,b,c的关系
【例2】(2017日照中考)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=2,与x轴的一个交点坐标为(4,0),其部分图像如图所示,下列结论:
 
①抛物线过原点;
②4a+b+c=0;
③a-b+c<0;
④抛物线的顶点坐标为(2,b);
⑤当x<2时,y随x增大而增大.
其中结论正确的是( B )
A.①②③  B.③④⑤  C.①②④  D.①④⑤
【解析】由对称轴为直线x=2和点(4,0)可判断①;由对称轴为直线x=2可得b=-4a,又c=0可判断②;当x=-1时,y=a-b+c,可判断③;观察图像即可判断④;由函数增减性可判断⑤.
【答案】C
 
2.(烟台中考)二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示,下列结论:①4ac<b2;②a+c>b;③2a+b>0.其中正确的有( B )

A.①②  B.①③
C.②③  D.①②③
 (第2题图)
    (第3题图)


3.(兰州中考)二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示,对称轴是直线x=-1,有以下结论:①abc>0;②4ac<b2;③2a+b=0;④a-b+c>2.其中正确的结论的个数是( C )
A.1个  B.2个  C.3个  D.4个
  二次函数表达式的确定
【例3】(2016承德二中模拟)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图像过A(2,0),B(0,-1)和C(4,5)三点.
(1)求二次函数的表达式;
(2)设二次函数的图像与x轴的另一个交点为D,求点D的坐标;
(3)在同一坐标系中画出直线y=x+1,并写出当x在什么范围内时,一次函数的值大于二次函数的值.
 
【解析】(1)根据二次函数y=ax2+bx+c的图像过A(2,0),B(0,-1)和C(4,5)三点,代入得出关于a,b,c的三元一次方程组,求得a,b,c,从而得出二次函数的表达式;(2)令y=0,解一元二次方程,求得x的值,从而得出与x轴的另一个交点坐标;(3)画出图像,再根据图像直接得出答案.
【答案】解:(1)∵二次函数y=ax2+bx+c的图像过A(2,0),B(0,-1)和C(4,5)三点,∴4a+2b+c=0,c=-1,16a+4b+c=5,
∴ a=12,b=-12,c=-1,∴二次函数的表达式为y=12x2-12x-1;
(2)当y=0时,得12x2-12x-1=0,
解得x1=2,x2=-1,
∵点A的坐标为(2,0),∴点D坐标为(-1,0);
(3)图像如图所示,当一次函数的值大于二次函数的值时,x的取值范围是-1<x<4.
 
 
4.如图,二次函数的图像与x轴交于A(-3,0)和B(1,0)两点,交y轴于点C(0,3),点C,D是二次函数图像上的一对对称点,一次函数的图像过点B,D.
(1)请直接写出D点的坐标;
(2)求二次函数的表达式;
(3)根据图像直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围.
解:(1)D(-2,3);
(2)设表达式为y=ax2+bx+c,将A(-3,0),B(1,0),C(0,3)代入,得
c=3,a+b+c=0,9a-3b+c=0,解得a=-1,b=-2,c=3,
∴二次函数的表达式为y=-x2-2x+3;
(3)x<-2或x>1.

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