中考数学知识点分类汇编--一元二次方程(含解析)

作者:佚名 资料来源:网络 点击数:    更新日期:2018-11-6  有奖投稿

中考数学知识点分类汇编--一元二次方程(含解析)

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来源 莲山课
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j.Co M

一元二次方程
一、选择题
1. (2018四川泸州,9题,3分)已知关于x的一元一次方程 有两个不相等的实数根,则实数 的取值范围是(   )
A.              B.             C.            D.
【答案】C
【解析】由题可知,△>0,即 (-2)2-4(k-1)>0,解得k<2
【知识点】一元二次方程跟的判别式,解不等式


2. (2018安徽省,7,4分)若关于 的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根,则实数a的值为(   )
A.           B.1            C.         D. 
【答案】A
【解析】将原方程变形为一般式,根据根的判别式△=0即可得出关于a的一元二次方程,解之即可得出结论.
解:原方程可变形为x +(a+1)x=0.
∵该方程有两个相等的实数根,
∴△=(a+1) ﹣4×1×0=0,
解得:a=﹣1.
故选:A.
【知识点】利用根的判别式确定二次方程解的情况


3. (2018甘肃白银,7,3) 关于 的一元二次方程 有两个实数根,则 的取值范围是(  )
      A.     B.     C.         D.
【答案】C
【解析】:∵方程有两个实数根,∴ ,解得: 。
故选C
【知识点】一元二次方程根的判别式。一元二次方程有两个不相等的实数根,则 ,一元二次方程有两个相等的实数根,则 ,一元二次方程没实数根,则 。这里题干中说有两个实数根,则根的判别式应是大于或等于0.这是不少同学易错之处。

4. (2018湖南岳阳,11,4分)关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根,则 的取值范围是          .
【答案】k<1.
【解析】解:∵一元二次方程 有两个不相等的实数根,
∴△=22-4k>0,解得k<1.
故答案为k<1..
【知识点】一元二次方程根的判别式的应用

5. (2018山东潍坊,11,3分)已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根x1,x2.若  则m的值是(   )
A.2      B.-1     C.2或-1    D.不存在
【答案】A
【思路分析】根据方程有两个不相等的实数根可知△>0,从而求出m的取值范围,结合一元二次方程根与系数的关系代入 求出m的值,再根据取值范围进行取舍即可.
【解题过程】解:由题意得: ,
解得:m>-1.
 .
解得:m1=2,m2=-1(舍去)
所以m的值为2,故选择A.
【知识点】一元二次方程根的判别式,根与系数的关系

6.(2018江苏泰州,5,3分)已知 、 是关于 的方程 的两根,下列结论一定正确的是(    )
A.    B.    C.    D. ,
【答案】A
【解析】∵△= ,∴无论a为何值,方程总有两个不相等的实数根,根据“根与系数的关系”得 ,∴ 异号,故选A.
【知识点】根的判别式,根与系数的关系

7. (2018江苏省盐城市,8,3分)已知一元二次方程x2+kx-3=0有一根为1,则k的值为(     ).
A.-2    B.2    C.-4    D.4
【答案】B
【解析】把x=1代入一元二次方程,得12+k-3=0,解得k=2.故选B.
【知识点】一元二次方程的根

8. (2018山东临沂,4,3分)一元二次方程 配方后可化为(   )
A.      B.      C.     D.
【答案】B
【解析】由y2-y- =0得y2-y= ,配方得y2-y+ = + ,∴(y- )2=1,故选B.
【知识点】一元二次方程的解法  配方法

9.(2018四川省宜宾市,4,3分)一元二次方程x2 –2x=0的两根分别为x1和x2 , 则为x1 x2为(     )
A.-2     B.1    C.2     D.0
【答案】D
【解析】根据根于系数的关系可知x1+x2= =0,故选择D.
【知识点】一元二次方程根于系数的关系
1. (2018山东菏泽,5,3分)关于 的一元二次方程 有两个实数根,则 的取值范围是(   )
A.          B.              C. 且      D. 且
【答案】D
【解析】△=b2-4ac=(-2)2-4(k+1)≥0,解得k≤0,又∵k+1≠0,即k≠-1,∴k≤0且k≠-1.故选D.
【知识点】一元二次方程根的判别式

2. (2018贵州遵义,9题,3分)已知x1,x2是关于x的方程x2+bx-3=0的两根,且满足x1+x2-3x1x2=5,那么b的值为
A.4    B.-4    C.3    D.-3
【答案】A
【解析】由一元二次方程根与系数的关系可知,x1+x2=-b,x1x2=-3,又因为x1+x2-3x1x2=5,代入可得-b-3×(-3)=5,解得b=4,故选A
【知识点】一元二次方程根与系数的关系


3. (2018江苏淮安,7,3) 若关于x的一元二次方程x2-2x-k+1=0有两个相等的实数根,则k的值是
A.-1                B.0              C.1               D.2
【答案】B
【解析】分析: 本题考查一元二次方程根的判别式,由一元二次方程有两个相等的实数根,可得判别式为零,进而可得k的值.
解:由一元二次方程x2-2x-k+1=0有两个相等的实数根
所以根的判别式 ,解得:k=0
故选:B.
【知识点】一元二次方程;一元二次方程根的判别式

4. (2018福建A卷,10,4)已知关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根,下列判断正确的是 (          )
A.1一定不是关于 的方程 的根    
B.0一定不是关于 的方程 的根    
C.1和-1都是关于 的方程 的根    
D. 1和-1不都是关于 的方程 的根
【答案】D
【解析】根据一元二次方程有两个相等的,方程根的判别式等于零,从而建立关于 、 的等式,再逐一判断 根的情况即可. 解:由关于 的方程 有两个相等的实数根,所以△=0,所以 , ,解得 或 ,∴1是关于 的方程 的根,或-1是关于 的方程 的根;另一方面若1和-1都是关于 的方程 的根,则必有 ,解得 ,此时有 ,这与已知 是关于 的一元二次方程相矛盾,所以1和-1不都是关于 的方程 的根,故选D.
【知识点】一元二次方程;根的判别式

5. (2018福建B卷,10,4)已知关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根,下列判断正确的是 (          )
A.1一定不是关于 的方程 的根    
B.0一定不是关于 的方程 的根    
C.1和-1都是关于 的方程 的根    
D. 1和-1不都是关于 的方程 的根
【答案】D
【解析】根据一元二次方程有两个相等的,方程根的判别式等于零,从而建立关于 、 的等式,再逐一判断 根的情况即可. 解:由关于 的方程 有两个相等的实数根,所以△=0,所以 , ,解得 或 ,∴1是关于 的方程 的根,或-1是关于 的方程 的根;另一方面若1和-1都是关于 的方程 的根,则必有 ,解得 ,此时有 ,这与已知 是关于 的一元二次方程相矛盾,所以1和-1不都是关于 的方程 的根,故选D.
【知识点】一元二次方程;根的判别式

6.(2018河南,7,3分)下列一元二次方程中,有两个不相等实数根的是
(A)  (B)     (C)   (D) 
【答案】B
【解析】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac;当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根.
        选项A:Δ=b2-4ac=62-4×1×9=0;选项B:先将原方程转化为一般式:x2-x=0,则Δ=b2-4ac=(-1)2-4×1×0=1>0;选项C:将原方程转化为一般式:x2-2x+3=0,则Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×3= -8 < 0;选项D:将原方程转化为一般式:x2-2x+2=0,则Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×2= -4 < 0.故选项B正确.
【知识点】一元二次方程根的判别式

7. (2018四川凉山州,7,4分)若n(n ≠ 0)是关于x的方程 的一个根,则m+n的值是(     )
A.1         B.2              C.-1             D.-2
【答案】D
【解析】∵n(n ≠ 0)是关于x的方程 的一个根,∴ ,∴ ,
∵n ≠ 0,∴ ,∴ 故选择D.
【知识点】方程的根,因式分解.

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二、填空
1.(2018四川泸州,题,3分) 已知 , 是一元二次方程 的两实数根,则 的值是       .

【答案】6
【解析】由韦达定理可得x1+x2=2,x1x2=-1,
 
【知识点】韦达定理,分式加减

2.(2018山东滨州,17,5分)若关于x,y的二元二次方程组 的解是 ,则关于a,b的二元一次方程组 的解是___________.
【答案】
【解析】根据题意,对比两个方程组得出方程组 ,所以 .
【知识点】整体思想,二元一次方程组加减消元法

3. (2018四川内江,15,5)关于x的一元二次方程x2+4x-k=0有实数根,则k的取值范围是        . 
【答案】k≥-4
【解析】解:∵关于x的一元二次方程x2+4x-k=0有实数根,∴△=b2-4ac=42-4×1×(-k)≥0,解得k≥-4.
【知识点】一元二次方程根的判别式

4. (2018四川内江,22,6)已知关于x的方程 +bx+1=0的两根为 =1, =2,则方程 +b(x+1)+1=0的两根之和为         .
【答案】1
【思路分析】将方程 +b(x+1)+1=0中的(x+1)换元成y,原方程化为ay2+by+1=0,再由方程 +bx+1=0的两根为 =1, =2,可知ay2+by+1=0的两根也分别为1和2,将y换回(x+1)就可以求出原方程的两个根,从而得出两根之和.
【解题过程】解:令(x+1)=y,则原方程变形为ay2+by+1=0,∵方程ax2+bx+1=0的两根为 =1, =2,∴ =1, =2,即x+1=1,x+1=2,∴ =0, =1,∴ + =1.
【知识点】一元二次方程根与系数关系


5. (2018四川绵阳,17,3分)  已知a>b>0,且 ,则 =        
【答案】
【解析】解:由题意得:2b(b-a)+a(b-a)+3ab=0,
整理得:2( )2+ -1=0,
解答 = ,
∵a>b>0,
∴ =
故答案为
【知识点】分式的加减法,解一元二次方程

6.(2018山东聊城,13,3分)已知关于x的方程 有两个相等的实根,则k的值是          .
【答案】
【解析】∵关于x的方程 有两个相等的实根,
∴ ,
解得 .
【知识点】一元二次方程的定义、一元二次方程根与系数的关系、一元一次方程的解法

7. (2018四川省南充市,第14题,3分)若 是关于 的方程 的根,则 的值为          .
【答案】
【解析】解:∵若 是关于x的方程 的根,∴ ,原方程整理得: ,∴ ,∵n 0,∴ 即 ,∴ .故答案为: .
【知识点】一元二次方程的概念;因式分解

8. (2018湖南长沙,17题,3分)已知关于x的方程x2-3x+a=0有一个根为1,则方程的另一个根为______。
【答案】2
【解析】该方程中,a=1,b=-3,设两根为x1,x2,其中x1=1,由一元二次方程根与系数的关系可知,x1+x2= =3,x1=1,所以x2=2
【知识点】一元二次方程根与系数的关系

9.(2018山东威海,14,3分)关于x的一元二次方程(m-5)x2+2x+2=0有实根,则m的最大整数解是______.
【答案】m=4
【解析】因为关于x的二元一次方程有实数根,所以△=22-4(m-5)•2=4-8(m-5)≥0,且m-5≠0,解得m≤5.5且m≠5,这样的最大整数解为4.
【知识点】一元二次方程根的判别式、一元一次不等式的特殊解


10. (2018山东烟台,17,3分)已知关于x的一元二次方程x2-4x+m-1=0的实数根 ,满足 ,则m的取值范围是               .
【答案】3<m≤5
【解析】∵ 是x2-4x+m-1=0的两根,∴ ,又∵ ,∴ ,∴ ∴ .又∵△=b2-4ac=(-4)2-4(m-1)≥0,∴m≤5,∴3<m≤5.
【知识点】一元二次方程根与系数的关系(即韦达定理);一元二次方程根的判别式.1. (2018湖南郴州,13,3)已知关于 的一元二次方程 有一个根为-3,则方程的另一个根为        .
【答案】2
【解析】根据一元二次方程根与系数的关系可知两根之积为-6,根据一个根是-3,即可求出方程的另一根.设方程的另一根为x2,则-3x2=-6,解得:x2=2.
【知识点】一元二次方程根与系数的关系

2. (2018湖南益阳,17,4分)规定 ,如: ,若 ,则x=      .
【答案】-3或1
【思路分析】根据规定的运算顺序,把 化为熟悉的一元二次方程,然后再解方程即可.
【解析】解:∵ ,∴ , ,解得:x1=-3,x2=1.
【知识点】新定义型,一元二次方程

3. (2018甘肃天水,T15,F4)关于x的一元二次方程(k-1)x2+6x+k2-k=0的一个根为0,则k的值是____. 
【答案】0.
【解析】∵关于x的一元二次方程(k-1)x2+6x+k2-k=0的一个根为0,
∴k2-k=0,且k-1≠0,
解得k=1或k=0,且k≠1,
则k=0.
【知识点】一元二次方程的根及定义

4. (2018江苏淮安,10,3)—元二次方程x2-x=0的根是           .
【答案】x1=0,x2=1
【解析】分析:本题考查解一元二次方程,根据本题的特点,运用因式分解法较为简洁.
解:x2-x=0
x(x-1)=0.
∴x=0或x=1
故答案为x1=0,x2=1
【知识点】解一元二次方程---因式分解法

5. (2018江西,11,3分)一元二次方程x2-4x+2=0的两根为x1,x2则x21-4x1+2x1x2的值为________.
【答案】2
【解析】∵x2-4x+2=0的两根为x1,x2,∴x21-4x1+2=0,即x21-4x1=-2,x1x2=2,
∴x21-4x1+2x1x2=-2+2×2=2
【知识点】一元二次方程的根,一元二次方程根与系数的关系

6.(2018山东德州,14,4分)若 是一元二次方程 的两个实数根,则 =          .
【答案】-3
【解析】因为 , ,所以 =-3.
【知识点】一元二次方程根与系数的关系


7. (2018湖北荆州,T16,F3)关于 的一元二次方程 的两个实数根分别是 、 ,且 ,则 的值是          .
【答案】
【思路分析】①利用根与系数的关系,表示出两根之和,两根之积.②利用完全平方公式求出两根之积.③代入到要求的式子中.
【解析】由根与系数的关系可知:x1+x2=2k, x1x2=k2-k, ∴ ,
∴ ,把 代入得,x1x2= ,∴ = .
【知识点】根与系数的关系、完全平方公式、

8. (2018 湖南张家界,13,3分)关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根,则       .
【答案】
【解析】解:∵关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根,
∴ . 解得k= .
【知识点】根的判别式


9.(2018湖北荆门,14,3分)已知 是关于 的一元二次方程 的一个根,则 的值为          .
【答案】-3.
【解析】解:∵ 是关于 的一元二次方程 的一个根,
∴4k+2(k2-2)+2k+4=0,
∴2k2+6k=0,
∴k=-3.
故答案为-3.
【知识点】一元二次方程的解,解一元二次方程

10. (2018浙江省台州市,12,5分) 
已知关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根,则           .
【答案】
【解析】因为关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根,所以
 ,解得
【知识点】一元二次方程根的判别式

三、解答题
1. (2018四川省成都市,16,6)若关于x的一元二次方程: -(2a+1)x+ =0有两个不相等的实数根,
求a的取值范围.
【思路分析】利用根的判别式△= ,当△>0时方程有两个不相等的实数根,代入得到关于a的不等式,解这个不等式便可求出a的取值范围.
【解题过程】解:由题意可知,△= -4×1× = -4 =4a+1.
∵方程有两个不相等的实数根,∴△>0,即4a+1>0,解得a>- .
【知识点】一元二次方程;根的判别式;

2. (2018浙江绍兴,17②,4分)(2)解方程: .
【思路分析】直接利用一元二次方程的求根公式 ,把 、 、 的值代入即可
【解题过程】
 , ,
 >0
 
∴ ,
∴ , .

【知识点】一元二次方程的解法-公式法。
1. (2018内蒙古呼和浩特,23,10分)已知关于x的一元二次方程 ( )有两个实数根 、 ,请你用配方法探索有实数根的条件,并推到求根公式,证明   。
【思路分析】解一元二次方程通常有四种方法,即直接开平方法,配方法,求根公式法和因式分解法,只要方程有实数根,配方法和求根公式法都是万能的,但要根据具体的方程选择合适的方法才不会让解方程变得很麻烦,直接开平方法和因式分解法适合特殊形式的方程,解起来简捷轻松. 证明方程一定有两个不相等的实数根等方程根的情况。解决这三类问题,有一个通法,就是先算出判别式,然后根据题中的条件分别得出结论或者变形推理
【解析】解:∵ ,把方程两边同时除以a,
得: ,
配方,得: ,
∵ ,∴  ,
当 时,方程有两个实数根, , .
∴ = .
【知识点】配方法解一元二次方程

2. (2018四川遂宁,19,8分)已知关于x的一元二次方程x2-2x+a=0的两个实数根 , 满足 ,求a的取值范围.
【思路分析】首先根据一元二次方程有两个实数根,可得出△=b2-4ac≥0,进而得出a的范围,然后根据根与系数的关系以及 可得出a的范围,进而得出答案.
【解析】
解:∵该一元二次方程有两个实数根,
∴△=b2-4ac≥0,
∴(-2)2-4×1×a≥0,
∴4-4a≥0,
∴a≤1.
又由根与系数的关系可得: =a, =2,
且 ,
∴a+2>0,
∴a>-2,
∴-2<a≤1.
【知识点】一元二次方程根的判别式,一元二次方程跟与系数的关系,解一元一次不等式

3. (2018•北京,20,5)关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0.
   (1)当b=a+2时,利用根的判别式判断方程根的情况;
   (2)若方程有两个相等的实数根,写出一组满足条件的a,b的值,并求此时方程的根.
【思路分析】(1)先算出该方程的根的判别式△的值,再将b=a+2代入并判断判别式的符号,最后根据一元二次方程的根的判别式定理,就能判断该方程的根的情况了;(2)本题答案不唯一,只要取一组a,b的值,使方程的根的判别式的值为0即可,然后再解此方程即可.
【解题过程】解:(1)∵b=a+2,
            ∴△=b2-4×a×1=(a+2)2-4a=a2+4>0.
            ∴原方程有两个不相等的实数根.
       (2)答案不唯一,如当a=1,b=2时,原方程为x2+2x+1=0,解得x1=x2=-1.
【知识点】一元二次方程的解法;一元二次方程根的判别式

4. (2018广西玉林,21题,6分)已知关于x的一元二次方程:x2-2x-k-2=0有两个不相等的实数根
(1)求k的取值范围;
(2)给k取一个负整数值,解这个方程。
【思路分析】(1)因为原方程有两个不相等的实数根,所以△>0,解得k>-3;(2)取k=-2,得到一元二次方程,解方程即可。
【解题过程】(1)因为原方程有两个不相等的实数根,所以△>0,即4+4(k+2)>0,得k>-3;(2)取k=-2,原方程化为x2-2x=0,x(x-2)=0,所以x1=0,x2=2
【知识点】根的判别式,一元二次方程

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