2018年上海市虹口区中考数学二模试卷(附答案和解释)

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2018年上海市虹口区中考数学二模试卷(附答案和解释)

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章 来源莲山课件 ww w.
5 Y k j.CoM

2018年上海市虹口区中考数学二模试卷
 
一、选择题:(本大题共6题,每题4分,满分24分)[下列各题的四个选项中,有且只有一个选项是正确的,选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.]
1.(4分)下列实数中,有理数是(  )
A.  B.  C.π D.0
2.(4分)如果关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是(  )
A.k<1 B.k<1且k≠0 C.k>1 D.k>1且k≠0.
3.(4分)如果将抛物线y=x2向左平移1个单位,那么所得新抛物线的表达式是(  )
A.y=x2+1 B.y=x2﹣1 C.y=(x+1)2 D.y=(x﹣1)2.
4.(4分)如图,是某中学九(3)班学生外出方式(乘车、步行、骑车)的不完整频数(人数)分布直方图.如果乘车的频率是0.4,那么步行的频率为(  )
 
A.0.4 B.0.36 C.0.3 D.0.24
5.(4分)数学课上,小明进行了如下的尺规作图(如图所示):
(1)在△AOB(OA<OB)边OA、OB上分别截取OD、OE,使得OD=OE;
(2)分别以点D、E为圆心,以大于 DE为半径作弧,两弧交于△AOB内的一点C;
(3)作射线OC交AB边于点P.
那么小明所求作的线段OP是△AOB的(  )
 
A.一条中线 B.一条高 C.一条角平分线 D.不确定
6.(4分)如图,在矩形ABCD中,点E是CD的中点,联结B E,如果AB=6,BC=4,那么分别以AD、BE为直径的⊙M与⊙N的位置关系是(  )
 
A.外离 B.外切 C.相交 D.内切
 
二、填空题:(本大题共12题,每题4分,满分48分)[请将结果直接填入答题纸的相应位置]
7.(4分)a6÷a2=     .
8.(4分)某病毒的直径是0.000 068毫米,这个数据用科学记数法表示为     毫米.
9.(4分)不等式组 的解集是     .
10.(4分)方程 的解为     .
11.(4分)已知反比例函数 ,如果当x>0时,y随自变量x的增大而增大,那么a的取值范围为     .
12.(4分)请写出一个图象的对称轴为y轴,开口向下,且经过点(1,﹣2)的二次函数解析式,这个二次函数的解析式可以是     .
13.(4分)掷一枚材质均匀的骰子,掷得的点数为素数的概率是     .
14.(4分)在植树节当天,某校一个班的学生分成10个小组参加植树造林活动,如果10个小组植树的株数情况见下表,那么这10个小组植树株数的平均数是     株.
植树株数(株) 5 6 7
小组个数 3 4 3
15.(4分)如果正六边形的两条平行边间的距离是 ,那么这个正六边形的边长为     .
16.(4分)如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,如果 , ,那么用向量 、 表示向量 是     .
 
17.(4分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,sinA= ,CD为AB边上的中线,以点B为圆心,r为半径作⊙B.如果⊙B与中线CD有且只有一个公共点,那么⊙B的半径r的取值范围为     .
 
18.(4分)如图,在△ABC中,AB=AC,BC=8,tanB= ,点D是AB的中点,如果把△BCD沿直线CD翻折,使得点B落在同一平面内的B′处,联结A B′,那么A B′的长为     .
 
 
三、解答题(本大题共7题,满分78分)
 19.(10分)先化简,再求值: ,其中 .
20.(10分)解方程组:
21.(10分)如图,在△ABC中,sinB= ,点F在BC上,AB=AF=5,过点F作EF⊥CB交AC于点E,且AE:EC=3:5,求BF的长与sinC的值.
 
22.(10分)甲、乙两车需运输一批货物到600公里外的某地,原计划甲车的速度比乙车每小 时多10千米,这样甲车将比乙车早到2小时.实际甲车以原计划的速度行驶了4小时后,以较低速度继续行驶,结果甲、乙两车同时到达.
x(小时)y(千米)
(1)求甲车原计划的速度;
(2)如图是甲车行驶的路程y(千米)与时间x(小时)的不完整函数图象,那么点A的坐标为      ,点B的坐标为     ,4小时后的y与x 的函数关系式为     (不要求写定义域).
 
23.(12分)如图,四边形ABCD是矩形,E是对角线AC上的一点,EB=ED且∠ABE=∠ADE.
(1)求证:四边形ABCD是正方形;
(2)延长DE交BC于点F,交AB的延长线于点G,求证 :EF•AG=BC•BE.
 
24.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2﹣2x+c与直线y=﹣ x+3分别交于x轴、y轴上的B、C两点,抛物线的顶点为点D,联结CD交x轴于点E.
(1)求抛物线的解析式以及点D的坐标;
(2)求tan∠BCD;
(3)点P在直线BC上,若∠PEB=∠BCD,求点P的坐标.
 
25.(14分)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,DC =5,以CD为半径的⊙C与以AB为半径的⊙B相交于点E、F,且点E在BD上,联结EF交BC于点G.
(1)设BC与⊙C相交于点M,当BM=AD时,求⊙B的半径;
(2)设BC=x,EF=y,求y关于x的函数关系式,并写出它的定义域;
(3)当BC=10时,点P为平面内一点,若⊙P与⊙C相交于点D、E,且以A、E、P、D为顶点的四边形是梯形,请直接写出⊙P的面积.(结果保留π)
 
 
 

2018年上海市虹口区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
 
一、选择题:(本大题共6题,每题4分,满分24分)[下列各题的四个选项中,有且只有一个选项是正确的,选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.]
1.(4分)下列实数中,有理数是(  )
A.  B.  C.π D.0
【解答】解: , ,π是无理数,
0是有理数,
故选:D.
 
2.(4分)如果关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是(  )
A.k<1 B.k<1且k≠0 C.k>1 D.k>1且k≠0.
【解答】解:
∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根,
∴△>0,即(﹣2)2﹣4k>0,解得k<1,
故选:A.
 
3.(4分)如果将抛物线y=x2向左平移1个单位,那么所得新抛物线的表达式是(  )
A.y=x2+1 B.y=x2﹣1 C.y=(x+1)2 D.y=(x﹣1)2.
【解答】解:∵抛物线y=x2向左平移1个单位后,所得新抛物线的表达式为y=(x+1)2,
故选:C.
 
4.(4分)如图,是某中学九(3)班学生外出方式(乘车、步行、骑车)的不完整频数(人数)分布直方图.如果乘车的频率是0.4,那么步行的频率为(  )
 
A.0.4 B.0.36 C.0.3 D.0.24
【解答】解:∵乘车的有20人,它的频率是0.4,
∴总人数是 =50人,
∴步行的频率为 =0.36;
故选:B.
 
5.(4分)数学课上,小明进行了如下的尺规作图(如图所示):
(1)在△AOB(OA<OB)边OA、OB上分别截取OD、OE,使得OD=OE;
(2)分别以点D、E为圆心,以大于 DE为半径作弧,两弧交于△AOB内的一点C;
(3)作射线OC交AB边于点P.
那么小明所求作的线段OP是△AOB的(  )
 
A.一条中线 B.一条高 C.一条角平分线 D.不确定
【解答】解:利用作法可判断OC平分∠AOB,
所以OP为△AOB的角平分线.
故选:C.
 
6.(4分)如图,在矩形ABCD中,点E是CD的中点,联结BE,如果AB=6,BC=4,那么分别以AD、BE为直径的⊙M与⊙N的位置关系是(  )
 
A.外离 B.外切 C.相交 D.内切
【解答】解:如图所示:连接MN,
可得M是AD的中点,N是BE的中点,
则MN是梯形ABED的中位线,
则MN= (AB+DE)=4.5,
∵EC=3,BC=AD=4,
∴BE=5,
则⊙N的半径为2.5,
⊙M的半径为2,
则2+2.5=4.5.
故⊙M与⊙ N的位置关系是:外切.
故选:B.

 
二、填空题:(本大题共12题,每题4分,满分48分)[请将结果直接填入答题纸的相应位置]
7.(4分)a6÷a2= a4 .
【解答】解:a6÷a2=a4.
故答案为:a4.
 
8.(4分)某病毒的直径是0.000 068毫米,这个数据用科学记数法表示为 6.8×10﹣5 毫米.
【解答】解:0.000 068=6.8×10﹣5.
故答案为:6.8×10﹣5.
 
9.(4分)不等式组 的解集是 x<﹣1 .
【解答】解: ,
解不等式①,得x<﹣1,
解不等式②,得x<2,
所以不等式组的解集为:x<﹣1.
 
10.(4分)方程 的解为 x=1 .
【解答】解:两边平方得:﹣x+2=x2,即(x﹣1)(x+2)=0,
解得:x=1或x=﹣2,
经检验x=﹣2是增根,无理方程的解为x=1,
故答案为:x=1
 
11.(4分)已知反比例函数 ,如果当x>0时,y随自变量x的增大而增大,那么a的取值范围为 a>3 .
【解答】解:∵反比例函数 ,如果当x>0时,y随自变量x的增大而增大,
∴3﹣a<0,
解得,a>3,
故答案为:a>3.
 
12.(4分)请写出一个图象的对称轴为y轴,开口向下,且经过点(1,﹣2)的二次函数解析式,这个二次函数的解析式可以是 y=﹣x2﹣1等(答案不唯一) .
【解答】解:∵对称轴为y轴,
∴设二次函数解析式为y=ax2+c,
将(1,﹣2)代入解析式,得a+c=﹣2,
不防取a=﹣1,c=﹣1,得解析式为y=﹣x2﹣1,答案不唯一.
故答案为:y=﹣x2﹣1等(答案不唯一).
 
13.(4分)掷一枚材质均匀的骰子,掷得的点数为素数的概率是   .
【解答】解:掷一枚质地均匀的骰子,掷得的点数可能是1、2、3、4、5、6中的任意一个数,
共有六种可能,其中2、3、5是素数,
所以概率为 = ,
故答案为: .
 
14.(4分)在植树节当天,某校一个班的学生分成10个小组参加植树造林活动,如果10个小组植树的株数情况见下表,那么这10个小组植树株数的平均数是 6 株.
植树株数(株) 5 6 7
小组个数 3 4 3
【解答】解:这10个小组植树株数的平均数是 =6(株),
故答案为:6.
 
15.(4分)如果正六边形的两条平行边间的距离是 ,那么这个正六边形的边长为 2 .
【解答】解:如图所示,
∵此正多边形是正六边形,
∴∠ABC=120°,
连接AC,过B作BD⊥AC于点D,
∵AC=2 ,
∴AD= ,∠ABD= ∠ABC=60°,
∴AB= = =2.
故答案为:2.
 
 
16.(4分)如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,如果 , ,那么用向量 、 表示向量 是   ﹣   .
 
【解答】解:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴ =  =  ,  =  =﹣  ,
∴ = + =  ﹣  .
故答案为:   ﹣  .
 
17.(4分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,sinA= ,CD为AB边上的中线,以点B为圆心,r为半径作⊙B.如果⊙B与中线CD有且只有一个公共点,那么⊙B的半径r的取值范围为 5<r≤6或  .
 
【解答】解:∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,sinA= ,
∴BC=6,AC=8,
∵CD为AB边上的中线,
∴CD =BD=5,
∴CD边的高=6×8÷2÷2×2÷5= ,
∵⊙B与中线CD有且只有一个公共点,
∴⊙B的半径r的取值范围为5<r≤6或 .
故答案为:5<r≤6或 .
 
18.(4分)如图,在△ABC中,AB=AC,BC=8,tanB= ,点D是AB的中点,如果把△BCD沿直线CD翻折,使得点B落在同一平面内的B′处,联结A B′,那么A B′的长为   .
 
【解答】解:如图,作AE⊥BC于E,DK⊥BC于K,连接BB′交CD于H.
 
∵AB=AC,AE⊥BC,
∴BE=EC=4,
在Rt△ABE中,∵tanB= = ,
∴AE=6,AB= =2 ,
∵DK∥AE,BD=AD,
∴BK=EK=2,
∴DK= AE=3,
在Rt△CDK中,CD= =3 ,
∵B、B′关于CD对称,
∴BB′⊥CD,BH=HB′
∵S△BDC= •BC•DK = •CD•BH,
∴BH= ,
∴BB′= ,
∵BD=AD=DB′,
∴∠AB′B=90°,
∴AB′= = ,
故答案为 .
 
三、解答题(本大题共7题,满分78分)
19.(10分)先化简,再求值: ,其中 .
【解答】解:原式=
=
= ,
当 时,
原式= =﹣7﹣4 .
 
20.(10分)解方程组:
【解答】解:由①得,x﹣2y=2或x﹣2y=﹣2
将它们与方程②分别组成方程组,得:  
解 ,得 ;
解 得 .
所以原方程组的解为: , .
 
21.(10分)如图,在△ABC中,sinB= ,点F在BC上,AB=AF=5,过点F作EF⊥CB交AC于点E,且AE:EC=3:5,求BF的长与sinC的值.
 
【解答】解:过点A作AD⊥CB,垂足为点D,
∵ ,
∴ ,
在Rt△ABD中, ,
∵AB=AF  AD⊥CB,
∴BF=2BD=6,
∵EF⊥CB   AD⊥CB,
∴EF∥AD,
∴ ,
∵AE:EC=3:5DF=BD=3,
∴CF=5,
∴CD=8,
在Rt△ABD中, ,
在Rt△ACD中, ,
∴ .
 
22.(10分)甲、乙两车需运输一批货物到600公里外的某地,原计划甲车的速度比乙车每小时多10千米,这样甲车将比乙车早到2小时.实际甲车以原计划的速度行驶了4小时后,以较低速度继续行驶,结果甲、乙两车同时到达.
x(小时)y(千米)
(1)求甲车原计划的速度;
(2)如图是甲车行驶的路程y(千米)与时间x(小时)的不完整函数图象,那么点A的坐标为 (4,240) ,点B的坐标为 (12,600) ,4小时后的y与x 的函数关系式为 y=45x+60 (不要求写定义域).
 
【解答】解:(1)设甲车原计划的速度为x千米/小时
由题意得 ,
解得x1=﹣50x2=60
经检验,x1=﹣50x2=60都是原方程的解,但x1=﹣50不符合题意,舍去
  ∴x=60,
答:甲车原计划的速度为60千米/小时;
(2)4×60=240,
所以点A的坐标为(4,240);
点B的坐标为(12,600);
4小时后的y与x 的函数关系式为y=45x+60;
故答案为:(4,240);(12,600);y=45x+60
 
23.(12分)如图,四边形ABCD是矩形,E是对角线AC上的一点,EB=ED且∠ABE=∠ADE.
(1)求证:四边形ABCD是正方形;
(2)延长DE交BC于点F,交AB的延长线于点G,求证:EF•AG=BC•BE.
 
【解答】(1)证明:连接BD.
∵EB=ED,
∴∠EBD=∠EDB,
∵∠ABE=∠ADE,
∴∠ABD=∠ADB,
∴AB=AD,
∵四边形ABCD是矩形,
∴四边形ABCD是正方形.

(2)证明:∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC,
∴ ,
同理 ,
∵DE=BE,
∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=DC,
∴ ,
∴EF•AG=BC•BE.
 
24.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2﹣2x+c与直线y=﹣ x+3分别交于x轴、y轴上的B、C两点,抛物线的顶点为点D,联结CD交x轴于点E.
(1)求抛物线的解析式以及点D的坐标;
(2)求tan∠BCD;
(3)点P在直线BC上,若∠PEB=∠BCD,求点P的坐标.
 
【解答】解:(1)由题意得B(6,0),C(0,3),
把B(6,0)C(0,3)代入y=ax2﹣2x+c
得 ,
解得: ,
∴抛物线的解析式为:
y= x2﹣2x+3
= (x2﹣8x)+3
= (x﹣4)2﹣1,
∴D(4,﹣1);

(2)可得点E(3,0),
OE=OC=3,∠OEC=45°,
过点B作BF⊥CD,垂足为点F
在R t△OEC中,EC= =3 ,
在Rt△BEF中,BF=BE•sin∠BEF= ,
同理,EF= ,
∴CF=3 + =  ,
在Rt△CBF中,tan∠BCD= = ;

(3)设点P(m, )
∵∠PEB=∠BCD,
∴tan∠PEB=tan∠BCD= ,
①点P在x轴上方
∴ ,
解得: ,
∴点P( , ),
②点P在x轴下方
∴ ,
解得:m=12,
∴点P(12,﹣3),
综上所述,点P( , )或(12,﹣3).
 
 
25.(14分)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,DC=5,以CD为半径的⊙C与以AB为半径的⊙B相交于点E、F,且点E在BD上,联结EF交BC于点G.
(1)设BC与⊙C相交于点M,当BM=AD时,求⊙B的半径;
(2)设BC=x,EF=y,求y关于x的函数关系式,并写出它的定义域;
(3)当BC=10时,点P为平面内一点,若⊙P与⊙C相交于点D、E,且以A、E、P、D为顶点的四边形是梯形,请直接写出⊙P的面积.(结果保留π)
 
【解答】解:(1)如图1中,连接DM.
 
在Rt△DCM中, ,
∵AD∥BC   BM=AD,
∴四边形ABMD为平行四边形,
∴AB=DM= ,
即⊙B的半径为 .

(2)如图2中,过点C作CH⊥BD,垂足为点H.
 
在Rt△BCD中, ,
∴ ,
可得∠DCH=∠DBC,
∴ ,
在Rt△DCH中, ,
∵CH⊥BD,
∴ ,
∴ ,
∵⊙C与⊙B相交于点E、F,
∴EF=2EG,BC⊥EF,
在Rt△EBG中, ,
∴ ( ).

(3)①如图3中,当PE∥AD时,设PC交DE于H,则CH垂直平分线段DE.
 
在Rt△BCD中,BD= =5 ,CH= =2 ,
DH= = ,
∴EH=DH= ,
∵AD∥BC,PE∥AD,
∴PE∥BC,
∴∠HEP=∠HBC,
∴cos∠HEP=cos∠CBD,
∴ = ,
∴ = ,
∴PE= ,
∴⊙P的面积为 π.
②如图4中,当AP∥DE时,作AT⊥BC于T,设AD交PC于Q,BD交PC于H.
 
由①可知:DE=2 ,BE=BA=3 ,AT=CD=5,
在Rt△ABT中,BT= =2 ,
∴AD=CT=10﹣2 ,
由△DQH∽△BDC,可得DQ= ,QH= ,
∴AQ=AD﹣DQ= ﹣2 ,
由△APQ∽△DHQ,可得PQ= ﹣2,
在Rt△PDH中,PD2=DH2+PH2=29﹣8 ,
∴⊙P的面积为(29﹣8 )π.
③如图5中,当DP∥AE时,作AR⊥BD于R.
 
由△ADR∽△DBC,
∴ = = ,
∴AR=2 ﹣2,DR=4 ﹣4,
∴ER=DR﹣DE=2 ﹣4,
在Rt△ARE中,AE= = ,
∵AE∥DP,
∴∠AER=∠PDQ,
∴cos∠AER=cos∠PDH,
∴ = ,
∴PD= ,
∴⊙P的面积为 .


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