2017年全国中考数学真题《二次根式》分类汇编解析

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2017年全国中考数学真题《二次根式》分类汇编解析

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二次根式
考点一、二次根式    (初中数学基础,分值很大)
1、二次根式
式子 叫做二次根式,二次根式必须满足:含有二次根号“ ”;被开方数a必须是非负数。
2、最简二次根式
若二次根式满足:被开方数的因数是整数,因式是整式;被开方数中不含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式叫做最简二次根式。
化二次根式为最简二次根式的方法和步骤:
(1)如果被开方数是分数(包括小数)或分式,先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式,然后利用分母有理化进行化简。
(2)如果被开方数是整数或整式,先将他们分解因数或因式,然后把能开得尽方的因数或因式开出来。
3、同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式叫做同类二次根式。
4、二次根式的性质
(1)
                          
(2)
                         
(3)
(4)
5、二次根式混合运算
二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样,先乘方,再乘除,最后加减,有括号的先算括号里的(或先去括号)。

 

一、 选择题
1.(2017•福建龙岩•4分)与 是同类二次根式的是(  )
A.              B.             C.                  D.
2.计算3 ﹣2 的结果是(  )
A.              B.2             C.3               D.6
3.( 2017河南3分)下列计算正确的是(  )
A. ﹣ =              B.(﹣3)2=6           C.3a4﹣2a2=a2                  D.(﹣a3)2=a5
4.(2017•重庆市B卷•4分)若二次根式 有意义,则a的取值范围是(  )
A.a≥2             B.a≤2             C.a>2              D.a≠2
5.(2017•四川内江)在函数y= 中,自变量x的取值范围是(    )
A.x>3              B.x≥3            C.x>4                D.x≥3且x≠4
6.(2017•四川南充)下列计算正确的是(  )   
A.  =2  B.  =  C.  =x           D.  =x
7. (2017•黑龙江齐齐哈尔•3分)下列算式
① =±3;② =9;③26÷23=4;④ =2017;⑤a+a=a2.
运算结果正确的概率是(  )
A.              B.                C.                 D.
8.(2017•湖北荆门•3分)要使式子 有意义,则x的取值范围是(  )
A.x>1            B.x>﹣1            C.x≥1                D.x≥﹣1
9.(2017•内蒙古包头•3分)下列计算结果正确的是(  )
A.2+ =2             B.  =2           C.(﹣2a2)3=﹣6a6              D.(a+1)2=a2+1
10.(2017•山东潍坊•3分)实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示,化简|a|+ 的结果是(  )
 
A.﹣2a+b              B.2a﹣b            C.﹣b                 D.b
11. (2017•四川眉山•3分)下列等式一定成立的是(  )
A.a2×a5=a10              B.            C.(﹣a3)4=a12                  D.
二、 填空
1.(2017•广西桂林•3分)若式子 在实数范围内有意义,则x的取值范围是  .
2.(2017•贵州安顺•4分)在函数 中,自变量x的取值范围是 .
3.(2017•黑龙江哈尔滨•3分)计算 的结果是  .
4.( 2017广西南宁3分)若二次根式 有意义,则x的取值范围是  .
5. (2017•吉林•3分)化简: ﹣ =  .
6. (2017•内蒙古包头•3分)计算:6 ﹣( +1)2=  .
7. (2017•青海西宁•2分)使式子 有意义的x取值范围是  .
8. (2017•山东潍坊•3分)计算: ( + )=  .
三、 解答题
1.(2017•四川攀枝花)计算;  +20170﹣| ﹣2|+1.
 


2.(2017•四川南充)计算:   +(π+1)0﹣sin45°+| ﹣2|   
 


3.(2017•四川泸州)计算:( ﹣1)0﹣ ×sin60°+(﹣2)2.
 


4.(2017•四川内江)(7分)计算:|-3|+ • 30°- -(2017-π)0+( )-1.


5.(2017•四川宜宾)(1)计算;( )﹣2﹣(﹣1)2017﹣ +(π﹣1)0

6.(2017•广西桂林•8分)已知任意三角形的三边长,如何求三角形面积?
古希腊的几何学家海伦解决了这个问题,在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式﹣﹣海伦公式 (其中a,b,c是三角形的三边长, ,S为三角形的面积),并给出了证明
例如:在△ABC中,a=3,b=4,c=5,那么它的面积可以这样计算:
∵a=3,b=4,c=5
∴p= =6
∴S= = =6
事实上,对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题,还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决.
如图,在△ABC中,BC=5,AC=6,AB=9
(1)用海伦公式求△ABC的面积;
(2)求△ABC的内切圆半径r.
 


答案
二次根式
一、 选择题
1.(2017•福建龙岩•4分)与 是同类二次根式的是(  )
A.              B.             C.                  D.
【考点】同类二次根式.
【分析】根据化成最简二次根式后,被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式.
【解答】解:A、 与﹣ 的被开方数不同,故A错误;
B、 与﹣ 的被开方数不同,故B错误;
C、 与﹣ 的被开方数相同,故C正确;
D、 与﹣ 的被开方数不同,故D错误;
故选:C
2.计算3 ﹣2 的结果是(  )
A.              B.2             C.3               D.6
【考点】二次根式的加减法.
【分析】直接利用二次根式的加减运算法则求出答案.
【解答】解:原式=(3﹣2) = .
故选:A.
3.( 2017河南3分)下列计算正确的是(  )
A. ﹣ =              B.(﹣3)2=6           C.3a4﹣2a2=a2                  D.(﹣a3)2=a5
【考点】二次根式的加减法;有理数的乘方;合并同类项;幂的乘方与积的乘方.
【分析】分别利用有理数的乘方运算法则以及积的乘方运算法则、二次根式的加减运算法则化简求出答案.
【解答】解:A、 ﹣ =2 ﹣ = ,故此选项正确;
B、(﹣3)2=9,故此选项错误;
C、3a4﹣2a2,无法计算,故此选项错误;
D、(﹣a3)2=a6,故此选项错误;
故选:A.
【点评】此题主要考查了有理数的乘方运算以及积的乘方运算、二次根式的加减运算等知识,正确化简各式是解题关键.
4.(2017•重庆市B卷•4分)若二次根式 有意义,则a的取值范围是(  )
A.a≥2             B.a≤2             C.a>2              D.a≠2
【考点】二次根式有意义的条件.
【专题】计算题;实数.
【分析】根据负数没有平方根列出关于a的不等式,求出不等式的解集确定出a的范围即可.
【解答】解:∵二次根式 有意义,
∴a﹣2≥0,即a≥2,
则a的范围是a≥2,
故选A
【点评】此题考查了二次根式有意义的条件,二次根式性质为:二次根式中的被开方数必须是非负数,否则二次根式无意义.
5.(2017•四川内江)在函数y= 中,自变量x的取值范围是(    )
A.x>3              B.x≥3            C.x>4                D.x≥3且x≠4
[答案]D
[考点]二次根式与分式的意义。
[解析]欲使根式有意义,则需x-3≥0;欲使分式有意义,则需x-4≠0.
∴x的取值范围是 解得x≥3且x≠4.故选D.
6.(2017•四川南充)下列计算正确的是(  )   
A.  =2  B.  =  C.  =x           D.  =x
【分析】直接利用二次根式的性质分别化简求出答案.   
【解答】解:A、 =2 ,正确;   
B、 = ,故此选项错误;   
C、 =﹣x ,故此选项错误;   
D、 =|x|,故此选项错误;   
故选:A.   
【点评】此题主要考查了二次根式的化简,正确掌握二次根式的性质是解题关键.
7. (2017•黑龙江齐齐哈尔•3分)下列算式
① =±3;② =9;③26÷23=4;④ =2017;⑤a+a=a2.
运算结果正确的概率是(  )
A.              B.                C.                 D.
【考点】概率公式.
【分析】分别利用二次根式的性质以及负整数指数幂的性质、同底数幂的除法运算法则、合并同类项法则进行判断,再利用概率公式求出答案.
【解答】解:① =3,故此选项错误;
② = =9,正确;
③26÷23=23=8,故此选项错误;
④ =2017,正确;
⑤a+a=2a,故此选项错误,
故运算结果正确的概率是: .
故选:B.
8.(2017•湖北荆门•3分)要使式子 有意义,则x的取值范围是(  )
A.x>1            B.x>﹣1            C.x≥1                D.x≥﹣1
【考点】二次根式有意义的条件.
【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而得出x﹣1≥0,求出答案.
【解答】解:要使式子 有意义,
故x﹣1≥0,
解得:x≥1.
则x的取值范围是:x≥1.
故选:C.
9.(2017•内蒙古包头•3分)下列计算结果正确的是(  )
A.2+ =2             B.  =2           C.(﹣2a2)3=﹣6a6              D.(a+1)2=a2+1
【考点】二次根式的乘除法;幂的乘方与积的乘方;完全平方公式.
【分析】依次根据合并同类二次根式,二次根式的除法,积的乘方,完全平方公式的运算.
【解答】解:A、2+ 不是同类二次根式,所以不能合并,所以A错误;
B、 =2,所以B正确;
C、(﹣2a2)3=﹣8a6≠﹣6a6,所以C错误;
D、(a+1)2=a2+2a+1≠a2+1,所以D错误.
故选B
10.(2017•山东潍坊•3分)实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示,化简|a|+ 的结果是(  )
 
A.﹣2a+b              B.2a﹣b            C.﹣b                 D.b
【考点】二次根式的性质与化简;实数与数轴.
【分析】直接利用数轴上a,b的位置,进而得出a<0,a﹣b<0,再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案.
【解答】解:如图所示:a<0,a﹣b<0,
则|a|+
=﹣a﹣(a﹣b)
=﹣2a+b.
故选:A.
11. (2017•四川眉山•3分)下列等式一定成立的是(  )
A.a2×a5=a10              B.            C.(﹣a3)4=a12                  D.
【分析】依次根据幂的乘法,算术平方根的运算,幂的乘方,二次根式的化简判断即可.
【解答】解:A、a2×a5=a7≠a10,所以A错误,
B、 不能化简,所以B错误.
C、(﹣a3)4=a12,所以C正确,
D、 =|a|,所以D错误,
故选C
【点评】此题是二次根式的加减法,主要考查了幂的乘法,算术平方根的运算,幂的乘方,二次根式的化简,熟练运用这些知识点是解本题的关键.
二、 填空
1.(2017•广西桂林•3分)若式子 在实数范围内有意义,则x的取值范围是 x≥1 .
【考点】二次根式有意义的条件.
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式,求出x的取值范围即可.
【解答】解:∵式子 在实数范围内有意义,
∴x﹣1≥0,
解得x≥1.
故答案为:x≥1.
2.(2017•贵州安顺•4分)在函数 中,自变量x的取值范围是 x≤1且x≠﹣2 .
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义,被开方数大于等于0,分母不等于0,就可以求解.
【解答】解:根据二次根式有意义,分式有意义得:1﹣x≥0且x+2≠0,
解得:x≤1且x≠﹣2.
故答案为:x≤1且x≠﹣2.
【点评】本题考查的知识点为:分式有意义,分母不为0;二次根式的被开方数是非负数.
3.(2017•黑龙江哈尔滨•3分)计算 的结果是 ﹣2  .
【考点】二次根式的加减法.
【分析】先将各个二次根式化成最简二次根式,再把同类二次根式进行合并求解即可.
【解答】解:原式=2× ﹣3
= ﹣3
=﹣2 ,
故答案为:﹣2 .
4.( 2017广西南宁3分)若二次根式 有意义,则x的取值范围是 x≥1 .
【考点】二次根式有意义的条件.
【分析】根据二次根式的性质可知,被开方数大于等于0,列出不等式即可求出x的取值范围.
【解答】解:根据二次根式有意义的条件,x﹣1≥0,
∴x≥1.
故答案为:x≥1.
【点评】此题考查了二次根式有意义的条件,只要保证被开方数为非负数即可.
5. (2017•吉林•3分)化简: ﹣ =   .
【考点】二次根式的加减法.
【分析】先把各根式化为最简二次根式,再根据二次根式的减法进行计算即可.
【解答】解:原式=2 ﹣
= .
故答案为: .
6. (2017•内蒙古包头•3分)计算:6 ﹣( +1)2= ﹣4 .
【考点】二次根式的混合运算.
【分析】首先化简二次根式,进而利用完全平方公式计算,求出答案.
【解答】解:原式=6× ﹣(3+2 +1)
=2 ﹣4﹣2
=﹣4.
故答案为:﹣4.
7. (2017•青海西宁•2分)使式子 有意义的x取值范围是 x≥﹣1 .
【考点】二次根式有意义的条件.
【分析】本题主要考查自变量的取值范围,函数关系中主要有二次根式.根据二次根式的意义,被开方数是非负数.
【解答】解:根据题意得:x+1≥0,
解得x≥﹣1.
故答案为:x≥﹣1.
8. (2017•山东潍坊•3分)计算: ( + )= 12 .
【考点】二次根式的混合运算.
【分析】先把 化简,再本括号内合并,然后进行二次根式的乘法运算.
【解答】解:原式= •( +3 )
= ×4
=12.
故答案为12.
 

三、 解答题
1.(2017•四川攀枝花)计算;  +20170﹣| ﹣2|+1.
【考点】实数的运算;零指数幂.
【专题】计算题
【分析】根据实数的运算顺序,首先计算乘方、开方,然后从左向右依次计算,求出算式 +20170﹣| ﹣2|+1的值是多少即可.
【解答】解:  +20170﹣| ﹣2|+1=2+1﹣(2﹣ )+1
=3﹣2+ +1=2+ .
【点评】(1)此题主要考查了实数的运算,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:在进行实数运算时,和有理数运算一样,要从高级到低级,即先算乘方、开方,再算乘除,最后算加减,有括号的要先算括号里面的,同级运算要按照从左到有的顺序进行.另外,有理数的运算律在实数范围内仍然适用.
(2)此题还考查了零指数幂的运算,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①a0=1(a≠0);②00≠1.
2.(2017•四川南充)计算:   +(π+1)0﹣sin45°+| ﹣2|   
【分析】原式利用二次根式性质,零指数幂法则,特殊角的三角函数值,以及绝对值的代数意义化简,计算即可得到结果.   
【解答】解:原式= ×3 +1﹣ +2﹣    
=3.   
【点评】此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
3.(2017•四川泸州)计算:( ﹣1)0﹣ ×sin60°+(﹣2)2.
【考点】实数的运算;零指数幂;特殊角的三角函数值.
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及结合零指数幂的性质以及二次根式的性质分别化简进而求出答案.
【解答】解:( ﹣1)0﹣ ×sin60°+(﹣2)2
=1﹣2 × +4
=1﹣3+4
=2.
4.(2017•四川内江)(7分)计算:|-3|+ • 30°- -(2017-π)0+( )-1.
[考点]实数运算。
解:原式=3+ × -2-1+2 5分
=3+1-2-1+2 6分
=3. 7分
5.(2017•四川宜宾)(1)计算;( )﹣2﹣(﹣1)2017﹣ +(π﹣1)0
【考点】实数的运算;分式的混合运算;零指数幂;负整数指数幂.
【解答】解:(1)原式=9﹣1﹣5+1=4;
6.(2017•广西桂林•8分)已知任意三角形的三边长,如何求三角形面积?
古希腊的几何学家海伦解决了这个问题,在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式﹣﹣海伦公式 (其中a,b,c是三角形的三边长, ,S为三角形的面积),并给出了证明
例如:在△ABC中,a=3,b=4,c=5,那么它的面积可以这样计算:
∵a=3,b=4,c=5
∴p= =6
∴S= = =6
事实上,对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题,还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决.
如图,在△ABC中,BC=5,AC=6,AB=9
(1)用海伦公式求△ABC的面积;
(2)求△ABC的内切圆半径r.
 
【考点】三角形的内切圆与内心;二次根式的应用.
【分析】(1)先根据BC、AC、AB的长求出P,再代入到公式S= 即可求得S的值;
(2)根据公式S= r(AC+BC+AB),代入可得关于r的方程,解方程得r的值.
【解答】解:(1)∵BC=5,AC=6,AB=9,
∴p= = =10,
∴S= = =10 ;
故△ABC的面积10 ;

(2)∵S= r(AC+BC+AB),
∴10 = r(5+6+9),
解得:r= ,
故△ABC的内切圆半径r= .

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