2018中考数学复习《反比例函数》专题提升训练(附答案)

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2018中考数学复习《反比例函数》专题提升训练(附答案)

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中考专题训练:反比例函数 

一.选择题(共15小题)
1.如图,△ABC的三个顶点分别为A(1,2),B(2,5),C(6,1).若函数y= 在第一象限内的图象与△ABC有交点,则k的取值范围是(  )
 
A.2≤k≤  B.6≤k≤10 C.2≤k≤6 D.2≤k≤
2.已知点A在双曲线y=﹣ 上,点B在直线y=x﹣4上,且A,B两点关于y轴对称.设点A的坐标为(m,n),则 + 的值是(  )
A.﹣10 B.﹣8 C.6 D.4
3.如图,过y轴上一个动点M作x轴的平行线,交双曲线 于点A,交双曲线 于点B,点C、点D在x轴上运动,且始终保持DC=AB,则平行四边形ABCD的面积是(  )
 
A.7 B.10 C.14 D.28
4.如图,A、B是双曲线y= 上的两点,过A点作AC⊥x轴,交OB于D点,垂足为C.若△ADO的面积为1,D为OB的中点,则k的值为(  )
 
A.  B.  C.3 D.4
5.如图,点A是双曲线y=﹣ 在第二象限分支上的一个动点,连接AO并延长交另一分支于点B,以AB为底作等腰△ABC,且∠ACB=120°,点C在第一象限,随着点A的运动,点C的位置也不断变化,但点C始终在双曲线y= 上运动,则k的值为(  )
 
A.1 B.2 C.3 D.4
6.如图,在直角坐标系中,直线y1=2x﹣2与坐标轴交于A、B两点,与双曲线y 2= (x>0)交于点C,过点C作CD⊥x轴,垂足为D,且OA=AD,则以下结论:
①S△ADB=S△ADC;
②当0<x<3时,y1<y2;
③如图,当x=3时,EF= ;
④当x>0时,y1随x的增大而增大,y2随x的增大而减小.
其中正确结论的个数是(  )
 
A.1 B.2 C.3 D.4
7.如图,已知点A是双曲线y= 在第一象限的分支上的一个动点,连接AO并延长交另一分支于点B,过点A作y轴的垂线,过点B作x轴的垂线,两垂线交于点C,随着点A的运动,点C的位置也随之变化.设点C的坐标为(m,n),则m,n满足的关系式为(  )
 
A.n=﹣2m B.n=﹣  C.n=﹣4m  D.n=﹣
8.如图,点A是反比例函数 (x>0)图象上任意一点,AB⊥y轴于B,点C是x轴上的动点,则△ABC的面积为(  )
 
A.1 B.2 C.4 D.不能确定
9.如图,Rt△ABC的直角边BC在x轴正半轴上,斜边AC边上的中线BD反向延长线交y轴负半轴于E,双曲线 的图象经过点A,若S△BEC=8,则k等于(  )
 
A.8 B.16 C.24 D.28
10.在同一直角坐标系中,函数y=kx+k与y= (k≠0)的图象大致为(  )
A.  B.  C.  D.
11.如图,矩形ABCD的顶点A在第一象限,AB∥x轴,AD∥y轴,且对角线的交点与原点O重合.在边AB从小于AD到大于AD的变化过程中,若矩形ABCD的周长始终保持不变,则经过动点A的反比例函数y= (k≠0)中k的值的变化情况是(  )
 
A.一直增大 B.一直减小 C.先增大后减小 D.先减小后增大
12.如图,在直角坐标系中,有菱形OA BC,A点的坐标是(10,0),双曲线 经过点C,且OB•AC=160,则k的值为(  )
 
A.40 B.48 C.64 D.80
13.直线y=﹣2x+5分别与x轴 ,y轴交于点C、D,与反比例函数 的图象交于点A、B.过点A作AE⊥y轴于点E,过点B作BF⊥x轴于点F,连接EF,下列结论:①AD=BC;②EF∥AB;③四边形AEFC是平行四边形;④S△AOD=S△BOC.其中正确的个数是(  )
 
A.1 B.2 C.3 D.4
14.如图,在直角坐标系中,正方形OABC的顶点O与原点重合,顶点A、C分别在x轴、y轴上,反比例函数 (k≠0,x>0)的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N,ND⊥x轴,垂足为D,连接OM、ON、MN.下列结论:
①△OCN≌△OAM;②ON=MN;③四边形 DAMN与△MON面积相等;④若∠MON=45°,MN=2,则点C的坐标为(0, ).
其中正确结论的个数是(  )
 
A.1 B.2 C.3 D.4
15.如图,反比例函数y= (x<0)的图象经过点A(﹣1,1),过点A作AB⊥y轴,垂足为B,在y轴的正半轴上取一点P(0,t),过点P作直线OA的垂线l,以直线l为对称轴,点B经轴对称变换得到的点B′在此反比例函数的图象上,则t的值是(  )
 
A.  B.  C.  D.
 
二.填空题(共5小题)
16.如图,D是反比例函数 的图象上一点,过D作DE⊥x轴于E,DC⊥y轴于C,一次函数y=﹣x+m与 的图象都经过点C,与x轴分别交于A、B两点,四边形DCAE的面积为4,则k的值为     .
 
17.已知点A、B分别在反比例函数y= (x>0),y=﹣ (x>0)的图象上,且OA⊥OB,则tanB为     .
 
18.如图,已知双曲线 经过直角三角形OAB斜边OA的中点D,且与直角边AB相交于点C.若点A的坐标为(﹣6,4),则△AOC的面积为     .
 
19.如 图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A、B在x轴正半轴上,顶点D在反比例函数 的第一象限的图象上,CA的延长线与y轴负半轴交于点E.若△ABE的面积为1.5,则k的值为     .
 
20.两个反比例函数y= ,y= 在第一象限内的图象如图所示.点P1,P2,P3、…、P2007在反比例函数y= 上,它们的横坐标分别为x1、x2、x3、…、x2007,纵坐标分别是1,3,5…共2007个连续奇数,过P1,P2,P3、…、P2007分别作y轴的平行线,与y= 的图象交点依次为Q1(x1′,y1′)、Q1(x2′,y2′)、…、Q2(x2007′,y2007′),则|P2007Q2007|=     .
 
 
三.解答题(共5小题)[来源:学§科§网Z§X§X§K]
21.如图,已知A(n,﹣2),B(1,4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数 的图象的两个交点,直线AB与y轴交于点C.
(1)求反比例函数和一次函数的关系式;
(2)求△AOC的面积.
 
22.如图,一次函数y1=k1x+b与反比例函数 的图象相交于A,B两点,且与坐标轴的交点为(﹣6,0),(0,6),点B的横坐标为﹣4.
(1)试确定反比例函数的解析式;
(2)求△AOB的面积;
(3)直接写出不等式 的解.
 
23.如图,已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数 的图象交于A,B两点,且点A的横坐标和点B的纵坐标都是﹣2,求:
(1)一次函数的解析式;
(2)△AOB的面积;
(3)直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x的取值范围.
 
24.已知双曲线y= (x>0),直线l1:y﹣ =k(x﹣ )(k<0)过定点F且与双曲线交于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),直线l2:y=﹣x+ .
(1)若k=﹣1,求△OAB的面积S;
(2)若AB=  ,求k的值;
(3)设N(0,2 ),P在双曲线上,M在直线l2上且PM∥x轴,求PM+PN最小值,并求PM+PN取得最小值时P的坐标.(参考公式:在平面直角坐标系中,若A(x1,y1),B(x2,y2)则A,B两点间的距离为AB= )
 
25.定义:点P是△ABC内部或边上的点(顶点除外),在△PAB,△PBC,△PCA中,若至少有一个三角形与△ABC相似,则称点P是△ABC的自相似点.
例如:如图1, 点P在△ABC的内部,∠PBC=∠A,∠BCP=∠ABC,则△BCP∽△ABC,故点P是△ABC的自相似点.
请你运用所学知识,结合上述材料,解决下列问题:
在平面直角坐标系中,点M是曲线y= (x>0)上的任意一点,点N是x轴正半轴上的任意一点.
(1)如图2,点P是OM上一点,∠ONP=∠M,试说明点P是△MON的自相似点;当点M的坐标是( ,3),点N的坐标是( ,0)时,求点P的坐标;
(2)如图3,当点M的坐标是(3, ),点N的坐标是(2,0)时,求△MON的自相似点的坐标;
(3)是否存在点M和点N,使△MON无自相似点?若存在,请直接写出这两点的坐标;若不存在,请说明理由.
 
 
 

参考答案
 
一.选择题(共15小题)[来源:学科网ZXXK]
1.如图,△ABC的三个顶点分别为A(1,2),B(2,5),C(6,1).若函数y= 在第一象限内的图象与△ABC有交点,则k的取值范围是(  )
 
A.2≤k≤  B.6≤k≤10 C.2≤k≤6 D.2≤k≤
【解答】解:反比例函数和三角形有交点的第一个临界点是交点为A,
∵过点A(1,2)的反比例函数解析式为y= ,
∴k≥2.
随着k值的增大,反比例函数的图象必须和线段BC有交点才能满足题意,
经过B(2,5),C(6,1)的直线解析式为y=﹣x+7,
 ,得x2﹣7x+k=0
根据△≥0,得k≤
综上可知2≤k≤ .
故选:A.
 
2.已知点A在双曲线y=﹣ 上,点B在直线y=x﹣4上,且A,B两点关于y轴对称.设点A的坐标为(m,n),则 + 的值是(  )
A.﹣10 B.﹣8 C.6 D.4
【解答】解:∵点A的坐标为(m,n),A、B两点关于y轴对称,
∴B(﹣m,n),
∵点A在双曲线y=﹣ 上,点B在直线y=x﹣4上,
∴n=﹣ ,﹣m﹣4=n,即mn=﹣2,m+n=﹣4,
∴原式= = =﹣10.
故选:A.
 
3.如图,过y轴上一个动点M作x轴的平行线,交双曲线 于点A,交双曲线 于点B,点C、点D在x轴上运动,且始终保持DC=AB,则平行四边形ABCD的面积是(  )
 
A.7 B.10 C.14 D.28
【解答】解:设M的坐标为(0,m)(m>0),则直线AB的方程为:y=m,
将y=m代入y=﹣ 中得:x=﹣ ,∴A(﹣ ,m),
将y=m代入y= 中得:x= ,∴B( ,m),
∴DC=AB= ﹣(﹣ )= ,
过B作BN⊥x轴,则有BN=m,
 
则平行四边形ABCD的面积S=DC•BN= •m=14.
故选:C.
 
4.如图,A、B是双曲线y= 上的两点,过A点作AC⊥x轴,交OB于D点,垂足为C.若△ADO的面积为1,D为OB的中点,则k的值为(  )
 
A.  B.  C.3 D.4
【解答】解:过点B作BE⊥x轴于点E,
∵D为OB的中点,
∴CD是△OBE的中位线,即CD= BE.
设A(x, ),则B(2x, ),CD= ,AD= ﹣ ,
∵△ADO的面积为1,
∴ AD•OC=1, ( ﹣ )•x=1,解得k= ,
故选:B.
 
 
5.如图,点A是双曲线y=﹣ 在第二象限分支上的一个动点,连接AO并延长交另一分支于点B,以AB为底作等腰△ABC,且∠ACB=120°,点C在第一象限,随着点A的运动,点C的位置也不断变化,但点C始终在双曲线y= 上运动,则k的值为(  )
 
A.1 B.2 C.3 D.4
【解答】解:连接CO,过点A作AD⊥x轴于点D,过点C作CE⊥x轴于点E,
∵连接AO并延长交另一分支于点B,以AB为底作等腰△ABC,且∠ACB=120°,
∴CO ⊥AB,∠CAB=30°,
则∠AOD+∠COE=90°,
∵∠DAO+∠AOD=90°,
∴∠DAO=∠COE,
又∵∠ADO=∠CEO=90°,
∴△AOD∽△OCE,
∴ = = =tan60°= ,则 =3,
∵点A是双曲线y=﹣ 在第二象限分支上的一个动点,
∴ |xy|= AD•DO= ×6=3,
∴ k= EC×EO=1,
则EC×EO=2.
故选:B.
 
 
6.如图,在直角坐标系中,直线y1=2x﹣2与坐标轴交于A、B两点,与双曲线y2= (x>0)交于点C,过点C作CD⊥x轴,垂足为D,且OA=AD,则以下结论:
①S△ADB=S△ADC;
②当0<x<3时,y1<y2;
③如图,当x=3时,EF= ;
④当x>0时,y1随x 的增大而增大,y2随x的增大而减小.
其中正确结论的个数是(  )
 
A.1 B.2 C.3 D.4
【解答】解:对于直线y1=2x﹣2,
令x=0,得到y=﹣2;令y=0,得到x=1,
∴A(1,0),B(0,﹣2),即OA=1,OB=2,
在△OBA和△CDA中,
 ,
∴△OBA≌△CDA(AAS),
∴CD=OB=2,OA=AD=1,
∴S△ADB=S△ADC(同底等高三角形面积相等),选项①正确;
∴C(2,2),
把C坐标代入反比例解析式得:k=4,即y2= ,
由函数图象得:当0<x<2时,y1<y2,选项②错误;
当x=3时,y1=4,y2= ,即EF=4﹣ = ,选项③正确;
当x>0时,y1随x的增大而增大,y2随x的增大而减小,选项④正确,
故选:C.
 
7.如图,已知点A是双曲线y= 在第一象限的分支上的一个动点,连接AO并延长交另一分支于点B,过点A作y轴的垂线,过点B作x轴的垂线,两垂线交于点C,随着点A的运动,点C的位置也随之变化.设点C的坐标为(m,n),则m,n满足的关系式为(  )
 
A.n=﹣2m B.n=﹣  C.n=﹣4m D.n=﹣
【解答】解:由反比例函数的性质可知,A点和B点关于原点对称,
∵点C的坐标为(m,n),
∴点A的坐标为( ,  n),
∴点B的坐标为(﹣ ,﹣n),
根据图象可知,B点和C点的横坐标相同,
∴﹣ =m,即n=﹣ .
故选:B.
 
8.如图,点A是反比例函数 (x>0)图象上任意一点,AB⊥y轴于B,点C是x轴上的动点,则△ABC的面积为(  )
 
A.1 B.2 C.4 D.不能确定
【解答】解:设A的坐标是(m,n),则mn=2.
则AB=m,△ABC的AB边上的高等于n.
则△ABC的面积= mn=1.
故选:A.
 
9.如图,Rt△ABC的直角边BC在x轴正半轴上,斜边AC边上的中线BD反向延长线交y轴负半轴于E,双曲线 的图象经过点A,若S△BEC=8,则k等于(  )
 
A.8 B.16 C.24 D.28
【解答】解:∵BD为Rt△ABC的斜边AC上的中线,
∴BD=DC,∠DBC=∠ACB,
又∠DBC=∠EBO,∴∠ EBO=∠ACB,
又∠BOE=∠CBA=90°,
∴△BOE∽△CBA,
∴ = ,即BC×OE=BO×AB.
又∵S△BEC=8,即BC×OE=2×8=16=BO×AB=|k|.
又由于反比例函数图象在第一象限,k>0.
所以k等于16.
故选:B.
 
10.在同一直角坐标系中,函数y=kx+k与y= (k≠0)的图象大致为(  )
A.  B.  C.  D.
【解答】解:A、由反比例函数的图象在一、三象限可知﹣k>0,k<0,由一次函数的图象过一、二、四象限可知k<0,且k>0,两结论相矛盾,故本选项错误;
B、由反比例函数的图象在二、四象限可知﹣k<0,k>0,由一次函数的图象与y轴交点在y轴的正半轴且过一、二、三象限可知k>0,两结论一致,故本选项正确;
C、由反比例函数的图象在一、三象限可知﹣k>0,k<0,由一次函数的图象与y轴交点在y轴的正半轴可知k>0,两结论矛盾,故本选项错误.
D、由反比例函数的图象在二、四象限可知﹣k<0,k>0,由一次函数的图象过一、二、四象限可知k<0且k>,两结论相矛盾,故本选项错误;
故选:B.
 
11.如图,矩形ABCD的顶点A在第一象限,AB∥x轴,AD∥y轴,且对角线的交点与原点O重合.在边AB从小于AD到大于AD的变化过程中,若矩形ABCD的周长始终保持不变,则经过动点A的反比例函数y= (k≠0)中k的值的变化情况是(  )
 
A.一直增大 B.一直减小 C.先增大后减小 D.先减小后增大
【解答】解:设矩形ABCD中,AB=2a,AD=2b.
∵矩形ABCD的周长始终保持不变,
∴2(2a+2b)=4(a+b)为定值,
∴a+b为定值.
∵矩形对角线的交点与原点O重合
∴k= AB• AD=ab,
又∵a+b为定值时,当a=b时,ab最大,
∴在边AB从小于AD到大于AD的变化过程中,k的值先增大后减小.
故选:C.
 
12.如图,在直角坐标系中,有菱形OABC,A点的坐标是(10,0),双曲线 经过点C,且OB•AC=160,则k的值为(  )
 
A.40 B.48 C.64 D.80
【解答】解:∵四边形OABC是菱形,OB与AC为两条对角线,且OB•AC=160,
∴菱形OABC的面积为80,即OA•CD=80,
∵OA=OC=10,
∴CD=8,
在Rt△OCD中,OC=10,CD=8,
根据勾股定理得:OD=6,即C(6,8),
则k的值为48.
故选:B.
 
 
13.直线y=﹣2x+5分别与x轴,y轴交于点C、D,与反比例函数 的图象交于点A、B.过点A作AE⊥y轴于点E,过点B作BF⊥x轴于点F,连接EF,下列结论:①AD=BC;②EF∥AB;③四边形AEFC是平行四边形;④S△AOD=S△BOC.其中正确的个数是(  )
 
A.1 B.2 C.3 D.4
【解答】解:如右图所示,
①∵y=﹣2x+5与 相交,
∴ ,
解得 或 ,
∴A点坐标是(1,3),B点坐标是( ,2),
∵直线y=﹣2x+5与x轴和y轴的交点分别是( ,0)、(0,5),
∴C点坐标是( ,0),D点坐标是(0,5),
∵AE⊥y轴,BF⊥x轴,
∴AE=1,DE=OD﹣OE=5﹣3=2,
在Rt△ADE中,AD= = ,
同理可求BC= ,
故AD=BC,
故①选项正确;
②∵OF:OE=1:2,OC:OD=1:2,
∴EF∥AB,
故②选项正确;
③∵AE=CF=1,且AE∥CF,
∴四边形AEFC是平行四边形,
故③选项正确;
④∵S△AOD= •OD•AE= ×5×1=2.5,
S△BOC= •OC•BF= × ×2=2.5,
∴S△AOD=S△BOC,
故④选项正确.
故选:D.
 
 
14.如图,在直角坐标系中,正方形OABC的顶点O与原点重合,顶点A、C分别在x轴、y轴上,反比例函数 (k≠0,x>0)的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N,ND⊥x轴,垂足为D,连接OM、ON、MN.下列结论:
①△OCN≌△OAM;②ON=MN;③四边形DAMN与△MON面积相等;④若∠MON=45°,MN=2,则点C的坐标为(0, ).
其中正确结论的个数是(  )
 
A.1 B.2 C.3 D.4
【解答】解:∵点M、N都在y= 的图象上,
∴S△ONC=S△OAM= k,即 OC•NC= OA•AM,
∵四边形ABCO为正方形,
∴OC=OA,∠OCN=∠OAM=90°,
∴NC=AM,
∴△OCN≌△OAM,所以①正确;
∴ON=OM,
∵k的值不能确定,
∴∠MON的值不能确定,
∴△ONM只能为等腰三角形,不能确定为等边三角形,
∴ON≠MN,所以②错误;
∵S△OND=S△OAM= k,
而S△OND+S四边形DAMN=S△OAM+S△OMN,
∴四边形DAMN与△MON面积相等,所以③正确;
作NE⊥OM于E点,如图,
∵∠MON=45°,
∴△ONE为等腰直角三角形,
∴NE=OE,
设NE=x,则ON= x,
∴OM= x,
∴EM= x﹣x=( ﹣1)x,
在Rt△NEM中,MN=2,
∵MN2=NE2+EM2,即22=x2+[( ﹣1)x]2,
∴x2=2+ ,
∴ON2=( x)2=4+2 ,
∵CN=AM,CB=AB,
∴BN=BM,
∴△BMN为等腰直角三角形,
∴BN= MN= ,
设正方形ABCO的边长为a,则OC=a,CN=a﹣ ,
在Rt△OCN中,∵OC2+CN2=ON2,
∴a2+(a﹣ )2=4+2 ,解得a1= +1,a2=﹣1(舍去),
∴OC= +1,
∴C点坐标为(0,  +1),所以④正确.
故选:C.
  [来源:学科网]
 
15.如图,反比例函数y= (x<0)的图象经过点A(﹣1,1),过点A作AB⊥y轴,垂足为B,在y轴的正半轴上取一点P(0,t),过点P作直线OA的垂线l,以直线l为对称轴,点B经轴对称变换得到的点B′在此反比例函数的图象上,则t的值是(  )
 
A.  B.  C.  D.
【解答】解:如图,
∵点A坐标为(﹣1,1),
∴k=﹣1×1=﹣1,
∴反比例函数解析式为y=﹣ ,
∵OB=AB=1,
∴△OAB为等腰直角三角形,
∴∠AOB=45°,
∵PQ⊥OA,
∴∠OPQ=45°,
∵点B和点B′关于直线l对称,
∴PB=PB′,BB′⊥PQ,
∴∠B′PQ=∠OPQ=45°,∠B′PB=90°,
∴B′P⊥y轴,
∴点B′的坐标为(﹣ ,t),
∵PB=PB′,
∴t﹣1=|﹣ |= ,
整理得t2﹣t﹣1=0,解得t1= ,t2= (不符合题意,舍去),
∴t的值为 .
故选:A.
 
 
二.填空题(共5小题)
16.如图,D是反比例函数 的图象上一点,过D作DE⊥x轴于E,DC⊥y轴于C,一次函数y=﹣x+m与 的图象都经过点C,与x轴分别交于A、B两点,四边形DCAE的面积为4,则k的值为 ﹣2 .
 
【解答】解:∵ 的图象经过点C,∴C(0,2),
将点C代入一次函数y=﹣x+m中,得m=2,
∴y=﹣x+2,令y=0得x=2,∴A(2,0),
∴S△AOC= ×OA×OC=2,
∵四边形DCAE的面积为4,
∴S矩形OCDE=4﹣2=2,
∴k=﹣2.
故答案为:﹣2.
 
17.已知点A、B分别在反比例函数y= (x>0),y=﹣ (x>0)的图象上,且OA⊥OB,则tanB为   .
 
【解答】解:过A作AC⊥y轴,过B作BD⊥y轴,可得∠ACO=∠BDO=90°,
∴∠AOC+∠OAC=90°,
∵OA⊥OB,
∴∠AOC+∠BOD=90°,
∴∠OAC=∠BOD,
∴△AOC∽△OBD,
∵点A、B分别在反比例函数y= (x>0),y=﹣ (x>0)的图象上,
∴S△AOC=1,S△OBD=4,
∴S△AOC:S△OBD=1:4,即OA:OB=1:2,[来源:学+科+网]
则在Rt△AOB中,tan∠ABO= .
故答案为:
 
 
18.如图,已知双曲线 经过直角三角形OAB斜边OA的中点D,且与直角边AB相交于点C.若点A的坐标为(﹣6,4),则△AOC的面积为 9 .
 
【解答】解:∵点D为△OAB斜边OA的中点,且点A的坐标(﹣6,4),
∴点D的坐标为(﹣3,2),
把(﹣3,2)代入双曲线 ,
可得k=﹣6,
即双曲线解析式为y=﹣ ,
∵AB⊥OB,且点A的坐标(﹣6,4),
∴C点的横坐标为﹣6,代入解析式y=﹣ ,
y=1,
即点C坐标为(﹣6,1),
∴AC=3,[来源:Zxxk.Com]
又∵OB=6,
∴S△AOC= ×AC×OB=9.
故答案为:9.
 
 
19.如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A、B在x轴正半轴上,顶点D在反比例函数 的第一象限的图象上,CA的延长线与y轴负半轴交于点E.若△ABE的面积为1.5,则k的值为 3 .
 
【解答】解:设正方形ABCD的边长为a,A(x,0),则D(x,a),
∵点D在反比例函数y= 的图象上,
∴k=xa,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠CAB=45°,
∴∠OAE=∠CAB=45°,
∴△OAE是等腰直角三角形,
∴E(0,﹣x),
∴S△ABE= AB•OE= ax=1.5,
∴ax=3,即k=3.
故答案为:3.
 
20.两个反比例函数y= ,y= 在第一象限内的图象如图所示.点P1,P2,P3、…、P2007在反比例函数y= 上,它们的横坐标分别为x1、x2、x3、…、x2007,纵坐标分别是1,3,5…共2007个连续奇数,过P1,P2,P3、…、P2007分别作y轴的平行线,与y= 的图象交点依次为Q1(x1′,y1′)、Q1(x2′,y2′)、…、Q2(x2007′,y2007′),则|P2007Q2007|=   .
 
【解答】解:由题意可知:P2007的坐标是(Px2007,4013),
又∵P2007在y= 上,
∴Px2007= .
而Qx2007(即Px2007)在y= 上,所以Qy2007= = = ,
∴|P2007Q2007|=|Py2007﹣Qy20 07|=|4013﹣ |= .
故答案为: .
 
三.解答题(共5小题)
21.如图,已知A(n,﹣2),B(1,4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数 的图象的两个交点,直线AB与y轴交于点C.
(1)求反比例函数和一次函数的关系式;
(2)求△AOC的面积.
 
【解答】解:(1)由反比例函数解析式可知,m=xy=1×4=n×(﹣2),解得m=4,n=﹣2,
将A(﹣2,﹣2),B(1,4)代入y=kx+b中,得 ,解得 ,
∴反比例函数解析式为y= ,一次函数解析式为y=2x+2;

(2)由直线y=2x+2,得C(0,2),
∴S△AOC= ×2×2=2.
 
22.如图,一次函数y1=k1x+b与反比例函数 的图象相交于A,B两点,且与坐标轴的交点为(﹣6,0),(0,6),点B的横坐标为﹣4.
(1)试确定反比例函数的解析式;
(2)求△AOB的面积;
(3)直接写出不等式 的解.
 
【解答】解:(1)设一次函数解析式为y=kx+b,
∵一次函数与坐标轴的交点为(﹣6,0),(0,6),

∴ ,
∴一次函数关系式为:y=x+6,
∴B(﹣4,2),
∴反比例函数关系式为: ;

(2)∵点A与点B是反比例函数与一次函数的交点,
∴可得:x+6=﹣ ,
解得:x=﹣2或x=﹣4,
∴A(﹣2,4),
∴S△AOB=6×6÷2﹣6×2=6;

(3)观察图象,易知 的解集为:﹣4<x<﹣2.
 
23.如图,已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数 的图象交于A,B两点,且点A的横坐标和点B的纵坐标都是﹣2,求:
(1)一次函数的解析式;
(2)△AOB的面积;
(3)直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x的取值范围.
 
【解答】解:(1)由题意A(﹣2,4),B(4,﹣2),
∵一次函数过A、B两点,
∴ ,
解得 ,
∴一次函数的解析式为y=﹣x+2;

(2)设直线AB与y轴交于C,则C(0,2),
∵S△AOC= ×OC×|Ax|,S△BOC= ×OC×|Bx|
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC= •OC•|Ax|+ •OC•|Bx|= =6;

(3)由图象可知:一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x的取值范围是x<﹣2或0<x<4.
 
 
24.已知双曲线y= (x>0),直线l1:y﹣ =k(x﹣ )(k<0)过定点F且与双曲线交于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),直线l2:y=﹣x+ .
(1)若k=﹣1,求△OAB的面积S;
(2)若AB=  ,求k的值;
(3)设N(0,2 ),P在双曲线上,M在直线l2上且PM∥x轴,求PM+PN最小值,并求PM+PN取得最小值时P的坐标.(参考公式:在平面直角坐标系中,若A(x1,y1),B(x2,y2)则A,B两点间的距离为AB= )
 
【解答】解:(1)当k=﹣1时,l1:y=﹣x+2 ,
联立得, ,化简得x2﹣2 x+1=0,
解得:x1= ﹣1,x2= +1,
设直线l1与y轴交于点C,则C(0,2 ).
S△OAB=S△AOC﹣S△BOC= •2 •(x2﹣x1)=2 ;
(2)根据题意得:  整理得:kx2+ (1﹣k)x﹣1=0(k<0),
∵△=[ (1﹣k)]2﹣4×k×(﹣1)=2(1+k2)>0,
∴x1、x2 是方程的两根,
∴ ,
∴AB2=(x1﹣x2)2+( + )2
=(x1﹣x2)2+( )2
=(x1﹣x2)2[1+( )2]
= ,
∴AB=﹣ = ,即 = ,
整理得,2k2+5k+2=0,即(2k+1)(k+2)=0,解得k=﹣2或k=﹣ .

(3)F( , ),如图:
设P(x, ),则M(﹣ + , ),
则PM=x+ ﹣ = = ,
∵PF= = ,
∴PM=PF.
∴PM+PN=PF+PN≥NF=2,
当点P在NF上时等号成立,此时NF的方程为y=﹣x+2 ,
由(1)知P( ﹣1,  +1),
∴当P( ﹣1,  +1)时,PM+PN最小值是2.
 
 
25.定义:点P是△ABC内部或边上的点(顶点除外),在△PAB,△PBC,△PCA中,若至少有一个三角形与△ABC相似,则称点P是△ABC的自相似点.
例如:如图1,点P在△ABC的内部,∠PBC=∠A,∠BCP=∠ABC,则△BCP∽△ABC,故点P是△ABC的自相似点.
请你运用所学知识 ,结合上述材料,解决下列问题:
在平面直角坐标系中,点M是曲线y= (x>0)上的任意一点,点N是x轴正半轴上的任意一点.
(1)如图2,点P是OM上一点,∠ONP=∠M,试说明点P是△MON的自相似点;当点M的坐标是( ,3),点N的坐标是( ,0)时,求点P的坐标;
(2)如图3,当点M的坐标是(3, ),点N的坐标是(2,0)时,求△MON的自相似点的坐标;
(3)是否存在点M和点N,使△MON无自相似点?若存在,请直接写出这两点的坐标;若不存在,请说明理由.
 
【解答】解:(1)∵∠ONP=∠M,∠NOP=∠MON,
∴△NOP∽△MON,
∴点P是△MON的自相似点;
过P作PD⊥x轴于D,则tan∠POD= ,
∴∠MON=60°,
∵当点M的坐标是( ,3),点N的坐标是( ,0),
∴∠MNO=90°,
∵△NOP∽△MON,
∴∠NPO=∠MNO=90°,
在Rt△OPN中,OP=ONcos60° = ,
∴OD=OPcos60°= × = ,PD=OP•sin60°= × = ,
∴P( , );
(2)作MH⊥x轴于H,如图3所示:
∵点M的坐标是(3, ),点N的坐标是(2,0),
∴OM= =2 ,直线OM的解析式为y= x,ON=2,∠MOH=30°,
分两种情况:
①如图3所示:∵P是△MON的相似点,
∴△PON∽△NOM,作PQ⊥x轴于Q,
∴PO=PN,OQ= ON=1,
∵P的横坐标 为1,
∴y= ×1= ,
∴P(1, );
②如图4所示:
由勾股定理得:MN= =2,
∵P是△MON的相似点,
∴△PNM∽△NOM,
∴ ,即 ,
解得:PN= ,
即P的纵坐标为 ,代入y= 得:  = x,
解得:x=2,
∴P(2, );
综上所述:△MON的自相似点的坐标为(1, )或(2, );
(3)存在点M和点N,使△MON无自相似点,M( ,3),N(2 ,0);理由如下:
∵M( ,3),N(2 ,0),
∴OM=2 =ON,∠MON=60°,
∴△MON是等边三角形,
∵点P在△MON的内部,
∴∠PON≠∠OMN,∠PNO≠∠MON,
∴存在点M和点N,使△MON无自相似点.

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