2016年中考数学真题汇编(12)一元二次方程的代数应用(有答案和解释)

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2016年中考数学真题汇编(12)一元二次方程的代数应用(有答案和解释)

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一、选择题
1. ( 2016福建福州,12,3分)下列选项中,能使关于x 的一元二次方程ax2-4x+c=0一定有实数根的是
A.a>0         B.a=0        C.c>0       D.c=0
【答案】D
【逐步提示】本题考查了一元二次方程根的判别式,求字母的取值范围,解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式的情况.据方程有实数根可得ac≤4,且a≠0,对每个选项逐一判断即可.
【详细解答】解:∵一元二次方程有实数根,
∴△=(﹣4)2﹣4ac=16﹣4ac≥0,且a≠0,∴ac≤4,且a≠0;
A.若a>0,当a=1、c=5时,ac=5>4,此选项错误;
B.a=0不符合一元二次方程的定义,此选项错误;
C.若c>0,当a=1、c=5时,ac=5>4,此选项错误;
D.若c=0,则ac=0≤4,此选项正确,故答案为D  .
【解后反思】一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)(1)当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;(2)当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;(3)当b2-4ac<0时,方程没有实数根;这些结论反过来也成立.另外一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根 b2-4ac≥0.
【关键词】一元二次方程根的判别式;
2. (2016甘肃兰州,9,4分)公园有一块正方形的空地,后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)原空地一边减少了1m,另一边减少了2m,剩余空地的面积为18m2,求原正方形的边长.设原正方形的空地的边长为xm,则可列方程为(    )
 
A.(x+1) (x+2)=18  B.x2-3x+16=0  C.(x-1) (x-2)=18   D.x2+3x+16=0
【答案】C
【逐步提示】根据题意,剩余空地是一个长方形,先用x的代数式表示剩余的长方形空地的长与宽,再根据等量关系“剩余空地的面积为18 m2”列出方程.
【详细解答】解:根据题意,剩余的长方形空地的长为(x-1) m,宽为(x-2) m,所以可列出方程得(x-1) (x-2)=18,故选择C.
【解后反思】列方程(组)解应用题的一般步骤为:
(1)审:是指审清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量,以及它们之间的等量关系.
(2)设:根据题意,设恰当的未知数. 设未知数有“直接设元”与“间接设元”两种方法.
(3)列:将相等关系中的各个量用含未知数的代数式表示出来,再根据相等关系列出方程.
(4)解:解方程,得出未知数的值.
(5)验:审查得出的方程的解是否符合题意,舍去不合题意的解.
(6)答:写出答案. (注意,如果是间接设元,要先将未知数的值转化为题中所求的量,再作答).

【关键词】一元二次方程的应用
3. (2016广东省广州市,10,3分)定义运算:a★b=a(1-b),若a,b是方程x2-x+ m=0(m<1)的两根,则b★b-a★a的值为(   )
A.0    B.1   C.2     D.与m有关
【答案】A
【逐步提示】利用方程根的定义,把a,b代入方程x2-x+ m=0(m<1),可得“a2-a”与“b2-b”均等于 m.再根据新定义运算,化简求值式b★b-a★a,并适当整理构建“a2-a”与“b2-b”进行整体求值.
【详细解答】解:∵a,b是方程x2-x+ m=0(m<1)的两根,∴a2-a+ m=0,b2-b+ m=0,∴a2-a=b2-b=- m.∵a★b=a(1-b),∴b★b-a★a=b(1-b)-a(1-a)=b-b2-a+a2=(a2-a)-(b2-b)=0,故选择A.
【解后反思】(1)新定义运算型试题,要抓住新定义运算的法则或者顺序,并将此定义作为解题的依据,通常照套法则即可.需要注意两点:①有括号时应当先算括号里面的;②新定义的运算往往不一定具备交换律和结合律,不能随便套用运算律解题.总之,新定义型问题是“披了一件新外衣”,解决方法还是用原知识点.
(2)整体思想就是在解决问题时,不是着眼于它的局部特征,而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上,通过对整体的把握和运用达到解决问题的目的.
【关键词】代数式求值;方程的解;新定义运算;整体思想
4. ( 2016河北省,14,2分)a,b,c为常数,且(a- c)2>a2+c2,则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是(     )[来源:
A.有两个相等的实数根   B.有两个不相等的实数根
C.无实数根         D.有一根为0
【答案】B
【逐步提示】本题考查了一元二次方程根的判别式,先化简不等式得到ac<0,进而判断出b2-4ac的符号,由此可知方程根的情况.
【详细解答】解:∵(a-c)2>a2+c2,即a2-2ac+c2>a2+c2,∴ac<0,a≠0.∴关于x的方程ax2+bx+c是一元二次方程,且b2-4ac>0,故该方程有两个不相等的实数根.
【解后反思】1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac>0时,一元二次方程有两个不相等的实数根;当b2-4ac=0时,一元二次方程有两个相等的实数根;当b2-4ac<0时,一元二次方程没有实数根;当b2-4ac≥0时,一元二次方程有实数根,以上结论反过来也成立.2.对于方程ax2+bx+c=0来说,只有当a≠0时,这个方程才是一元二次方程.
【关键词】 不等式;根的判别式;一元二次方程的定义
4. 5. ( 2016湖北省黄冈市,4,3分)已知方程3x2-4x-4=0的两个实数根分别为x1,x2.则
x1+x2=(   )
A.  B. 3  C.    D.
【答案】D
【逐步提示】本题考查了根与系数的关系,解题的关键是熟练掌握根与系数的关系,并能准确的确定方程中的系数。观察方程可知a=3,b=-4,根据根与系数的关系x1+x2=- 可以求出其值。
【详细解答】解:∵方程3x2-4x-4=0的两个实数根分别为x1,x2 ,a=3, b=-4.
  ∴x1+x2= .故选择D.
【解后反思】欲求一元二次方程的两根之和,只需熟练掌握根与系数的关系即可,如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根分别是x1,x2,,那么根与系数具有如下关系:x1+x2= , x1  x2= .
【关键词】 一元二次方程根与系数的关系。

6.(2016湖南省衡阳市,9,3分)随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展,家用汽车已越来越多地进入普通家庭。抽样调查显示,截止至2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆,已知2013年底该市汽车拥有量为10万辆,设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的年平均增长率为 ,根据题意列方程得(       )
A.             B. 
C.              D. 
【答案】A
【逐步提示】本题考查了列一元二次方程解应用题,解题的关键是找出题目中的相等关系,能用含未知数的代数式表示相等关系中的相关量.根据增长率问题题意列出2014年底该市汽车拥有量,再列出2015年底该市汽车拥有量,然后根据2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆为相等关系列方程求解.
【详细解答】解:根据题意可知,2014年底该市汽车拥有量为 ,2015年底该市汽车拥有量为  ,所以方程为  ,故选择A .
【解后反思】增长(降低)率是列方程解实际问题最常见的题型之一,对于平均增长率问题,正确理解有关“增长”问题的一些词语的含义是解答这类问题的关键,常见的词语有:“增加”“增加到”“增加了几倍”“增长到几倍”“增长率”等等.弄清基数、增长(减少)后的量及增长(减少)次数.
【关键词】一元二次方程的应用 ;增长率问题

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