2018中考数学压轴题汇编由面积产生的函数关系问题(有答案)

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2018中考数学压轴题汇编由面积产生的函数关系问题(有答案)

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2.2  由面积产生的函数关系问题
例1    2018上海市徐汇区中考模拟第25题
如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,cosA= ,点P是边AB上的动点,以PA为半径作⊙P.
(1)若⊙P与AC边的另一个交点为D,设AP=x,△PCD的面积为y,求y关于x的函数解析式,并直接写出函数的定义域;
(2)若⊙P被直线BC和直线AC截得的弦长相等,求AP的长;
(3)若⊙C的半径等于1,且⊙P与⊙C的公共弦长为 ,求AP的长.
 

例2   2017黄冈市中考第25题
如图1,在四边形OABC中,AB//OC,BC⊥x轴于点C,A(1,-1),B(3,-1),动点P从O出发,沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动.过点P作PQ垂直于直线OA,垂足为Q.设点P移动的时间为t秒(0<t<2),△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S.
(1)求经过O、A、B三点的抛物线的解析式,并确定顶点M的坐标;
(2)用含t的代数式表示点P、Q的坐标;
(3)如果将△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°,是否存在t,使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由;
(4)求出S与t的函数关系式.
 


例3    2017菏泽市中考第21题
如图1, △ABC是以BC为底边的等腰三角形,点A、C分别是一次函数 的图像与y轴、x轴的交点,点B在二次函数 的图像上,且该二次函数图像上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形.
(1)试求b、c的值,并写出该二次函数的解析式;
(2)动点P从A到D,同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动,问:
①当P运动到何处时,由PQ⊥AC?
②当P运动到何处时,四边形PDCQ的面积最小?此时四边形PDCQ的面积是多少?
 

例4  2017广东省中考第22题
如图1,抛物线 与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,联结BC、AC.
(1)求AB和OC的长;
(2)点E从点A出发,沿x轴向点B运动(点E与点A、B不重合),过点E作BC的平行线交AC于点D.设AE的长为m,△ADE的面积为s,求s关于m的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;
(3)在(2)的条件下,联结CE,求△CDE面积的最大值;此时,求出以点E为圆心,与BC相切的圆的面积(结果保留π).
 

例5  2017河北省中考第26题
如图1,图2,在△ABC中,AB=13,BC=14, .
探究  如图1,AH⊥BC于点H,则AH=_____,AC=______,△ABC的面积S△ABC=________.
拓展  如图2,点D在AC上(可与点A、C重合),分别过点A、C作直线BD的垂线,垂足为E、F.设BD=x,AE=m,CF=n.(当点D与点A重合时,我们认为S△ABD=0)
(1)用含x,m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD;
(2)求(m+n)与x的函数关系式,并求(m+n)的最大值和最小值;
(3)对给定的一个x值,有时只能确定唯一的点D,指出这样的x的取值范围.
发现  请你确定一条直线,使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小(不必写出过程),并写出这个最小值.
 
 

例6  2017淮安市中考第28题
如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,点P在AB上,AP=2.点E、F同时从点P出发,分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动,点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动,点F运动到点B时停止,点E也随之停止.在点E、F运动过程中,以EF为边作正方形EFGH,使它与△ABC在线段AB的同侧.设E、F运动的时间为t秒(t>0),正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S.
(1)当t=1时,正方形EFGH的边长是________;当t=3时,正方形EFGH的边长是________;
(2)当1<t≤2时,求S与t的函数关系式;
(3)直接答出:在整个运动过程中,当t为何值时,S最大?最大面积是多少?
 


2.2  由面积产生的函数关系问题答案
例1    2018上海市徐汇区中考模拟第25题
如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,cosA= ,点P是边AB上的动点,以PA为半径作⊙P.
(1)若⊙P与AC边的另一个交点为D,设AP=x,△PCD的面积为y,求y关于x的函数解析式,并直接写出函数的定义域;
(2)若⊙P被直线BC和直线AC截得的弦长相等,求AP的长;
(3)若⊙C的半径等于1,且⊙P与⊙C的公共弦长为 ,求AP的长.
 
图1                              备用图
动感体验
请打开几何画板文件名“15徐汇25”,拖动点P在AB上运动,观察MN的度量值,可以体验到,MN≈1.41的时刻只有一个,MN与圆心距CP相交.
思路点拨
1.△PCD的底边CD上的高,就是弦AD对应的弦心距.
2.若⊙P被直线BC和直线AC截得的弦长相等,那么对应的弦心距相等.
3.⊙C的半径等于1,公共弦MN= ,那么△CMN是等腰直角三角形.在四边形CMPN中,利用勾股定理列关于x(⊙P的半径)的方程.
满分解答
(1)如图2,在Rt△ABC中, AC=4,cosA= ,所以AB=16,BC= .
设弦AD对应的弦心距为PE,那么AE= AP= x,PE= AP= x.
所以y=S△PCD= = = .
定义域是0<x<8.
(2)若⊙P被直线BC和直线AC截得的弦长相等,那么对应的弦心距PF=PE.
因此四边形AEPF是正方形(如图3),设正方形的边长为m.
由S△ABC=S△ACP+S△BCP,得AC·BC=m(AC+BC).所以m= = .
此时AE= = ,AP=4AE= .
 
图2                                     图3
(3)如图4,设⊙C与⊙P的公共弦为MN,MN与CP交于点G.
由于CM=CN=1,MN= ,所以△CMN是等腰直角三角形,CG=NG= .
如图5,作CH⊥AB于H,由AC=4,那么AH=1,CH2=15.
所以CP= = .因此PG= (如图4).
如图4,在Rt△PNG中,由勾股定理,得 .
整理,得2x2-64x+257=0.解得 , (舍去).
 
图4                          图5
考点伸展
第(2)题也可以这样计算:由于PF= BP= ,由PE=PF,得 .解得 .


例2   2017黄冈市中考第25题
如图1,在四边形OABC中,AB//OC,BC⊥x轴于点C,A(1,-1),B(3,-1),动点P从O出发,沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动.过点P作PQ垂直于直线OA,垂足为Q.设点P移动的时间为t秒(0<t<2),△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S.
(1)求经过O、A、B三点的抛物线的解析式,并确定顶点M的坐标;
(2)用含t的代数式表示点P、Q的坐标;
(3)如果将△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°,是否存在t,使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由;
(4)求出S与t的函数关系式.
 
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“14黄冈25”,拖动点P从O开始向右运动,可以体验到,重叠部分的形状依次为等腰直角三角形、等腰梯形和五边形.点O′和点Q′各有一次机会落在抛物线上.

思路点拨
1.△OPQ在旋转前后保持等腰直角三角形的形状.
2.试探取不同位置的点P,观察重叠部分的形状,要分三种情况讨论.

满分解答
(1)由A(1,-1)、B(3,-1),可知抛物线的对称轴为直线x=1,点O关于直线x=1的对称点为(4,0).
于是可设抛物线的解析式为y=ax(x-4),代入点A(1,-1),得-3a=-1.
解得 .所以 .顶点M的坐标为 .
(2)△OPQ是等腰直角三角形,P(2t, 0),Q(t,-t).
(3)旋转后,点O′的坐标为(2t,-2t),点Q′的坐标为(3t,-t).
将O′(2t,-2t)代入 ,得 .解得 .
将Q′(3t,-t)代入 ,得 .解得t=1.
因此,当 时,点O′落在抛物线上(如图2);当t=1时,点Q′落在抛物线上(如图3).
 
图2                                   图3
(4)①如图4,当0<t≤1时,重叠部分是等腰直角三角形OPQ.此时S=t2.
②如图5,当1<t≤1.5时,重叠部分是等腰梯形OPFA.此时AF=2t-2.
此时S= .
 
图4                                 图5
③如图6,当1.5<t<2时,重叠部分是五边形OCEFA.
此时CE=CP=2t-3.所以BE=BF=1-(2t-3)=4-2t.
所以S= .
 
图6
考点伸展
在本题情景下,重叠部分的周长l与t之间有怎样的函数关系?
如图4, .如图5, .
如图6, .


例3    2017菏泽市中考第21题
如图1, △ABC是以BC为底边的等腰三角形,点A、C分别是一次函数 的图像与y轴、x轴的交点,点B在二次函数 的图像上,且该二次函数图像上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形.
(1)试求b、c的值,并写出该二次函数的解析式;
(2)动点P从A到D,同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动,问:
①当P运动到何处时,由PQ⊥AC?
②当P运动到何处时,四边形PDCQ的面积最小?此时四边形PDCQ的面积是多少?
 
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“13菏泽21”,拖动点P由A向D运动,观察S随P变化的图像,可以体验到,当S最小时,点Q恰好是AC的中点.
请打开超级画板文件名“13菏泽21”,拖动点P由A向D运动,观察S随P变化的图像,可以体验到,当S最小时,点Q恰好是AC的中点.
思路点拨
1.求抛物线的解析式需要代入B、D两点的坐标,点B的坐标由点C的坐标得到,点D的坐标由AD=BC可以得到.
2.设点P、Q运动的时间为t,用含有t的式子把线段AP、CQ、AQ的长表示出来.
3.四边形PDCQ的面积最小,就是△APQ的面积最大.
满分解答
(1)由 ,得A(0,3),C(4,0).
由于B、C关于OA对称,所以B(-4,0),BC=8.
因为AD//BC,AD=BC,所以D(8,3).
将B(-4,0)、D(8,3)分别代入 ,得
解得 ,c=-3.所以该二次函数的解析式为 .
(2)①设点P、Q运动的时间为t.
如图2,在△APQ中,AP=t,AQ=AC-CQ=5-t,cos∠PAQ=cos∠ACO= .
当PQ⊥AC时, .所以 .解得 .
 
图2                                    图3
②如图3,过点Q作QH⊥AD,垂足为H.
由于S△APQ= ,
S△ACD= ,
所以S四边形PDCQ=S△ACD-S△APQ= .
所以当AP= 时,四边形PDCQ的最小值是 .
考点伸展
如果把第(2)①题改为“当P运动到何处时,△APQ是直角三角形?”
除了PQ⊥AC这种情况,还有QP⊥AD的情况.
这时 ,所以 .解得 (如图4所示).
例4  2017广东省中考第22题
如图1,抛物线 与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,联结BC、AC.
(1)求AB和OC的长;
(2)点E从点A出发,沿x轴向点B运动(点E与点A、B不重合),过点E作BC的平行线交AC于点D.设AE的长为m,△ADE的面积为s,求s关于m的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;
(3)在(2)的条件下,联结CE,求△CDE面积的最大值;此时,求出以点E为圆心,与BC相切的圆的面积(结果保留π).
 
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12广东22”,拖动点E由A向B运动,观察图象,可以体验到,△ADE的面积随m的增大而增大,△CDE的面积随m变化的图象是开口向下的抛物线的一部分,E在AB的中点时,△CDE的面积最大.

 

思路点拨
1.△ADE与△ACB相似,面积比等于对应边的比的平方.
2.△CDE与△ADE是同高三角形,面积比等于对应底边的比.
满分解答
(1)由 ,得A(-3,0)、B(6,0)、C(0,-9).
所以AB=9,OC=9.
(2)如图2,因为DE//CB,所以△ADE∽△ACB.
所以 .
而 ,AE=m,
所以 .
m的取值范围是0<m<9.
 
图2                                  图3
(3)如图2,因为DE//CB,所以 .
因为△CDE与△ADE是同高三角形,所以 .
所以 .
当 时,△CDE的面积最大,最大值为 .
此时E是AB的中点, .
如图3,作EH⊥CB,垂足为H.
在Rt△BOC中,OB=6,OC=9,所以 .
在Rt△BEH中, .
当⊙E与BC相切时, .所以 .
考点伸展
在本题中,△CDE与△BEC能否相似?
如图2,虽然∠CED=∠BCE,但是∠B>∠BCA≥∠ECD,所以△CDE与△BEC不能相似.


例5  2017河北省中考第26题
如图1,图2,在△ABC中,AB=13,BC=14, .
探究  如图1,AH⊥BC于点H,则AH=_____,AC=______,△ABC的面积S△ABC=________.
拓展  如图2,点D在AC上(可与点A、C重合),分别过点A、C作直线BD的垂线,垂足为E、F.设BD=x,AE=m,CF=n.(当点D与点A重合时,我们认为S△ABD=0)
(1)用含x,m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD;
(2)求(m+n)与x的函数关系式,并求(m+n)的最大值和最小值;
(3)对给定的一个x值,有时只能确定唯一的点D,指出这样的x的取值范围.
发现  请你确定一条直线,使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小(不必写出过程),并写出这个最小值.
 
图1                       图2
动感体验
请打开几何画板文件名“12河北26”,拖动点D由A向C运动,观察(m+n)随x变化的图象,可以体验到,D到达G之前,(m+n)的值越来越大;D经过G之后,(m+n)的值越来越小.观察圆与线段AC的交点情况,可以体验到,当D运动到G时(如图3),或者点A在圆的内部时(如图4),圆与线段AC只有唯一的交点D.
 
图3                         图4
答案    探究  AH=12,AC=15,S△ABC=84.
拓展  (1)S△ABD= ,S△CBD= .
(2)由S△ABC=S△ABD+S△CBD,得 .所以 .
由于AC边上的高 ,所以x的取值范围是 ≤x≤14.
所以(m+n)的最大值为15,最小值为12.
(3)x的取值范围是x= 或13<x≤14.
发现  A、B、C三点到直线AC的距离之和最小,最小值为 .
 

例6  2017淮安市中考第28题
如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,点P在AB上,AP=2.点E、F同时从点P出发,分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动,点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动,点F运动到点B时停止,点E也随之停止.在点E、F运动过程中,以EF为边作正方形EFGH,使它与△ABC在线段AB的同侧.设E、F运动的时间为t秒(t>0),正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S.
(1)当t=1时,正方形EFGH的边长是________;当t=3时,正方形EFGH的边长是________;
(2)当1<t≤2时,求S与t的函数关系式;
(3)直接答出:在整个运动过程中,当t为何值时,S最大?最大面积是多少?
 
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11淮安28”,拖动点F由P向B运动,可以体验到,点E在向A运动时,正方形EFGH越来越大,重叠部分的形状依次为正方形、五边形、直角梯形;点E折返以后,正方形EFGH的边长为定值4,重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、六边形、五边形.在整个运动过程中,S的最大值在六边形这个时段.
请打开超级画板文件名“11淮安28”,拖动点F由P向B运动,可以体验到,点E在向A运动时,正方形EFGH越来越大,重叠部分的形状依次为正方形、五边形、直角梯形;点E折返以后,正方形EFGH的边长为定值4,重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、六边形、五边形.在整个运动过程中,S的最大值在六边形这个时段.

思路点拨
1.全程运动时间为8秒,最好的建议就是在每秒钟选择一个位置画8个图形,这叫做磨刀不误砍柴工.
2.这道题目的运算太繁琐了,如果你的思路是对的,就坚定地、仔细地运算,否则放弃也是一种好的选择.
满分解答
(1)当t=1时,EF=2;当t=3时,EF=4.
(2)①如图1,当 时, .所以 .
②如图2,当 时, , , .
于是 ,
  .
所以 .
③如图3,当 时, , , .
所以 .
 
图2                     图3                       图4
(3)如图4,图5,图6,图7,重叠部分的最大面积是图6所示的六边形EFNDQN,S的最大值为 ,此时 .
 
图5                      图6                      图7
考点伸展
第(2)题中t的临界时刻是这样求的:
如图8,当H落在AC上时, , ,由 ,得 .
如图9,当G落在AC上时, , ,由 ,得 .
 

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