2018年汕尾市陆丰市中考数学一模试卷(有答案和解释)

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2018年汕尾市陆丰市中考数学一模试卷(有答案和解释)

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莲山 课件 w w w.5Y k J.C om

2018年广东省汕尾市陆丰市民声学校中考数学一模试卷
 
一、单选题(每小题4分,共40分)
1.(4分)无理数 的绝对值是(  )
A.  B.  C.  D.
2.(4分)2010年4月20日晚,中央电视台承办《情系玉树,大爱无疆﹣﹣抗震救灾大型募捐活动特别节目》共募得善款21.75亿元.21.75亿元用科学记数法可表示为(  )
A.21.75×108元 B.0.2175×1010元
C.2.175×1010元 D.2.175×109元
3.(4分)下列四张扑克牌的牌面,不是中心对称图形的是(  )
A.  B.  C.  D.
4.(4分)已知a<b,则下列不等式中不正确的是(  )
A.4a<4b B.a+4<b+4 C.﹣4a<﹣4b D.a﹣4<b﹣4
5.(4分)在一次数学测验中,甲、乙、丙、丁四位同学的分数分别是90、x、90、70,若这四个同学得分的众数与平均数恰好相等,则他们得分的中位数是(  )
A.100 B.90 C.80 D.70
6.(4分)在下列四个函数中,是正比例函数的是(  )
A.y=2x+1 B.y=2x2+1 C.y=  D.y=2x
7.(4分)过点C(﹣1,﹣1)和点D(﹣1,5)作直线,则直线CD(  )
A.平行于y轴 B.平行于x轴 C.与y轴相交 D.无法确定
8.(4分)在△ABC中,∠C=90°,BC=2,sinA= ,则边AC的长是(  )
A.  B.3 C.  D.
9.(4分)如图,点A、B、C在⊙O上,若∠BAC=45°,OB=2,则图中阴影部分的面积为(  )
 
A.π﹣2 B.  C.π﹣4 D.
10.(4分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,现有下列结论:①b2﹣4ac>0;②a>0;③b>0; ④c>0; ⑤9a+3b+c<0; ⑥2a+b=0,则其中结论正确的个数是(  )
 
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
 
二、填空题(每小题5分,共30分)
11.(5分)分解因式:x2y﹣4xy+4y=     .
12.(5分)已知一个多边形的内角和与它的外角和正好相等,则这个多边形是     边形.
13.(5分)如图所示,把半径为2个长度单位的圆形纸片放在数轴上,圆形纸片上的A点对应原点,将圆形纸片沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周,点A到达点A′的位置,则点A′表示的数是     .
 
14.(5分)一个不透明的盒子里有若干个白球,在不允许将球倒出来的情况下,为估计白球的个数,小刚向其中放入8个黑球,摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回盒中,不断重复,共摸球400次,其中88次摸到黑球,估计盒中大约有白球     个.
15.(5分)如果两个相似三角形的相似比是2:3,较小三角形的面积为4cm2,那么较大三角形的面积为     cm2.
16.(5分)如图,矩形ABCD的长AB=6cm,宽AD=3cm.O是AB的中点,OP⊥AB,两半圆的直径分别为AO与OB.抛物线y=ax2经过C、D两点,则图中阴影部分的面积是     cm2.
 
 
三、解答题(每小题7分,共21分)
17.(7分)计算:
18.(7分)先化简,再求值: ÷x,其中x= .
19.(7分)已知:如图,△ABC中,AC=3,∠ABC=30°.
(1)尺规作图:求作△ABC的外接圆,保留作图痕迹,不写作法;
(2)求(1)中所求作的圆的面积.
 
 
四、解答题(每小题9分,共27分)
20.(9分)在结束了380课时初中阶段数学内容的教学后,唐老师计划安排60课时用于总复习,根据数学内容所占课时比例,绘制如下统计图表(图1~图3),请根据图表提供的信息,回答下列问题:
 
(1)图1中“统计与概率”所在扇形的圆心角为     度;
(2)图2、3中的a=     ,b=     ;
(3)在60课时的总复习中,唐老师应安排多少课时复习“数与代数”内容?
21.(9分)某市为争创全国文明卫生城,2008年市政府对市区绿化工程投入的资金是2000万元,2010年投入的资金是2420万元,且从2008年到2010年,两年间每年投入资金的年平均增长率相同.
(1)求该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率;
(2)若投入资金的年平均增长率不变,那么该市在2012年需投入多少万元?
22.(9分)如图,已知平行四边形ABCD,过A点作AM⊥BC于M,交BD于E,过C点作CN⊥AD于N,交BD于F,连接AF、CE.
(1)求证:四边形AECF为平行四边形;
(2)当AECF为菱形,M点为BC的中点时,求AB:AE的值.
 
 
五、解答题(第23、24小题每题11分,第25题10分,共32分)
23.(11分)如图,二次函数的图象与x轴交于A(﹣3,0)和B(1,0)两点,交y轴于点C(0,3),点C、D是二次函数图象上的一对对称点,一次函数的图象过点B、D.
(1)求二次函数的解析式;
(2)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围;
(3)若直线与y轴的交点为E,连结AD、AE,求△ADE的面积.
 
24.(11分)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为H,连结AC,过 上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G,连结AE交CD于点F,且EG=FG,连结CE.
(1)求证:△ECF∽△GCE;
(2)求证:EG是⊙O的切线;
(3)延长AB交GE的延长线于点M,若tanG= ,AH=3 ,求EM的值.
 
25.(10分)已知△ABC是等边三角形,D是BC边上的一个动点(点D不与B,C重合)△ADF是以AD为边的等边三角形,过点F作BC的平行线交射线AC于点E,连接BF.
(1)如图1,求证:△AFB≌△ADC;
(2)请判断图1中四边形BCEF的形状,并说明理由;
(3)若D点在BC 边的延长线上,如图2,其它条件不变,请问(2)中结论还成立吗?如果成立,请说明理由.
 
 
 

2018年广东省汕尾市陆丰市民声学校中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
 
一、单选题(每小题4分,共40分)
1.(4分)无理数 的绝对值是(  )
A.  B.  C.  D.
【考点】28:实数的性质;22:算术平方根;26:无理数.
【分析】根据绝对值的定义解答可得.
【解答】解:无理数 的绝对值是 ,
故选:B.
【点评】本题主要考查实数的性质,解题的关键是熟练掌握绝对值的定义.
 
2.(4分)2010年4月20日晚,中央电视台承办《情系玉树,大爱无疆﹣﹣抗震救灾大型募捐活动特别节目》共募得善款21.75亿元.21.75亿元用科学记数法可表示为(  )
A.21.75×108元 B.0.2175×1010元
C.2.175×1010元 D.2.175×109元
【考点】1I:科学记数法—表示较大的数.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答】解:21.75亿=21 7500 0000,
21 7500 0000=2.175×109.
故选:D.
【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
 
3.(4分)下列四张扑克牌的牌面,不是中心对称图形的是(  )
A.  B.  C.  D.
【考点】R5:中心对称图形.
【分析】根据中心对称图形的概念和扑克牌的花色特点求解.
【解答】解:根据中心对称图形的概念,知A、B、C都是中心对称图形;
D、旋转180°后,中间的花色发生了变化,不是中心对称图形.
故选:D.
【点评】考查了中心对称图形的概念:如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心.
 
4.(4分)已知a<b,则下列不等式中不正确的是(  )
A.4a<4b B.a+4<b+4 C.﹣4a<﹣4b D.a﹣4<b﹣4
【考点】C2:不等式的性质.
【分析】根据不等式的性质1,可判断B、D,根据不等式的性质2,可判断A,根据不等式的性质3,可判断C.
【解答】解:A、不等式的两边都乘以一个正数,不等号的方向不变,故A正确;
B、不等式的两边都加或都减同一个整式,不等号的方向不变,故B正确;
C、不等式的两边都乘以同一个负数,不等号的方向改变,故C错误;
D、不等式的两边都加或都减同一个整式,不等号的方向不变,故D正确;
故选:C.
【点评】本题考查了不等式的性质,不等式的两边都乘以同一个负数,不等号的方向改变.
 
5.(4分)在一次数学测验中,甲、乙、丙、丁四位同学的分数分别是90、x、90、70,若这四个同学得分的众数与平均数恰好相等,则他们得分的中位数是(  )
A.100 B.90 C.80 D.70
【考点】W4:中位数;W1:算术平均数;W5:众数.
【分析】因为x的值不确定,所以众数也不能直接确定,需分类讨论:①x=90;②x=70;③x≠90且x≠70.
【解答】解:①x=90时,众数是90,平均数=(90+90+90+70)÷4≠90,所以此情况不成立,即x≠90;
②x=70时,众数是90和70,而平均数=80,所以此情况不成立,即x≠70;
③x≠90且x≠70时,众数是90,根据题意得(90+x+90+70)÷4=90,解得x=110.所以中位数是(90+90)÷2=90.
故选:B.
【点评】本题为统计题,考查众数、平均数与中位数的意义掌握概念进行分类讨论是此题的关键.注意中位数的确定方法:将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(最中间两个数的平均数),叫做这组数据的中位数,如果中位数的概念掌握得不好,不把数据按要求重新排列,就会出错.
 
6.(4分)在下列四个函数中,是正比例函数的是(  )
A.y=2x+1 B.y=2x2+1 C.y=  D.y=2x
【考点】F2:正比例函数的定义.
【分析】根据正比例函数y=kx的定义条件:k为常数且k≠0,自变量次数为1,即可得出答案.
【解答】解:根据正比例函数的定义,y=2x是正比例函数,
故选:D.
【点评】本题主要考查了正比例函数的定义,难度不大,注意基础概念的掌握.
 
7.(4分)过点C(﹣1,﹣1)和点D(﹣1,5)作直线,则直线CD(  )
A.平行于y轴 B.平行于x轴 C.与y轴相交 D.无法确定
【考点】D5:坐标与图形性质.
【分析】根据CD的坐标特点解答即可.
【解答】解:因为点C(﹣1,﹣1)和点D(﹣1,5),即x=﹣1,
所以直线CD平行于y轴,
故选:A.
【点评】此题考查坐标与图形性质,关键是根据平行于y轴的坐标特点解答.
 
8.(4分)在△ABC中,∠C=90°,BC=2,sinA= ,则边AC的长是(  )
A.  B.3 C.  D.
【考点】T1:锐角三角函数的定义.
【分析】先根据BC=2,sinA= 求出AB的长度,再利用勾股定理即可求解.
【解答】解:∵sinA= = ,BC=2,
∴AB=3.
∴AC= = = .
故选:A.
【点评】本题利用角的正弦的定义和勾股定理.
 
9.(4分)如图,点A、B、C在⊙O上,若∠BAC=45°,OB=2,则图中阴影部分的面积为(  )
 
A.π﹣2 B.  C.π﹣4 D.
【考点】M5:圆周角定理;MO:扇形面积的计算.
【分析】先证得△OBC是等腰直角三角形,然后根据S阴影=S扇形OBC﹣S△OBC即可求得.
【解答】解:∵∠BAC=45°,
∴∠BOC=90°,
∴△OBC是等腰直角三角形,
∵OB=2,
∴S阴影=S扇形OBC﹣S△OBC= π×22﹣ ×2×2=π﹣2.
故选:A.
【点评】本题考查的是圆周角定理及扇形的面积公式,熟记扇形的面积公式是解答此题的关键.
 
10.(4分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,现有下列结论:①b2﹣4ac>0;②a>0;③b>0; ④c>0; ⑤9a+3b+c<0; ⑥2a+b=0,则其中结论正确的个数是(  )
 
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【考点】H4:二次函数图象与系数的关系.
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据抛物线与x轴交点及x=1时二次函数的值的情况进行推理,进而对所得结论进行判断.
【解答】解:①根据图示知,二次函数与x轴有两个交点,所以△=b2﹣4ac>0;故①正确;
②根据图示知,该函数图象的开口向上,
∴a>0;
故②正确;
③又对称轴x=﹣ =1,
∴ <0,
∴b<0;
故本选项错误;
④该函数图象交于y轴的负半轴,
∴c<0;
故本选项错误;
⑤根据抛物线的对称轴方程可知:(﹣1,0)关于对称轴的对称点是(3,0);
当x=﹣1时,y<0,所以当x=3时,也有y<0,即9a+3b+c<0;故⑤正确;
⑥∵对称轴为直线x=1,
∴x=﹣ =1,即b=﹣2a,
∴2a+b=0,选项⑥正确;.
所以①②⑤⑥四项正确.
故选:C.
【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴的范围求2a与b的关系,以及二次函数与方程之间的转换.
 
二、填空题(每小题5分,共30分)
11.(5分)分解因式:x2y﹣4xy+4y= y(x﹣2)2 .
【考点】55:提公因式法与公式法的综合运用.
【分析】先提取公因式y,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.
【解答】解:x2y﹣4xy+4y,
=y(x2﹣4x+4),
=y(x﹣2)2.
【点评】本题考查了提公因式法,公式法分解因式,难点在于提取公因式后要进行二次分解因式,分解因式要彻底.
 
12.(5分)已知一个多边形的内角和与它的外角和正好相等,则这个多边形是 四 边形.
【考点】L3:多边形内角与外角.
【分析】根据多边形的外角和为360°,由一个多边形的内角和与它的外角和正好相等,得到内角和,再根据多边形的内角和定理即可得到多边形的边数.
【解答】解:∵多边形的外角和为360°,
而一个多边形的内角和与它的外角和正好相等,设这个多边形为n边形,
∴(n﹣2)•180°=360°,
∴n=4,
故答案为:四.
【点评】本题考查了边形的内角和定理:边形的内角和=(n﹣2)•180°;多边形的外角和为360°.
 
13.(5分)如图所示,把半径为2个长度单位的圆形纸片放在数轴上,圆形纸片上的A点对应原点,将圆形纸片沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周,点A到达点A′的位置,则点A′表示的数是 ﹣4π .
 
【考点】13:数轴.
【分析】由题意可知:A到A’的距离即为圆形的周长,所以求出圆形的周长即可.
【解答】解:该圆的周长为2π×2=4π,
所以A′与A的距离为4π,
由于圆形是逆时针滚动,
所以A′在A的左侧,
所以A′表示的数为﹣4π,
故答案为﹣4π,
【点评】本题考查数轴,涉及圆的周长,属于基础问题.
 
14.(5分)一个不透明的盒子里有若干个白球,在不允许将球倒出来的情况下,为估计白球的个数,小刚向其中放入8个黑球,摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回盒中,不断重复,共摸球400次,其中88次摸到黑球,估计盒中大约有白球 28 个.
【考点】X8:利用频率估计概率.
【分析】共摸球400次,其中88次摸到黑球,那么有312次摸到白球;由此可知:摸到黑球与摸到白球的次数之比为88:312;已知有8个黑球,那么按照比例,白球数量即可求出.
【解答】解:由题意得:白球有 ×8≈28个.
故答案为28.
【点评】本题考查的是通过样本去估计总体,只需将样本“成比例地放大”为总体即可.关键是根据白球和黑球的比得到相应的关系式.
 
15.(5分)如果两个相似三角形的相似比是2:3,较小三角形的面积为4cm2,那么较大三角形的面积为 9 cm2.
【考点】S7:相似三角形的性质.
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出面积比,根据题意计算即可.
【解答】解:∵两个相似三角形的相似比是2:3,
∴两个相似三角形的面积比是4:9,又较小三角形的面积为4cm2,
那么较大三角形的面积为9cm2,
故答案为:9.
【点评】本题考查的是相似三角形的性质,相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.
 
16.(5分)如图,矩形ABCD的长AB=6cm,宽AD=3cm.O是AB的中点,OP⊥AB,两半圆的直径分别为AO与OB.抛物线y=ax2经过C、D两点,则图中阴影部分的面积是   cm2.
 
【考点】HF:二次函数综合题.
【分析】根据抛物线的对称性易知阴影部分的面积实际是一个半圆的面积,且半圆的半径为OA(或OB)的一半,AB的四分之一,由此可求出阴影部分的面积.
【解答】解:由题意,得:S阴影=S半圆= π( )2= π(cm2).
【点评】此题并不难,能够发现阴影部分与半圆面积之间的关系是解答此题的关键.
 
三、解答题(每小题7分,共21分)
17.(7分)计算:
【考点】2C:实数的运算;6F:负整数指数幂;T5:特殊角的三角函数值.
【分析】原式利用特殊角的三角函数值,负整数指数幂法则,以及绝对值的代数意义计算即可求出值.
【解答】解:原式=3 ﹣ +4﹣ +1= +5.
【点评】此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
 
18.(7分)先化简,再求值: ÷x,其中x= .
【考点】6D:分式的化简求值.
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子,然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题.
【解答】解: ÷x
=
=
= ,
当x= 时,原式= = =2+ .
【点评】本题考查分式的化简求值,解答本题的关键是明确分式化简求值的方法.
 
19.(7分)已知:如图,△ABC中,AC=3,∠ABC=30°.
(1)尺规作图:求作△ABC的外接圆,保留作图痕迹,不写作法;
(2)求(1)中所求作的圆的面积.
 
【考点】N3:作图—复杂作图;MA:三角形的外接圆与外心.
【分析】(1)此题主要是确定三角形的外接圆的圆心,根据圆心是三角形边的垂直平分线的交点进行作图:①作线段AB的垂直平分线;②作线段BC的垂直平分线;③以两条垂直平分线的交点O为圆心,OA长为半圆画圆,则圆O即为所求作的圆.
(2)连接OA,OC.先证明△AOC是等边三角形,从而得到圆的半径,即可求解.
【解答】解:(1)如图所示,⊙O即为所求作的圆.
 
(2)连接OA,OC.
∵AC=3,∠ABC=30°,
∴∠AOC=60°,
∴△AOC是等边三角形,
∴圆的半径是3,
∴圆的面积是9π.
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图,掌握三角形的外接圆的作法.三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心.找一个三角形的外心,就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点,三角形的外接圆只有一个.
 
四、解答题(每小题9分,共27分)
20.(9分)在结束了380课时初中阶段数学内容的教学后,唐老师计划安排60课时用于总复习,根据数学内容所占课时比例,绘制如下统计图表(图1~图3),请根据图表提供的信息,回答下列问题:
 
(1)图1中“统计与概率”所在扇形的圆心角为 36 度;
(2)图2、3中的a= 60 ,b= 14 ;
(3)在60课时的总复习中,唐老师应安排多少课时复习“数与代数”内容?
【考点】VC:条形统计图;VA:统计表;VB:扇形统计图.
【分析】(1)先计算出“统计与概率”所占的百分比,再乘以360°即可;
(2)根据数与代数所占的百分比,求得数与代数的课时总数,再减去数与式和函数,即为a的值,再用a的值减去图3中A,B,C,E的值,即为b的值;
(3)用60乘以45%即可.
【解答】解:(1)(1﹣45%﹣5%﹣40%)×360°=36°;

(2)380×45%﹣67﹣44=60;
60﹣18﹣13﹣12﹣3=14;

(3)依题意,得45%×60=27,
答:唐老师应安排27课时复习“数与代数”内容.
故答案为:36,60,14.
【点评】本题是一道统计题,考查了条形统计图、扇形统计图和统计表,是基础知识要熟练掌握.
 
21.(9分)某市为争创全国文明卫生城,2008年市政府对市区绿化工程投入的资金是2000万元,2010年投入的资金是2420万元,且从2008年到2010年,两年间每年投入资金的年平均增长率相同.
(1)求该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率;
(2)若投入资金的年平均增长率不变,那么该市在2012年需投入多少万元?
【考点】AD:一元二次方程的应用.
【分析】(1)等量关系为:2008年市政府对市区绿化工程投入×(1+增长率)2=2010年市政府对市区绿化工程投入,把相关数值代入求解即可;
(2)2012年该市政府对市区绿化工程投入=2010年市政府对市区绿化工程投入×(1+增长率)2.
【解答】解:(1)设该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为x,(1分)
根据题意得,2000(1+x)2=2420,(3分)
得x1=0.1=10%,x2=﹣2.1(舍去),(5分)
答:该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为10%.(6分)

(2)2012年需投入资金:2420×(1+10%)2=2928.2(万元)(7分)
答:2012年需投入资金2928.2万元.(8分)
【点评】考查一元二次方程的应用;求平均变化率的方法为:若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b.
 
22.(9分)如图,已知平行四边形ABCD,过A点作AM⊥BC于M,交BD于E,过C点作CN⊥AD于N,交BD于F,连接AF、CE.
(1)求证:四边形AECF为平行四边形;
(2)当AECF为菱形,M点为BC的中点时,求AB:AE的值.
 
【考点】L7:平行四边形的判定与性质;KD:全等三角形的判定与性质;KM:等边三角形的判定与性质;T7:解直角三角形.
【分析】(1)根据平行四边形的性质、垂直的定义、平行线的判定定理可以推知AE∥CF;然后由全等三角形的判定定理ASA推知△ADE≌△CBF;最后根据全等三角形的对应边相等知AE=CF,所以对边平行且相等的四边形是平行四边形;
(2)如图,连接AC交BF于点0.由菱形的判定定理推知▱ABCD是菱形,根据菱形的邻边相等知AB=BC;然后结合已知条件“M是BC的中点,AM丄BC”证得△ADE≌△CBF(ASA),所以AE=CF(全等三角形的对应边相等),从而证得△ABC是正三角形;最后在Rt△BCF中,利用锐角三角函数的定义求得CF:BC=tan∠CBF= ,利用等量代换知(AE=CF,AB=BC)AB:AE= .
【解答】(1)证明∵四边形ABCD是平行四边形(已知),
∴BC∥AD(平行四边形的对边相互平行);
又∵AM丄BC(已知),
∴AM⊥AD;
∵CN丄AD(已知),
∴AM∥CN,
∴AE∥CF;
∴∠ADE=∠CBD,
∵AD=BC(平行四边形的对边相等),
在△ADE和△CBF中,
 ,
∴△ADE≌△CBF(ASA),
∴AE=CF(全等三角形的对应边相等),
∴四边形AECF为平行四边形(对边平行且相等的四边形是平行四边形);

(2)如图,连接AC交BF于点0,当四边形AECF为菱形时,
 则AC与EF互相垂直平分,
∵BO=OD(平行四边形的对角线相互平分),
∴AC与BD互相垂直平分,
∴▱ABCD是菱形(对角线相互垂直平分的平行四边形是菱形),
∴AB=BC(菱形的邻边相等);
∵M是BC的中点,AM丄BC(已知),
∴AB=AC(等腰三角形的性质),
∴△ABC为等边三角形,
∴∠ABC=60°,∠CBD=30°;
在Rt△BCF中,CF:BC=tan∠CBF= ,
又∵AE=CF,AB=BC,
∴AB:AE= .
 
【点评】本题综合考查了解直角三角形、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质等知识点.证明(2)题时,证得▱ABCD是菱形是解题的难点.
 
五、解答题(第23、24小题每题11分,第25题10分,共32分)
23.(11分)如图,二次函数的图象与x轴交于A(﹣3,0)和B(1,0)两点,交y轴于点C(0,3),点C、D是二次函数图象上的一对对称点,一次函数的图象过点B、D.
(1)求二次函数的解析式;
(2)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围;
(3)若直线与y轴的交点为E,连结AD、AE,求△ADE的面积.
 
【考点】HC:二次函数与不等式(组);H8:待定系数法求二次函数解析式;HA:抛物线与x轴的交点.
【分析】(1)根据题意可以设出二次函数解析式,根据函数过点A、B、C,即可解答本题;
(2)根据题意可以求得点D的坐标,再根据函数图象即可解答本题;
(3)根据题意作出辅助线,即可求得△ADE的面积.
【解答】解:(1)设二次函数解析式为y=ax2+bx+c,
 ,
解得,a=﹣1,b=﹣2,c=3,
即二次函数的解析式是y=﹣x2﹣2x+3;
(2)∵y=﹣x2﹣2x+3,
∴该函数的对称轴是直线x=﹣1,
∵点C(0,3),点C、D是二次函数图象上的一对对称点,
∴点D(﹣2,3),
∴一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x<﹣2或x>1;
(3)∵点A(﹣3,0)、点D(﹣2,3)、点B(1,0),
设直线DE的解析式为y=kx+m,
则 ,解得, ,
∴直线DE的解析式为y=﹣x+1,
当x=0时,y=1,
∴点E的坐标为(0,1),
设直线AE的解析式为y=cx+d,
则 ,得 ,
∴直线AE的解析式为y= x+1,
当x=﹣2时,y= = ,
∴△ADE的面积是:  =2.5.
 
【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式、抛物线与x轴的交点,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用二次函数的性质解答.
 
24.(11分)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为H,连结AC,过 上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G,连结AE交CD于点F,且EG=FG,连结CE.
(1)求证:△ECF∽△GCE;
(2)求证:EG是⊙O的切线;
(3)延长AB交GE的延长线于点M,若tanG= ,AH=3 ,求EM的值.
 
【考点】MR:圆的综合题.
【分析】(1)由AC∥EG,推出∠G=∠ACG,由AB⊥CD推出 = ,推出∠CEF=∠ACD,推出∠G=∠CEF,由此即可证明;
(2)欲证明EG是⊙O的切线只要证明EG⊥OE即可;
(3)连接OC.设⊙O的半径为r.在Rt△OCH中,利用勾股定理求出r,证明△AHC∽△MEO,可得 = ,由此即可解决问题;
【解答】(1)证明:如图1中,
 
∵AC∥EG,
∴∠G=∠ACG,
∵AB⊥CD,
∴ = ,
∴∠CEF=∠ACD,
∴∠G=∠CEF,∵∠ECF=∠ECG,
∴△ECF∽△GCE.

(2)证明:如图2中,连接OE,
 
∵GF=GE,
∴∠GFE=∠GEF=∠AFH,
∵OA=OE,
∴∠OAE=∠OEA,
∵∠AFH+∠FAH=90°,
∴∠GEF+∠AEO=90°,
∴∠GEO=90°,
∴GE⊥OE,
∴EG是⊙O的切线.

(3)解:如图3中,连接OC.设⊙O的半径为r.
 
在Rt△AHC中,tan∠ACH=tan∠G= = ,
∵AH=3 ,
∴HC=4 ,
在Rt△HOC中,∵OC=r,OH=r﹣3 ,HC=4 ,
∴(r﹣3 )2+(4 )2=r2,
∴r= ,
∵GM∥AC,
∴∠CAH=∠M,∵∠OEM=∠AHC,
∴△AHC∽△MEO,
∴ = ,
∴ = ,
∴EM= .
【点评】本题考查圆综合题、垂径定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,灵活运用所学知识解决问题,正确寻找相似三角形,构建方程解决问题吗,属于中考压轴题.
 
25.(10分)已知△ABC是等边三角形,D是BC边上的一个动点(点D不与B,C重合)△ADF是以AD为边的等边三角形,过点F作BC的平行线交射线AC于点E,连接BF.
(1)如图1,求证:△AFB≌△ADC;
(2)请判断图1中四边形BCEF的形状,并说明理由;
(3)若D点在BC 边的延长线上,如图2,其它条件不变,请问(2)中结论还成立吗?如果成立,请说明理由.
 
【考点】KD:全等三角形的判定与性质;L6:平行四边形的判定.
【分析】(1)利用有两条边对应相等并且夹角相等的两个三角形全等即可证明△AFB≌△ADC;
(2)四边形BCEF是平行四边形,因为△AFB≌△ADC,所以可得∠ABF=∠C=60°,进而证明∠ABF=∠BAC,则可得到FB∥AC,又BC∥EF,所以四边形BCEF是平行四边形;
(3)易证AF=AD,AB=AC,∠FAD=∠BAC=60°,可得∠FAB=∠DAC,即可证明△AFB≌△ADC;根据△AFB≌△ADC可得∠ABF=∠ADC,进而求得∠AFB=∠EAF,求得BF∥AE,又BC∥EF,从而证得四边形BCEF是平行四边形.
【解答】证明:(1)∵△ABC和△ADF都是等边三角形,
∴AF=AD,AB=AC,∠FAD=∠BAC=60°,
又∵∠FAB=∠FAD﹣∠BAD,∠DAC=∠BAC﹣∠BAD,
∴∠FAB=∠DAC,
在△AFB和△ADC中,
 ,
∴△AFB≌△ADC(SAS);

(2)由①得△AFB≌△ADC,
∴∠ABF=∠C=60°.
又∵∠BAC=∠C=60°,
∴∠ABF=∠BAC,
∴FB∥AC,
又∵BC∥EF,
∴四边形BCEF是平行四边形;

(3)成立,理由如下:
∵△ABC和△ADF都是等边三角形,
∴AF=AD,AB=AC,∠FAD=∠BAC=60°,
又∵∠FAB=∠BAC﹣∠FAE,∠DAC=∠FAD﹣∠FAE,
∴∠FAB=∠DAC,
在△AFB和△ADC中,
 ,
∴△AFB≌△ADC(SAS);
∴∠AFB=∠ADC.
又∵∠ADC+∠DAC=60°,∠EAF+∠DAC=60°,
∴∠ADC=∠EAF,
∴∠AFB=∠EAF,
∴BF∥AE,
又∵BC∥EF,
∴四边形BCEF是平行四边形.
【点评】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定,熟练掌握性质、定理是解题的关键.

文 章来源
莲山 课件 w w w.5Y k J.C om
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