【真题】2017年雅安市中考数学试卷(有答案和解释)

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【真题】2017年雅安市中考数学试卷(有答案和解释)

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2017年四川省雅安市中考数学试卷
 
一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(3分)﹣2017的绝对值是(  )
A.﹣2017 B.2017 C.1 D.﹣1
2.(3分)下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )
A.
等腰梯形
B.
平行四边形
C.
等边三角形
D.
菱形
3.(3分)平面直角坐标系中,点P,Q在同一反比例函数图象上的是(  )
A.P( ﹣2,﹣3),Q(3,﹣2) B.P(2,﹣3)Q(3,2) C.P(2,3),Q(﹣4, ) D.P(﹣2,3),Q(﹣3,﹣2)
4.(3分)下面哪幅图,可以大致刻画出苹果成熟后从树上下落过程中(落地前),速度变化的情况(  )
A.  B.  C.  D.
5.(3分)已知x1,x2是一元二次方程x2+2x﹣k﹣1=0的两根,且x1x2=﹣3,则k的值为(  )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.(3分)由若干个相同的小正方体,摆成几何体的主视图和左视图均为 ,则最少使用小正方体的个数为(  )
A.9 B.7 C.5 D.3
7.(3分)一个等腰三角形的边长是6,腰长是一元二次方程x2﹣7x+12=0的一根,则此三角形的周长是(  )[来源:学科网ZXXK]
A.12 B.13 C.14 D.12或14
8.(3分)下列命题中的真命题是(  )
①相等的角是对顶角  ②矩形的对角线互相平分且相等  ③垂直于半径的直线是圆的切线  ④顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形.
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
9.(3分)一次数学检测中,有5名学生的成绩分别是86,89,78,93,90.则这5名学生成绩的平均分和中位数分别是(  )
A.87.2,89 B.89,89 C.87.2,78 D.90,93
10.(3分)下列计算正确的是(  )
A.3x2﹣2x2=1 B.  C.  D.x2•x3=x5
11.(3分)如图,四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,∠B=60°,AD=1,BC=2,则四边形ABCD的面积是(  )
 
A.  B.3 C.  D.4
12.(3分)如图,四边形ABCD中,AB=4,BC=6,AB⊥BC,BC⊥CD,E为AD的中点,F为线段BE上的点,且FE= BE,则点F到边CD的距离是(  )
 
A.3 B.  C.4 D.
 
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分,请把答案填在题中的横线上)
13.(3分)细胞的直径只有1微米,即0.000 001米,用科学记数法表示0.000 001为     .
14.(3分)分解因式:a3﹣9a=     .
15.(3分)⊙O的直径为10,弦AB=6,P是弦AB上一动点,则OP的取值范围是     .
16.(3分)分别从数﹣5,﹣2,1,3中,任取两个不同的数,则所取两数的和为正数的概率为     .
17.(3分)定义:若两个函数的图象关于直线y=x对称,则称这两个函数互为反函数.请写出函数y=2x+1的反函数的解析式     .
 
三、解答题(本大题共7小题,共69分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
18.(10分)(1)计算:( )﹣3+| ﹣2|﹣(﹣2017)0.
(2)先化简,再求值:已知:( +1)÷(x+ ),其中x=4﹣2sin30°.
19.(9分)某校开展对学生“劳动习惯”情况的调查,为了解全校500名学生“主动做家务事”的情况,随机抽查了该校部分学 生一周“主动做家务事”的次数,制成了如下的统计表和统计图.
 次数  0  1  2  3  4
 人数  3  6  13    12
(1)根据以上信息,求在被抽查学生中,一周“主动做家务事”3次的人数;
(2)若在被抽查学生中随机抽取1名,则抽到的学生一周“主动做家务事”不多于2次的概率是多少?[来源:Zxxk.Com]
(3)根据样本数据,估计全校学生一周“主动做家务事”3次的人数.
 
20.(9分)如图,△ABC中,A (﹣4,4),B(﹣4,﹣2),C(﹣2,2).
(1)请画出将△ABC向右平移8个单位长度后的△A1BlC1;
(2)求出∠A1BlC1的余弦值;
(3)以O为位似中心,将△A1BlC1缩小为原来的  ,得到△A2B2C2,请在y轴右侧画出△A2B2C2.
 
21.(10分)如图,E,F是正方形ABCD的对角线AC上的两点,且AE=CF.
(1)求证:四边形BEDF是菱形;
(2)若正方形边长为4,AE= ,求菱形BEDF的面积.
 
22.(9分)校园超市以4元/件购进某物品,为制定该物品合理的销售价格,对该物品进行试销调查.发现每天调整不同的销售价,其销售总金额为定值,其中某天该物品的售价为6元/件时,销售量为50件.
(1)设售价为x元/件时,销售量为y件.请写出y与x的函数关系式;
(2)若超市考虑学生的消费 实际,计划将该物品每天的销售利润定为60元,则该物品的售价应定为多少元/件?
23.(10分)如图,AB是⊙O的直径,点D,E在⊙O上,∠A=2∠BDE,点C在AB的延长线上,∠C=∠ABD.
(1)求证:CE是⊙O的切线;
(2)若BF=2,EF= ,求⊙O的半径长.
 
24.(12分)如图,已知抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A(l,0),B(﹣3,0),与y轴交于点C,抛物线的顶点为D,对称轴与x轴相交于点E,连接BD.
(1)求抛物线的解析式.
(2)若点P在直线BD上,当PE=PC时,求点P的坐标.
(3)在(2)的条件下,作PF⊥x轴于F,点M为x轴上一动点,N为直线PF上一动点,G为抛物线上一动点,当以点F,N,G,M四点为顶点的四边形为正方形时,求点M的坐标.
 
 [来源:学科网]
 

2017年四川省雅安市中考数学试卷
参考答案与试题解析
 
一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(3分)﹣2017的绝对 值是(  )
A.﹣2017 B.2017 C .1 D.﹣1
【解答】解:﹣2017的绝对值是2017,
故选B
 
2.(3分)下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )
A.
等腰梯形
B.
平行四边形
C.
等边三角形
D.
菱形
【解答】解:A、等腰梯形是轴对称图形,不是中 心对称图形,故本选项不符合题意;
B、平行四边形不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项不符合题意;
C、等边三角形是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不符合题意;
D、菱形既是轴对称图形又是中心对称图形,故本选项符合题意.
故选D.
 
3.(3分)平面直角坐标系中,点P,Q在同一反比例函数图象上的是(  )
A.P(﹣2,﹣3),Q(3,﹣2) B.P(2,﹣3)Q(3,2) C.P(2,3),Q(﹣4, ) D.P(﹣2,3),Q(﹣3,﹣2)
【解答】解:A、∵(﹣2)×(﹣3)≠3×(﹣2),故点P,Q不在同一反比例函数图象上;
B、∵2×(﹣3)≠3×2,故点P,Q不在同一反比例函数图象上;
C、∵2×3=(﹣4)×( ),故点P,Q在同一反比例函数图象上;
D、∵(﹣2)×3≠(﹣3)×(﹣2),故点P,Q不在同一反比例函数图象上;
故选C.
 
4.(3分)下面哪幅图,可以大致刻画出苹果成熟后从树上下落过程中(落地前),速度变化的情况(   )
A.  B.  C.  D.
【解答】解:根据常识判断,苹果下落过程中的速度是随时间的增大逐渐增大的,
A、速度随时间的增大变小,故本选项错误;
B、速度随时间的增大而增大,故本选项正确;
C、速度随时间的增大变小,故本选项错误;
D、速度随时间的增大不变,故本选项错误.
故选B.
 
5.(3分)已知x1,x2是一元二次方程x2+2x﹣k﹣1=0的两根,且x1x2=﹣3,则k的值为(  )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解答】解:∵x1,x2是一元二次方程x2+2x﹣k﹣1=0的两根,
∴x1x2=﹣k﹣1.
∵x1x2=﹣3,
∴﹣k﹣1=﹣3,
解得:k=2.
故选B.
 
6.(3分)由若干个相同的小正方体,摆成几何体的主视图和左视图均为 ,则最少使用小正方体的个数为(  )
A.9 B.7 C.5 D.3
【解答】解:由主视图和左视图可确定所需正方体个数最少为3个.
故选 D.
 
7.(3分)一个等腰三角形的边长是6,腰长是一元二次方程x2﹣7x+12=0的一根,则此三角形的周长是(  )
A.12 B.13 C.14 D.12或14
【解答】解:由一元二次方程x2﹣7x+12=0,得
(x﹣3)(x﹣4)=0,
∴x﹣3=0或x﹣4=0,
解得x=3,或x=4;
∴等腰三角形的两腰长是3或4;
①当等腰三角形的腰长是3时,3+3=6,构不成三角形,所以不合题意,舍去;
②当等腰三角形的腰长是4时,0<6<8,所以能构成三角形,
所以该等腰三角形的周长=6+4+4=14;
故选C.
 
8.(3分)下列命题中的真命题是(  )
①相等的角是对顶角  ②矩形的对角线互相平分且相等  ③垂直于半径的直线是圆的切线  ④顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形.
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
【解答】解:①相等的角是对顶角,错误.
②矩形的对角线互相平分且相等,正确.
③垂直于半径的直线是圆的切线,错误.
④顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形,正确.
故选D.
 
9.(3分)一次数学检测中,有5名学生的成绩分别是86,89,78,93,90.则这5名学生成绩的平均分和中位数分别是(  )
A.87.2,89 B.89,89 C.87.2,78 D.90,93
【解答】解:这5名学生的成绩重新排列为:78、86、89、90、93,
则平均数为:  =87.2,中位数为89,
故选:A.
 
10.(3分)下列计算正确的是(  )
A.3x2﹣2x2=1 B.  C.  D.x2•x3=x5
【解答】解:A、3x2﹣2x2=x2,故此选项错误;
B、 =﹣x ,故此选项错误;
C、x÷y• = ,故此选项错误;
D、x2•x3=x5,正确.
故选:D.
 
11.(3分)如图,四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,∠B=60°,AD=1,BC=2,则四边形ABCD的面积是(  )
 
A.  B.3 C.  D.4
【解答】解:如图所示,延长BA,CD交于点E,
∵∠A=∠C=90°,∠B=60°,
∴∠E=30°,
∴Rt△ADE中,AE= = = ,[来源:学科网ZXXK]
Rt△BCE中,CE=tan60°×BC= ×2=2 ,
∴四边形ABCD的面积
=S△BCE﹣S△ADE
= ×2×2 ﹣ ×1×
=2 ﹣
= ,
故选:A.
 
 
12.(3分)如图,四边形ABCD中,AB=4,BC=6,AB⊥BC,BC⊥CD,E为AD的中点,F为线段BE上的点,且FE= BE,则点F到边CD的距离是(  )
 
A.3 B.  C.4 D.
【解答】解:如图所示,过E作EG⊥CD 于G,过F作FH⊥CD于H,过E作EQ⊥BC于Q,
则EG∥FH∥BC,AB∥EQ∥CD,四边形CHPQ是矩形,
∵AB∥EQ∥CD,
∴ ,
∵E是AD的中点,
∴BQ=CQ=3,
∴HP=CQ=3,
∵FP∥BQ,
∴ ,
∵FE= BE,[来源:学,科,网]
∴FP= BQ=1,
∴FH=1+3=4.
故选:C.
 
 
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分,请把答案填在题中的横线上)
13.(3分)细胞的直径只有1微米,即0.000 001米,用科学记数法表示0.000 001为 1×10﹣6 .
【解答】解:0.00 000 1=1×10﹣6,
故答案为:1×10﹣6.
 
14.(3分)分解因式:a3﹣9a= a(a+3)(a﹣3) .
【解答】解:a3﹣9a=a(a2﹣32)=a(a+3)(a﹣3).
 
15.(3分)⊙O的直径为10,弦AB=6,P是弦AB上一动点,则OP的取值范围是 4≤OP≤5 .
【解答】解:如图:连接OA,作OM⊥AB与M,
∵⊙O的直径为10,
∴半径为5,
∴OP的最大值为5,
∵OM⊥AB与M,
∴AM=BM,
∵AB=6,
∴AM=3,
在Rt△AOM中,OM= =4,
OM的长即为OP的最小值,
∴4≤OP≤5.
故答案为:4≤OP≤5.
 
 
16.(3分)分别从数﹣5,﹣2,1,3中,任取两个不同的数,则所取两数的和为正数的概率为   .
【解答】解:如图所示:
 
由树状图可知,共有12中可能的情况,两个数的和为正数的共有4种情况,
所以所取两个数的和为正数的概率为 = .
故答案为: .
 
17.(3分)定义:若两个函数的图象关于直线y=x对称,则称这两个函数互为反函数.请写出函数y=2x+1的反函数的解析式 y= x﹣  .
【解答】解:y=2x+1,
当x=0时,y=1,
当y=0时,x=﹣ ,
即函数和x轴的交点为(﹣ ,0),和y轴的交点坐标为(0,1),
所以函数关于直线y=x对称的点的坐标分别为(0,﹣ 和(1,0),
设反函数的解析式是y=kx+b,
代入得: ,
解得:k= ,b=﹣ ,
即y= x﹣ ,
故答案为:y= x﹣ .
 
三、解答题(本大题共7小题,共69分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
18.(10分)(1)计算:( )﹣3+| ﹣2|﹣(﹣2017)0.
(2)先化简,再求值:已知:( +1)÷(x+ ),其中x=4﹣2sin30°.
【解答】解:(1)( )﹣3+| ﹣2|﹣(﹣2017)0
=8+2﹣ ﹣1
=9﹣

(2)( +1)÷(x+ )
= ÷
=
x=4﹣2sin30°=4﹣2× =3
∴原式= =
 
19.(9分)某校开展对学生“劳动习惯”情况的调查,为了解全校500名学生“主动做家务事”的情况,随机抽查了该校部分学生一周“主动做家务事”的次数,制成了如下的统计表和统计图.
 次数  0  1  2   3  4
 人数  3  6  13    12
(1)根据以上信息,求在被抽查学生中,一周“主动做家务事”3次的人数;
(2)若在被抽查学生中随机抽取1名,则抽到的学生一周“主动做家务事”不多于2次的概率是多少?
(3)根据样本数据,估计全校学生一周“主动做家务事”3次的人数.
 
【解答】解:(1)6÷12%=50(人),
50﹣(3+6+13+12)=16(人).
答:一周“主动做家务事”3次的人数是16人;
(2)(3+6+13)÷50
=22÷50
=0.44.
答:抽到的学生一周“主动做家务事”不多于 2次的概率是0.44;
(3)500× =160(人).
答:估计全校学生一周“主动做家务事”3次的人数是160人.
 
20.(9分)如图,△ABC中,A(﹣4,4),B(﹣4,﹣2),C(﹣2,2).
(1)请画出将△ABC向右平移8个单位长度后的△A1BlC1;
(2)求出∠A1BlC1的余弦值;
(3)以O为位似中心,将△A1BlC1缩小为原来的 ,得到△A2B2C2,请在y轴右侧画出△A2B2C2.
 
【解答】解:(1)如图所示:△A1BlC1,即为所求;

(2)∠A1BlC1的余弦值为:  = = ;

(3)如图所示:△A2B2C2,即为所求.
 
 
21.(10分)如图,E,F是正方形ABCD的对角线AC上的两点,且AE=CF.
(1)求证:四边形BEDF是菱形;
(2)若正方形边长为4,AE= ,求菱形BEDF的面积.
 
【解答】(1)证明:
如图,连接BD交AC于点O,
∵四边形ABCD为正方形,
∴BD⊥AC,OD=OB=OA=OC,
∵AE=CF,
∴OA﹣AE=OC﹣CF,即OE=OF,
∴四边形BEDF为平行四边形,且BD⊥EF,
∴四边形BEDF为菱形;
(2)解:
∵正方形边长为4,
∴BD=AC=4 ,
∵AE=CF= ,
∴EF=AC﹣2 =2 ,
∴S菱形BEDF= BD•EF= ×4 ×2 =8.
 
 
22.(9分)校园超市以4元/件购进某物品,为制定该物品合理的销售价格,对该物品进行试销调查.发现每天调整不同的销售价,其销售总金额为定值,其中某天该物品的售价为6元/件时,销售量为50件.
(1)设售价为x元/件时,销售量为y件.请写出y与x的函数关系式;
(2)若超市考虑学生的消费实际,计划将该物品每天的销售利润定为60元,则该物品的售价应定为多少元/件?
【解答】解:(1)依题意得:xy=50×6=300,
则y= ;

(2)设该物品的售价应定为x元/件,
依题意得:60= (x﹣4),
解得x=5,
经检验,x=5是方程的根且符合题意.
答该物品的售价应定为5元/件.
 
23.(10分)如图,AB是⊙O的直径,点D,E在⊙O上,∠A=2∠BDE,点C在AB的延长线上,∠C=∠ABD.
(1)求证:CE是⊙O的切线;
(2)若BF=2,EF= ,求⊙O的半径长.
 
【解答】(1)证明:连接OE,
则∠BOE=2∠BDE,又∠A=2∠BDE,
∴∠BOE=∠A,
∵∠C=∠ABD,∠A=∠BOE,
∴△ABD∽△OCE
∴∠ADB=∠OEC,
又∵AB是直径,
∴∠OEC=∠ADB=90°
∴CE与⊙O相切;

(2)解:连接EB,则∠A=∠BED,
∵∠A=∠BOE,
∴∠BED=∠BOE,
在△BOE和△BEF中,
∠BEF=∠BOE,∠EBF=∠OBE,
∴△OBE∽△EBF,
∴ = ,则 = ,
∵OB=OE,
∴EB=EF,
∴ = ,
∵BF=2,EF= ,
∴ = ,
∴OB= .
 
 
24.(12分)如图,已知抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A(l,0),B(﹣3,0),与y轴交于点C,抛物线的顶点为D,对称轴与x轴相交于点E,连接BD.
(1)求抛物线的解析式.
(2)若点P在直线BD上,当PE=PC时,求点P的坐标.
(3)在(2)的条件下,作PF⊥x轴于F,点M为x 轴上一动点,N为直线PF上一动点,G为抛物线上一动点,当以点F,N,G,M四点为顶点的四边形为正方形时,求点M的坐标.
 
【解答】解:(1)∵抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A(1,0),B(﹣3,0),
∴ ,
∴ ,
∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3;

(2)由(1)知,抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3;
∴C(0,﹣3),抛物线的顶点D(﹣1,﹣4),
∴E(﹣1,0),
设直线BD的解析式为y=mx+n,
∴ ,
∴ ,
∴直线BD的解析式为y=﹣2x﹣6,
设点P(a,﹣2a﹣6),
∵C(0,﹣3),E(﹣1,0),
根据勾股定理得,PE2=(a+1)2+(﹣2a﹣6)2,PC2=a2+(﹣2a﹣6+3)2,
∵PC=PE,
∴(a+1)2+(﹣2a﹣6)2=a2+(﹣2a﹣6+3)2,
∴a=﹣2,
∴y=﹣2×(﹣2)﹣6=﹣2,
∴P(﹣2,﹣2),

(3)如图,作PF⊥x轴于F,
∴F(﹣2,0),
设M(d,0),
∴G(d,d2+2d﹣3),N(﹣2,d2+2d﹣3),
∵以点F,N,G,M四点为顶点的四边形为正方形,必有FM=MG,
∴|d+2|=|d2+2d﹣3|,
∴d= 或d= ,
∴点M的坐标为( ,0),( ,0),( ,0),( ,0).

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