2018年驻马店市正阳县中考数学二模试卷(有答案和解释)

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2018年驻马店市正阳县中考数学二模试卷(有答案和解释)

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2018年河南省驻马店市正阳县中考数学二模试卷
 
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.(3分)﹣ 的相反数是(  )
A.  B.﹣  C .2018 D.﹣2018
2.(3分)俗话说:“水滴石穿”,水滴不断的落在一块石头的同一个位置,经过若干年后,石头上形成了一个深度为0.000000039cm的小洞,则0.000000039用科学记数法可表示为(  )
A.3.9×10﹣8 B.﹣3.9×10﹣8 C.0.39×10﹣7 D.39×10﹣9
3.(3分)  “2018年平昌冬季奥运会”的颁奖台如图所示,它的俯视图是(  )
 
A.  B.  C.  D.
4.(3分)下列运算正确的是(  )
A.x2+x2=x4 B.a3•a2=a6 C.(2x2)3=6x6  D.|1﹣ |= ﹣1
5.(3分)某人打靶五次的环数如下:1,4,6,8,x,其中整数x是这组数据的中位数,那么这组数据的平均数是(  )
A.4.8 B.4.8或5 C.4.6或4.8 D.4.6或4.8或5
6.(3分)不等式组 的非正整数解的个数是(  )
A.4 B.5 C.6 D.7
7.(3分)如图,在△ABC中,AB=AC,若以点B为圆心,BC长为半径作弧,交AC于点 E,则下列结论一定正确的是(  )
 
 A.AE=BE B.BE是∠ABC的角平分线
C.∠A=∠EBC D.AE=BC
8.(3分)如图,在△ABC中,点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点,要判定四边形DBFE是菱形,下列所添加条件不正确的是(  )
 
A.AB=AC B.AB=BC C.BE平分∠ABC D.EF=CF
9.(3分)已知二次函数y=a(x﹣m)2﹣n的图象如图所示,则一次函数y=mx+a与反比例函数y=﹣ 在同一坐标系内的图象可能是(  )
 
A.  B.  C.  D.
10.(3分)如图,在正方形ABCD中,A B=3cm,动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动,同时动点N自D点出发沿折线DC﹣CB以每秒2cm的速度运动,到达B点时运动同时停止,设△AMN的面积为y(cm2),运动时间为x(秒),则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是(  )
 
A.  B.  C.  D.
 
二、填空题(每小题3分,共15分)
11.(3分) +(﹣2)0=     .
12.(3分)若点M(x1,y1)在函数y=kx+b(k≠0)的图象上,当﹣1≤x1≤2时,﹣2≤y1≤1,则这条直线的函数解析式为     .
13.(3分)若关于x的一元二次方程(1﹣k)x2+2kx﹣k+1=0有实数根,则实数k的取值范围是     .
14.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠B=60°,AB=1,现将△ABC绕点A逆时针旋转至点B恰好落在BC上的B'处,其中点C运动路径为 ,则图中阴影部分的面积是     .
 
15.(3分)如图,等边三角形ABC的边长为2,D、E分别是边AB、AC上的点,沿DE所在的直线折叠∠A,使点A的对应点P始终落在边BC上,若△BDP是直角三角形,则AD的长为     .
 
 
三、解答题(本大题共8小题,满分75分)
16.(8分)先化简,再求值: ,其中x是方程x2﹣3x﹣4=0的一个解.
17.(9分)电视热播节目“最强大脑”激发了学生的思考兴趣,为满足学生的需求,某学校抽取部分学生举行“最强大脑”选拔赛,针对竞赛成绩分成以下六个等级A:0~50分;B:51~60分;C:61~70分;D:71~80分;E:81~90分;F:91~100分,根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图,请你根据统计图解答下列问题:
(1)此次竞赛抽取的总人数为     ,请补全条形统计图;
(2)若全市约有3万名在校学生,试估计全市学生中竞赛成绩在71~90分的人数约有多少?
(3)若在此次接受调查的学生中,随机抽查一人,则此人的成绩在80分以上的概率是多少?
 
18.(9分)如图,在等腰△ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O交边BC于点D,过点D作DE⊥AC交AC于点E,延长ED交AB的延长线于点F.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若AB=8,AE=6,求BF的长.
 
19.(9分)位于河南省郑州市的炎黄二帝巨型塑像,是为代表中华民族之创始、之和谐、之统一.塑像由山体CD和头像AD两部分组成.某数学兴趣小组在塑像前50米处的B处测得山体D处的仰角为45°,头像A处的仰角为70.5°,求头像AD的高度.(最后结果精确到0.1米,参考数据:sin70.5°≈0.943,cos70.5°≈0.334,tan70.5°≈2.824)
 
20.(9分)如图,一次函数y=x﹣2与反比例函数y= (x>0)的图象相交于点M(m,1).
(1)填空:m的值为     ,反比例函数的解析式为     ;
(2)已知点N(n,n),过点N作l1∥x轴,交直线y=x﹣2于点A,过点N作l2∥y轴,交反比例函数y= (x>0)的图象与点B,试用n表示△NAB的面积S.
 
21.(10分)植树节来临之际,学校准备购进一批树苗,已知2棵甲种树苗和5棵乙种树苗共需113元;3棵甲种树苗和2棵乙种树苗共需87元.
(1)求一棵甲种树苗和一棵乙种树苗的售价各是多少元?
(2)学校准备购进这两种树苗共100棵,并且乙种树苗的数量不多于甲种树苗数量的2倍,请设计出最省钱的购买方案,并求出此时的总费用.
22.(10分)(1)观察猜想:
在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D在边BC上,连接AD,把△ABD绕点A逆时针旋转90°,点D落在点E处,如图①所示,则线段CE和线段BD的数量关系是     ,位置关系是     .
(2)探究证明:
在(1)的条件下,若点D在线段BC的延长线上,请判断(1)中结论是还成立吗?请在图②中画出图形,并证明你的判断.
(3)拓展延伸:
如图③,∠BAC≠90°,若AB≠AC,∠ACB=45°,AC= ,其他条件不变,过点D作DF⊥AD交CE于点F,请直接写出线段CF 长度的最大值.
 
23.(11分)如图,在平面直角坐标系中,直线l:y=kx+h与x轴相交于点A(﹣1,0),与y轴相交于点C,与抛物线y=﹣x2+bx+3的一交点为点D,抛物线过x轴上的AB两点,且CD=4AC.
(1)求直线l和抛物线的解析式;
(2)点E是直线l上方抛物线上的一动点,求当△ADE面积最大时,点E的坐标;
(3)设P是抛物线对称轴上的一点,点Q在抛物线上,四边形APDQ能否为矩形?若能,请直接写出点P的坐标;若不能,请说明理由.
 
 
 

2018年河南省驻马店市正阳县中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
 
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.(3分)﹣ 的相反数是(  )
A.  B.﹣  C.2018 D.﹣2018
【解答】解:﹣ 的相反数是 ,
故选:A.
  
2.(3分)俗话说:“水滴石穿”,水滴不断的落在一块石头的同一个位置,经过若干年后,石头上形成了一个深度为0.000000039cm的小洞,则0.000000039用科学记数法可表示为(  )
A.3.9×10﹣8 B.﹣3.9×10﹣8 C.0.39×10﹣7 D.39×10﹣9
【解答】解:0.000000039=3.9×10﹣8.
故选:A.
 
3.(3分)“2018年平昌冬季奥运会”的颁奖台如图所示,它的俯视图是(  )
 
A.  B.  C.  D.
【解答】解:从上边看是水平排列的等宽的三个矩形,
故选:C.
 
4.(3分)下列运算正确的是(  )
A.x2+x2=x4 B.a3•a2=a6 C.(2x2)3=6x6 D.|1﹣ |= ﹣1
【解答】解:A、x2+x2=2 x2,错误;
B、a3•a2=a5,错误;
C、(2x2)3=8x6,错误;
D、|1﹣ |= ﹣1,正确;
故选:D.
 
5.(3分)某人打靶五次的环数如下:1,4,6,8,x,其中整数x是这组数据的中位数,那么这组数据的平均数是(  )
A.4.8 B.4.8或5 C.4.6或4.8 D.4.6或4.8或5
【解答】解:∵在1,4,x,6,8这组数据中,x是数据的中位数,
∴x=4或x=5或x=6,
当x=4时,平均数为 =4.6;
当x=5时,平均数为 =4.8;
当x=6时,平均数为 =5;
故选:D.
 
6.(3分)不等式组 的非正整数解的个数是(  )
A.4 B.5 C.6 D.7
【解答】解:解不等式 x+3≥1,得:x≥﹣4,
解不等式﹣3x+6>4,得:x< ,
则不等式组的解集为﹣4≤x< ,
所以不等式组的非正整数解有﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0这5个,
故选:B.
 
7.(3分)如图,在△ABC中,AB=AC,若以点B为圆心,BC长为半径作弧,交AC于点E,则下列结论一定正确的是(  )
 
A.AE=BE B.BE是∠ABC的角平分线
C.∠A=∠EBC D.AE=BC
【解答】解:∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∵以点B为圆心,BC长为半径画弧,交腰AC于点E,
∴BE=B C,
∴∠ACB=∠BEC,
∴∠BEC=∠ABC=∠ACB,
∴∠BAC=∠EBC,
故选:C.
 
8.(3分)如图,在△ABC中,点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点,要判定四边形DBFE是菱形,下列所添加条件不正确的是(  )
 
A.AB=AC B.AB=BC C.BE平分∠ABC D.EF=CF
【解答】解:当AB=BC时,四边形DBFE是菱形;
理由:∵点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点,
∴DE∥BC,EF∥AB,
∴四边形DBFE是平行四边形,
∵DE= BC,EF= AB,
∴DE=EF,
∴四边形DBFE是菱形.
故选:A.
 
9.(3分)已知二次函数y=a(x﹣m)2﹣n的图象如图所示,则一次函数y=mx+a与反比例函数y=﹣ 在同一坐标系内的图象可能是(  )
 
A.  B.  C.  D.
【解答】解:∵抛物线开口向上,
∴a>0,
由图可知,m<0,n<0,
∴mn>0,
∴一次函数y=mx+a的图象过第一、二、四象限,反比例函数y=﹣ 分布在第二、四象限.
故选:B.
 
10.(3分)如图,在正方形ABCD中,AB=3cm,动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动,同时动点N自D点出发沿折线DC﹣CB以每秒2cm的速度运动,到达B点时运动同时停止,设△AMN的面积为y(cm2),运动时间为x(秒),则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是(  )
 
A.  B.  C.  D.
【解答】解:∵点N自D点出发沿折线DC﹣CB以每秒2cm的速度运动,到达B点时运动同时停止,
∴N到C的时间为:t=3÷2=1.5,
分两部分:
①当0≤x≤1.5时,如图1,此时N在DC上,
S△AMN=y= AM•AD= x×3= x,
②当1.5<x≤3时,如图2,此时N在BC上,
∴DC+CN=2x,
∴BN=6﹣2x,
∴S△AMN=y= AM•BN= x(6﹣2x)=﹣x2+3x,
故选:A.
 
 
 
二、填空题(每小题3分,共15分)
11.(3分) +(﹣2)0= 10 .
【解答】解:原式=9+1
=10.
故答案为:10.
 
12.(3分)若点M(x1,y1)在函数y=kx+b(k≠0)的图象上,当﹣1≤x1≤2时,﹣2≤y1≤1,则这条直线的函数解析式为 y=x﹣1或y=﹣x .
【解答】解:
∵点M(x1,y1)在直线y=kx(k≠0)上,﹣1≤x1≤2时,﹣2≤y1≤1,
∴点(﹣1,﹣2)或(﹣1,1)都在直线上,
∴k=﹣1或1,
∴y=x﹣1或y=﹣x,
故答案为:y=x﹣1或y=﹣x.
 
13.(3分)若关于x的一元二次方程(1﹣k)x2+2kx﹣k+1=0有实数根,则实数k的取值范围是 k 且k≠1 .
【解答】解:∵关于x的一元二次方程(1﹣k)x2+2kx﹣k+1=0有实数根,
∴ ,
解得:k 且k≠1.
故答案为:k 且k≠1.
 
14.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠B=60°,AB=1,现将△ABC绕点A逆时针旋转至点B恰好落在BC上的B'处,其中点C运动路径为 ,则图中阴影部分的面积是   .
 
【解答】解:Rt△ABC中,∠B=60°,AB=1,
∴BC=2AB=2,AC= AB= ,
由旋转的性质可知,∠CAC′=60°,AC′=AC= ,AB′=AB,
∴△AB′B为等边三角形,
∴BB′=1,即B′是BC的中点,
∴S△AB′C= S△ABC= ×1× × = ,
S扇形C′AC= = ,
∴图中阴影部分的面积= + ,
故答案为:  + .
 
15.(3分)如图,等边三角形ABC的边长为2,D、E分别是边AB、AC上的点,沿DE所在的直线折叠∠A,使点A的对应点P始终落在边BC上,若△BDP是直角三角形,则AD的长为 4 ﹣6或3﹣  .
 
【解答】解:∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=60°,
由折叠的性质可知,AD=DP,
设AD=DP=x,则BD=2﹣x,
当∠DPB=90°时,  =sinB= ,即 = ,
解得,x =4 ﹣6,
当∠BDP=90°时,  =tanB= ,即 = ,
解得,x=3﹣ ,
故答案为:4 ﹣6或3﹣ .
 
三、解答题(本大题共8小题,满分75分)
16.(8分)先化简,再求值: ,其中x是方程x2﹣3x﹣4=0的一个解.
【解答】解:原式= ÷
= ÷
= •
= ,
解方程x2﹣3x﹣4=0,得:x=﹣1或x=4,
要是分式有意义,则x≠0、1、﹣1,
∴x=4,
当x=4时,原式=2.
 
17.(9分)电视热播节目“最强大脑”激发了学生的思考兴趣,为满足学生的需求,某学校抽取部分学生举行“最强大脑”选拔赛,针对竞赛成绩分成以下六个等级A:0~50分;B:51~60分;C:61~70分;D:71~80分;E:81~90分;F :91~100分,根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图,请你根据统计图解答下列问题:
(1)此次竞赛抽取的总人数为 1000 ,请补全条形统计图;
(2)若全市约有3万名在校学生,试估计全市学生中竞赛成绩在71~90分的人数约有多少?
(3)若在此次接受调查的学生中,随机抽查一人,则此人的成绩在80分以上的概率是多少?
 
【解答】解:(1)此次竞赛抽取的总人数为200÷20%=1000,
则B等级人数为1000﹣(200+400+200+50+50)=100,
补全图形如下:
 

(2)30000×(20%+5%)=7500(人),
答:估计全市学生中竞赛成绩在71~90分的人数约有7500人;

(3)5%+5%=10%= ,
所以此人的成绩在80分以上的概率是 .
 
18.(9分)如图,在等腰△ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O交边BC于点D,过点D作DE⊥AC交AC于点E,延长ED交AB的延长线于点F.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若AB=8,AE=6,求BF的长.
 
【解答】(1)证明:连接OD,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C,
∵OB=OD,
∴∠ABC=∠ODB,
∴∠ODB=∠C,
∴OD∥AC,又DE⊥AC,
∴OD⊥DE,
∴DE是⊙O的切线;
(2)解:∵OD∥AC,
∴△FOD∽△FAE,
∴ = ,即 = ,
解得,BF=4.
 
 
19.(9分)位于河南省郑州市的炎黄二帝巨型塑像,是为代表中华民族之创始、之和谐、之统一.塑像由山体CD和头像AD两部分组成.某数学兴趣小组在塑像前50米处的B处测得山体D处的仰角为45°,头像A处的仰角为70.5°,求头像AD的高度.(最后结果精确到0.1米,参考数据:sin70.5°≈0.943,cos70.5°≈0.334,tan70.5°≈2.824)
 
【解答】解:在Rt△ABC中,∵∠ABC=70.5°,
∴AC=BCtan∠ABC=50tan70.5°≈50×2.824≈141.2,
在Rt△DBC中,∵∠DBC=45°,
∴DC=BC=50,
则AD=AC﹣DC≈141.2﹣50=91.2,
答:头像AD的高度约为91.2米.
 
20.(9分)如图,一次函数y=x﹣2与反比例函数y= (x>0)的图象相交于点M(m,1).
(1)填空:m的值为 3 ,反比例函数的解析式为 y=  ;
(2)已知点N(n,n),过点N作l1∥x轴,交直线y=x﹣2于点A,过点N作l2∥y轴,交反比例函数y= (x>0)的图象与点B,试用n表示△NAB的面积S.
 
【解答】解:(1)把M(m,1)代入一次函数y=x﹣2,可得
1=m﹣2,
解得m=3,
把M(3,1)代入反比例函数y= (x>0),可得
k=3×1=3,
∴反比例函数的解析式为y= ,
故答案为:3,y= ;

(2)由题可得,点N与点A的纵坐标相同,均为n,
将y=n代入y=x﹣2中,得x=n+2,
∴A(n+2,n),
∴AN=n+2﹣n=2,
由题可得,点N与点B的横坐标相同,均为n,
将x=n代入y= 中,得y= ,
∴B(n, ),
∴BN=| ﹣n|,
∴S△NBA= ×2×| ﹣n|=| ﹣n|.
 
 
21.(10分)植树节来临之际,学校准备购进一批树苗,已知2棵甲种树苗和5棵乙种树苗共需113元;3棵甲种树苗和2棵乙种树苗共需87元.
(1)求一棵甲种树苗和一棵乙种树苗的售价各是多少元?
(2)学校准备购进这两种树苗共100棵,并且乙种树苗的数量不多于甲种树苗数量的2倍,请设计出最省钱的购买方案,并求出此时的总费用.
【解答】解:(1)设一棵甲种树苗的售价为x元,一棵乙种树苗的售价为y元,依题意得
 ,
解得 ,
∴一棵甲种树苗的售价为19元,一棵乙种树苗的售价为15元;

(2)设购买甲种树苗a棵,则购买乙种树苗(100﹣a)棵,总费用为w元,依题意得
w=19a+15(100﹣a)=4a+1500,
∵4>0,
∴w随着a的增大而增大,
∴当a取最小值时,w有最大值,
∵100﹣a≤2a,
∴a≥ ,a为整数,
∴当a=34时,w最小=4×34+1500=1636(元),
此时,100﹣34=66,
∴最省钱的购买方案为购买甲种树苗34棵,购买乙种树苗66棵,总费用为1636元.
 
22.(10分)(1)观察猜想:
在Rt△ABC中,∠BAC=9 0°,AB=AC,点D在边BC上,连接AD,把△ABD绕点A逆时针旋转90°,点D落在点E处,如图①所示,则线段CE和线段BD的数量关系是 CE=BD ,位置关系是 CE⊥BD .
(2)探究证明:
在(1)的条件下,若点D在线段BC的延长线上,请判断(1)中结论是还成立吗?请在图②中画出图形,并证明你的判断.
(3)拓展延伸:
如图 ③,∠BAC≠90°,若AB≠AC,∠ACB=45°,AC= ,其他条件不变,过点D作DF⊥AD交CE于点F,请直接写出线段CF长度的最大值.
 
【解答】解:(1)①∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,
∴AD=AE,∠BAD=∠CAE,
∴△BAD≌△CAE,
∴CE=BD,∠ACE=∠B,
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°,
∴BD⊥CE;
故答案为:CE=BD,CE⊥BD.

(2)(1)中的结论仍然成立.理由如下:
如图,∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,
∴AE=AD,∠DAE=90°,
∵AB=AC,∠BAC=90°
∴∠CAE=∠BAD,
∴△ACE≌△ABD,
∴CE=BD,∠ACE=∠B,
∴∠BCE=90°,即CE⊥BD,
∴线段CE,BD之间的位置关系和数量关系分别为:CE=BD,CE⊥BD.

(3)如图3,过A作AM⊥BC于M,EN⊥AM于N,
∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE
∴∠DAE=90°,AD=AE,
∴∠NAE=∠ADM,
易证得Rt△AMD≌Rt△ENA,
∴NE=AM,
∵∠ACB=45°,
∴△AMC为等腰直角三角形,
∴AM=MC,
∴MC=NE,
∵AM⊥BC,EN⊥AM,
∴NE∥MC,
∴四边形MCEN为平行四边形,
∵∠AMC=90°,
∴四边形MCEN为矩形,
∴∠DCF=90°,
∴Rt△AMD∽Rt△DCF,
∴ = ,
设DC=x,
 ∵∠ACB=45°,AC= ,
∴AM=CM=1,MD=1﹣x,
∴ = ,
∴CF=﹣x2+x=﹣(x﹣ )2+ ,
∴当x= 时有最大值,CF最大值为 .
 
 
 
23.(11分)如图,在平面直角坐标系中,直线l:y=kx+h与x轴相交于点A(﹣1,0),与y轴相交于点C,与抛物线y=﹣x2+bx+3的一交点为点D,抛物线过x轴上的AB两点,且CD=4AC.
(1)求直线l和抛物线的解析式;
(2)点E是直线l上方抛物线上的一动点,求当△ADE面积最大时,点E的坐标;
(3)设P是抛物线对称轴上的一点,点Q在抛物线上,四边形APDQ能否为矩形?若能,请直接写出点P的坐标;若不能,请说明理由.
 
【解答】解:(1)将A(﹣1,0)代入y=﹣x2+bx+3,得b=2,
所以抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3,
过点D作DF⊥x轴于点F,如图1
 
易证△AOC∽△AFD,
∴ ,
∵CD=4AC,
∴ = ,
∴点D横坐标为4,
把x=4代入y=﹣x2+2x+3,得y=﹣5,
∴D(4,﹣5),
把x=4,y=﹣5;x=﹣1,y=0代入y=kx+h,
解得,k=﹣1,h=﹣1,
∴直线l的解析式为y=﹣x﹣1.
(2)过点E作EM⊥x轴,交AD于点M,如图2
 
设点E(m,﹣m2+2m+3),则M(m,﹣m﹣1),
∴EM=﹣m2+2m+3﹣(﹣m﹣1)═﹣m2+3m+4,
∴S△ADE= (﹣m2+3m+4)= ,
当m= 时,△ADE的面积最大,
此时,E( , ).
(3)不存在
理由如下:
∵抛物线的对称轴为直线x=1,
设P(1,m),

①若AD是平行四边形ADPQ的一条边,如图3
则易得Q(﹣4,﹣21),
m=﹣21﹣5=﹣26,则P(1,﹣26),
此时AQ2=32+212=450,QP2=52+52=50,AP2=22+262=680,
∴AQ2+QP2≠AP2,
∴∠AQP≠90°,
此时平行四边形ADPQ不是矩形;
 

②若AD是平行四边形APDQ的对角线,如图4
则易得Q(2,3),
m=﹣5a﹣3=﹣8,则P(1,﹣8),
PQ2=12+112=122,PD2=32+32=18QD2=22+82=68,
∴PD2+QD2≠PQ2,
∴∠PDQ≠90°,
此时平行四边形ADPQ不是矩形,
 
综上所述,四边形APDQ不能为矩形.

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