2018年中学数学模拟试题一(荆门市东宝区带答案和解释)

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2018年中学数学模拟试题一(荆门市东宝区带答案和解释)

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2018年湖北省荆门市东宝区中学数学模拟试题(一)
一、选择题(每小题3分,共36分)                           
1.(3分)﹣2的相反数是(  )
A.2 B.   C.﹣2 D.以上都不对
【解答】解:﹣2的相反数是2,
故选:A.
 
2.(3分)在函数 中,自变量x的取值范围是(  )
A.x≥﹣1 B.x>﹣1且x≠  C.x≥﹣1且x≠  D.x>﹣1
【解答】解:由题意得,x+1≥0且2x﹣1≠0,
解得x≥﹣1且x≠ .
故选C.
 
3.(3分)π、 ,﹣ , ,3.1416,0. 中,无理数的个数是(  )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解答】解:在π、 ,﹣ , ,3.1416,0. 中,
无理数是:π, 共2个.
故选B.
 
4.(3分)下列计算正确的是(  )
A.a•a2=a3 B.(a3)2=a5 C.a+a2=a3 D.a6÷a2=a3
【解答】解:A、a•a2=a3,正确;
B、应为(a3)2=a3×2=a6,故本选项错误;
C、a与a2不是同类项,不能合并,故本选项错误
D、应为a6÷a2=a6﹣2=a4,故本选项错误.
故选A.
 
5.(3分)如图,已知直线AB、CD被直线AC所截,AB∥CD,E是平面内任意一点(点E不在直线AB、CD、AC上),设∠BAE=α,∠DCE=β.下列各式:①α+β,②α﹣β,③β﹣α,④360°﹣α﹣β,∠AEC的度数可能是(  )
 
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④
【解答】解:点E有4种可能位置.
(1)如图,由AB∥CD,可得∠AOC=∠DCE1=β,
∵∠AOC=∠BAE1+∠AE1C,
∴∠AE1C=β﹣α.
(2)如图,过E2作AB平行线,则由AB∥CD,可得∠1=∠BAE2=α,∠2=∠DCE2=β,
∴∠AE2C=α+β.
(3)如图,由AB∥CD,可得∠BOE3=∠DCE3=β,
∵∠BAE3=∠BOE 3+∠AE3C,
∴∠AE3C=α﹣β.
(4)如图,由A B∥CD,可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4=360°,
∴∠AE4C=360°﹣α﹣β.
∴∠AEC的度数可能为β﹣α,α+β,α﹣β,360°﹣α﹣β.
故选:D.
 
 
 
6.(3分)若不等式组 无解,则m的取值范围是(  )
A.m>3 B.m<3 C.m≥3 D.m≤3
【解答】解:∵不等式组 无解.
∴m≤3.故选D.
 
7.(3分)在“朗读者”节目的影响下,某中学开展了“好 书伴我成长”读书活动.为了解5月份八年级300名学生读书情况,随机调查了八年级50名学生读书的册数,统计数据如下表所示:
册数 0 1 2 3 4
人数 4 12 16 17 1
关于这组数据,下列说法正确的是(  )
A.中位数是2 B.众数是17 C.平均数是2 D.方差是2
【解答】解:观察表格,可知这组样本数据的平均数为:
(0×4+1×12+2×16+3×17+4×1)÷50= ;
∵这组样本数据中,3出现了17次,出现的次数最多,
∴这组数据的众数是3;
∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列,其中处于中间的两个数都是2,
∴这组数据的中位数为2,
故选A.
 
8.(3分)下面计算中正确的是(  )
A.  + =  B. ﹣ =  C.  =﹣3 D.﹣1﹣1=1
【解答】解:A、原式不能合并,错误;
B、原式=3 ﹣2 = ,正确;
C、原式=|﹣3|=3,错误;
D、原式=﹣1,错误,
故选B
 
9.(3分)我国“神七”在2008年9月26日顺利升空,宇航员在27日下午4点30分在距离地球表面423公里的太空中完成了太空行走,这是我国航天事业的又一历史性时刻.将423公里用科学记数法表示应为(  )米.
A.42.3×104 B.4.23×102 C.4.23×105 D.4.23×106
【解答】解:423公里=423 000米=4.23×105米.
故选C.
 
10.(3分)如图是某几何体的三视图,则该几何体的全面积等于(  )
 
A.112 B.136 C.124 D.84
【解答】解:如图:
 
由勾股定理 =3,
3×2=6,
6×4÷2×2+5×7×2+6×7
=24+70+42
=136.
故该几何体的全面积等于136.
 
11.(3分)抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(﹣1,2),与x轴的一个交点A在点(﹣3,0)和(﹣2,0)之间,其部分图象如图,则以下结论:①b2﹣4ac<0;②当x>﹣1时,y随x增大而减小;③a+b+c<0;④若方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根,则m>2; ⑤3a+c<0.其中正确结论的个数是(  )
 
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【解答】解:∵二次函数与x轴有两个交点,
∴b2﹣4ac>0,故①错误,
观察图象可知:当x>﹣1时,y随x增大而减小,故②正确,
∵抛物线与x轴的另一个交点为在(0,0)和(1,0)之间,
∴x=1时,y=a+b+c<0,故③正确,
∵当m>2时,抛物线与直线y=m没有交点,
∴方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根,故④正确,
∵对称轴x=﹣1=﹣ ,
∴b=2a,
∵a+b+c<0,
∴3a+c<0,故⑤正确,
故选C.
 
12.(3分)如图:△ADB、△BCD均为等边三角形,若点顶点A、C均在反比例函数y= 上,若C的坐标点(a、 ),则k的值为(  )
 
A.2  B.3 +  C.3 +2  D.2
【解答】解:如图,分别过点A、C作x轴的垂线,垂足分别为E、F,设OA=OB=2x,
∵△ADB、△BCD均为等边三角形,C(a、 ),
∴AE= x,BF=1,
∴A(x,  x),C(2x+1, ).
∵A、C两点均在反比例函数的图象上,
∴ x2= (2x+1),解得x1=1+ ,x2=1﹣ (不合题意),
∴C(3+2 , ),
∴k=(3+2 )× =3 +2 .
故选C.
 
  
                               
二、填空题(每小题3分,共15分)                           
13.(3分)已知 ,则a+b= ﹣4 
【解答】解:∵ ,
∴2a+b2=0,b﹣4=0,
∴a=﹣8,b=4,
∴a+b=﹣4,
故答案为﹣4.
 
14.(3分)化简: ÷( ﹣1)•a= ﹣a﹣1 .
【解答】解:原式= • •a=﹣(a+1)=﹣a﹣1,
故答案为:﹣a﹣1
 
15.(3分)已 知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3=0的两根分别是x1、x2,则(x1﹣1)2+(x2﹣1)2的最小值是  8 .
【解答】解:∵关于x的方程x2+2kx+k2+k+3=0的两根分别是x1、x2,
∴x1+x2=﹣2k,x1•x2=k2+k+3,
∵△=4k2﹣4(k2+k+3)=﹣4k﹣12≥0,解得k≤﹣3,
∴(x1﹣1)2+(x2﹣1)2
=x12﹣2x1+1+x22﹣2x2+1
=(x1+x2)2﹣2x1x2﹣2(x1+x2)+2
=(﹣2k)2﹣2(k2+k+3)﹣2(﹣2k)+2
=2k2+2k﹣4
=2(k+ )2﹣ ≥8,
故(x1﹣1)2+(x2﹣1)2的最小值是8.
故答案为:8.
 
16.(3分)敌我两军相距14千米,敌军于1小时前以4千米/小时的速度逃跑,现我军以7千米/小时的速度追击 6 小时后可追上敌军.
【解答】解:设我军以7千米/小时的速度追击x小时后可追上敌军.
根据题意得:7x=4(1+x)+14,
解得:x=6.
 
17.(3分)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,∠CDB=30°,CD=2 ,则阴影部分的面积为   .
 
【解答】解:连接OD.
∵CD⊥AB,
∴CE=DE= CD= (垂径定理),
故S△OCE=S△ODE,
即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积,
又∵∠CDB=30°,
∴∠COB=60°(圆周角定理),
∴OC=2,
故S扇形OBD= = ,即阴影部分的面积为 .
故答案为: .
 
 
                               
三、解答题(本题共7小题,共69分)                           
18.(7分)先化简,再求值:(2+x)(2﹣x)+(x﹣1)(x+5),其中x= .
【解答】解:原式=4﹣x2+x2+4x﹣5=4x﹣1,
当x= 时,原式=6﹣1=5.
 
19.(10分)如图:△ABD和△ACE都是Rt△,其中∠ABD=∠ACE=90°,C在AB上,连接DE,M是DE中点,求证:MC=MB.
 
【解答】证明:延长CM、DB交于G,
 
∵△ABD和△ACE都是Rt△,
∴CE∥BD,即CE∥DG,
∴∠CEM=∠GDM,∠MCE=∠MGD
又∵M是DE中点,即DM=EM,
∴△ECM≌△DMG,
∴CM=MG,
∵G在DB的延长线上,
∴△CBG是Rt△CBG,
∴在Rt△CBG中, .
 
20.(10分)抚顺某中学为了解八年级学生的体能状况,从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试,测试结果分为A,B,C,D四个等级.请根据两幅统计图中的信息回答下列问题:
(1)本次抽样调查共抽取了多少名学生?
(2)求测试结果为C等级的学生数,并补全条形图;
(3)若该中学八年级共有700名学生,请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名?
(4)若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽 取2名学生,做为该校培养运动员的重点对象,请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率.
 
【解答】解:(1)10÷20%=50,
所以本次抽样调查共抽取了50名学生;
(2)测试结果为C等级的学生数为50﹣10﹣20﹣4=16(人);
补全条形图如图所示:
 
(3)700× =56,
所以估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有56名;
(4)画树状图为:
 
共有12种等可能的结果数,其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2,
所以抽取的两人恰好都是男生的概率= = .
 
21.(10分)某校九年级的小红同学,在自己家附近进行测量一座楼房高度的实践活动.如图,她在山坡坡脚A出测得这座楼房的楼顶B点的仰角为60°,沿山坡往上走到C处再测得B点的仰角为45°.已知OA=200m,此山坡的坡比i= ,且O、A、D在同一条直线上.
求:(1)楼房OB的高度;
(2)小红在山坡上走过的距离AC.(计算过程和结果均不取近似值)
 
【解答】解:(1)在Rt△ABO中,∠BAO=60°,OA=200.…(2分)
∵tan60°= ,
即 ,
∴OB= OA=200 (m).    …(2分)

(2)如图,过点C作CE⊥BO于E,CH⊥OD于H.
则OE=CH,EC=OH.
根据题意,知i= = ,
可设CH=x,AH=2x.                            …(1分)
在Rt△BEC中,∠BCE=45°,
∴BE=CE,
即OB﹣OE=OA+AH.
∴200 ﹣x=200+2x.
解得x= .                            …(1分)
在Rt△ACH中,
∵AC2=AH2+CH2,
∴AC2=(2x)2+x2=5x2.
∴AC= x=  [或 ](m).                    (1分)
答:高楼OB的高度为200 m,小玲在山坡上走过的距离AC为 m.  …(1分)
 
 
22.(10分)设C为线段AB的中点,四边形BCDE是以BC为一边的正方形.以B为圆心,BD长为半径的⊙B与AB相交于F点,延长EB交⊙B于G点,连接DG交于AB于Q点,连接AD.
求证:(1)AD是⊙B的切线;
(2)AD=AQ;
(3)BC2=CF•EG.
 
【解答】证明:(1)连接BD,
∵四边形BCDE是正方形,
∴∠DBA=45°,∠DCB=90°,即DC⊥AB,
∵C为AB的中点,
∴CD是线段AB的垂直平分线,
∴AD=BD,
∴∠DAB=∠DBA=45°,
∴∠ADB=90°,
即BD⊥AD,
∵BD为半径,
∴AD是⊙B的切线;

(2)∵BD=BG,
∴∠BDG=∠G,
∵CD∥BE,
∴∠CDG=∠G,
∴∠G=∠CDG=∠BDG= ∠BCD=22.5°,
∴∠ADQ=90°﹣∠BDG=67.5°,∠AQB=∠BQG=90°﹣∠G=67.5°,
∴∠ADQ=∠AQD,
∴AD=AQ;

(3)连接DF,
在△BDF中,BD=BF,
∴∠BFD=∠BDF,
又∵∠DBF=45°,
∴∠BFD=∠BDF=67.5°,
∵∠GDB=22.5°,
在Rt△DEF与Rt△GCD中,
∵∠GDE=∠GDB+∠BDE=67.5°=∠DFE,∠DCF=∠E=90°,
∴Rt△DCF∽Rt△GED,
∴ ,
又∵CD=DE=BC,
∴BC2=CF•EG.
 
 
23.(10分)某商店准备进一批季节性小家电,每个进价为40元,经市场预测,销售定价为50元,可售出400个;定价每增加1元,销售量将减少10个.设每个定价增加x元.
(1)写出售出一个可获得的利润是多少元(用含x的代数式表示)?
(2)商店若准备获得利润6000元,并且使进货量较少,则每个定价为多少元?应进货多少个?
(3)商店若要获得最大利润,则每个应定价多少元?获得的最大利润是多少?
【解答】解:由题意得:
(1)50+x﹣40=x +10(元)(3分)
(2)设每个定价增加x元.
列出方程为:(x+10)(400﹣10x)=6000
解得:x1=10   x2=20
要使进货量较少,则每个定价为70元,应进货200个.(3分)
(3)设每个定价增加x元,获得利润为y元.
y=(x+10)(400﹣10x)=﹣10x2+300x+4000=﹣10(x﹣15)2+6250
当x=15时,y有最大值为6250.
所以每个定价为65元时得最大利润,可获得的最大利润是6250元.(4分)
 
24.(12分)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,点P是△ABC内一点,且∠PAC+∠PCA= ,连接PB,试探究PA、PB、PC满足的等量关系.
(1)当α=60°时,将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′,连接PP′,如图1所示.由△ABP≌△ACP′可以证得△APP′是等边三角形,再由∠PAC+∠PCA=30°可得∠APC的大小为 150 度,进而得到△CPP′是直角三角形,这样可以得到PA、PB、PC满足的等量关系为 PA2+ PC2=PB2 ;
(2)如图2,当α=120°时,参考(1)中的方法,探究PA、PB、PC满足的等量关系,并给出证明;
(3)PA、PB、PC满足的等量关系为 4PA2•sin2 +PC2=PB2 .
 
【解答】解:(1)∵△ABP≌△ACP′,
∴AP=AP′,
由旋转变换的性质可知,∠PAP′=60°,P′C=PB,
∴△PAP′为等边三角形,
∴∠APP′=60°,
∵∠PAC+∠PCA= =30°,
∴∠APC=150°,
∴∠P′PC=90°,
∴PP′2+PC2=P′C2,
∴PA2+PC2=PB2,
故答案为:150,PA2+PC2=PB2;
(2)如图2,作将△ABP绕点A逆时针旋转120°得到△ACP′,连接PP′,
作AD⊥PP′于D,
由旋转变换的性质可知,∠PAP′=120°,P′C=PB,
∴∠APP′=30°,
∵∵∠PAC+∠PCA= =60°,
∴∠APC=120°,
∴∠P′PC=90°,
∴PP′2+PC2=P′C2,
∵∠APP′=30°,
∴PD= PA,
∴PP′= PA,
∴3PA2+PC2=PB2;
(3)如图2,与(2)的方法类似,
作将△ABP绕点A逆时针旋转α得到△ACP′,连接PP′,
作AD⊥PP′于D,
由旋转变换的性质可知,∠PAP′=α,P′C=PB,
∴∠APP′=90°﹣ ,
∵∵∠PAC+∠PCA= ,
∴∠APC=180°﹣ ,
∴∠P′PC=(180°﹣ )﹣(90°﹣ )=90°,
∴PP′2+PC2=P′C2,
∵∠APP′=90°﹣ ,
∴PD=PA•cos(90°﹣ )=PA•sin ,
∴PP′=2PA•sin ,
∴4PA2sin2 +PC2=PB2,
故答案为:4PA2sin2 +PC2=PB2.


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