2017年苏州市中考数学二模试卷(含答案和解释)

作者:佚名 资料来源:网络 点击数:    更新日期:2018-6-1  有奖投稿

2017年苏州市中考数学二模试卷(含答案和解释)

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2017年江苏省苏州中考数学二模试卷
 
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
1.(3分)﹣3的相反数是(  )
A.﹣3 B.3 C.  D.
2.(3分)北京时间2016年2月11日23点30分,科学家宣布:人类首次直接探测到了引力波,印证了爱因斯坦100年前的预言,引力波探测器LIGO的主要部分是两个互相垂直的长臂,每个臂长4000米,数据4000用科学记数法表示为(  )
A.0.4×103 B.0.4×104 C.4×103 D.4×104
3.(3分)下列运算中,正确的是(  )
A.  =3 B.(a+b)2=a2+b2 C.( )2= (a≠0) D.a3•a4=a12
4.(3分)2015年1月份,无锡市某周的日最低气温统计如下表,则这七天中日最低气温的众数和中位数分别是(  )
日期 19 20 21 22 23 24 25
最低气温/℃ 2 4 5 3 4 6 7
A.4,4 B.5,4 C.4,3 D.4,4.5
5.(3分)如图所示,AB∥CD,∠CAB=116°,∠E=40°,则∠D的度数是(  )
 
A.24° B.26° C.34° D.22°
6.(3分)已知反比例函数的图象经过点P(a,a),则这个函数的图象位于(  )
A.第一、三象限 B.第二、三象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限
7.(3分)五张标有2、6,3,4,1的卡片,除数字外,其它没有任何区别,现将它们背面朝上,从中任取一张,得到卡片的数字为偶数的概率是(  )
A.  B.  C.  D.
8.(3分)因为sin30°= ,sin210°= ,所以sin210°=sin(180°+30°)=﹣sin30°;因为sin45°= ,sin225°= ,所以sin225°=sin(180°+45°)=﹣sin45°,由此猜想,推理知:一般地当α为锐角时有sin(180°+α)=﹣sinα,由此可知:sin240°=(  )
A.  B.  C.  D.
9.(3分)菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示,点B的坐标为(9,3 ),点D是AB的中点,点P在OB上,则△ADP的周长最小值为(  )
 
A.3 +3 B.3 +3 C.3  D.3
10.(3分)如图,已知点A是第一象限内横坐标为 的一个定点,AC⊥x轴于点M,交直线y=﹣x于点N,若点P是线段ON上的一个动点,以AP为一边作等边三角形APB(顺时针),取线段AB的中点H,当点P从点O运动到点N时,点H运动的路径长是(  )
 
A.  B.2 C.1 D.
 
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)
11.(3分)分解因式:x2﹣4=     .
12.(3分)若分式 的值为0,则x的值等于     .
13.(3分)甲、乙两人进行射击测试,每人20次射击成绩的平均数都是8.5环,方差分别是:S甲2=3,S乙2=2.5,则射击成绩较稳定的是     (填“甲”或“乙”).
14.(3分)不等式组 的最大整数解是     .
15.(3分)如图,△ABC是⊙O的内接正三角形,⊙O的半径为3,则图中阴影部分的面积是     .
 
16.(3 分)如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠B=45°,AE为BC边上的高,将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB′E,AB′与CD边交于点F,则B′F的长度为     .
 
17.(3分)已知当x=m和x=n时 ,多项式x2﹣4x+1的值相等,且m≠n,则当x=m+n﹣3时多项式x2﹣4x+1的值为     .
18.(3分)如图,直线l1∥l2∥l3,等腰直角三角形ABC的三个顶点A,B,C分别在l1,l2,l3上,∠ACB=90°,AC交l2于点D,已知l1与l2的距离为1,l2与l3的距 离为3,则 的值为     .
 
 
三、解答题(本大题共10小题,共76分,把解答过程写在答题卷相对应的位置上,解答时应写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明).
19.(5分)计算: ﹣3tan30°﹣( )﹣2.
20.(5分)先化简,再求值: ,其中a满足a2+3a=5.
21.(6分)学校准备随机选出七、八两个年级各1名学生担任领操员.现已知这两个年级分别选送一男、一女共4名学生为备选人,请你利用树状图或列表求选出“一男一女”两名领操员的概率.
22.(6分)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是中线,E是AD的中点,过点A作AF∥BC交BE的延长线于F,连接CF.
(1)求证:AD=AF;
(2)如果AB=AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.
 
23.(8分)某校举行“汉字听写”比赛,每位学生听写汉字39个,比赛结束后随机抽查部分学生的听写结果,以下是根据抽查结果绘制的统计图的一部分.
组别 正确字数x 人数
A 0≤x<8 10
B 8≤x<16 15
C 16≤x<24 25
D 24≤x<32 m
E 32≤x<40 n
根据以上信息解决下列问题:
(1)在统计表中,m=     ,n=     ,并补全条形统计图.
(2)扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是     .
(3)若该校共有900名学生,如果听写正确的个数少于24个定为不合格,请你估计这所学校本次比赛听写不合格的学生人数.
 
24.(8分)某班去看演出,甲种票每张24元,乙种票每张18元.如果35名同学购票恰好用去750元,甲乙两种票各买了多少张?
25.(8分)如图,一次函数y=kx﹣4(k≠0)的图象与y轴交于点A,与反比例函数y= (x>0)的图象交于点B(6,b).
(1)b=     ;k=     .
(2)点C是直线AB上的动点(与点A,B不重合),过点C且平行于y轴的直线l交这个反比例函数的图象于点D,当点C的横坐标为3时,得△OCD,现将△OCD沿射线AB方向平移一定的距离(如图),得到△O′C′D′,若点O的对应点O′落在该反比例函数图象上,求点O′,D′的坐标.
 
26.(10分)如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N,点P在AB的延长线上,且∠CAB=2∠BCP.
(1)求证:直线CP是⊙O的切线.
(2)若BC=2 ,sin∠BCP= ,求点B到AC的距离.
(3)在第(2)的条件下,求△ACP的周长.
 
27.(10分)如图1,在Rt△ABC中,AC=8cm,BC=6cm,D、E分别为边AB、BC的中点,连结DE,点P从点A出发,沿折线AD﹣DE运动,到点E停止,点P在AD上以5cm/s的速度运动,在DE上以1cm/s的速度运动,过点P 作PQ⊥AC于点Q,以PQ为边作正方形PQMN.设点P的运动时间为t(s).
 
(1)当点P在线段DE上运动时,线段DP的长为     cm.(用含t的代数式表示)
(2)当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时,设五边形的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式,并写出t的取值范围.
(3)如图2,若点O在线段BC上,且CO=1,以点O为圆心,1cm长为 半径作圆,当点P开始运动时,⊙O的半径以0.2cm/s的速度开始不断增大,当⊙O与正方形PQMN的边所在直线相切时,求此时的t值.
28.(10分)如图1,抛物线y=ax2﹣6ax+6(a≠0)与x轴交于点A(8,0),与y轴交于点B,在x轴上有一动点E(m,0)(0<m<8),过点E作x轴的垂线交直线AB于点N,交抛物线于点P,过点P作PM⊥AB于点M.
 
(1)分别求出直线AB和抛物线的函数表达式.
(2)设△PMN的面积为S1,△AEN的面积为S2,若S1:S2=36:25,求m的值.
(3)如图2,在(2)条件下,将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′,旋转角为α(0°<α<90°),连接E′A、E′B.
①在x轴上找一点Q,使△OQE′∽△OE′A,并求出Q点的坐标.
②求BE′+ AE′的最小值.
 
 

2017年江苏省苏州中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
 
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
1.(3分)﹣3的相反数是(  )
A.﹣3 B.3 C.  D.
【解答】解:﹣3的相反数是3.
故选:B.
 
2.(3分)北京时间2016年2月11日23点30分,科学家宣布:人类首次直接探测到了引力波,印证了爱因斯坦100年前的预言,引力波探测器LIGO的主要部分是两个互相垂直的长臂,每个臂长4000米,数据4000用科学记数法表 示为(  )
A.0.4×103 B.0.4×104 C.4×103 D.4×104
【解答】解:4000=4×103,故选:C.
 
3.(3分)下列运算中,正确的是(  )
A.  =3 B.(a+b)2=a2+b2 C.( )2= (a≠0) D.a3•a4=a12
【解答】解:(﹣3)3=﹣27,负数没有平方根,故A错误;
(a+b)2=a2+2ab+b2,故B错误;
( )2= ,故C正确;
a3•a4=a7,故D错误.
故选:C.
 
4.(3分)2015年1月份,无锡市某周的日最低气温统计如下表,则这七天中日最低气温的众数和中位数分别是(  )
日期 19 20 21 22 23 24 25
最低气温/℃ 2 4 5 3 4 6 7
A.4,4 B.5,4 C.4,3 D.4,4.5
【解答】解:将一周气温按从小到大的顺序排列为2,3,4,4,5,6,7,
中位数为第四个数4;
4出现了2次,故众数为4.
故选:A.
 
5.(3分)如图所示,AB∥CD,∠CAB=116°,∠E=40°,则∠D的度数是(  )
 
A.24° B.26° C.34° D.22°
【解答】解:∵AB∥CD,∠CAB=116°,
∴∠ACD=180°﹣∠CAB=64°,
∵∠E=40°,
∴∠D=∠ACD﹣∠E=24°.
故选:A.
 
6.(3分)已知反比例函数的图象经过点P(a,a),则这个函数的图象位于(  )
A.第一、三象限 B.第二、三象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限
【解答】解:设反比例函数解析式为y= (k≠0),
∵点P(a,a)在反比例函数图象上,
∴k=a2.
当a≠0时,k=a2>0,反比例函数图象在第一、三象限;
当a=0时,点P为原点,不可能在反比例函数图象上,故无此种情况.
故选:A.
 
7.(3分)五张标有2、6,3,4,1的卡片,除数字外,其它没有任何区别,现将它们背面朝上,从中任取一张,得到卡片的数字为偶数的概率是(  )
A.  B.  C.  D.
【解答】解:在2、6,3,4,1这5张卡片中,数字为偶数的有2、6、4这3张,
∴得到卡片的数字为偶数的概率为 ,
故选:C.
 
8.(3分)因为sin30°= ,sin210°= ,所以sin210°=sin(180°+30°)=﹣sin30°;因为sin45°= ,sin225°= ,所以sin225°=sin(180°+45°)=﹣sin45°,由此猜想,推理知:一般地当α为锐角时有sin(180°+α)=﹣sinα,由此可知:sin240°=(  )
A.  B.  C.  D.
【解答】解:∵当α为锐角时有sin(180°+α)=﹣sinα,
∴sin240°=sin(180°+60°)=﹣sin60°=﹣ .
故选:C.
 
9.(3分)菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示,点B的坐标为(9,3 ),点D是AB的中点,点P在OB上,则△ADP的周长最小值为(  )
 
A.3 +3 B.3 +3 C.3  D.3
【解答】解:如图,连接CD交OB于P,连接PA,此时△AD P的周长最小.作BH⊥x轴于H.
 
∵B(9,3 ),
∴OH=9,BH=3 ,
∵∠BHO=90°,
∴OB= =6 ,
∴OB=2BH,
∴∠BOH=30°,∠OBH=60°,
∵四边形OABC为菱形,
∴设OC=BC=x,
∴CH=OH﹣OC=9﹣x,
在Rt△BCH中,∠BHC=90°,
∴BC2=CH2+BH2,
∴x2=(9﹣x)2+27,
∴x=6,
∴A(3,3 ),B(9,3 ),C(6,0),
∵D为AB中点,
∴D(6,3 ),
∴CD=3 ,AD=3,
∴△ADP的周长的最小值=AD+CD=3+3 ,
故选:B.
 
10.(3分)如图,已知点A是第一象限内横坐标为 的一个定点,AC⊥x轴于点M,交直线y=﹣x于点N,若点P是线段ON上的一个动点,以AP为一边作等边三角形APB(顺时针),取线段AB的中点H,当点P从点O运动到点N时,点H运动的路径长是(  )
 
A.  B.2 C.1 D.
【解答】解:由上图可知,当P在O点时,△AOB1为正三角形,
当P在N点时,△ANB2为正三角形,H1,H2分别为AB1与AB2的中点,
∵P在直线ON上运动,
∴B1B2的运动轨迹也为直线,
∵△OAB1为正三角形,
∴∠OAB1=∠1+∠2=60°,
同理∠NAB2=∠2+∠3=60°,
∴∠1=∠3,
在△OAN与△B1AB2中, ,
∴△OAN≌△B1AB2,
∴B1B2=ON,
∴点A横坐标为 ,
∵AN⊥x轴,
∴M( ,0),
∵直线ON的解析式为:y=﹣x,
∴∠MON=45°,
∴N( ,﹣ ),
∴ON=2=B1B2,
∵H1,H2分别为AB1 与AB2的中点,
∴H1H2= B1B2=1,
故选:C.
 
 
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)
11.(3分)分解因式:x2﹣4= (x+2)(x﹣2) .
【解答】解:x2﹣4=(x+2)(x﹣2).
故答案为:(x+2)(x﹣2).
 
12.(3分)若分式 的值为0,则x的值等于 3 .
【解答】解:由题意得:x﹣3=0,且x≠0,
解得:x=3,
故答案为:3.
 
13.(3分)甲、乙两人进行射击测试,每人20次射击成绩的平均数都是8.5环,方差分别是:S甲2=3,S乙2=2.5,则射击成绩较稳定的是 乙 (填“甲”或“乙”).
【解答】解:∵S甲2=3,S乙2=2.5,
∴S甲2>S乙2,
∴乙的射击成绩较稳定.
故答案为:乙.
 
14.(3分)不等式组 的最大整数解是 2 .
【解答】解: ,
由①得,x<3;
由②得,x≥﹣1;
∴不等式组的解为﹣1≤x<3,
它所包含的整数为﹣1,0,1,2.
∴它的最大整数解为2.
故答案为2.
 
15.(3分)如图,△ABC是⊙O的内接正三角形,⊙O的半径为3,则图中阴影部分的面积是 3π .
 
【解答】解:∵△ABC是等边三角形,
∴∠C=60°,
根据圆周角定理可得∠AOB=2∠C=120°,
∴阴影部分的面积是 =3π,
故答案为:3π.
 
16.(3分)如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠B=45°,AE为BC边上的高,将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB′E,AB′与CD边交于点F,则B′F的长度为 2﹣  .
 
【解答】解:∵在边长为2的菱形ABCD中,∠B=45°,AE为BC边上的高,
∴AE= ,由折叠易得△ABB′为等腰直角三角形,
∴S△ABB′= BA•AB′=2,S△ABE=1,
∴CB′=2BE﹣BC=2 ﹣2,
∵AB∥CD,
∴∠FCB′=∠B=45°,
又由折叠的性质知,∠B′=∠B=45°,
∴CF=FB′=2﹣ .
故答案为:2﹣ .
 
17.(3分)已知当x=m和x=n时,多项式x2﹣4x+1的值相等,且m≠n,则当x=m+n﹣3时多项式x2﹣4x+1的值为 ﹣2 .
【解答】解:∵x=m和x=n时,多项式x2﹣4x+1的值相等,
∴y=x2﹣4x+1的对称轴为直线x= =﹣ ,
解得m+n=4,
∴x =m+n﹣3=4﹣3=1,
x2﹣4x+1=12﹣4×1+1=﹣2.
故答案为:﹣2
 
18.(3分)如图,直线l1∥l2∥l3,等腰直角三角形ABC的三个顶点A,B,C分别在l1,l2,l3上,∠ACB=90°,AC交l2于点D,已知l1与l2的距离为1,l2与l3的距离为3,则 的值为   .

【解答】解:如图,作BF⊥l3,AE⊥l3,
 
∵∠ACB=90°,
∴∠BCF+∠ACE=90°,
∵∠BCF+∠CBF=90°,
∴∠ACE=∠CBF,
在△ACE和△CBF中,
 ,
∴△ACE≌△CBF,
∴CE=BF=3,CF=AE=4,
∵l1与l2的距离为1,l2与l3的距离为3,
∴AG=1,BG=EF=CF+CE=7
∴AB= =5 ,
∵l2∥l3,
∴ =
∴DG= CE= ,
∴BD=BG﹣DG=7﹣ = ,
∴ = .
故答案为: .
 
三、解答题(本大题共10小题,共76分,把解答过程写在答题卷相对应的位置上,解答时应写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明).
19.(5分)计算: ﹣3tan30°﹣( )﹣2.
【解答】解:原式=2 ﹣3× ﹣4= ﹣4.
 
20.(5分)先化简,再求值: ,其中a满足a2+3a=5.
【解答】解:原式= ÷
= ÷
= •
= ,
当a2+3a=5时,原式= .
 
21.(6分)学校准备随机选出七、八两个年级各1名学生担任领操员.现已知这两个年级分别选送一男、一女共4名学生为备选人,请你利用树状图或列表求选出“一男一女”两名领操员的概率.
【解答】解:画树状图如下:
 
由上面的树状图可知,一共有4种情况,一男一女所占的情况有2种,
∴概率为 = .
 
22.(6分)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是中线,E是AD的中点,过点A作AF∥BC交BE的延长线于F,连接CF.
(1)求证:AD=AF;
(2)如果AB=AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.
 
【解答】(1)证明:∵AF∥BC,
∴∠EAF=∠EDB,
∵E是AD的中点,
∴AE=DE,
在△AEF和△DEB中,
 ,
∴△AEF≌△DEB(ASA),
∴AF=BD,
∵在△ABC中,∠BAC=90°,AD是中线,
∴AD=BD=DC= BC,
∴AD=AF;

(2)解:四边形ADCF是正方形.
∵AF=BD=DC,AF∥BC,
∴四边形ADCF是平行四边形,
∵AB=AC,AD是中线,
∴AD⊥BC,
∵AD=AF,
∴四边形ADCF是正方形.
 
23.(8分)某校举行“汉字听写”比赛,每位学生听写汉字39个,比赛结束后随机抽查部分学生的听写结果,以下是根据抽查结果绘制的统计图的一部分.
组别 正确字数x 人数
A 0≤x<8 10
B 8≤x<16 15
C 16≤x<24 25
D 24≤x<32 m
E 32≤x<40 n
根据以上信息解决下列问题:
(1)在统计表中 ,m= 30 ,n= 20 ,并补全条形统计图.
(2)扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是 90° .
(3)若该校共有900名学生,如果听写正确的个数少于24个定为不合格,请你估计这所学校本次比赛听写不合格的学生人数.
 
【解答】解:(1)抽查的总人数是:15÷15%=100(人),
则m=100×30%=30,
n=100×20%=20.
 .
故答案是:30,20;
(2)扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是:360°× =90°.
故答案是:90°;
(3)“听写正确的个数少于24个”的人数有:10+15+25=50 (人).
900× =450 (人).
答:这所学校本次比赛听写不合格的学生人数约为450人.
 
24.(8分)某班去看演出,甲种票每张24元,乙种票每张18元.如果35名同学购票恰好用去750元,甲乙两种票各买了多少张?
【解答】解 :设甲、乙两种票各买x张,y张,根据题意,得:
 ,
解得: ,
答:甲、乙两种票各买20张,15张.
 
25.(8分)如图,一次函数y=kx﹣4(k≠0)的图象与y轴交于点A,与反比例函数y= (x>0)的图象交于点B(6,b).
(1)b= 2 ;k= 1 .
(2)点C是直线AB上的动点(与点A,B不重合),过点C且平行于y轴的直线l交这个反比例函数的图象于点D,当点C的横坐标为3时,得△OCD,现将△OCD沿射线AB方向平移一定的距离(如图),得到△O′C′D′,若点O的对应点O′落在该反比例函数图象上,求点O′,D′的坐标.
 
【解答】解:(1)∵点B在反比例函数y= (x>0)的图象上,
将B(6,b)代入y= ,得b=2,
∴B(6,2),
∵点B在直线y=kx﹣4上,
∴2=6k﹣4,
解得k﹣1,
故答案为:2,1.

(2)∵点C的横坐标为3,
把x=3代入y=x﹣4,得y=﹣1,
∴C(3,﹣1),
∵CD∥y轴,
∴点D的横坐标为3,
把x=3代入y= ,可得y=4,
∴D(3,4).
由平移可得,△OCD≌△O'C'D',
设O'(a, ),则C'(a+3, ﹣1),
∵点C'在直线y=x﹣4上,
∴ ﹣1=a+3﹣4,
∴ =a,
∵a>0,
∴a=2 ,
∴O'(2 ,2 ),
∴D'(2 +3,2 +4).
 
 
26.(10分)如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N,点P在AB的延长线上,且∠CAB=2∠BCP.
(1)求证:直线CP是⊙O的切线.
(2)若BC=2 ,sin∠BCP= ,求点B到AC的距离.
(3)在第(2)的条件下,求△ACP的周长.
 
【解答】解:(1)∵∠ABC=∠ACB且∠CAB=2∠BCP,在△ABC中,∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°
∴2∠BCP+2∠BCA=180°,
∴∠BCP+∠BCA=90°,
又C点在直径上,
∴直线CP是⊙O的切线.

(2)如右图,作BD⊥AC于点D,
∵PC⊥AC
∴BD∥PC
∴∠PCB=∠DBC
∵BC=2 ,sin∠BCP= ,
∴sin∠BCP=sin∠DBC= = = ,
解得:DC=2,
∴由勾股定理得:BD=4,
∴点B到AC的距离为4.

(3)如右图,连接AN,
∵AC为直径,
∴∠ANC=90°,
∴Rt△ACN中,AC= =5,
又CD=2,
∴AD=AC﹣CD=5﹣2=3.
∵BD∥CP,
∴ ,
∴CP= .
在Rt△ACP中,AP= = ,
AC+CP+ AP=5+ + =20,
∴△ACP的周长为20.
 
 
27.(10分)如图1,在Rt△ABC中,AC=8cm,BC=6cm,D、E分别为边AB、BC的中点,连结DE,点P从点A出发,沿折线AD﹣DE运动,到点E停止,点P在AD上以5cm/s的速度运动,在DE上以1cm/s的速度运动,过点P作PQ⊥AC于点Q,以PQ为边作正方形PQMN.设点P的运动时间为t(s).
 
(1)当点P在线段DE上运动时,线段DP的长为 (t﹣1) cm.(用含t的代数式表示)
(2)当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时,设五边形的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式,并写出t的取值范围.
(3)如图2,若点O在线段BC上,且CO=1,以点O为圆心,1cm长为半径作圆,当点P开始运动时,⊙O的半径以0.2cm/s的速度开始不断增大,当⊙O与正方形PQMN的边所在直线相切时,求此时的t值.
【解答】解:(1)由勾股定理可知AB= =10.
∵D、E分别为AB和BC的中点,
∴DE= AC=4,AD= AB=5.
∴点P在AD上的运动时间= =1s,
当点P在线段DE上运动时,DP段的运动时间为(t﹣1)s,
∵DE段运动速度为1cm/s,
∴DP=(t﹣1)cm,
故答案为:t﹣1.
(2)当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时,有一种情况,如下图所示.
 
当正方形的边长大于DP时,重叠部分为五边形,
∴3>t﹣1,t<4,DP>0,
∴t﹣1>0,解得t>1.
∴1<t<4.
∵△DFN∽△ABC,
∴ = = = ,
∵DN=PN﹣PD,
∴DN=3﹣(t﹣1)=4﹣t,
∴ = ,
∴FN= ,
∴FM=3﹣ = ,
S=S梯形FMHD+S矩形DHQP,
∴S= ×( +3)×(4﹣t )+3(t﹣1)=﹣ t2+3t+3(1<t<4).
(3)①当圆与边PQ相切时,如下图,
 
当圆与PQ相切时,r=PE,
由(1)可知,PD=(t﹣1)cm,
∴PE=DE﹣DP=4﹣(t﹣1)=(5﹣t)cm,
∵r以0.2cm/s的速度不断增大,
∴r=1+0.2t,
∴1+0.2t=5﹣t,解得:t= s.
②当圆与MN相切时,r=CM.
 
由(1)可知,DP=(t﹣1)cm,则PE=CQ=(5﹣t)cm,MQ=3cm,
∴MC=mq+cq=5﹣t+3=(8﹣t)cm,
∴1+0.2t=8﹣t,解得:t= s.
∵P到E点停止,
∴t﹣1≤4,即t≤5,
∴t= s(舍),
综上所述,当t= s时,⊙O与正方形PQMN的边所在直线相切.
 
28.(10分)如图1,抛物线y=ax2﹣6ax+6(a≠0)与x轴交于点A(8,0),与y轴交于点B,在x轴上有一动点E(m,0)(0<m<8),过点E作x轴的垂线交直线AB于点N,交抛物线于点P,过点P作PM⊥AB于点M.
 
(1)分别求出直线AB和抛物线的函数表达式.
(2)设△PMN的面积为S1,△AEN的面积为S2,若S1:S2=36:25,求m的值.
(3)如 图2,在(2)条件下,将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′,旋转角为α(0°<α<90°),连接E′A、E′B.
①在x轴上找一点Q,使△OQE′∽△OE′A,并求出Q点的坐标.
②求BE′+ AE′的最小值.
【解答】解:(1)把点A(8,0)代入抛物线y=ax2﹣6ax+6,得64a﹣48a+6=0,
∴16a=﹣6,a=﹣ ,
∴y=﹣ x2+ x+6与y轴交点,令x=0,得y=6,
∴B(0,6).
设AB为y=kx+b过A(8,0),B(0,6),
∴ ,解得: ,
∴直线AB的解析式为y=﹣ x+6.
(2)∵E(m,0),
∴N(m,﹣ m+6),P(m,﹣ m2+ m+6).
∵PE∥OB,
∴△ANE∽△ABO,
∴ = ,
∴ = ,解得:AN= .
∵PM⊥AB,
∴∠PMN=∠NEA=90°.
又∵∠PNM=∠ANE,
∴△NMP∽△NEA.
∵ = ,
∴ = ,
∴PM= AN= × =12﹣ m.
又∵PM=﹣ m2+ m+6﹣6+ m=﹣ m2+3m,
∴12﹣ m=﹣ m2+3m,整理得:m2﹣12m+32=0,解得:m=4或m=8.
∵0<m<8,
∴m=4.
(3)①在(2)的条件下,m=4,
∴E(4,0),
设Q(d,0).
由旋转的性质可知OE′=OE=4,
若 △OQE′∽△OE′A.
∴ = .
∵0°<α<90°,
∴d>0,
∴ = ,解得:d=2,
∴Q(2,0).
②由①可知,当Q为(2,0)时,
△OQE′∽△OE′A,且相似比为 = = = ,
∴ AE′=QE′,
∴BE′+ AE′=BE′+QE′,
∴当E′旋转到BQ所在直线上时,BE′+QE′最小,即为BQ长度,
∵B(0,6),Q(2,0),
∴BQ= =2 ,
∴BE′+ AE′的最小值为2 .

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来源莲山
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