2018年保定市定兴县中考数学二模试卷(附答案和解释)

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2018年保定市定兴县中考数学二模试卷(附答案和解释)

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文 章
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课件 w ww.5 y kj.Co m

2018年河北省保定市定兴县中考数学二模试卷
 
一、选择题(本大题共16小题,1-10小题每小题3分,11-16小题每小题3分,共42分)
1.(3分)下面的数中,与﹣2的和为0的是(  )
A.2 B.﹣2 C.  D.
2.(3分)某种电子元件的面积大约为0.00000069平方毫米,将0.00000069这个数用科学记数法表示正确的是(  )
A.0.69×10﹣6 B.6.9×10﹣7 C.69×10﹣8 D.6.9×107
3.(3分)下列图形既是轴对称图 形又是中心对称图形的是(  )
A.  B.  C.  D.
4.(3分)正方形ABCD中,点P是对角线AC上的任意一点(不包括端点),以P为圆心的圆与AB相切,则AD与⊙P的位置关系是(  )
A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定
5.(3分)如图,在直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0),以原点O位似中心,相似比为 ,在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD,则点C的坐标为(  )
 
A.(2,1) B.(2,0) C.(3,3) D.(3,1)
6.(3分)从 ,0,π,3.14,6这5个数中随机抽取一个数,抽到有理数的概率是(  )
A.  B.  C.  D.
7.(3分)如图,将∠BAC沿DE向∠BAC内折叠,使AD与A′D重合,A′E与AE重合,若∠A=30°,则∠1+∠2=(  )
 
A.50° B.60° C.45° D.以上都不对
8.(3分)化简:(a+ )(1﹣ )的结果等于(  )
A.a﹣2 B.a+2 C.  D.
9.(3分)一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为(  )
A.(x+4)2=17 B.(x+4)2=15 C.(x﹣4)2=17 D.(x﹣4)2=15
10.(3分)如图,在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形.甲、乙两人的作法如下:
甲:连接AC,作AC的垂直平分线MN分别交AD,AC,BC于M,O,N,连接AN,CM,则四边形ANCM是菱形.
乙:分别作∠A,∠B的平分线AE,BF,分别交BC,AD于E,F,连接EF,则四边形ABEF是菱形.
根据两人的作法可判断(  )
 
A.甲正确,乙错误 B.乙正确,甲错误
C.甲、乙均正确 D.甲、乙均错误
11.(2分)如图,正六边形螺帽的边长是2cm,这个扳手的开口a的值应是(  )
 
A.2 cm B.  cm C.  cm D.1cm
12.(2分)正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2= 的图象相交于A,B两点,其中点B的横坐标为﹣2,当y1<y2时,x的取值范围是(  )
 
A.x<﹣2或x>2 B.x<﹣2或0<x<2
C.﹣2<x<0或0<x<2 D.﹣2<x<0或x>2
13.(2分)对于两个不相等的实数a、b,我们规定符号Max{a,b}表示a、b中的较大值,如:Max{2,4}=4,按照这个规定,方程Max{x,﹣x}= 的解为(  )
A.1﹣  B.2﹣  C.1+ 或1﹣  D.1+ 或﹣1
14.(2分)如图,比例规是一种画图工具,它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成,利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短.如果把比例规的两脚合上,使螺丝钉固定在刻度3的地方(即同时使OA=3OC,OB=3OD),然后张开两脚,使A,B两个尖端分别在线段a的两个端点上,当CD=1.8cm时,则AB的长为(  )
 
A.7.2 cm B.5.4 cm C.3.6 cm D.0.6 cm
15.(2分)如图,在正方形纸片ABCD中,对角线AC、BD交于点O,折叠正方形纸片 ABCD,使AD落在BD上,点A恰好与BD上的点F重合.展开后,折痕DE分别交AB、AC于点E、G.连接GF.则下列结论错误的是(  )
 
A.∠AGD=112.5° B.四边形AEFG是菱形
C.tan∠AED=2 D.BE=2OG
16.(2分)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列5个结论:①abc<0;②b<a+c;③4a+2b+c>0;④2c<3b;⑤a+b<m (am+b)(m≠1的实数).其中正确结论的有(  )
 
A.①②③ B.①③④ C.③④⑤ D.②③⑤
 
二、填空题(共10分)
17.(3分)计算:2sin30°+(﹣1)﹣2﹣|2﹣ |=     .
18.(3分)我国明代数学家程大位的名著《直接算法统宗》里有一道著名算题:
“一百馒头一百僧,大僧三个更无争,小僧三人分一个,大小和尚各几丁?”意思是:有100个和尚分100个馒头,正好分完;如果大和尚一人分3个,小和尚3人分一个,试问大、小和尚各几人?设大、小和尚各有x,y人,则可以列方程组     .
19.(4分)如图,△ABC是一个边长为2的等边三角形,AD0⊥BC,垂足为点D0.过点D0作D0D1⊥AB,垂足为点D1;再过点D1作D1D2⊥AD0,垂足为点D2;又过点D2作D2D3⊥AB,垂足为点D3;…;这样一直作下去,得到一组线段:D0D1,D1D2,D2D3,…,则线段D1D2的长为     ,线段Dn﹣1Dn的长为     (n为正整数).
 
 
三、解答题(本大题共7小题,共68分)
20.(8分)在﹣2.5、(﹣1)2、2、﹣|﹣0.5|,﹣(﹣3)中,最小的数是a,绝对值最小的数是b.
(1)求(﹣b+a)的值;
(2)求满足关于x的不等式bx<b﹣a的负整数解.
21.(9分)为了解甲、乙两班英语口语水平,每班随机抽取了10名学生进行了口语测验,测验成绩满分为10分,参加测验的10名学生成绩(单位:分)称为样本数据, 抽样调查过程如下:
收集数据
甲、乙两班的样本数据分别为:
甲班:6   7   9   4   6   7   6   9   6   10
乙班:7   8   9   7   5   7   8   5   9   5
整理和描述数据
规定了四个层次:9分以上(含9分)为“优秀”,8﹣9分(含8分)为“良好”,6﹣8分(含6分)为“一般”,6分以下(不含6分)为“不合格”.按以上层次分布绘制出如下的扇形统计图.
 
请计算:(1)图1中,“不合格”层次所占的百分比;
(2)图2中,“优秀”层次对应的圆心角的度数.
分析数据
对于甲、乙两班的样本数据,请直接回答:
(1)甲班的平均数是7,中位数是     ;乙班的平均数是     ,中位数是7;
(2)从平均数和中位数看,     班整体成绩更好.
解决问题
若甲班50人,乙班40人,通过计算,估计甲、乙两班“不合格”层次的共有多少人?
22.(9分)连接多边形任意两个不相邻顶点的线段称为多边形的对角线.
(1)
 
对角线条数分别为     、     、     、     .
(2)n边形可以有20条对角线吗?如果可以,求边数n的值;如果不可以,请说明理由.
(3)若一个n边形的内角和为1800°,求它对角线的条数.
23.(9分)如图1,在菱形ABCD中,AC=2,BD=2 ,AC、BD相交于点O.
(1)AB的长为     ;
(2)如图2,将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处,绕点A左右旋转,其中三角板60°角的两边分别与边BC,CD相交于点E,F,连接EF与AC相交于点G.
①求证:△ABE≌△ACF;
②判断△AEF是哪一种特殊三角形,并说明理由.
 
24.(10分)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(5,3),点B(﹣3,3),过点A的直线y= x+m(m为常数)与直线x=1交于点P,与x轴交于点C,直线BP与x轴交于点D.
(1)求点P的坐标;
(2)求直线BP的解析式,并直接写出△PCD与△PAB的面积比;
( 3)若反比例函数y= (k为常数且k≠0)的图象与线段BD有公共点时,请直接写出k的最大值或最小值.
 
25.(11分)如图1,点O在线段AB上,(不与端点A、B重合),以点O为圆心,OA的长为半径画弧,线段BP与这条弧相切与点P,直线CD垂直平分PB,交PB于点C,交AB于点D,在射线DC上截取DE,使DE=DB,已知AB=6,设OA=r.
(1)求证:OP∥ED;
(2)当∠ABP=30°时,求扇形AOP的面积,并证明四边形PDBE是菱形;
(3)过点O作OF⊥DE于点F,如图2所示,线段EF的长度是否随r的变化而变化?若不变,直接写出EF的值;若变化,直接写出EF与r的关系.
 
26.(12分)大学生自主创业,集资5万元开品牌专卖店,已知该品牌商品成本为每件a元,市场调查发现日销售量y(件)与销售价x(元/件)之间存在一次函数关系如表:
销售价x(元/件) … 110 115 120 125  130 …
 
销售量y(件) … 50 45 40 35  30 …
 
若该店某天的销售价定为110元/件,雇有3名员工,则当天正好收支平衡(其中支出=商品成本+员工工资+应支付其它费用):已知员工的工资为每人每天100元,每天还应支付其它费用为200元(不包括集资款).
(1)求日销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系式;
(2)该店现有2名员工,试求每件服装的销售价定为多少元时,该服装店每天的毛利润最大:(毛利润═销售收入一商品成本一员工工资一应支付其他费用)
(3)在(2)的条件下,若每天毛利润全部积累用于一次性还款,而集资款每天应按其万分之二的利率支付利息,则该店最少需要多少天(取整数)才能还清集资款?
 
 

2018年河北省保定市定兴县中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
 
一、选择题(本大题共16小题,1-10小题每小题3分,11-16小题每小题3分,共42分)
1.(3分)下面的数中,与﹣2的和为0的是(  )
A.2 B.﹣2 C.  D.
【解答】解:设这个数为x,由题意得:
x+(﹣2)=0,
x﹣2=0,
x=2,
故选:A.
 
2.(3分)某种电子元件的面积大约为0.00000069平方毫米,将0.00000069这个数用科学记数法表示正确的是(  )
A.0.69×10﹣6 B.6.9×10﹣7 C.69×10﹣8 D.6.9×107
【解答】解:0.00 000 069=6.9×10﹣7,
故选:B.
 
3.(3分)下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )
A.  B.  C.  D.
【解答】解:A、不是轴对称图形,是中心对称图形.故错误;
B、是轴对称图形,也是中心对称图形.故正确;
C、是轴对称图形,不是中心对称图形.故错误;
D、是轴对称图形,不是中心对称图形.故错误.
故选:B.
 
4.(3分)正方形ABCD中,点P是对角线AC上的任意一点(不包括端点),以P为圆心的圆与AB相切,则AD与⊙P的位置关系是(  )
A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定
【解答】解:∵点P到AD的距离等于点P到AB的距离,以P为圆心的圆与AB相切,
∴AD与⊙P的位置关系是相切.
故选:B.
 
5.(3分)如图,在直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0),以原点O位似中心,相似比为 ,在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD,则点C的坐标为(  )
 
A.(2,1) B.(2,0) C.(3,3) D.(3,1)
【解答】解:由题意得,△ODC∽△OBA,相似比是 ,
∴ = ,又OB=6,AB=3,
∴OD=2,CD=1,
∴点C的坐标为:(2,1),
故选:A.
 
6.(3分)从 ,0,π,3.14,6这5个数中随机抽取一个数,抽到有理数的概率是(  )
A.  B.  C.  D.
【解答】解:∵在 ,0,π,3.14,6这5个数中只有0、3.14和6为有理数,
∴从 ,0,π,3.14,6这5个数中随机抽取一个数,抽到有理数的概率是 .
故选:C.
 
7.(3分)如图,将∠BAC沿DE向∠BAC内折叠,使A D与A′D重合,A′E与AE重合,若∠A=30°,则∠1+∠2=(  )
 
A.50° B.60° C.45° D.以上都不对
【解答】解:∵∠1=180﹣2∠ADE;∠2=180﹣2∠AED.
∴∠1+∠2=360°﹣2(∠ADE+∠AED)
=360°﹣2(180°﹣30°)
=60°.
故选:B.
 
8.(3分)化简:(a+ )(1﹣ )的结果等于(  )
A.a﹣2 B.a+2 C.  D.
【解答】解:  •
= •
=a+2.
故选:B.
 
9.(3分)一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为(  )
A.(x+4)2=17 B.(x+4)2=15 C.(x﹣4)2=17 D.(x﹣4)2=15
【解答】解:∵x2﹣8x=1,
∴x2﹣8x+16=1+16,即(x﹣4)2=17,
故选:C.
 
10.(3分)如图,在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形.甲、乙两人的作法如下:
甲:连接AC,作AC的垂直平分线MN分别交AD,AC,BC于M,O,N,连接AN,CM,则四边形ANCM是菱形.
乙:分别作∠A,∠B的平分线AE,BF,分别交BC,AD于E,F,连接EF,则四边形ABEF是菱形.
根据两人的作法可判断(  )
 
A.甲正确, 乙错误 B.乙正确,甲错误
C.甲、乙均正确 D.甲、乙均错误
【解答】解:甲的作法正确;
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠DAC=∠ACN,
∵MN是AC的垂直平分线,
∴AO=CO,
在△AOM和△CON中 ,
∴△AOM≌△CON(ASA),
∴MO=NO,
∴四边形ANCM是平行四边形,
∵AC⊥MN,
∴四边形ANCM是菱形;
乙的作法正确;
∵AD∥BC,
∴∠1=∠2,∠6=∠7,
∵BF平分∠ABC,AE平分∠BAD,
∴∠2=∠3,∠5=∠6,
∴∠1=∠3,∠5=∠7,
∴AB=AF,AB=BE,
∴AF=BE
∵AF∥BE,且AF=BE,
∴四边形ABEF是平行四边形,
∵AB=AF,
∴平行四边形ABEF是菱形;
故选:C.
 
 
11.(2分)如图,正六边形螺帽的边长是2cm,这个扳手的开口a的值应是(  )
 
A.2 cm B.  cm C.  cm D.1cm
【解答】解:∵正六边形的任一内角为120°,
∴∠1=30°(如图),
∴ a=2cos∠1= ,
∴a=2 .
故选:A.
 
 
12.(2分)正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2= 的图象相交于A,B两点,其中点B的横坐标为﹣2,当y1<y2时,x的取值范围是(  )
 
A.x<﹣2或x>2 B.x<﹣2或0<x<2
C.﹣2<x<0或0<x<2 D.﹣2<x<0或x>2
【解答】解:∵正比例和反比例均关于原点O对称,且点B的横坐标为﹣2,
∴点A的横坐标为2.
观察函数图象,发现:
当x<﹣2或0<x<2时,一次函数图象在反比例函数图象的下方,
∴当y1<y2时,x的取值范围是x<﹣2或0<x<2.
故选:B.
 
13.(2分)对于两个不相等的实数a、b,我们规定符号Max{a,b}表示a、b中的较大值,如:Max{2,4}=4,按照这个规定,方程Max{x,﹣x}= 的解为(  )
A.1﹣  B.2﹣  C.1+ 或1﹣  D.1+ 或﹣1
【解答】解:当x<﹣x,即x<0时,所求方程变形得:﹣x= ,
去分母得:x2+2x+1=0,即x=﹣1;
当x>﹣x,即x>0时,所求方程变形得:x= ,即x2﹣2x=1,
解得:x=1+ 或x=1﹣ (舍去),
经检验x=﹣1与x=1+ 都为分式方程的解.
故选:D.
 
14.(2分)如图,比例规是一种画图工具,它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成,利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短.如果把比例规的两脚合上,使螺丝钉固定在刻度3的地方(即同时使OA=3OC,OB=3OD),然后张开两脚,使A,B两个尖端分别在线段a的两个端点上,当CD=1.8cm时,则AB的长为(  )
 
A.7.2 cm B.5.4 cm C.3.6 cm D.0.6 cm
【解答】解:∵OA=3OC,OB=3OD,
∴OA:OC=OB:OD=3:1,∠AOB=∠DOC,
∴△AOB∽△COD,
∴ = = ,
∴AB=3CD=3×1.8=5.4(cm).
故选:B.
 
15.(2分)如图,在正方形纸片ABCD中,对角线AC、BD交于点O,折叠正方形纸片 ABCD,使AD落在BD上,点A恰好与BD上的点F重合.展开后,折痕DE分别交AB、AC于点E、G.连接GF.则下列结论错误的是(  )
 
A.∠AGD=112.5° B.四边形AEFG是菱形
C.tan∠AED=2 D.BE=2OG
【解答】解:∵在正方形纸片ABCD中,折叠正方形纸片AB CD,使AD落在BD上 ,点A恰好与BD上的点F重合,
∴∠GAD=45°,∠ADG= ∠ADO=22.  5°,
∴∠AGD=112.5°,
∴A正确;
根据题意可得:AE=EF,AG=FG,
又∵EF∥AC,
∴∠FEG=∠AGE,
又∵∠AEG=∠FEG,
∴∠AEG=∠AGE,
∴AE=AG=EF=FG,
∴四边形AEFG是菱形,
∴B正确.
∵tan∠AED= ,AE=EF<BE,
∴AE< AB,
∴tan∠AED= >2,
∴C错误;
∵在等腰直角三角形BEF和等腰直角三角形OFG中,BE2=2EF2=2GF2=2×2O G2,
∴BE=2OG.
∴D正确.
故选:C.
 
16.(2分)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列5个结论:①abc<0;②b<a+c;③4a+2b+c>0;④2c<3b;⑤a+b<m (am+b)(m≠1的实数).其中正确结论的有(  )
 
A.①②③ B.①③④ C.③④⑤ D.②③⑤
【 解答】解:①由图象可知:a<0,c>0,
∵﹣ >0,
∴b>0,
∴abc<0,故此选项正确;
②当x=﹣1时,y=a﹣b+c<0,故a﹣b+c>0,错误;
③由对称知,当x=2时,函数值大于0,即y=4a+2b+c>0,故此选项正确;
④当x=3时函数值小于0,y=9a+3b+c<0,且x=﹣ =1,
即a=﹣ ,代入得9(﹣ )+3b+c<0,得2c<3b,故此选项正确;
⑤当x=1时,y的值最大.此时,y=a+b+c,
而当x=m时,y=am2+bm+c,
所以a+b+c>am2+bm+c,
故a+b>am2+bm,即a+b>m(am+b),故此选项错误.
故①③④正确.
故选:B.
 
二、填空题(共10分)
17.(3分)计算:2sin30°+(﹣1)﹣2﹣|2﹣ |=   .
【解答】解:原式=2× +1﹣2+ = ,
故答案为:
 
18.(3分)我国明代数学家程大位的名著《直接算法统宗》里有一道著名算题:
“一百馒头一百僧,大僧三个更无争,小僧三人分一个,大小和尚各几丁?”意思是:有100个和尚分100个馒头,正好分完;如果大和尚一人分3个,小和尚3人分一个,试问大、小和尚各几人?设大、小和尚各有x,y人,则可以列方程组   .
【解答】解:设大、小和尚各有x,y人,则可以列方程组:
 .
故答案为: .
 
19.(4分)如图,△ABC是一个边长为2的等边三角形,AD0⊥BC,垂足为点D0.过点D0作D0D1⊥AB,垂足为点D1;再过点D1作D1D2⊥AD0,垂足为点D2;又过点D2作D2D3⊥AB,垂足为点D3;…;这样一直作下去,得到一组线段:D0D1,D1D2,D2D3,…,则线段D1D2的长为   ,线段Dn﹣1Dn的长为   (n为正整数).
 
【解答】解:∵△ABC是一个边长为2的等边三角形,AD0⊥BC,
∴BD0=1,∠B=60°,
∵D0D1⊥AB,
∴∠D1D0B=30°,
∴D1D0=BD0cos∠D1D0B= ,
同理∠D0D1D2=30°,D1D2=D1D0cos∠D0D1D2=( )2= ,
依此类推,线段Dn﹣1Dn的长为( )n.
故答案为: ;( )n
 
三、解答题(本大题共7小题,共68分)
20.(8分)在﹣2.5、(﹣1)2、2、﹣|﹣0.5|,﹣(﹣3)中,最小的数是a,绝对值最小的数是b.
(1)求(﹣b+a)的值;
(2)求满足关于x的不等式bx<b﹣a的负整数解.
【解答】解:(1)由题意得:a=﹣2.5    b=﹣0.5,
∴﹣b+a=﹣(﹣0.5)+(﹣2.5)=0.5+(﹣2.5)=﹣2;

(2)﹣0.5x<﹣0.5﹣(﹣2.5),
﹣0.5x<2,
x>﹣4,
所以负整数解为:﹣3,﹣2,﹣1.
 
21.(9分)为了解甲、乙两班英语口语水平,每班随机抽取了10名学生进行了口语测验,测验成绩满分为10分,参加测验的10名学生成绩(单位:分)称为样本数据,抽样调查过程如下:
收集数据
甲、乙两班的 样本数据分别为:
甲班:6   7   9   4   6   7   6   9   6   10
乙班:7   8   9   7   5   7   8   5   9   5
整理和描述数据
规定了四个层次:9分以上(含9分)为“优秀”,8﹣9分(含8分)为“良好”,6﹣8分(含6分)为“一般”,6分以下(不含6分)为“不合格”.按以上层次分布绘制出如下的扇形统计图.
 
请计算:(1)图1中,“不合格”层次所占的百分比;
(2)图2中,“优秀”层次对应的圆心角的度数.
分析数据
对于甲、乙两班的样本数据,请直接回答:
(1)甲班的平均数是7,中位数是 6.5 ;乙班的平均数是 7 ,中位数是7;
(2)从平均数和中位数看, 乙 班整体成绩更好.
解决问题
若甲班50人,乙班40人,通过计算,估计甲、乙两班“不合格”层次的共有多少人?
【解答】解:整理和描述数据
(1)抽取的10人中,甲班不合格的人数为1, ×100%=10%,
(2)抽取 的10人中,乙班优秀的人数为2, ×360°=72°;

分析数据
(1)甲班的平均数是7,中位数是 =6.5,乙班的平均数是 =7,中位数是7;
(2)从平均数和中位数看,乙班整体成绩更好.
故答案为:(1)6.5、7;(2)乙;

解决问题
甲班不合格的人数约为:50×10%=5(人)
乙班不合格的人数约为:40× =12(人)
则5+12=17(人)
答:甲、乙两班“不合格”层次的共有17人.
 
22.(9分)连接多边形任意两个不相邻顶点的线段称为多边形的对角线.
(1)
 
对角线条数分别为 2 、 5 、 9 、   .
(2)n边形可以有20条对角线吗?如果可以,求边数n的值;如果不可以,请说明理由.
(3)若一个n边形的内角和为1800°,求它对角线的条数.
【解答】解:(1)设n边形的对角线条数为an,
则a4= =2,a5= =5,a6= =9,…,an= .
故答案为:2;5;9; .
(2)假设可以,根据题意得:
 =20,
解得:n=8或n=﹣5(舍去),
∴n边形可以有20条对角线,此时边数n为八.
(3)∵一个n边形的内角和为1800°,
∴180°×(n﹣2)=1800°,
解得:n=12,
∴ = =54.
答:这个多边形有54条对角线.
 
23.(9分)如图1,在菱形ABCD中,AC=2,BD=2 ,AC、BD相交于点O.
(1)AB的长为 2 ;
(2)如图2,将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处,绕点A左右旋转,其中三角板60°角的两边分别与边BC,CD相交于点E,F,连接EF与AC相交于点G.
①求证:△ABE≌△ACF;
②判断△AEF是哪一种特殊三角形,并说明理由.
 
【解答】解:(1)∵在菱形ABCD中,AC=2,BD=2 ,
∴∠AOB=90°,OA= AC=1,BO= BD= ,
在Rt△AOB中,由勾股定理得:AB= =2;
故答案为:2;

(2)①∵由(1)知,菱形ABCD的边长是2,AC=2,
∴△ABC和△ACD是等边三角形,
∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°,
∵∠EAF=∠CAF+∠CAE=60°,
∴∠BAE=∠CAF,
在△ABE和△ACF中,
 ,
∴△ABE≌△ACF(ASA),

②△AEF是等边三角形,
理由是:∵△ABE≌△ACF,
∴AE=AF,
∵∠EAF=60°,
∴△AEF是等边三角形.
 
24.(10分)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(5,3),点B(﹣3,3),过点A的直线y= x+m(m为常数)与直线x=1交于点P,与x轴交于点C,直线BP与x轴交于点D.
(1)求点P的坐标;
(2)求直线BP的解析式,并直接写出△PCD与△PAB的面积比;
(3)若反比例函数y= (k为常数且k≠0)的图象与线段BD有公共点时,请直接写出k的最大值或最小值.
 
【解答】解:(1)∵ 过点A(5,3),
∴3= ×5+m,
解得m= ,
∴直线为y= x+ ,
当x=1时,∴
∴P(1,1);
(2)设直线BP的解析式为y=ax+b
根据题意,得
∴直线BP的解析式为y=﹣ x+ ,
∵p(1,1),A(5,3),B(﹣3,3),
∴ =( )2= ;
(3)当k<0时,反比例函数在第二象限,函数图象经过B点时,k的值最小,此时k=﹣9;
当k>0时,反比例函数在第一象限,k的值最大,
联立得: ,
消去y得:﹣ x+ = ,
整理得:x2﹣3x+2k=0,
∵反比例函数与线段BD有公共点,
∴△=32﹣4×1×2k≥0,
解得:k≤ ,
故当k<0时,最小值为﹣9;当k>0时,最大值为 ;
 
25.(11分)如图1,点O在线段AB上,(不与端点A、B重合),以点O为圆心,OA的长为半径画 弧,线段BP与这条弧相切与点P,直线CD垂直平分PB,交PB于点C,交AB于点D,在射线DC上截取DE,使DE=DB,已知AB=6,设OA=r.
(1)求证:OP∥ED;
(2)当∠ABP=30°时,求扇形AOP的面积,并证明四边形PDBE是菱形;
(3)过点O作OF⊥DE于点F,如图2所示,线段EF的长度是否随r的变化而变化?若不变,直接写出EF的值;若变化,直接写出EF与r的关系.
 
【解答】解:(1)∵BP为⊙O的切线,
∴OP⊥BP,
∵CD⊥BP,
∴∠OPB=∠DCB=90°,
∴OP∥ED;

(2)在Rt△OBP中,∠OPB=90°,∠ABP=30°,
∴∠POB=60°,
∴∠AOP=120°.
在Rt△OBP中,OP= OB,
即r= (6﹣r),
解得:r=2,
S扇形AOP= .
∵CD⊥PB,∠ABP=30°,
∴∠EDB=60°,
∵DE=BD,
∴△EDB是等边三角形,
∴BD=BE.
又∵CD⊥PB,
∴CD=CE.
∴DE与PB互相垂直平分,
∴四边形PDBE是菱形.

(3)EF的长度不随r的变化而变化,且EF=3,
∵AO=r、AB=6,
∴BO=AB﹣AO=6﹣r,
∵BP为⊙O的切线,
∴∠BPO=90°,
∵直线CD垂直平分PB,
∴∠DCB=∠OPB=90°,且BC=PC,
∵∠DBC=∠OBP,
∴△DBC∽△OBP,
∴ = = = ,
则CD= OP= r、BD= OB= (6﹣r)=3﹣ ,
∵DB=DE=3﹣ ,
∴CE=DE﹣CD=3 ﹣r,
∵OF⊥EF,
∴∠OFC=∠FCP=∠CPO=90°,
∴四边形OFCP为矩形,
∴CF=OP=r,
则EF=CF+CE=r+3﹣r=3,
即EF的长度为定值,EF=3.
 
26.(12分)大学生自主创业,集资5万元开品牌专卖店,已知该品牌商品成本为每件a元,市场调查发现日销售量y(件)与销售价x(元/件)之间存在一次函数关系如表:
销售价x(元/件) … 110 115 120 125  130 …
 
销售量y(件) … 50 45 40 35  30 …
 
若该店某天的销售价定为110元/件,雇有3名员工,则当天正好收支平衡(其中支出=商品成本+员工工资+应支付其它费用):已知员工的工资为每人每天100元,每天还应支付其它费用为200元(不包括集资款).
(1)求日销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系式;
(2)该店现有2名员工,试求每件服装的销售价定为多少元时,该服装店每天的毛利润最大:(毛利润═销售收入一商品成本一员工工资一应支付其他费用)
(3)在(2)的条件下,若每天毛利润全部积累用于一次性还款,而集资款每天应按其万分之二的利率支付利息,则该店最少需要多少天(取整数)才能还清集资款?
【解答】解:(1)由表可知,y是关于x的一次函数,设y=kx+b,
将x=110、y=50,x=115、y=45代入,
得: ,
解得: ,
∴y=﹣x+160;

(2)由已知可得:50×110=50a+3×100+200,
解得:a=100,
设每天的毛利润为W,
则W=(x﹣100)y﹣2×100﹣200
=(x﹣100)(﹣x+160)﹣2×100﹣200
=﹣x2+260x﹣16400
=﹣(x﹣130)2+500,
∴当x=130时,W取得最大值,最大值为500,
答:每件服装的销售价定为130元时,该服装店每天的毛利润最大,最大利润为500元;

(3)设需t天能还清借款,
则500t≥50000+0.0002×50000t
解得:t≥102 ,
∵t为整数,
∴t的最小值为103,
答:该店最少需要103天才能还清集资款.

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来源莲山
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