中考数学知识点分类汇编--一元二次方程的几何应用(附解析)

作者:佚名 资料来源:网络 点击数:    更新日期:2018-11-7  有奖投稿

中考数学知识点分类汇编--一元二次方程的几何应用(附解析)

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莲山 课件 w w w.5Y k J.C om

一元二次方程的几何应用
一、选择题
1. (2018贵州安顺,T6,F3)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2 -7x+10 = 0的两根,则该等腰三角形的周长是( )
A. 12 B. 9 C. 13 D. 12或9
【答案】A
【解析】解x2 -7x+10 = 0,得x=2或5.已知在等腰三角形中,有两腰相等,且两边之和大于第三边,∴腰长为5,底边长为2.∴该等腰三角形的周长为5+5+2=12.
【知识点】解一元二次方程,三角形两边的和大于第三边.
二、填空
1. (2018湖北黄冈,12题,3分)一个三角形的两边长分别为3和6,第三边长是方程x2-10x+21=0的根,则三角形的周长为__________
【答案】16
【解析】解该方程得x1=3,x2=7,因为两边长为3和6,所以第三边x的范围为:6-3<x<6+3,即3<x<9,所以舍去x1=3,即三角形的第三边长为7,则三角形的周长为3+6+7=16
【知识点】解一元二次方程,三角形三边关系

2. (2018江西,12,3分)在正方形ABCD中,AB=6,连接AC,BD,P是正方形边上或对角线上一点,若PD=2AP,则AP的长为________.
【答案】2,23,14-2 
【解析】∵PD=2AP,∴设AP=x,则PD=2x,
①当P在AD边上时,如解图①,
∵AD=6,∴AP+PD=6,
∴x+2x=6即x=2,∴AP=2
②当P在DC上时,如解图②
在Rt△ADP中,AP>PD,PD≠2AP,
              
第12题解图①         第12题解图②
③当P在BC边上时,如解图③,
DP最大为62,AP最小为6,PD≠2AP,
④当P在AB上时,如解图④,
在Rt△ADP中,AP2+AD2=PD2,∴x2+62=(2x)2,解得x1=23,x2=-23(舍),
∴AP=23;
                        
第12题解图③      第12题解图④       第12题解图⑤      第12题解图⑥
⑤当P在AC对角线上时,如解图⑤,在Rt△ADC中,AC=AB2+BC2=62,∴AO=12AC=32,在Rt△PDO中,PO=32-x,PD=2x,DO=AO=32,∴PD2=PO2+DO2,
(2x)2=(32)2+(32-x)2,解得x1=14-2,x2=-14-2(舍),∴AP=14-2;

⑥当P在DB对角线上时,如解图⑥,在Rt△APO中,AP2=AO2+PO2,∴x2=(2x-32)2+(32)2,整理得:x2-42x+12=0,∴(-42)2-4×1×12=-16<0,∴方程无解,综上所述:AP=2或23或14-2

【知识点】正方形,一元二方程的解法,勾股定理

3. (2018浙江省台州市,16,5分) 
如图,在正方形 中, ,点 , 分别在 , 上, , , 相交于点 .若图中阴影部分的面积与正方形 的面积之比为 ,则 的周长为          .
 
【答案】
【思路分析】通过正方形的边长可以求出正方形的面积,根据“阴影部分的面积与正方形的面积之比为2:3”可以求出空白部分的面积;利用正方形的性质可以证明ΔBCE≌CDF,一是可以得到ΔBCG是直角三角形,二是可以得到ΔBCG的面积,进而求出 ;利用勾股定理可以求出 ,这样就可以求出 ,因而ΔBCG的周长就可以表示出来了.
【解题过程】∵在正方形ABCD中,AB=3,
            ∴ ,
            ∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2:3,
            ∴空白部分的面积与正方形ABCD的面积之比为1:3,
            ∴ ,
            ∵四边形ABCD是正方形,
            ∴BC=CD,∠BCE=∠CDF=90°
            ∵CE=DF,
            ∴ΔBCE≌CDF(SAS)
           ∴∠CBE=∠DCF,
∵∠DCF+∠BCG=90°,
∴∠CBE+∠BCG=90°,
即∠BGC=90°,ΔBCG是直角三角形
易知 ,∴ ,
∴ ,
根据勾股定理: ,即
            ∴ ,
            ∴ ,
            ∴ΔBCG的周长=BG+CG+BC=

【知识点】正方形的性质,三角形的面积;全等三角形的判定与性质;勾股定理;一元二次方程的解法;
三、解答题
1. (2018浙江杭州,21,10分) 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交线段AB于点D,以点A为圆心,AD长为半径画弧,交线段AC于点E,连接CD。
(1)若∠A=28°,求∠ACD的度数;
(2)设BC= ,AC=
①线段AD的长度是方程 的一个根吗?说明理由;
②若AD=EC,求 的值。
 
【思路分析】(1)先求∠B,再根据等腰三角形知识求∠BCD,在用直角求出∠ACD;(2)根据勾股定理表示出AB,表再示出AD,根据一元二次方程的解表示出 的解进行对比;由AD=AE,则可得AD= ,从而可列方程求解出比值
【解题过程】
【知识点】三角形内角和,等腰三角形角度计算,勾股定理,线段转换
1. (2018湖北鄂州,20,8分)已知关于x的方程 .
(1)求证:无论k为何值,原方程都有实数根;
(2)若该方程的两实数根x1,x2为一菱形的两条对角线之长,且 ,求k值及该菱形的面积.
【思路分析】(1)只需证明根的判别式△≥0,即可证得无论k为何值,原方程都有实数根;(2)利用韦达定理求出k值,再利用菱形的面积等于对角线乘积的一半就能求出该菱形的面积.
【解析】解:(1)证明:由题意可知,a=1,b=-(3k+3),c= ,△=b2-4ac= ,∵ ≥0,
∴△≥0,∴无论k为何值,原方程都有实数根;
(2)由根与系数的关系可知 , ,  ,化简得 , ,解得k=2或-7,∵x1,x2为一菱形的两条对角线之长,且x1+x2=3k+3,∴3k+3>0,∴k=-7舍去,k=2,∴该菱形的面积为 =9.
【知识点】根与系数的关系;一元二次方程;根的判别式;菱形的性质;菱形的面积公式


2. (2018湖北宜昌,21,8分)如图,在 中, . 以 为直径的半圆交 于点 ,交 于点 .延长 至点 ,使 ,连接 .
(1)求证:四边形 是菱形;
(2) 若 ,求半圆和菱形 的面积.
 
 (第21题图)     
【思路分析】(1)先由 ,以及到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上,得到 ,证明四边形 是平行四边形;再由一组邻边相等的平行四边形是菱形,证明平行四边形 是菱形.
(2) 设 ,则 ,连接 ,在Rt△BDA中, ,
在Rt△BDA中, ,∴  ,从而建立方程,求出x的值,并求出BD的值,
求出半圆和菱形 的面积.
【解析】(1)证明: 为半圆的直径,
 ,
 ,
 ,
又 ,
∴四边形 是平行四边形.
又 ,(或 ,)
∴平行四边形 是菱形.
(3) 解:连接 ,
∵ ,
设 ,则 ,
 
 (第21题第2问答图)     
∵ 为半圆的直径,
 ,
在Rt△BDA中, ,
在Rt△BDA中, ,
 
 
 或 (舍去)
 
 
 ,
 
【知识点】平行四边形的判定,菱形的判定,勾股定理,一元二次方程的解,圆的面积公式,菱形的面积公式.

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