中考数学知识点分类汇编--一元二次方程的代数应用(含解析)

作者:佚名 资料来源:网络 点击数:    更新日期:2018-11-7  有奖投稿

中考数学知识点分类汇编--一元二次方程的代数应用(含解析)

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一元二次方程的代数应用
一、选择题
1. (2018四川绵阳,8,3分)  在一次酒会上,每两人都只碰一次杯,如果一共碰杯55次,则参加酒会的人数为
A.9人    B.10人     C.11人      D.12人
【答案】C.
【解析】解:设这次参加酒会的人数为x人,根据题意可得 ,解得x1=11,x2= -10(舍去).故选C.
【知识点】一元二次方程的应用
1. (2018江苏省宿迁市,8,3) 在平面直角坐标系中,过点(1,2)作直线l.若直线l与两坐标轴围成的面积为4,则满足条件的直线l的条数是(      )
        A.5               B.4                    C.3               D.2
【答案】C
【思路分析】设直线l的解析式为y=kx+b,∵l过点(1,2),∴2=k+b,b=2-k.∴y=kx+2-k.与x轴的交点为( ,0),与y轴的交点为(0,2-k).∴与坐标轴围成的面积S=  •丨2-k丨=8.解得k1=-2,k2=6+4 ,k3=6-4 ,故选C.
【知识点】一次函数,一元二次方程

2. (2018山东省泰安市,10,3)一元二次方程 根的情况是(   )
A.无实数根                       B.有一个正根,一个负根
C.有两个正根,且都小于3         D.有两个正根,且有一根大于3
【答案】D
【解析】一是可以利用一元二次方程的求根公式进行计算,再根据结果进行各项判断;二是可以利用一元二次方程与二次函数的图象关系进行判断。
解法一:整理得: ,解得: ,故选D.
解法二:设 ,画出草图(如右图):二次函数与一次函数的交点所对应的横坐标即为方程的根,故选D
 


【知识点】一元二次方程的解法;二次函数与一元二次方程的关系.

二、填空
1. (2018山东省日照市,14,4分)为创建“国家生态园林城市”某小区在规划设计时,在小区中央设置一块面积为1 200平方米的矩形绿地,并且长比宽多40米.设绿地宽为x米,根据题意,可列方程为     .
【答案】x(x+40)=1 200
【解析】设绿地宽为x米,则绿地长为(x+40)米. 根据矩形的面积公式,可列方程为x(x+40)=1 200.
【知识点】一元二次方程的应用

2. (2018贵州安顺,T14,F4)若 是关于x的完全平方式,则m=_______.
【答案】7或-1
【解析】∵ 是关于x的完全平方式,∴(m-3)²=16.解得m=7或-1.
【知识点】完全平方式的特点,解一元二次方程.

3. (2018四川自贡,15,4分)若函数 的图象与 轴有且只有一个交点,则 的值为           .
【答案】-1
【解析】∵函数 的图象与 轴有且只有一个交点,∴一元二次方程 有两个相等的实根,即 ,∴ .
【知识点】函数与方程,一元二次方程根与系数的关系

三、解答题
1. (2018四川省南充市,第20题,8分)已知关于 的一元二次方程 .
(1)求证:方程有两个不相等的实数根.
(2)如果方程的两实数根为 , ,且 ,求 的值.
【思路分析】(1)根据题意,利用根的判别式公式可得代数式,整理化简即可.
(2) 根据一元二次方程根与系数的关系,用含m的式子表示出x1+x2和x1x2的值,再代入 ,化简整理即可.
【解题过程】解:(1)根据题意,得: =[-(2m-2)]2-4(m2-2m)=4>0, 3分
∴方程有两个不相等第实数根. 4分
(2) 由一元二次方程根与系数的关系,得:
x1+x2=2m-2,x1x2=m2-2m, 5分
∵ ,∴ . 6分
∴(2m-2)2-2(m2-2m)=10.化简,得m2-2m-3=0,解得:m1=3,m2=-1.
∴m的值为3或-1. 8分
【知识点】一元二次方程根的判别式;一元二次方程根与系数第关系;完全平方公式

2. (2018•重庆B卷,23,10)在美丽乡村建设中,某县政府投入专项资金,用于乡村沼气池和垃圾集中处理点建设.该县政府计划:2018年前5个月,新建沼气池和垃圾集中处理点共计50个,且沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍.
(1)按计划,2018年前5个月至少要修建多少个沼气池?
(2)到2018年5月底前,该县按原计划刚好完成了任务,共花费资金78万元,且修建的沼气池个数恰好是原计划的最小值.据核算,前5个月,修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用之比为1﹕2.为加大美丽乡村建设的力度,政府计划加大投入,今年后7个月,在前5个月花费资金的基础上增加投入10a%,全部用于沼气池和垃圾集中处理点建设.经测算:从今年6月起,修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用在2018年前5个月的基础上分别增加a%,5a%,新建沼气池与垃圾集中处理点的个数将会在2018年前5个月的基础上分别增加5a%,8a%.求a的值.
【思路分析】(1)根据“沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍”列不等式,并求不等式的最小整数解即可;(2)先求出到2018年5月底前,该县修建的沼气池40个,修建垃圾集中处理点10个;再求出前5个月修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用;最后根据题意,列出关于a的一元二次方程,解方程即可求出a的值.
【解题过程】
23.解:(1)设2018年前5个月要修建x个沼气池,则修建垃圾集中处理点(50-x)个,根据题意,得x≥4(50-x),解得x≥40.答:按计划,2018年前5个月至少要修建40个沼气池.
(2)由题意可知,到2018年5月底前,该县修建的沼气池40个,修建垃圾集中处理点10个,若令修建的沼气池每个y元,则修建的垃圾集中处理点的每个2y元,从而由题意得40y+10×2y=78,解得y=1.3,即到2018年5月底前,修建的每个沼气池与垃圾集中处理点的费用分别为1.3万元和2.6万元.
根据题意,得40•(1+5a%)•1.3(1+a%)+10•(1+8a%)•2.6(1+5a%)=78•(1+10a%).
   令a%=t,则52(1+5t)(1+t)+26(1+8t)(1+5t)=78(1+10t),整理,得
   10t2-t=0,解得t1=0.1,t2=0(不合题意,舍去),从而a%=0.1,a=10.
   答:a的值为10.
   【知识点】一元一次不等式的应用   一元二次方程的应用

3. (2018江苏省盐城市,23,10分) 一商店销售某种商品,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,该店采取了降价措施.在每件盈利不少于25元的前提下,经过一段时间销售,发现销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件.
(1)若降价3元,则平均每天销售数量为___________件;
(2)当每件商品降价多少元时,该商店每天销售利润为1200元?
【思路分析】(1)由题意得,20+2×3=26,所以若降价3元,则平均每天销售数量为26件;
(2)本题中的相等关系:每天每件的盈利×每天的销量=每天销售利润
【解题过程】解:(1)26;
(2)设当每件商品降价x元时,该商店每天销售利润为1200元.
由题意,得(40-x)(20+2x)=1200.
整理,得x 2-30 x+200=0.
(x-10)(x-20)=0.
x1=10,x2=20.
又每件盈利不少于25元,∴x=20.不合题意舍去
答:当每件商品降价10元时,该商店每天销售利润为1200元.
【知识点】一元二次方程的应用

4. (2018四川省宜宾市,6,3分)某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业。据统计,该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元。预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元,据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为(     )
A.2%    B.4.4%     C.20%      D.44%
【答案】C
【解析】设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x,
根据题意得:2(1+x)2=2.88,
解得:x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意,舍去),故选择C.
【知识点】一元二次方程的实际应用
1. (2018•重庆A卷,23,10)在美丽乡村建设中,某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造.
(1)原计划今年1至5月,村级道路硬化和道路拓宽的里程数共50千米,其中道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍,那么,原计划今年1至5月,道路硬化的里程数至少是多少千米?
(2)到今年5月底,道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成,且道路硬化的里程数正好是原计划的最小值.2017年通过政府投入780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共45千米,每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为1﹕2,且里程数之比为2﹕1.为加快美丽乡村建设,政府决定加大投入.经测算:从今年6月起至年底,如果政府经费在2017年的基础上增加10a%(a>0),并全部用于道路硬化和道路拓宽,而每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在2017年的基础上分别增加增加a%,5a%,那么道路硬化和道路拓宽的里程数将会在今年1至5月的基础上分别增加5a%,8a%,求a的值.
【思路分析】(1)根据“道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍”列不等式,并求不等式的最小整数解即可;(2)先求出2017年道路硬化和道路拓宽的里程数及每千米的经费,最后根据题意,列出关于a的一元二次方程,解方程即可求出a的值.
【解析】
23.解:(1)设今年1至5月道路硬化的里程为x千米,则道路拓宽的里程为(50-x)千米,根据题意,得x≥4(50-x),解得x≥40.答:今年1至5月道路硬化的里程为40千米.
(2)∵2017年道路硬化和道路拓宽的里程数共45千米,且里程数之比为2﹕1,
     ∴道路硬化为30千米,道路拓宽为15千米.
     设2017年道路硬化每千米的经费为y万元,则道路拓宽每千米的经费为2y万元,根据题意,得30y+15×2y=780,解得y=13.从而2017年道路硬化每千米的经费为13万元,道路拓宽每千米的经费为26万元.
根据题意,得13•(1+a%)•40(1+5a%)+26•(1+5a%)•10(1+8a%)=780•(1+10a%).
   令a%=t,则520 (1+5t)(1+t)+260 (1+8t)(1+5t)=780 (1+10t),整理,得
   10t2-t=0,解得t1=0.1,t2=0(不合题意,舍去),从而a%=0.1,a=10.
   答:a的值为10.
   【知识点】一元一次不等式的应用   一元二次方程的应用

2. (2018湖北宜昌,22,10分)某市创建“绿色发展模范城市”,针对境内长江段两种主要污染源:生活污水和沿江工厂污染物排放,分别用“生活污水集中处理”( 下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治理,若江水污染指数记为 ,沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工),从当年开始,所治理的每家工厂一年降低的 值都以平均值 计算,第一年有40家工厂用乙方案治理,共使 值降低了12. 经过三年治理,境内长江水质明显改善.
(1)求的 值;
(2)从第二年起,每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数 ,三年来用乙方案治理的工厂数量共190家,求 的值,并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量;
(3)该市生活污水用甲方案治理,从第二年起,每年因此降低的 值比上一年都增加一个相同的数值 . 在(2) 的情况下, 第二年,用乙方案所治理的工厂合计降低的 值与当年因甲方案治理降低的 值相等.第三年,用甲方案使 值降低了39.5.求第一年用甲方案治理降低的 值及 的值.
【思路分析】(1)平均数是表示一组数据集中趋势的量数,是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数.解答平均数应用题的关键在于确定“总数量”以及和总数量对应的总份数;
(2)∵从第二年起,每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数 ,三年来用乙方案治理的工厂数量共190家,∴可得方程 ,计算出增长率m;
(3)设第一年用甲方案整理降低的 值为 ,据题建立二元一次方程组 ,解出方程组,写出答案.
【解析】解:(1)
 
(2)
解得: (舍去)
∴第二年用乙方案治理的工厂数量为 (家)
(3)设第一年用甲方案整理降低的 值为 ,
第二年 值因乙方案治理降低了 ,
由题得:
 ,
∴Q值为20.5, 的值为9.5.
【知识点】平均数,增长率,用二元一次方程组解决问题.

3. (2018山东德州,23,12分)为积极响应新旧动能转换.提高公司经济效益.某科技公司近期研发出一种新型高科技设备,每台设备成本价为30万元,经过市场调研发现,每台售价为40万元时,年销售量为600台;每台售价为45万元时,年销售量为550台.假定该设备的年销售量y(单位:台)和销售单价 (单位:万元)成一次函数关系.
(1)求年销售量 与销售单价 的函数关系式;
(2)根据相关规定,此设备的销售单价不得高于70万元,如果该公司想获得10000万元的年利润.则该设备的销售单价应是多少万元?
【思路分析】(1)将有序实数对(40,600)、(45,550)代入 求解即可;
(2)根据相等关系“年总利润=每台利润×年销售量”列方程计算即可.
【解析】解:(1)∵此设备的年销售量 (单位:台)和销售单价 (单位:万元)成一次函数关系.
∴可设 ,将数据代入可得:
     解得: ,
∴一次函数关系式是 ;
(2)此设备的销售单价是 万元,成本价是30方元,
∴该设备的单件利润为 万元,
由题意得: ,
解得: ,
∵销售单价不得高于70万元,即 ,
∴ 不合题意,故舍去,∴ .
答:该公可若想获得10000万元的年利润,此设备的销售单价应是50万元.
【知识点】待定系数法,一元二次方程的应用

4. (2018•x疆维吾尔、生产建设兵团,17,8)先化简,再求值: ,其中x是方程x2+3x=0的根.
【思路分析】(1)按分式的运算法则和运算顺序进行计算即可,注意结果的化简;(2)解一元二次方程x2+3x=0;(3)将方程的根代入化简后的式子进行计算,注意要使分式有意义.
【解析】解:原式= = =x+1,
        ∵x是方程x2+3x=0的根,
∴x1=0,x2=-3.
∴当x=0时,原式无意义;当x=-3时,原式=-3+1=-2.
【知识点】分式的运算;一元二次方程的解法;分式有意义的条件


5. (2018贵州安顺,T23,F12)某地2015年为做好“精准扶贫”,投入资金1280万元用于异地安置,并规划投入资金 逐年增加,2017年在2015年的基础上增加投入资金1600万元.
(1)从2015年到2017年,该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少?
(2)在2017年异地安置的具体实施中,该地计划投入资金不低于500万元用于优先 搬迁租房奖励,规定前1000户(含第1000户)每户每天奖励8元,1000户以后每户每天 奖励5元,按租房400天计算,求2017年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励.
【思路分析】(1)设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x,根据2015年投入的资金×(1+平均增长率)²=2017年投入的资金,列出方程求解即可;
(2)设2017年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励,根据前1000户活的的奖励总数+1000户以后获得的奖励总和≥5000000,列出不等式求解即可.
【解题过程】解:(1)设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x,
                     根据题意得1280(1+x)²=1280+1600,
                     解得x=0.5或x=-2.5(舍).
                     答:从2015年到2017年,该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%.
                (2)设2017年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励,
                     ∵8×1000×400=3200000<5000000, ∴a>1000.
                     根据题意得1000×8×400+(a-1000)×5×400≥5000000,
                     解得a≥1900.
答:2017年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励.
【知识点】一元二次方程的应用,一元一次不等式的应用.

6.(2018湖北省孝感市,21,9分)已知关于 的一元二次方程 .
(1)试证明:无论 取何值此方程总有两个实数根;
(2)若原方程的两根 , 满足 ,求 的值.
【思路分析】(1)将原方程化成一般形式,利用判别式 ≥0即可证明无论 取何值此方程总有两个实数根.
(2)根据一元二次方程根与系数的关系可得出 , ,再结合 即可求出p的值.
【解题过程】(1)证明:∵ ,
∴ .
∴  = ≥0.
∴无论 取何值此方程总有两个实数根.
(2)解:由(1)知:原方程可化为 ,
∴ , .
又∵ ,
∴ .
∴ , .
∴ ,∴ .
【知识点】一元二次方程的应用;判别式法;一元二次方程根与系数的关系.

 

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