中考数学知识点分类汇编--二次函数几何方面的应用(附解析)

作者:佚名 资料来源:网络 点击数:    更新日期:2018-11-8  有奖投稿

中考数学知识点分类汇编--二次函数几何方面的应用(附解析)

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知识点20 二次函数几何方面的应用
1. (2018贵州遵义,17题,4分)如图,抛物线y=x2+2x-3与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点P是抛物线对称轴上任意一点,若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点,连接DE、DF,则DE+DF的最小值为______
 
第17题图
【答案】
【解析】点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点,所以DE、DF是△PBC的中位线,DE= PC,DF= PB,所以DE+DF= (PC+PB),即求PC+PB的最小值,因为B、C为定点,P为对称轴上一动点,点A、B关于对称轴对称,所以连接AC,与对称轴的交点就是点P的位置,PC+PB的最小值等于AC长度,由抛物线解析式可得,A(-3,0),C(0,-3),AC= ,DE+DF= (PC+PB)=
【知识点】三角形中位线,勾股定理,二次函数,最短距离问题

2. .(2018江苏淮安,14,3) 将二次函数y=x2 -1的图像向上平移3个单位长度,得到的图像所对应的函数表达式是            .
【答案】y=x2+2
【解析】由平移规律“左加右减”、“上加下减”,可得平移后的解析式.
解:. 由平移规律,直线y=x2 -1向上平移3个单位长度,则平移后直线为y=x2 -1+3
即y=x2 +2
故答案为y=x2 +2.
【知识点】二次函数图象与几何变换


3. (2018山东省泰安市,17,3)如图,在 中, , , ,点 是 边上的动点(不与点 重合),过 作 ,垂足为 ,点 是 的中点,连接 ,设 , 的面积为 ,则 与 之间的函数关系式为          .
 
 
【答案】
【解析】,由 可以知道线段DE、EC的数量关系,  ,则由勾股定理,可以将DE、EC用含x的代数式来表示,由点 是 的中点,则 ,从而列出 与 之间关系式.
解:∵     ∴设 ,由勾股定理得: .
∵ ,∴   ∴
∵点 是 的中点    ∴
故答案是:
【知识点】三角函数,勾股定理,三角形中线性质,二次函数.

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三、解答题
1. (2018湖北鄂州,23,12分)
如图,已知直线 与抛物线 相交于A(-1,0),B(4,m)两点,抛物线 交y轴于点C(0, ),交x轴正半轴于D点,抛物线的顶点为M.
(1)求抛物线的解析式及点M的坐标;
(2)设点P为直线AB下方的抛物线上一动点,当△PAB的面积最大时,求此时△PAB的面积及点P的坐标;
(3)点Q为x轴上一动点,点N是抛物线上一点,当△QMN∽△MAD(点Q与点M对应),求Q点的坐标.
 
【思路分析】(1)将B(4,m)一次函数的关系式即可解得点B的坐标,再将A、B、C三点的坐标代入二次函数关系式即可求出其关系式,再将其化为顶点式就能得到点M的坐标;(2)过点P作PE⊥x轴,交AB于点E,交x轴与点G,过点B作BF⊥x轴于点F,则S△CDE= PE•AF,求出直线AB的关系式,设点P的坐标为(m, ),则点E的坐标为(m, ),即可得到S△CDE的函数关系式,将其化为顶点式即可求出最大值;(3)由勾股定理的逆定理可证得△MAD是等腰直角三角形,则QMN也是等腰直角三角形,从而得到点Q的坐标.
【解析】
解:(1)将B(4,m)代入 得,   ,∴B(4, ),将A(-1,0),B(4,  ),C(0, )代入 得 ,解得 ,∴抛物线的解析式为 , ,故顶点M的坐标为(1,-2);
(2)如下图(1),过点P作PE⊥x轴,交AB于点E,交x轴与点G,过点B作BF⊥x轴于点F,∵A(-1,0),B(4, ),∴AF=4―(―1)=5,设直线AB的关系式为y=kx+b,设点P的坐标为(m, ),则点E的坐标为(m, ),∵点P为直线AB下方,∴PE=( )-( )= ,∴S△CDE=S△APE +S△BPE= PE•AG+ PE•FG = PE•(AG+FG)= PE•AF= ×5( )= ,∴当 时,△PAB的面积最大,且最大面积为 ,当 时, ,故此时点P的坐标为( , );
(3)∵抛物线的解析式为 , ,∴抛物线的对称轴为:直线x=1,又∵A(-1,0),∴点D的坐标为(3,0),又∵M的坐标为(1,-2),∴AD=3―(―1)=4,AD2=42=16,AM2=(―1―3)2+(―1―3)2=8,DM2=(3―1)2+(―2―0)2=8,∴AD2=AM2+DM2,且AM=DM,
∴△MAD是等腰直角三角形,∠AMD=90°,又∵△QMN∽△MAD,∴△QMN也是等腰直角三角形且QM=QN,∠MQN=90°,∠QMN=45°,又∵∠AMD=90°,∴∠AMQ=∠QMD=45°,此时点D(或点A)与点N重合,(如下图(2))此时MQ⊥x轴,故点Q的坐标为(1,0).
 
【知识点】二次函数关系式;顶点式;一次函数;相似三角形的性质;等腰直角三角形的性质和判定;勾股定理的逆定理;三角形面积公式


2. (2018湖北黄冈,24题,14分)如图,在直角坐标系XOY中,菱形OABC的边OA在x轴正半轴上,点B,C在第一象限,∠C=120°,边长OA=8.点M从原点O出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长的速度作匀速运动,点N从A出发沿边AB-BC-CO以每秒2个单位长的速度作匀速运动.过点M作直线MP垂直于x轴并交折线OCB与P,交对角线OB与Q,点M和点N同时出发,分别沿各自路线运动,点N运动到原点O时,M和N两点同时停止运动.
(1)当t=2时,求线段PQ的长;
(2)求t为何值时,点P与N重合;
(3)设△APN的面积为S,求S与t的函数关系式及t的取值范围.
 
第24题图
【思路分析】(1)由题可知Rt△POM中,∠POM=60°,Rt△QOM中,∠QOM=30°,当t=2时,OM=2,可得PM和QM的长度,进而求得PQ;(2)根据点P和点N的运动速度,可知点P和点N在边BC上相遇,因为BC=8,用含有t的代数式表示出PC和NB的长度,二者之和为8,解方程可得t的值;(3)根据(2)中的分析,可以将运动的过程分为4个阶段:0≤t≤4,4≤t≤ , <t≤8,8<t≤12,前3个阶段,边PN都与x轴平行,求出PN长度和点P到x轴距离即可求出△APN的面积,第4个阶段,△APN的三边与坐标轴都不平行,因此,由 ,其中菱形面积易求,三个三角形都有一边与x轴平行,可以逐个求出面积,从而得到△APN的面积。
【解析】(1)菱形OABC中,∠AOC=60°,所以Rt△POM中,∠POM=60°,Rt△QOM中,∠QOM=30°,当t=2时,OM=2,可得PM= ,QM= ,所以PQ= ;
(2)当t≤4时,AN=PO=2OM=2t, 当t=4时,P到达C点,N到达B点,由此可推断,点P、N在BC上相遇,设t秒时,点P与N重合,则PC=t-4,BN=2(t-4),PC+BN=BC=8,即(t-4)+2(t-4)=8,t= ,即t= 时,点P与N重合;
(3)①当0≤t≤4时,PN=OA=8,且PN∥OA,PM= t,
②当4<t≤ 时,P、N在边BC上,所以PN∥OA,PN=8-3(t-4)=20-3t,
③当 <t≤8时,P、N相遇后还在BC边上运动,所以PN∥OA,PN=3(t-4)-8=3t-20,
④当8<t≤12时,如图所示,ON=24-2t,N到OM距离为 ,N到CP距离为 ,CP=t-4,BP=12-t,
 
综上所述,S与t的函数关系式为:
 

 
第24题解图
【知识点】菱形,三角函数,一元一次方程,三角形面积,分段函数

3. (2018湖南郴州,25,10)  如图,已知抛物线 与 轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与 轴交于C点,点P是抛物线上在第一象限内的一个动点,且点P的横坐标为 .
(1)求抛物线的表达式;
(2)设抛物线的对称轴为 ,与 轴的交点为D,在直线 上是否存在点M,使得四边形CDPM是平行四边形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图2,连接BC,PB,PC,设△PBC的面积为S,①求S关于 的函数表达式;②求P点到直线BC的距离的最大值,并求出此时点P的坐标.
 
【解析】解:(1)∵ 与 轴交于A(-1,0),B(3,0),
∴ ,解得: ,∴抛物线的表达式为: ;
(2)∵抛物线的表达式为: ,∴抛物线的对称轴为 ,C点的坐标为(0,3),∴D点的坐标为(1,0),∵点P的横坐标为 ,且点P在抛物线 上,∴P点的坐标为( , ),设M点的坐标为(1, ),分两种情况讨论:
①M点在 轴的上方,当四边形CDPM是平行四边形,且C、P和D、M分别是一组相对的顶点时,设平行四边形的对角线的交点为N,根据平行四边形对角线互相平分,则N点的坐标可表示为( , )或(1, ),∴ =1, = ,解得: =2, =6, ∴M点的坐标为(1,6);
②M点在 轴的下方,当四边形CDMP是平行四边形,且C、M和D、P分别是一组相对的顶点时,设平行四边形的对角线的交点为N′,根据平行四边形对角线互相平分,则N′点的坐标可表示为( , )或( , ),∴ = , = ,解得: =0, =0, ∴M点的坐标为(1,0),此时M点和D点重合,且P点不在第一象限,C、D、M、P四点不能形成平行四边形,故不存在;
综上,点M的坐标为(1,6);
(3)①∵B(3,0),C(0,3),∴OB=3,OC=3,设P点的坐标为( , ),过点P分别作PE⊥ 轴,PF⊥ 轴,垂足分别为E、F,∴PE= ,PF= ,连结OP,则:
 
 
 
∴S关于 的函数表达式为S= ;
②∵B(3,0),C(0,3),∴OB=3,OC=3,∴BC= ,设P点到直线BC的距离为 ,则△PBC的面积S= ,
∵S= ,∴ = ,
  ,
∴当 = 时, 有最大值为 ,此时P点的坐标为( , ).
【知识点】 二次函数,平行四边形的判定,三角形面积,二次函数的最值
26.(2018湖南郴州,26,12)在矩形ABCD中,AD>AB,点P是CD边上的任意一点(不含C,D两端点),过点P作PF∥BC,交对角线BD于点F.
(1)如图1,将△PDE沿对角线BD翻折得到△QDF,QF交AD于点E.求证:△DEF是等腰三角形;
(2)如图2,将△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P′DF′,连接P′C,F′B,设旋转角为  .
①若 ∠BDC,即DF′在∠BDC内部时,求证:△DP′C~△DF′B;
②如图3,若点P是CD的中点,△DF′B能否为直角三角形?如果能,试求出此时 ∠DBF′的值,如果不能,请说明理由.
 
【思路分析】(1)首先利用平行公理及矩形的性质推出PF∥AD,从而判断出∠ADB与∠DFP的关系,再联系轴对称的性质得到∠ADB=∠DFE,便可得出△DEF是等腰三角形;
(2)①由旋转的性质得出相关线段、角的相等关系,根据平行线分线段对应成比例,代换得出 ,由“对应边成比例及夹角相等”即可证得结论;②△DF′B为直角三角形时,可能会出现两种情形:∠DF′B=90°或∠B DF′=90°,结合旋转的性质,将要求的角转化到Rt△DP′C中,问题便得到解决.
【解析】(1)证明:在矩形ABCD中,AD∥BC,∵PF∥BC,∴PF∥AD,∴∠ADB=∠DFP,∵将△PDE沿对角线BD翻折得到△QDF,∴∠DFE=∠DFP,∴∠ADB=∠DFE,∴DE=EF,∴△DEF是等腰三角形;
(2)①∵PF∥BC,∴ ,∵△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P′DF′,∴∠BDF′=∠CDP′,DP′=DP,DF=DF′,∴ ,∴△DP′C~△DF′B;
 
②由①知,△DP′C~△DF′B,∴∠DBF′=∠DCP′,∵点P是CD的中点,∴DP= DC,
∵△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P′DF′,∴∠BDF′=∠CDP′,DP′=DP,∠DF′B=∠DP′C,
当∠DF′B=90°时,有∠DP′C =90°,∴DP=DP′= DC,∴∠ P′CD =30°,故 ∠DBF′= ∠DCP′= 30°= ;

当∠B DF′=90°时,有∠C DP′=90°,∴DP=DP′= DC,故 ∠DBF′= ∠DCP′= .

【知识点】轴对称的性质;旋转的性质;相似三角形的判定;等腰三角形的判定;平行线分线段对应成比例;三角函数

4. (2018湖南益阳,26,12分)如图,已知抛物线 与x轴交于A,B两点(A点在B点的左边),与y轴交于点C.
(1)如图1,若△ABC为直角三角形,求n的值;
(2)如图1,在(1)的条件下,点P在抛物线上,点Q在抛物线的对称轴上,若以BC为边,以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,求P点的坐标;
(3)如图2,过点A作直线BC的平行线交抛物线于另一点D,交y轴于点E,若AE︰ED=1︰4. 求n的值.
 
【思路分析】(1)利用一元二次方程根与系数的关系结合射影定理即可求出n的值;(2)分为PQ与BC平行用及PQ与BC相交两种情况讨论;PQ∥BC又可分为点P在点Q左侧和点P在点Q右侧两种情况;(3)过点D作DF⊥x轴,垂足为F,构造△ADF∽△BCO,利用三角形相似,结合点A和点D在抛物线上列方程组求解.
【解析】解:(1)若△ABC为直角三角形,则OC2=OA•OB
由抛物线 ,可得OC=n,OA•OB=2n
∴n2=2n,解得:n1=2,n2=0(舍去)
∴n=2.
(2)由(1)可知抛物线的对称轴为 ,抛物线解析式为
令y=0,得x1=-1,x2=4
∴A(-1,0),B(4,0)
设点P(m, )
①当直线PQ∥BC时,当点P在点Q的左侧时(如图所示),
当△BOC平移到△QNP的位置时,四边形PQBC为平行四边形,
此时NQ=OB,即 , .
 ,此时点P坐标为( , )
 
当点P在点Q的右侧时(如图所示)
同理可得: , .
 ,此时点P的坐标为( , )

②当直线PQ与直线BC相交时,如图所示:
此时点P到y轴的距离等于点B到对称轴的距离.
即 .
 ,此时点P的坐标为( , ).
 
综上所述,满足条件的点P的坐标为( , ),( , ), ( , ).
(3)过点D作DF⊥x轴,垂足为F.
 
则AO︰OF= AE︰ED=1︰4
设A(a,0),B(b,0)
则AO=-a,OF=-4a
∵AD∥BC,
∴∠DAO=∠OBC
∵∠AFD=∠BOC=90°
∴△BOC∽△AFD



由题意: ab=-2n,∴

∵点A、D在抛物线上,

解得: ,

∴n的值为 .
【知识点】二次函数综合,相似三角形的判定和性质,平行四边形,分类讨论思想


5. (2018山东菏泽,24,10分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线 交 轴于点 ,交 轴于点 和点 ,过点 作AD∥x轴交抛物线于点D.
 
(1)求此抛物线的表达式;
(2)点 是抛物线上一点,且点 关于 轴的对称点在直线 上,求 的面积;
(3)若点 是直线 下方的抛物线上一动点,当点 运动到某一位置时, 的面积最大,求出此时点 的坐标和 的最大面积.
【思路分析】(1)方法1:代入 和 ,得出关于a,b的方程组,解方程即可得出抛物线的解析式;方法2:设抛物线的表达式为y=a(x+5)(x-1),代入A(0,-5),得出a的值,从而得出抛物线的表达式;(2)由轴对称的性质得出点E到AD的距离,把y=-5代入抛物线的表达式,得出AD的长,利用三角形面积公式求出△EAD的面积;(3)作PQ∥y轴,交直线AB于点Q,先求出直线AB的表达式,设点P的横坐标为m,则P(m,m2+4m-5),Q(m,-m-5),然后表示出PQ的长;再设 的面积为S,求出S关于m的二次函数,利用配方法求出S的最大值及点P的坐标.
【解析】解:(1)方法1:把 和 代入 ,得
 解得
∴抛物线的表达式为y=x2+4x-5.
方法2:∵抛物线与x轴交于 和 ,
∴设抛物线的表达式为y=a(x+5)(x-1),
又∵抛物线与y轴交于A点,∴A(0,-5),
把A(0,-5)代入y=a(x+5)(x-1),得
-5=-5a,
∴a=1,
∴抛物线的表达式为y=(x+5)(x-1)=x2+4x-5.
(2)∵A(0,-5),AD∥x轴,点E关于x轴的对称点在直线AD上,
∴点E的纵坐标为5,∴点E到直线AD的距离为10.
把y=-5代入y=x2+4x-5,得
-5=x2+4x-5,
解得x1=-4,x2=0,
∴D(-4,-5),AD=5.
∴S△EAD= ×4×10=20.
(3)设直线AB的表达式为y=kx+b,
把 和A(0,-5)代入,得
 解得
∴直线AB的表达式为y=-x-5.
设点P的坐标为(m,m2+4m-5),
作PQ∥y轴,交直线AB于点Q,∴Q(m,-m-5).
∵点 是直线 下方的抛物线上一动点,
∴PQ=-m-5-(m2+4m-5)=-m2-5m.
设 的面积为S,
∴S=S△APQ+S△BPQ= ×(-m2-5m)×(-m)+ ×(-m2-5m)×(m+5)=- (m+ )2+ ,
∴当m=- 时,S最大,
即当点P(- ,- )时, 面积最大,最大面积为 .
 
【知识点】二次函数的综合题;动点问题;轴对称;


6.(2018四川遂宁,25,12分)如图,已知抛物线 的对称轴是直线x=3,且与x轴相交于A,B两点(B点在A点右侧),与y轴交于C点。
(1)求抛物线的解析式和A、B两点的坐标
(2)若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点(不与B、C重合),则是否存在一点P,使△PBC的面积最大,若存在,请求出△PBC的最大面积;若不存在,试说明理由
(3)若M是抛物线上任意一点,过点M作y轴的平行线,交直线BC于点N,当MN=3时,求M点的坐标
    
【思路分析】(1)首先根据抛物线的对称轴可得出a的值,进而得出抛物线的解析式,然后令y=0,得出A,B的坐标即可;
(2)首先由抛物线解析式得出C点的坐标,进而得出直线BC的解析式,然后连接PB,PC,过P点作PD∥y轴,可得S△PBC= PD•OB= ,最后利用二次函数的性质得出结果;
(3)首先根据平行于y轴的直线上两点的距离公式以及MN=3得出 ,然后根据绝对值的意义分别求解方程 和 即可.
【解析】
解:(1)∵抛物线 的对称轴是直线x=3,
∴ ,解得a=- ,
∴抛物线解析式为 ,
又抛物线与x轴交于点A,B两点,且B点在A点右侧,
令y=0,得 ,解得x1=-2,x2=8,
∴A(-2,0),B(8,0)
(2)∵抛物线与y轴交与点C,
令x=0,得 =4,
∴C(0,4).
设直线BC的解析式:yBC=kx+b(k≠0),
把B,C两点坐标代入,可得
 ,解得 ,
∴ ,
假设存在,设P(x,y)(0<x<8)
连接PB,PC,过点P作PD∥y轴交直线BC于点D,
∴PD=yP-yD=( )-( )= =
又∵S△PBC= PD•OB= ×8×[ ]=
∴当x=4时,△PBC的面积最大,最大面积是16,
又∵0<x<8,
∴存在点P使△PBC的面积最大,最大面积是16.
(3)∵M是抛物线上任意一点,
设M点的横坐标为m,
∴M点的纵坐标为yM= ,
∵MN∥y轴,N是直线MN与直线BC交点,
∴N点的纵坐标yN= ,
∵MN=3,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
当 时,解得m1=2,m2=6;
当 时,解得m3=4+2 ,m4=4-2
∴M的坐标为(2,6)或(6,4)或(4+2 ,-1- )或(4-2 ,-1+ ).
 
【知识点】二次函数图象与系数的关系,函数图象与坐标轴的交点问题,二次函数的性质,待定系数法求一次函数的解析式,平行于坐标轴的直线上的两点的距离,解一元二次方程

7. (2018甘肃天水,T25,F12)如图所示,在正方形ABCD和△EFG中,AB=EF=EG=5cm,FG=8cm,点B、C、F、G在同一条直线l上.当点C,F重合时,△EFG以1cm/s的速度沿直线l向左开始运动,t秒后正方形ABCD与△EFG重合,部分的面积为Scm2.请解答下列问题:
(1)当t=3秒时,求S的值;
(2)当t=5秒时,求S的值;
(3)当5秒<t≤8秒时,求S与t的函数关系式,并求出S的最大值. 
 
第25题图
【思路分析】对于(1),首先确定重叠部分是三角形,再根据相似三角形的判定和性质求出高,进而得出面积;
对于(2),确定重叠部分的面积是四边形,再根据△EFG的面积-△CHG的面积计算即可;
对于(3),先确定重叠部分是五边形,然后根据相似三角形的判定和性质表示出对应边,再根据S=S△EFG- S△BFH- S△CGP,列出关于S,t的关系式,再根据二次函数的性质讨论极值即可.
【解析】过点E作EM⊥l,于点M.
∵EF=EG=5cm,FG=8cm,
∴FM=MG=4cm.
在Rt△EFM中,EM=3cm.
由△EFG以1cm/s的速度运动,可知CF=tcm………………………………………………1分
(1) 当t=3秒时,CF=3cm<CM,知重叠部分为△CFH,如图所示………………….2分
 
∵∠FCH=∠FME,∠HFC=∠EFM,
∴△FCH∽△FME,
∴ .
∵CF=3cm,FM=4cm,EM=3cm,
∴CH= .
则S= CF•CH= (cm2)……………………………………………………………………….4分
(2) 如图所示.当t=5秒时,点F与点B重合,△CHG的面积= cm2…………………5分
S= FG•EM-S△CHG=12- = (cm2)……………………………………………………………7分
 
(3) 当5秒<t≤8秒时,重叠部分是五边形………………………………………….8分
BF=(t-5)cm,CG=(8-t)cm,
∵∠FBH=∠FME,∠HFB=∠EFM,
∴△FBH △FME,
∴ ,
∵BF=(t-5)cm,FM=4cm,EM=3cm,
则BH= (t-5).
∴S△BFH= BF•BH= (t-5) (t-5)= (t-5)2= t2- t+ ………………………………………….9分
同理CP= (8-t),
∴S△CGP= CG•CP= (8-t) (8-t)= (8-t)2= t2-6t+24…………………………………………..10分
∴S=S△EFG- S△BFH- S△CGP=12-( t2- t+ )-( t2-6t+24)=- (t- )2+ .
∵- <0,
∴函数图象有最高点,
当t= 时,S的最大值为 …………………………………………………………………12分
 
【知识点】动点问题,二次函数的应用,相似三角形的性质和判定

8. (2018甘肃天水,T26,F12)已知:抛物线y=ax2+4ax+m(a>0)与x轴的一个交点为A(-1,0).
(1)求抛物线以x轴的另一个交点B的坐标;
(2)点D是抛物线与y轴的交点,点C是抛物线上的一个点,且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9,求此抛物线的解析式;
(3)点E是第二象限内到x轴,y轴的距离比为5:2的点,如果点E在(2)中的抛物线上,且点E与点A在此抛物线对称轴的同侧.问:在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△APE的周长最小.若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【思路分析】
【解析】(1)抛物线y=ax2+4ax+m的对称轴为x=-2,
∵该抛物线与x轴的一个交点为A(-1,0),
∴抛物线与x轴的另一个交点为B(-3,0)………………………………………………….2分
(2)设点D的坐标为(0,m),
根据抛物线的对称性,可知点C的坐标为(-4,m)……………………………………….3分
S梯形ABCD= (AB+CD)×OD= ×(2+4)m=9,
解得m=3………………………………………………………………………………………4分
设抛物线的关系式为y=a(x+3)(x+1),
∵点D(0,3)在图像上,
∴3=3a,
解得a=1,
则抛物线的解析式为y=x2+4x+3………………………………………………………………7分
 
(3)由点E是第二象限内到x轴,y轴的距离比为5:2的点,
设点E的坐标为(-2c,5c),
∵点E在抛物线y=x2+4x+3的图像上,
∴5c=4c2-8c+3,
解得c= 或c=3,
当c= 时,点E(- , );
当c=3时,点E(-6,15)(不符合题意,舍去). …………………………………………9分
点A关于对称轴x=-2对称的点为点B,△PAE的周长=PE+AP+AE=PE+PB+AE,AE的长
为定值,要求△PAE的周长最小,即要求PB+PE最小,根据两点之间线段最短,可知连接
BE与对称轴的交点即为点P…………………………………………………………………10分
设过点B(-3,0)和点E(- , )的直线为y=kx+b,

解得
∴直线BE的关系式为y= x+ ,………………………………………………………………11分
当x=-2时,y= ,
∴点P的坐标为(-2, )……………………………………………………………………12分
 
【知识点】二次函数的应用,根据轴对称求线段和最小,待定系数法求一次函数解析式

9.(2018广东广州,24,14分)已知抛物线y=x2+mx-2m-4(m>0).
(1)证明:该抛物线与x轴总有两个不同的交点;
(2)设该抛物线与x轴的两个交点分别为A,B(点A在点B的右侧),与y轴交于点C, A,B,C三点都在⊙P上.
①试判断:不论m取任何正数,⊙P是否经过y轴上某个定点?若是,求出该定点的坐标;若不是,说明理由;
②若点C关于直线 的对称点为点E,点D(0,1),连接BE,BD,DE,△BDE的周长记为l, ⊙P的半径记为r,求 的值.
【思路分析】(1)根据二次函数和一元二次方程的关系,利用一元二次方程根的判别式来判断抛物线与x轴交点个数;(2)分别求出(或用m表示)点A、B、C的坐标,画出示意图,利用“同弧所对的圆周角相等”证明两三角形有两角对应相等,然后利用相似求出定点坐标.(3)先由对称性求出点E的坐标,再根据E(-m,-2m-4),B(-m-2,0),D(0,1)用m分别表示BE2,BD2,DE2.用勾股定理逆定理证明∠DBE=90°,然后求出直角三角形三边比例,求 的值.
【解析】(1)令y=0,则x2+mx-2m-4=0.∵△=m2-m(-2m-4)=m2+8m+16=(m+4) 2,又m>4,∴(m+4) 2>0.∴此方程总有两个不相等的实数根,抛物线与x轴总有两个不同的交点;
(2)①设⊙P经过 轴上的另一个交点F.
令y=0,则x2+mx-2m-4=0.(x-2)(x+m+2)=0.x1=2,x2=-m-2.又m>4,点A在点 的右侧.∴A(2,0),B(-m-2,0).∵当x=0时,y=-2m-4,∴C(0,-2m-4).则AO=0,BO=m+2,CO=2m+4.∵∠BCO=∠BAF,∠CBO=∠AFO,∴△BCO≌△FAO.∴ , .∴FO=1,点F(1,0).
 
②∵点C(0,-2m-4)关于直线x= 的对称点为点E,∴E(-m,-2m-4),又B(-m-2,0),D(0,1).∴BD2=(m+2)2+12=m2+4m+5,DE2=(2m+5)2+m2=5m2+20m+25, BE2=22+(2m+4)2=4m2+16m+20.∴BD2 +BE2= DE2.∴∠DBE=90°.∴DE是⊙P直径.∵BD2=(m+2)2+12=m2+4m+5,BE2=22+(2m+4)2=4m2+16m+20.∴ .∴ .设BD=a,BE=2a,则DE= .∴ = = .
 
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用;二次函数图像与坐标轴的交点问题;勾股定理;轴对称的性质;圆周角定理;相似三角形的判定与性质

10. (2018贵州遵义,27题,14分)在平面直角坐标系中,二次函数 的图像经过点C(0,2)和点D(4,-2),点E是直线 与二次函数图像在第一象限内的交点。
(1)求二次函数的解析式及点E的坐标;
(2)如图①,若点M是二次函数图像上的点,且在直线CE的上方,连接MC,OE,ME,求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标;
(3)如图②,经过A、B、C三点的圆交y轴于点F,求点F的坐标。
 
第27题图
【思路分析】(1)由待定系数法可得a和c的值,进而得到二次函数解析式,联立两个函数解析式可得交点E的坐标;(2)分析四边形COEM是由△COE和△CME组成的,而△COE面积已经确定,△CME中CE确定,点M位置不确定,因此以CE为底,M到CE的距离则为高,因为M在抛物线上运动,作一条与CE平行的直线,当它与抛物线相切时,两直线距离最远,即三角形的高最大,切点即为M点,设出直线的解析式,与抛物线联立得到一元二次方程,令△=0,可得直线解析式,进而求出点M坐标,求得四边形面积;(3)连接BF、AC,可得∠ACO=∠ABF,则△AOC∽△FOB,通过边的比例关系得到OF,进而得到F坐标。
【解析】(1)因为二次函数 的图像经过点C(0,2)和点D(4,-2),由此可得 ,解得 ,二次函数解析式为 ,与 联立,得x1=0(舍去),x2=3,此时,y=1,故E(3,1)。
(2)S四边形COEM=S△COE+S△CME,S△COE= ,因为C(0,2),E(3,1),所以S△COE=3,S△CME= ,其中h为点M到CE的距离,因为M在抛物线上运动,因此当平行于CE的直线与抛物线相切于点M时,h最大,从而面积最大,设l’: ,与 联立,得 ,△=36+8(6-3b)=0,b= ,此时点M坐标为( ,3),过M作MN∥y轴,交CE与点N,在 中,令x= ,得y= ,N( , ),所以S△CME= = ,所以S四边形COEM=S△COE+S△CME=

第27题解图
(3)在 中,令y=0,得 , ,连接BF,AC,因为∠ACO=∠ABF,∠AOC=∠FOB,所以△AOC∽△FOB,则 ,所以 ,得,OF= ,所以F(0,- )
 
【知识点】二次函数解析式,交点坐标,三角形面积,最值,相似三角形


11. (2018河北省,25,10)如图,点A在数轴上对应的数为26,一原点O为圆心,OA长为半径作优弧 ,使点B在O右下方,且tan∠AOB= .在优弧 上任取一点P,且能过P作直线l∥OB交数轴与点Q,设Q在数轴上对应的数为x,连接OP.
    (1)若优弧 上一段 的长为13π,求∠AOP的度数及x的值;
    (2)求x的最小值,并指出此时直线l与 所在圆的位置关系;
    (3)若线段PQ的长为12.5,直接写出这时x的值.
    
【思路分析】(1)利用弧长公式求∠AOP的值.(2)向左平移直线l至能达到的最左端位置,再根据图形求出x的最小值.(3)由(2)可知在平移过程中有点P在直线OA上方和下方两种情况,所以要分情况讨论.
【解析】(1)设∠AOP的度数为n,则 =13π.解得n=90.
∴OP⊥OA.             1分
               ∵l∥OB,∴∠PQO=∠AOB.
∴tan∠PQO=tan∠AOB= = .
∵OP=26,∴OQ= .
∴∠AOP的度数为90°,x的值为 .       2分
(2)如图(1),将l向左平移,当l与⊙O相切时,x取得最小值.由(1)可知tan∠PQO= .
∴sin∠PQO= .
∵OP=26,
∴OQ= .
∴x的最小值为- ,           2分
此时l与 所在圆相切.          1分 
      
(3)如图(2)当点P在数轴上方时,过点O作OC⊥l,垂足为C.连接OP.
设QC的长度为a,则PC=12.5+a,OC= a.
在Rt△OPC中有(12.5+a)2+( a)2=262.
解得a1=9.9,a2=-18.9(舍).          1分
∴OQ= a= ×9.9=16.5.
∴此时x的值为-16.5.            1分
当点P在数轴的下方时,同理可得x的值为-31.5.      1分  
另外,当点Q在点O右侧时,同理可得x的值为31.5.     1分
综上,x的值为-16.5或-31.5或31.5.

【知识点】圆,扇形的弧长,直线与圆的位置关系

12. (2018湖北宜昌,24,12分) 如图,在平面直角坐标系中,矩形 的顶点 的坐标分别为 , .过点 的双曲线 与矩形 的边 交于点 .
(1)填空: _____, _____,点 的坐标为__________;
(2)当 时,经过点 与点 的直线  轴于点 ,点 是过 两点的抛物线 的顶点.
①当点 在双曲线 上时,求证:直线 与双曲线 没有公共点;
②当抛物线 与矩形 有且只有三个公共点,求 的值;
③当点 和点 随着 的变化同时向上运动时,求 的取值范围,并求在运动过程中直线 在四边形 中扫过的面积.
 
             (第24题图)
【思路分析】(1)将点C的坐标代入双曲线,求出k值,再将x=4代入双曲线,进而求出E点坐标;
(2)①设直线 ,由题建立方程组,解得 ,得出直线表达式,∵抛物线 过点 ,再建立方程组解得 得出抛物线的表达式,得到抛物线顶点坐标,将顶点坐标代入双曲线,求出t的值.得出直线 将直线与双曲线联立方程组,据根的判别式,判断出直线与双曲线是否有公共点.
②当抛物线过 点,此时抛物线与矩形 有且只有三个公共点,建立方程,求出t值;
当顶点 在线段 上,此时抛物线与矩形 有且只有三个公共点,建立方程,求出t值;
③由点 的坐标, 当 时, 随着 的增大而增大,此时,点 在直线 上向上运动.又由点 的坐标, 当 时, 随着 的增大而增大,点 在 轴上向上运动.
 
当 时,直线 与 轴交于 ,与 轴交于 ,当 时,直线 过点 ,
当 时,直线 在四边形 中扫过的面积为
【解析】解:(1)填空: ,点 的坐标为 ;
(2)①设直线
由题意得
解得
∴直线
∵抛物线 过点
 
解得
∴抛物线
 顶点
∵顶点 在双曲线 上
 
 
此时直线
联立 ,得
 
 
∴直线 与双曲线 没有公共点
②当抛物线过 点,此时抛物线与矩形 有且只有三个公共点,

当顶点 在线段 上,此时抛物线与矩形 有且只有三个公共点,
则 ,
 或
③ 点 的坐标为 ,
 
当 时, 随着 的增大而增大,
此时,当 时,随着 的增大,点 在直线 上向上运动.
又 点 的坐标为
 
 当 时, 随着 的增大而增大,
此时当 时,随着 的增大而增大,点 在 轴上向上运动.
 
当 时,直线 与 轴交于 ,与 轴交于
当 时,直线 过点 ,
当 时,直线 在四边形 中扫过的面积为
 
【知识点】二次函数综合,点的坐标,双曲线,抛物线,根的判别式,四边形的面积
13. (2018湖南省湘潭市,26,10分)如图,点P为抛物线y= x2上一动点.
(1)若抛物线y= x2是由抛物线y= (x+2)2-1通过图象平移得到的,请写出平移的过程;
(2)若直线l经过y轴上一点N,且平行于x轴,点N的坐标为(0,-1),过点P作PM⊥l于M.
①问题探究:如图一,在对称轴上是否存在一定点F,使得PM=PF恒成立?若存在,求出点F的坐标:若不存在,请说明理由.
②问题解决:如图二,若点Q的坐标为(1,5),求QP+PF的最小值.
 
【思路分析】(1)直接根据抛物线的平移规律“上加下减,左加右减”解答;(2)①过点P作PB⊥y轴于点B构造Rt△PFB,从而利用勾股定理求出BF的长,最后根据线段的和差关系求出OF的长,从而确定出点F的坐标;②根据①中的结论,得到PM=PF,所以QP+PF的最小值为QP+QM的最小值,即当Q、P、M三点共线时,从而求出结果.
【解析】解:(1)∵抛物线y= (x+2)2-1的顶点为(-2,-1),
∴抛物线y= (x+2)2-1的图象向上平移1个单位,再向右2个单位得到抛物线y= x2的图象.
(2)①存在一定点F,使得PM=PF恒成立.
如图一,过点P作PB⊥y轴于点B,
 
设点P坐标为(a, a2),∴PM=PF= a2+1,∵PB=a,∴点B的坐标为(0, a2),
∴Rt△PBF中,BF= = = a2-1,∵BO= a2,
∴OF=OB-BF=1,
∴点F坐标为(0,1)
②由①,PM=PF,
∴QP+PF的最小值为QP+QM的最小值,即当Q、P、M三点共线时,QP+QM有最小值为点Q纵坐标5.
∴QP+PF的最小值为5.
【知识点】二次函数的平移规律;勾股定理;点到直线的距离


14. (2018江苏淮安,27,12)如图,在平面直角坐标系中,一次函数 的图像与x轴和y轴分别相交于A、B两点。动点P从点A出发,在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动,到达点O停止运动。点A关于点P的对称点为点Q,以线段PQ为边向上作正方形PQMN。设运动时间为x秒。
(1)  当 秒时,点Q的坐标是     ;
(2)  在运动过程中,设正方形PQMN与△AOB重叠部分的面积为S,求S与t的函数表达式;
(3)  若正方形PQMN对角线的交点为T,请直接写出运动过程中OT+PT的最小值。
 

【思路分析】本题综合考查动点问题,(1)由动点的特征,代入数据直接计算即可;
(2)由题意分类讨论,由动点的特征,分别代入数据直接计算即可

【解析】 (1)当  秒时,可得 AP=1,则点 P 坐标为(5,0),因点 A 坐标为(6,0),则点 Q 坐
标为(4,0).
(2)由题意可知:重叠部分面积为正方形面积减去△CDN 的面积,因运动时间为 t,且点 A 关
于点 P 的对称点为点 Q,即 AP=PQ=3t,则可设点 P 坐标为(6-3t,0),则点 C 坐标为(6-3t,2t),则 CN=t,
则当 0≤ t≤1 时,
 
则当 时,
 
则当  时, 
 
综上:
(3)

【知识点】正方形的性质;勾股定理;分类讨论思想;转化思想;待定系数法;数形结合法;条件探索型问题;
动点问题;坐标系中点的坐标特征

15. (2018山东德州,25,14分)如图1,在平面直角坐标系中,直线 与抛物线 交于 两点,其中 , .该抛物线与 轴交于点 ,与 轴交于另一点 .

(1)求 的值及该抛物线的解析式;
(2)如图2.若点 为线段 上的一动点(不与 重合).分别以 、 为斜边,在直线 的同侧作等腰直角△ 和等腰直角△ ,连接 ,试确定△ 面积最大时 点的坐标.
(3)如图3.连接 、 ,在线段 上是否存在点 ,使得以 为顶点的三角形与△ 相似,若存在,请直接写出点 的坐标;若不存在,请说明理由.
【思路分析】(1)易求 的值,再用待定系数法求抛物线的解析式; (2)求出 的长后,设 ,用m的代数式表示出PM、PN的长,得出△ 面积关于m的函数关系式,再结合增减性得最大值;(3)通过计算发现AB∥CD,得∠BAD=∠CDO=45°,以后分两种情况讨论,得夹这对对应角的两边成比例,求出DQ长,结合∠QDO=45°得点Q坐标.
【解析】解:(1)把点 、点 代入 得 ,
∴ ,
∵ ,过点 、点 ,
∴ ,解得: ,
∴ ;
(2)如图2,∵△ 和△ 为等直角三角形,
∴ ,
∴ ,
∴△ 为直角三角形.
令 ,解得: ,
∴ , .
设 ,则 ,
 , ,

= =
∴当 ,即 时, 最大,此时 ,所以 ;
(3)存在点 坐标为 或 .
答案来源:由A(1,0),B(4,3),C(0,-5),D(5,0),求得AB= ,AD=4, ,所以∠BAD=∠CDO=45°,所以下面分两种情况讨论:①当△ADQ∽△DAB时, ,所以DQ=AB= ,过Q点作x轴的垂线,垂足为E,则DQ=EQ= ,因为D(5,0),所以 坐标为 ;②当△QDA∽△DAB时,  ,所以 ,所以DQ=  ,同上得 坐标为 ,综上所述存在点 坐标为 或 .
 
【知识点】待定系数法,二次函数的最值,相似三角形

16.(2018山东省日照市,21,13分)如图,已知点A(-1,0),B(3,0),C(0,1)在抛物线y=ax2+bx+c上.
(1)求抛物线解析式;
(2)在直线BC上方的抛物线上求一点P,使△PBC面积为1;
(3)在x轴下方且在抛物线对称轴上,是否存在一点Q,使∠BQC=∠BAC?若存在,求出Q点坐标;若不存在,说明理由.
 
【思路分析】(1)由待定系数法求抛物线解析式;
(2)作PD⊥x轴交直线BC于D,将△PBC转化为S△PDC+S△PDB列方程求解;
(3)由∠BQC=∠BAC推出点Q在△ABC外接圆上,外接圆圆心是弦AC与对称轴的交点,从而确定外接圆圆心坐标及半径长,进而求得点Q坐标.
【解析】((1)把点A(-1,0),B(3,0),C(0,1)代入y=ax2+bx+c,得 ,
解得 ,所以抛物线的解析式为y=- x2+ x+1.
(2)∵B(3,0),C(0,1), ∴直线BC的解析式为y=- x+1,过点P作PD⊥x轴交直线BC于D,设P(x, - x2+ x+1)易得D(x, - x+1).
∴PD=- x2+ x+1-(- x+1)= - x2+x.
∴S△PBC=S△PDC+S△PDB= PD(xB-xC)= (- x2+x)(3-0)=- x2+ x.
又∵S△PBC=1,∴- x2+ x=1,∴x2-3x+2=0,解得x1=1,x2=2.
∴P1(1, ),P2(2,1).
(3)答:存在.
理由:如图 ,∵A(-1,0),C(0,1),
∴OC=OA=1,∴∠BAC=45°.
∵∠BAC=∠BQC,∴∠BQC=45°.

 

∴点Q为△ABC外接圆与抛物线对称轴在x轴下方的交点.
设△ABC外接圆圆心为M,∵线段AC的垂直平分线为直线:y=-x,线段AB的垂直平分线为:x=1.
∴点M为直线y=-x与直线x=1的交点,即M(1,-1),
∴∠BMC=2∠BQC=90°,又∵MQ=MB=R= ,
∴yQ=-(1+ )=-1- ,
∵Q在直线x=1上,
∴xQ=1,
∴Q(1,-1- ).
【知识点】待定系数法  三角形外接圆  线垂直平分线  三角形面积

17. (2018•x疆维吾尔、生产建设兵团,23,13)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y= x2- x-4与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C.
    (1)求点A,B,C的坐标;
    (2)点P从A点出发,在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向B点运动,同时,点Q从B点出发,在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动,当其中一个点达到终点时,另一个点也停止运动.设运动时间为t秒,求运动时间t为多少秒时,△PBQ的面积S最大,并求出其最大面积;
    (3)在(2)的条件下,当△PBQ的面积最大时,在BC下方的抛物线上是否存在点M,使△BMC的面积是△PBQ的面积的1.6倍?若存在,求点M的坐标;若不存在,请说明理由.
                          
【思路分析】(1)令二次函数中的自变量及函数值分别等于0,解相应的方程,即可得到A、B、C的坐标;(2)过点Q作QD⊥AB于点D,则AP=2t,BQ=t,BO=3,AB=5,OC=4,BC= =5,从而PB=5-2t.然后利用相似三角形的判定与性质,得到DQ= t,然后利用三角形的面积公式,得到S△PBQ= AB•DQ= × t×(5-2t),再利用配方法化抛物线为顶点式即可求出运动时间t为多少秒时,△PBQ的面积S最大及最大值;(3)过M用ME⊥AB交BC于点N,先求直线BC的解析式,设M(m, m2- m-4),从而得到N点的坐标为N(m, m-4),于是S△MBC=S△CMN+S△BMN= MN•OB=-m2+3m,再通过△BMC的面积是△PBQ的面积的1.6倍,得到关于m的一元二次方程,解之并检验就得到符合题的点M的坐标了.
【解析】解:(1)令y= x2- x-4中的y=0,得 x2- x-4=0,解得x1=-2,x2=3;令x=0,得y=-4,故A(-2,0),B(3,0),C(0,-4) .
       (2)如下图,过点Q作QD⊥AB于点D,则AP=2t,BQ=t,BO=3,AB=5,OC=4,BC= =5,从而PB=5-2t.
∵DQ∥CP,
∴△BDQ∽△BOC.
∴ ,即 .
∴DQ= t.
            ∴S△PBQ= AB•DQ= × t×(5-2t)=- t2+2t=- (t- )2+ .
             ∴当t= 时,S△PBQ取最大值为 .
                           
        (3)假设存在符合条件的点M(m, m2- m-4),设直线BC的解析式为y=kx-4,则3k-4=0,解得k= ,从而BC:y= x-4.过M用ME⊥AB交BC于点N,如下图,则N(m, m-4),从而MN= m-4-( m2- m-4)=- m2+2m.
故S△MBC=S△CMN+S△BMN= MN•OB=-m2+3m.
∵△BMC的面积是△PBQ的面积的1.6倍,
∴-m2+3m=1.6× ,整理,得m2-3m+2=0,解得m1=1,m2=2.
∵点M在BC下方的抛物线上,
∴0<m<3.
∴m1=1,m2=2,皆符合题意,此时P(1,-4)或P(2,- ).
            
【知识点】二次函数;一次函数;一元二次方程的解法;勾股定理;相似三角形的性质与判定;一次函数的解析式的求法;配方法;探究性质问题;最值问题;动态问题;压轴题

18. (2018福建A卷,25,14)已知抛物线y=ax2+bx+c过点A (0,2) .
(1)若图象过点( ,0),求a与b满足的关系式;
(2) 抛物线上任意两点M(x1,y1)、N(x2,y2)都满足x1< x2<0时, ;0<x1< x2时, .以原点O 为圆心,OA为半径作⊙O交抛物线于另两点B、C,若△ABC中有一个内角为60°.
①求抛物线解析式;
②P与点O关于点A对称,且O、M、N三点共线,求证:PA平分∠MPN.
 
【解题过程】解:(1)因为抛物线过点A(0,2),所以 .又因为点( ,0)也在抛物线上,所以 ,即 .
(2)①当x1< x2<0时,x1- x2<0,由 所以 ,即当 时, 随x的增大而增大;同理可得,当时, 随x的增大而减小;所以抛物线的对称轴为 轴且开口向下,则 =0.
因为O为圆心,OA为半径的圆与抛物线交于另两点B,C,所以△ABC是等腰三角形,又因为△ABC有一个内角为60°,故△ABC为等边三角形.
设线段BC与 轴交于点D,则BD=CD,且∠OCD=30°.
又因为OC=OA=2,所以CD=OC ,OD=OC =1.
不妨设点C在 轴的右侧,则点C的坐标为( ,-1).
因为点C在抛物线上,且 , ,所以 ,解得 .
所以所求抛物线的解析式为 .
②由①知,点M坐标为( , ),点N坐标为( , )设直线OM的解析式为 ,因为O,M,N三点共线,所以 , ,且 ,即 ,化为 .
由 ≠ ,得 ,即 ,所以点N坐标为( , ).
设点N关于 轴的对称点为点N′,即点N′坐标为( , ),因为点P是点O关于点A的对称点,所以OP=2OA=4,即点P坐标为(0,4),设直线PM的解析式为 ,因为点M坐标为( , ),所以 ,则 ,即直线PM的解析式为 ,因为 ,即点N′在直线PM上,所以PM平分∠MPC.
【知识点】二次函数,等边三角形性质,轴对称


19.(2018福建B卷,25,14)已知抛物线y=ax2+bx+c过点A (0,2) ,且抛物线上任意不同两点M(x1,y1)、N(x2,y2)都满足:当x1<x2<0时, ;当0<x1<x2时, .以原点O 为圆心,OA为半径的圆与抛物线于另两个交为点B、C,且B在C的左侧,△ABC中有一个内角为60°.
(1)求抛物线解析式;
(2)若MN与直线 平行,且M,N位于直线BC的两侧,  ,解决以下问题:
①求证:BC平分∠MBN;
②求△MBC外心的纵坐标的取值范围.
 
【解题过程】解:(1)因为抛物线过点A(0,2),所以 .当x1< x2<0时,x1- x2<0,由 所以 ,即当 时, 随x的增大而增大;同理可得,当时, 随x的增大而减小;所以抛物线的对称轴为 轴且开口向下,则 =0.
因为O为圆心,OA为半径的圆与抛物线交于另两点B,C,所以△ABC是等腰三角形,又因为△ABC有一个内角为60°,故△ABC为等边三角形,且OC=OA=2.
设线段BC与 轴交于点D,则BD=CD,且∠OCD=30°.
所以BD=OB ,OD=OB =1.
因为点B在点C在 轴的左侧,则点B的坐标为(- ,-1).
因为点B在抛物线上y=ax2+bx+c,且 , ,所以 ,解得 .
所以所求抛物线的解析式为 .
(2)① 由(1)知,点M坐标为( , ),点N坐标为( , ),因为MN与直线 平行,所以设直线MN的解析式为 ,则 ,即 ,所以直线MN的解的式为: ,
将 代入 得: ,化为:
 ,解得: ,或 ,所以 ,则 ,
作ME⊥BC,NF⊥BC,垂足分别为E,F,
因为点M,N位于直线BC的两侧,且 ,则 ,且 ,
所以ME= ,BE= ,
NF= ,BF= ,
在 BEM中, ,
在 BFN中,
 。
因为 ,所以 ,即BC平分∠MBN.
②因为 轴为BC的垂直平分线,所以可设△MBC的外心为P(0, ),则PB=PM,即 ,由勾股定理,可得 :因为 ,所以 ,即 。由①知, ,所以 ,即△MBC的外心的纵坐标的取值范围为: 。
 
【知识点】二次函数

20. (2018广东省深圳市,23,?分)已知顶点为A抛物线 经过点B( ,2),点C( ,2).
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,直线AB与x轴相交于点M,y轴相交于点E,抛物线与 轴相交于点F,在直线AB上有一点P,若∠OPM=∠MAF,求△POE的面积;
图1
(3)如图2,点Q是折线A-B-C上一点,过点Q作QN∥y轴,过点E作EN∥x轴,直线QN与直线 相交于点 ,连接QE,将△QEN沿QE翻折得到△QEN 1,若点N 1落在 轴上,请直接写出Q点的坐标.
图2
【思路分析】(1)将B( ,2)代入 即可求出抛物线的解析式;(2)根据二次函数的顶点式得出点A的坐标,然后求出直线AB的函数关系式,即可得到点E、M以及点F的坐标,从而求出FE的长,在证明△OPE∽△FAE,得到OP的长,再利用两点间距离公式和直线AB的函数关系式,即可得到P点的横坐标,就可求出△POE的面积;(3)分情况讨论,当点Q在线段AB上时,设点Q的坐标为(m,-2m-1),则N的坐标为(m,-1),由将△QEN沿QE翻折得到△QEN 1可得,QN 1 =QN和EN 1=EN即可求出m的值,从而求出点Q的坐标;当点Q在线段BC上时,可设点Q的坐标为(m,2),则N的坐标为(m,-1),则QN 1=QN=3,EN 1=EN= ,即可求出m的值,从而得到点Q的坐标.
【解题过程】解:(1)将B( ,2)代入 得,   ,解得a=1,∴抛物线的解析式为 ;
(2)∵抛物线的解析式为 ,∴顶点A的坐标为( ,-2),设直线AB解析式为: ,将点A( ,-2),B( ,2)代入 得: ,解得: ,∴直线AB的解析式为: ,
当x=0时,y=-2×0-1=-1,∴点E的坐标为(0,-1),∴OE=1,当y=0时,0=-2 x-1,解得x=- ,∴点M的坐标为(- ,0),∵抛物线的解析式为 ,∴点F的坐标为(0,- ),∴FE=-1-(- )= ,∵∠OPM=∠MAF, 即∠OPE=∠EAF,又∵∠OEM=∠AEF, ∴△OPE∽△FAE,
∴ ,∴OP=  FA,又∵AF= ∴OP= AF= ,设点P(t,-2t-1),则:OP= ,解得 , ,由抛物线的对称性知,当 时,也满足∠OPM=∠MAF, ∴ , 都满足条件,∵当 时, S△POE= OE• = ×1× = ,当 时, S△POE= OE• = ×1× = ,∴△POE的面积为 或 ;
(3)当点Q在线段AB上时,如图2,可设点Q的坐标为(m,-2m-1),则N的坐标为(m,-1),则QN=-2m-(-1)=-2m,EN=-m,由将△QEN沿QE翻折得到△QEN 1可得,QN 1 =QN=-2m,EN 1=EN=-m,设点N 1的坐标为(x,0),则QN 12 = ,EN 12= ,∴ =-2m①, =(-m)2②,由①得 ,解得 , ,由②得x2=m2-1,∴ = ,化简得 或 (不可能,故舍去),∴ ,解得m=- ,∴x= ,
∴Q点的坐标为( ,0);
当点Q在线段BC上时,如下图3,可设点Q的坐标为(m,2),则N的坐标为(m,-1),则QN=2-(-1)=3,EN= ,由将△QEN沿QE翻折得到△QEN 1可得,QN 1=QN=3,EN 1=EN= ,设点N 1的坐标为(x,0),则QN 12 = ,EN 12= ,∴ =32①, =m2②,由①得 ,解得 , ,由②得x2=m2-1,∴ =m2-1,化简得 或 ,解得m=- ,∴x2= ,∴x= ,∴Q点的坐标为( ,0)或( ,0);
综上所述,点Q的坐标为( ,0)或( ,0)或( ,0).
 
【知识点】二次函数关系式;顶点式;一次函数;相似三角形的性质;两点间距离公式;勾股定理;三角形面积公式;分类讨论;解一元二次方程;解一元一次方程;分母有理化

21. (2018贵州安顺,T26,F14)如图,已知抛物线 的对称轴为直线x=-1,且抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,其中 A(1, 0),C (0, 3).
(1)若直线y=mx+n经过B、C两点,求直线BC和抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴X=-1上找一个点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,求出点M的坐标;
(3)设点P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点,求使△BPC为直角三角形的点P的坐标.

 

 


 
                               第26题图                           
【思路分析】(1)根据抛物线的对称轴是x=-1,A(1,0),可求出点B的坐标,联系C(0,3)利用两点式即可求出直线y=mx+n的解析式;把点A、C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b,c的关系式,再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系式,联立得到方程组,解出a,b和c的值即可得到抛物线的解析式;
(2)由于点M在抛物线的对称轴上,∴点M到点B的距离和到点A的距离相等,要使MB+MC的值最小,就是使点B、M、C三点共线即可,即对称轴与直线BC的交点就是要求的点M位置,进而求出点M的坐标即可;
(3)设出点P的坐标为(-1,t),再根据点B、C的坐标得出BC²=18,PB²=4+t²,PC²=t²-6t+10,然后根据直角顶点分三种情况讨论,最后求出符合题意的t值即可求出点P的坐标.
【解题过程】解:(1)∵抛物线的对称轴是直线x=-1,A(1,0),
                     ∴点B的坐标为(-3,0).
                     把B(-3,0)、C(0,3)分别代入直线y=mx+n中,
                     得 解得
∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3.
将A(1,0)和C(0,3)代入 ,
得a+b+c=0,c=3.由对称轴公式,得 =-1,.
有 解得
∴抛物线的解析式为 .
                (2)由于点M在抛物线的对称轴上,∴点M到点B的距离和到点A的距离相等,要使MB+MC的值最小,就是使点B、M、C三点共线即可,即对称轴与直线BC的交点就是要求的点M位置.
                     把x=-1代入直线y=x+3,得y=2.
                     ∴M(-1,2),即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为(-1,2).
                (3)设P的坐标为(-1,t),
                     又∵B(-3,0)、C(0,3),
                     ∴BC²=(-3)²+3²=18,PB²=(-1+3)²+t²=4+t²,PC²=(-1)²+(t-
3)²=t²-6t+10.
①若点B为直角顶点,则BC²+PB²=PC²,即18+4+t²=t²-6t+10,解得t=-2;
②若点C为直角顶点,则BC²+PC²= PB²,即18+ t²-6t+10=4+t²,解得t=4;
③若点P为直角顶点,则PB²+PC²=BC²,即4+t²+ t²-6t+10=18,解得 , .
综上所述,点P的坐标为(-1,-2)或(-1,4)或(-1, )或(-1, ).
【知识点】待定系数法,二次函数图象的性质,勾股定理,解一元二次方程.


22. (2018四川雅安,24题,12分)如图,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,过点C作CD∥x轴,交抛物线于另一点D,连接AD。
 
第24题图
(1)求点A、B、C的坐标;
(2)若点P是直线AD上方抛物线上一点,求△PAD面积的最大值;
(3)过点A作AE与抛物线交于点E,且AB平分∠DAE,在x轴上是否存在点M,使得△AEM为等腰三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由。
【思路分析】(1)点A、B、C为抛物线与坐标轴的交点,令y=0和x=0可得;(2)利用二次函数和直线表达式,设出P和Q的坐标,用含有a的代数式写出三角形面积,进而分析二次函数的最值;(3)先求出点E坐标,求出AE长度,再对AE是腰或底进行分类讨论,结合AE的长度,得出M的坐标
【解题过程】(1)因为抛物线与x轴交于A、B两点,令y=0,得x1=-1,x2=3,因为点A在点B左侧,所以A(-1,0),B(3,0),因为抛物线与y轴交于点C,令x=0,y=3,所以C(0,3);
(2)由(1)可知A(-1,0),B(3,0),所以对称轴为直线x=1,因为C(0,3),且CD∥x轴,所以D(2,3),设直线AD的表达式为:y=kx+b,则 ,所以直线AD的表达式为y=x+1,过点P作PQ∥y轴交AD于点Q,设P(a,-a2+2a+3)(-1<a<2),则Q(a,a+1),所以PQ=-a2+2a+3-(a+1)=-a2+a+2,所以S△PAD=S△PAQ+S△PDQ= ×3•PQ= (-a2+a+2) =- (a- )2+ ,当a= 时,S取得最大值 ,所以S△PAD的最大值为 ;

第24题解图1
(3)分别过点D、E作DH⊥x轴,EF⊥x轴,垂足分别为H、F,因为A(-1,0),D(2,3),所以AH=DH=3,所以∠DAH45°,因为AB平分∠DAE,所以∠EAF=∠DAH=45°,所以AF=EF,设E(m,-m2+2m+3)(m>0),则m+1=-m2+2m-3,解为:m1=4,m2=-1(舍去),所以E(4,-5),所以AE= ;①当AE=AM时,可得AM= ,因为A(-1,0),所以M1(- -1,0),M2( -1,0);②当EA=EM时,可得EM= ,所以点F为点A和点M的中点,所以M3(9,0);③当AM=EM时,点M与点F重合,所以M4(4,0),综上所述,符合条件的点M有4个:M1(- -1,0),M2( -1,0),M3(9,0),M4(4,0)

第24题解图2
【知识点】交点坐标,三角形面积,二次函数最值,等腰三角形

23. (2018武汉市,24,12分)抛物线L:y=-x2+ +c经过点A(0,1),与它的对称轴直线x=1交于点B.
(1) 直接写出抛物线L的解析式.
(2) 如图1,过定点的直线y= -k+4(k<0)与抛物线L交于点M、N.若△BMN的面积等于1,求k的值
(3) 如图2,将抛物线L向上平移m(m>0)个单位长度得到抛物线L1,抛物线L1与y轴交于点C,过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D.F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点,P为线段OC上一点.若△PCD与△POF相似,并且符合条件的点P恰有2个,求m的值及相应点P的坐标
                   
【思路分析】(1)由抛物线L经过点A求得c的值;由抛物线L的对称轴求得b的值,得抛物线L的解析式.
(2)设直线y= -k+4(k<0)与抛物线L:y=-x2+ +c的对称轴x=1交于点E,则
 ,用k表示出 并代入上式,求得k的值.
(3)设 为: ,∴ .设 (0, ),①△ ∽△ 时, ,此时必有一点 满足条件;②△ ∽△ 时, .∵符合条件的点 恰有两个,分两种情况进行讨论:
∴第一种情况: 有两个相等的实数根,求出m的值及相应点P的坐标;第二种情况: 有两个不相等的实数根,且其中一根为 的解,求出m的值及相应点P的坐标.
【解题过程】(1)∵抛物线L:y=-x2+ +c经过点A(0,1),
∴c=1;
∵抛物线L:y=-x2+ +c的对称轴是直线x=1,
∴ ,解得 ;
∴ .
(2)∵直线 ,则 ,
∴直线 过定点 (1,4),
联立 ,
得 ,
∴ , ,                                   24(2)答题图

 .
∵ ,
∴       ∴
∵         ∴
(3)设 为:    ∴ 且 (0, ), (2, ), (1,0),设 (0, ),
①△ ∽△ 时, ∴ , ∴ , ∴ ,此时必有一点 满足条件;
②△ ∽△ 时, ∴ , ∴ , ∴ .
∵符合条件的点 恰有两个,
∴第一种情况:
 有两个相等的实数根,
 ,∴ ,     ∵ ,    ∴ ,  ∴ ,
将 代入 得: ,     ∴ (0, ),
将 代入 得: ,     ∴ (0, ).
第二种情况:
 有两个不相等的实数根,且其中一根为 的解,
∴ ,  将 代入 得: ,
∴ ,   ∵ ,   ∴ ,    ∴ ,  ,
将 代入 得: , ∴ (0,1);   , ∴ (0,2).
综上所述:
当 时, (0, )或 (0, ),
当 时, (0,1)或 (0,2)
【知识点】确定二次函数表达式 直线过定点 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程根的判别式与方程的根的情况之间的关系 相似三角形的性质


24. (2018湖南省永州市,25,12)如图1,抛物线的顶点A的坐标为(1,4),抛物线与x轴相交于B、C两点,与y轴交于点E(0,3).
(1)求抛物线的表达式;
(2)已知点F(0,-3),在抛物线的对称轴上是否存在一点G,使得EG+FG最小,如果存在,求出点G 的坐标;如果不存在,请说明理由.
(3)如图2,连接AB,若点P是线段OE上的一动点,过点P 作线段AB的垂线,分别与线段AB、抛物线相交于点M、N(点M、N都在抛物线对称轴的右侧),当MN最大时,求△PON的面积.
  
【思路分析】(1)将已知点代入二次函数的表达式y=a(x-1)2+4中求出a的值,即可求出二次函数的表达式;(2)由于点E、F位于抛物线的对称轴的同侧,因此,只需要作出其中一个点关于对称轴的对称点,再连接这个对称点与另外一个点所得直线与对称轴的交点,即为所求的点G,使得EG+FG最小;(3) 由于AB的长度是一个定值,当MN最大时,即转化为求△ABN的面积最大时对应的线段MN的长度,从而确定点N的坐标和PN所在的直线,即可求得点P的坐标和△PON的面积.
【解题过程】(1) 设所求二次函数的表达式为y=a(x-1)2+4,
∵ 抛物线与y轴交于点E(0,3),∴a(0-1)2+4=3,解得a=-1,
∴ 所求二次函数的表达式为y=-(x-1)2+4,即y=-x2+2x+3;
(2) 存在一点G,使得EG+FG最小.
∵ 抛物线的顶点A的坐标为(1,4),
∴ 点E(0,3)关于抛物线对称轴成轴对称的点为E′(2,3),
∵ 设直线E′F的函数表达式为y=kx+b,
∴  ,解得 ,即y=3x-3,
当x=1时,y=0,即点G(1,0),使得EG+FG最小.
     
(3) 连接AN、BN,过点N作NT∥y轴交AB、x轴分别于点S、T.
y=-x2+2x+3,当y=0时,x1=-1,x2=3,则B(3,0);
∵ A(1,4),B(3,0),∴AB=2 ;
设直线AB的函数表达式为y=mx+n,
∴  ,解得 ,即y=-2x+6,
设N(n,-n2+2n+3),则S(n,-2n+6),∴ NS=-n2+4n-3
∵ S△ABN=S△ANS+S△BNS,∴ AB•MN= NS•(3-1),
∴ MN= (-n2+4n-3)=- (n2-4n+3)=- (n-2)2+ ,
即n=2时,N(2,3),线段MN最大,为 ;
∵ PN⊥AB,则直线PN的函数表达式为:y= x+c,且N(2,3),∴c=2,则y= x+2,
∴ 点P(0,2),∴S△OPN= OP•xN= ×2×2=2.
【知识点】一次函数的图像与性质  二次函数的图像与性质   轴对称的性质

25. (2018四川攀枝花,24,12)(本小题满分12分)如图13,对称轴为直线x=1的抛物线 与x轴交于 两点,与y轴交于C点,且 (1)求抛物线的解析式;2)抛物线顶点为D,直线BD交y轴于E点①设点P为线段BD上一点(点P不与B、D两点重合),过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F,求△BDF面积的最大值;②在线段BD上是否存在点Q,使得∠BDC=∠QCE?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
 


【思路分析】
(1)利用根与系数的关系列方程可求抛物线的解析式;(2)通过PF的长度表示△BDF的面积,可得△BDF的面积是一个关于x的二次函数,利用二次函数的最值公式可求解;(3)由角相等可以构造相似三角形求解。
【解题过程】
(1)令 ,得 ,
∵ ,∴
又对称轴为直线 ,∴
∴抛物线的解析式为: 。
(2)①令 ,得 ,
∴B(3,0),D(1,-4),
设直线BD的解析式为 ,则 解得 ,
∴直线BD的解析式为 ,
∴设P点的横坐标为t,则

∴ ,
 
∴当 。
②假设在线段BD上存在一点Q,使得 ,连接DC,QC,又 ,
则△CDQ∽△ECQ,∴  ,∴ ,
设点 ,则 ,∴ , ,
∴ 。
【知识点】二次函数,一次函数,一元二次方程根与系数的关系,相似三角形。

26.(2018四川自贡,26,12分)如图,抛物线 过 ,直线 交抛物线于点 ,点 的横坐标为  ,点 是线段 上的动点.
⑴.求直线 及抛物线的解析式;
⑵.过点 的直线垂直于 轴,交抛物线于点  ,求线段  的长度 与 的关系式, 为何值时, 最长?
⑶.在平面内是否存在整点(横、纵坐标都为整数) ,使得 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点 的坐标;若不存在,说明理由.
 
【思路分析】(1)由A、B两点的坐标,求抛物线的解析式;将点D横坐标代入抛物线解析式,从而求出点D的纵坐标,再利用待定系数法可求得直线AD解析式;
(2)点P在直线AD上,点Q在抛物线上,从而用m表示出点P、点Q的坐标,进而表示线段PQ的长 ;再利用配方求 的最值;
(3)以 为顶点的四边形是平行四边形,可分 是平行四边形的对角线, 是平行四边形的对角线, 是平行四边形的对角线这三种情况讨论,结合平行四边形的性质和m的取值范围即可求解.
【解题过程】
(1)∵抛物线 过 、 ,
∴ ,解得
∴该抛物线的解析式为:
当 时, ,∴
设直线 的解析式为 ,∴ ,解得
∴直线 的解析式为
综上所述,
直线 的解析式为: ,抛物线的解析式为: .
(2)由题意得:
 , ,

∵ ,∴当 时, 最长.
综上所述,
线段 的长度 与 的关系式为: ,当 时, 最长.
(3)在平面内存在整点 ,使得 为顶点的四边形是平行四边形,点 的坐标为:
 , , , , 或
以 为顶点的四边形是平行四边形,可分如下情况讨论:
 是平行四边形的对角线,
此时 且 ,点 在点 上方,
∵ ,要使 为整点,∴线段 长必须是整数,
又∵ ,∴线段 长必须是整数
由(2)知: ,

∴此时 或
 是平行四边形的对角线,
此时 且 ,点 在点 下方,
∴此时 或
 是平行四边形的对角线,
 , , ,
设 ,根据中点坐标公式:
 , ,解得 ,

∵ ,要使 为整点,∴
∴此时 或
综上所述,
在平面内存在整点 ,点 的坐标为: , , , , 或

【知识点】一次函数与二次函数综合,平行四边形性质与判定


27. (2018河南,23,11分)如图,抛物线 交x轴于A,B两点,交y轴于点C.直线 经过点B,C.
    (1)求抛物线的解析式;
(2)过点A的直线交直线BC于点M.
         ①当 时,过抛物线上一动点P(不与点B,C重合),作直线AM的平行线交直线BC于点Q,若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的横坐标;
②连接AC,当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时,请直接写出点M的坐标.


       

 

 

 

 

 

【思路分析】(1)要确定解析式这里需要两个条件才可以:通过直线求得B、C两点坐标,分别带入 ,解得a=-1,c=-6.求二次函数解析式通常可设顶点式 ,一般式 ,交点式 ,不过这里最后要化成一般式.
(2)平行四边形的存在性问题,这类题解法成熟,一般情况下需分类讨论:以已知线段为边或者对角线,为边时,令一边跟它平行且相等,再根据平移的知识点确定点的坐标;为对角线时,也可根据对边平行且相等,得到坐标.不过根据平常总结,利用“中点坐标公式”更易解决这种为对角线的情况.这里要有较强的分析问题的能力,画图能力和计算能力.以及分类讨论思想,数形结合思想等也要得心应手!
(3)这种二倍角的问题关键在于转化,根据性质画图,发现几何关系.当然需要扎实的知识储备.
角角之间存在二倍关系的地方很多:等腰三角形顶角的外角和底角之间;角平分线;同弧所对的圆周角和圆心角之间等,所以只需设置场景,发现几何关系进行计算即可.这里把两个角构造成顶角的外角和底角的的关系即可求得其中一种情况。再有中点坐标公式求得另外一种情形.
【解题过程】(1)∵直线y = x -5交x轴于点B,交 y轴于点C,∴
∵抛物线
    
      ∴抛物线的解析式为 .……………………………………3分
(2)①
     ∵抛物线 交x轴于A,B两点,
 
        ∵PQ∥AM,∴PQ ⊥ BC .
若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,则
     过点P作 轴交直线BC于点D,则
 ………………………………………………………5分
        设
      分两种情况讨论如下:
      (ⅰ) 当点P在直线BC上方时,
           
          ………………………………………………7分
  (ⅱ) 当点P在直线BC下方时,
     
         
         综上,点P的横坐标为4或 …………………9分
     ②M ( , )或( , ).   …………………………………11分
【提示】  作AC的垂直平分线,交BC于点M1,连接AM1,过点A作AN⊥BC于点N,将△ANM1沿AN翻折,得到△ANM2,点M1,M2的坐标即为所求.
(3)
过A作AN⊥BC于N
①当点M在点N 下方时,设为M1,作M1E⊥OC于E,M1D⊥AC于D
∵∠AM1N=2∠ACB,即∠AP1B=2∠ACB
∴∠ACB=∠P1AC,∴M1A=M1C,∴AD=CD
∵A(1,0),B(5,0),∴OA=1,OB=5,AB=4
∵C(0,-5),∴OC=5,BC=5
∴∠OBC=∠OCB=45°,AC= =
∴AN=BN=  AB=2 ,CD= AC=
∴N(3,-2),CN=BC-BN=5 -2 =3
易证△CM1E∽△CAN,∴ 
∴ ,∴CM1= 
∴CE=M1E=  CM1=  ,OE=OC-CE=5-  =
∴M1( , )
②当点M在点N上方时,设为M2
则∠AM2N=∠AM1N,∴M2N=M1N
∴CM2=CN+M2N=CN+M1N=2CN-CM1=6 -  =
∴M2( , )
综上所述,M的坐标为( , )或( , ).
 
【知识点】(1)待定系数法求函数解析式:①设②列③解④代
(2)平行四边形的性质:
边对边平行且相等角邻角互补,对角相等对角线互相平分对称性关于对角线交点成中心对称3.平移:从对应点坐标之间的关系可得平移方式即平移方向和平移距离.
4.关于线段的转化:非竖直线段向竖直线段的转化,如图,在抛物线背景下,线段PE、EF都可以转化为竖直线段PF

 

5.等腰三角形顶角的外角等于底角的两倍。反之也成立.
6.轴对称的性质
7.垂直平分线的性质
8.勾股定理
9.解一元二次方程


28. (2018湖北省襄阳市,25,13分)直线 交x轴于点A,交y轴于点B,顶点为D的抛物线 经过点A,交x轴于另一点C,连接BD、AD、CD,如图所示
(1)直接写出抛物线的解析式和点A、C、D的坐标;
(2)动点P在BD上以每秒2个单位长的速度由点B向点D运动,同时动点Q在CA上以每秒3个单位长的速度由点C向点A运动,当其中一个点到达终点停止运动时,另一个点也随之停止运动,设运动时间为t秒.PQ交线段AD于点E.
①当∠DPE=∠CAD时,求t的值;
②过点E作EM⊥BD,垂足为点M,过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N,当PN=EM时,求t的值.
 
【思路分析】本题为二次函数和几何的综合题,全面考察了学生的综合数学素养.
(1)由直线 求出A点坐标,将A点坐标代入抛物线解析式求出m即可得到抛物线解析式,最后利用抛物线解析式求出C、D的坐标即可;
(2)①由直线 求出B点坐标,得到AB的长和BD∥AC,则∠CAD=∠ADB,又因为∠DPE=∠CAD,故∠DPE=∠ADB;又因为AB= ,AD= 可知AB=AD,得到∠ABD=∠ADB,故∠DPE=∠ABD,从而得到PQ∥AB,故四边形ABPQ是平行四边形,由AQ=BP列出关于t的方程计算即可得到结果;
②利用三角形相似和矩形性质的结合,建立变量之间的关系,从而列出方程计算t的值即可.
【解题过程】解:(1) ,A(2,0),C(6,0),D(4,3)
理由如下:
令y=0由 得到 ,∴x=2.
∴A点坐标为(2,0).
将A(2,0)代入函数 得 ,
∴m=3.
∴抛物线解析式为 .
即 .
∴D坐标为(4,3).
∵对称轴为x=4,A点为(2,0),
∴C点坐标为(6,0).
故答案为 ,A(2,0),C(6,0),D(4,3).
(2)由题意得0≤3t≤4,
∴0≤t≤ .
①∵直线 交y轴于点B,
∴B(0,3).
∵D(4,3),
∴BD∥OC.
∴∠CAD=∠ADB,
∵∠DPE=∠CAD,
∴∠DPE=∠ADB.
∵AB= ,AD= ,
∴AB=AD.
∴∠ABD=∠ADB.
∴∠DPE=∠ABD.
∴PQ∥AB,
∴四边形ABPQ是平行四边形.
∴AQ=BP.
即2t=4-3t.
∴t= .
即当∠DPE=∠CAD时,t= 秒.
②(I)当点N在AB上时,0≤2t≤2,即0≤t≤1.
连接NE,延长PN交x轴于点F,延长ME交x轴于点H.
 
∵PN⊥BD,EM⊥BD,BD∥OC,PN=EM,
∴OF=BP=2t,PF=OB=3,NE=FH,NF=EH,NE∥FQ.
∴FQ=OC-OF-QC=6-5t.
∵点N在直线 ,
∴点N的坐标为(2t,-3t+3).
∴PN=PF-NF=3-(-3t+3)=3t.
∵NE∥FQ,
∴△PNE∽△PFQ.
∴ .
∴FH=NE= .
∵A(2,0),D(4,3),
∴直线AD的解析式为 .
∵点E在直线 上,
∴点E的坐标为(4-2t,-3t+3).
∵OH=OF+FH,
∴4-2t=2t+6t-5t2.
解得,t1= ,t2= >1(舍去).
(II)当点N在AD上时,2<2t≤4.
∴1<t≤ .
∵PN=EM,
∴点E,N重合.
此时PQ⊥BD.
∴BP=OQ.
∴2t=6-3t.
∴t= .
综上所述,当PN=EM时,t=( )秒或 秒.
【知识点】一次函数、二次函数图象和性质、平行四边形的判定和性质、一元二次方程、相似三角形的判定和性质、分类讨论,矩形的性质和判定


29.(2018湖北省孝感市,24,13分)如图1,在平面直角坐标系 中,已知点 和点 的坐标分别为 , ,将 绕点 按顺时针分别旋转 , 得到 , ,抛物线 经过点 , , ;抛物线 经过点 , , .
 
(1)点 的坐标为________,点 的坐标为________;抛物线 的解析式为________,抛物线 的解析式为________;
(2)如果点 是直线 上方抛物线 上的一个动点.
①若 ,求 点的坐标;
②如图2,过点 作 轴的垂线交直线 于点 ,交抛物线 于点 ,记 ,求 与 的函数关系式.当 时,求 的取值范围.
【思路分析】(1)根据A,B两点的坐标可知Rt△AOB中AO,BO的长,可知点C,F,E的坐标,可求得抛物线 , 的解析式.
(2)①分两种情况讨论:第一种,点 在 轴的上方,且 时,则直线 与抛物线 的交点即为所求的 点,设直线 的解析式为 ,将 ,C两点代入,即可求出直线 的解析式,再与 的解析式联立,即可得出P点的坐标;第二种,点 在 轴的下方,且 时,则直线 关于 轴对称的直线 与抛物线 的交点即为所求的 点,设直线 的解析式为 ,将 关于 轴对称的点 ,和点C代入,即可求出直线 的解析式,再与 的解析式联立,即可得出P点的另一个坐标.②设直线 的解析式为 ,将B,C两点代入求出直线 的解析式,过点 作 于点 ,可求出BM与BD的关系,再根据 可得出h与x的函数关系式;再根据x的取值范围求出h的取值范围.
【解题过程】解:(1) , , : , : .
(2)①若点 在 轴的上方,且 时,则 与抛物线 的交点即为所求的 点,设直线 的解析式为 .
∴ ,解得 .
∴直线 的解析式为 .
联立 ,解得 或 ,∴ ;
若点 在 轴的下方,且 时,则直线 关于 轴对称的直线 与抛物线 的交点即为所求的 点,设直线 的解析式为 .
∴ ,解得 ,
∴直线 的解析式为 .
联立 ,解得 或 .
∴ ;
∴符合条件的点 的坐标为 或 .
① 设直线 的解析式为 ,
∴ ,解得 .∴直线 的解析式为 .
过点 作 于点 ,则 ,
∴ .

 
 
 ,
即 , .
当 时, 的最大值为21.
∵ ,当 时, ;
当 时, .
综上,当 时, 的取值范围是 .
 

【知识点】二次函数的图象;二次函数的解析式;图形的旋转;一次函数;分类讨论思想 .

30. (2018 湖南张家界,23, 10分)
如图,已知二次函数  的图象过点 ,一次函数  的图象 经过点 .
(2) 求 值并写出二次函数表达式;
(3) 求 值;
(4) 设直线 与二次函数图象交于 两点,过点 作 垂直 轴于点 ,
试证明: ;
(5) 在(3)的条件下,请判断以线段 为直径的圆与 轴的位置关系,并说明理由.
 
【思路分析】(1)将点A的坐标代入二次函数解析式,即可求出a的值,进而得到二次函数表达式;
(2)将点B的坐标代入一次函数解析式,即可求出b的值;
(3)过点M作 轴于点E. 设 ,进而用含x的式子分别表示MB和MC;
(4)过点N作 轴于D,取MN的中点为P,过点P作  轴于点F,过点N作 于点H,交PF于点P.根据(3)知 ,通过等量代换,得出 .
【解题过程】解:(1)根据题意,得  .    
       解得 .    
 (2)根据题意,得 ,解得 .       
(3)如图,过点M作 轴于点E.
设  ,则 .
 ,  .
   
   ,  .
 
(4) 相切.
理由如下:如图,过点N作 轴于D,取MN的中点为P,过点P作 轴于点F,过点N作 于点H,交PF于点P.
由(3)知 ,  
              ,又
                .
               
                     
                     
 
 以MN为直径的圆与 轴相切 

【知识点】二次函数图象,二次函数解析式,直线与圆的位置关系.

31. (2018四川凉山州,28,12分)已知直线y=x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点,抛物线  经过A、B两点,点M在线段OA上,从O点出发,向点A以每秒1个单位的速度匀速运动;同时点N在线段AB上,从点A出发,向点B以每秒 个单位的速度匀速运动,连接MN,设运动时间为t秒
(1)求抛物线解析式;
(2)当t为何值时,△AMN为直角三角形;
(3)过N作NH∥y轴交抛物线于H,连接MH,是否存在点H使MH∥AB,若存在,求出点H的坐标,若不存在,请说明理由.
 
 
(第28题图)
【思路分析】(1)将x=0代入y=x+3得出点B的坐标,
将y=0代入y=x+3得,得出点A的坐标,
将A,B代入抛物线 ,得到抛物线的解析式.
(2)由题得 ,     
若△AMN为直角三角形,要分两种情况:
当∠AMN=90°时,      
当∠ANM=90°时,       
 

(第28题第3问答图)
(3)
 
∵MH∥AB,则△MIH为等腰直角三角形,    ∴HO=MO=t       
∵H在抛物线     
解出t的值,得到点H的坐标.
【解题过程】
解:(1)将x=0代入y=x+3得,
y=3
∴B(0,3)
将y=0代入y=x+3得,
x=-3
∴A(-3,0)
将A(-3,0),B(0,3)代入抛物线
得 解得
 
(2)由题得 ,
 
若△AMN为直角三角形,要分两种情况:
当∠AMN=90°时,
 
 
当∠ANM=90°时,
 
 
∴当t=1.5或t=1时,△AMN为直角三角形;
 

(第28题第3问答图)
(3)
理由:
 
∵MH∥AB,则△MIH为等腰直角三角形,
∴HO=MO=t
 
∵H在抛物线
 
 
 
【知识点】二次函数综合,二次函数的解析式,等腰直角三角形的判定与性质,分类讨论思想.


32. (2018广西玉林,26题,12分)如图,直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点,抛物线y=-x2+bx+c与直线y=c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P,连接PB,得△PCB≌△BOA(O为坐标原点)。若抛物线与x轴正半轴交点为点F,设M是点C、F间抛物线上的一点(包括端点),其横坐标为m。
(1)直接写出点P的坐标和抛物线的解析式;
(2)当m为何值时,△MAB面积S取得最小值和最大值?请说明理由;
(3)求满足∠MPO=∠POA的点M的坐标。
 
第26题图
【思路分析】(1)由一次函数可得点A和点B坐标,由全等可得点C和点P坐标,带入二次函数解析式可得b、c的值,求得解析式;(2)△MAB中,AB的长度确定,面积随着M与AB的距离变化而变化,分析在CF范围内,点M距离AB最远和最近的位置,即可求得点M的坐标;(3)由∠MPO=∠POA,分类讨论,当M在CP段时,MP∥x轴,点M与点C重合,当M在FP段时,三角形OPN为等腰三角形,利用勾股定理求得点N坐标,从而得到PN表达式,联立二次函数求出点M坐标。
【解题过程】(1)在y=-3x+3中,令x=0,得y=3,B(0,3),令y=0,得x=1,A(1,0),因为△PCB≌△BOA,所以C(0,4),P(3,4),所以抛物线y=-x2+bx+c过点C(0,4),P(3,4),带入可得 ,解得 ,所以抛物线解析式为y=-x2+3x+4;
(2)设平行于直线y=-3x+3的直线l:y=-3x+n,如解图(1):①当直线l过点C时,n=4,即y=-3x+4,此时,点M和点C重合,②当直线l过点F时,n=12,即y=-3x+12,此时点M与点F重合,③当直线l与抛物线相切时,即-3x+n=-x2+3x+4,其中,△=36-4(n-4)=0,解得n=13,所以l:y=-3x+13,联立可解得x=3,y=4,此时点M与点P重合,因此,第①种情况时,△MAB面积最小,此时m=0,第③种情况时,△MAB面积最大,此时m=3;
 
第26题解图(1)
(3)如图,①当M在CP段时,因为∠MPO=∠POA,所以PM1∥x轴,即M1与C重合,所以M1(0,4);②当M在PF段时,设直线PM2与x轴交于点N,因为∠MPO=∠POA,则△ONP是等腰三角形,过点P作PQ⊥x轴于点Q,因为P(3,4),则OQ=3,PQ=4,设QN=x则PN=ON=x+3,在Rt△PQN中,由勾股定理得,42+x2=(x+3)2,解得,x= ,所以N( ,0),直线PN: ,与二次函数联立,解得x1=3(舍去),x2= ,此时y= ,故M2( , ).综上所述,M坐标为M1(0,4),M2( , )

第26题解图(2)
【知识点】待定系数法,三角形面积,根的判别式,等腰三角形,勾股定理


33. (2018江苏省宿迁市,27,12)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=(x-a)(x-3)(0<a<3)的图象与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧),与y轴交于点D,过其定点C作直线CP⊥x轴,垂足为点P,连接AD、BC.
(1)求点A、B、C的坐标;
(2)若△AOD与△BPC相似,求a的值;
(3)点D、O、C、B能否在同一个圆上?若能,求出a的值.若不能,请说明理由.

【思路分析】(1)根据二次函数的解析式可求得各点的坐标;(2)△AOD与△BPC都是直角三角形,∴只要两组直角边对应的比相等即可相似;(3)考证四点共圆问题,可以先然其中三个点在同一个圆上,找到圆心,然后求出圆心和第四个点连线的长度,若结果等于半径,则四点共圆;反之则不共圆.
【解题过程】(1)y=(x-a)(x-3).当y=0时,x1=a,x2=3.
∴A(a,0),B(3,0).                                           2分
当x=0时,y=3a,∴D(0,3a).                                   1分

(2)连接AD、BC,由(1)可得
OA=a,OD=3a,BP= ,OP= +a= .
将x= 代入二次函数得y= .
∴PC= .                                                   2分
①△DOA∽△CPB时,有 .∴ .
解得a=±3,不符合题意,舍去.                                     2分
②△DOA∽△BPC时,有 .∴ .
解得a= .                                                         2分
综上当△DOA与△CPB相似时,a= .

(3)能.
如图(2),连接BD,设BD的中点为M.
∵D、O、B三点共圆,且圆心为M( , a).                      1分
假设点C也在此圆上,则应有MC=MB.
∴( - )2+[ a+ ]2=( -3)2+( a-0)2.
解得a1= ,a2=- (舍),a3=-3(舍),a4=3(舍).         1分
∴当a的值为 时,四点共圆.                                      1分
【知识点】二次函数,三角形相似,四点共圆

34. (2018江苏省宿迁市,28,12)如图,在边长为1的正方形ABCD中,动点E、F分别在边AB、CD上,将正方形ABCD沿直线EF折叠,使点B的对应点M始终落在边AD上(点M不与点A、D重合),点C落在点N处,MN与CD交于点P,设BE=x.
(1)当AM= 时,求x的值;
(2)随着点M在边AD上位置的变化,△PDM的周长是否发生变化?如果变化,请说明理由;如果不变,请求出该定值;
(3)设四边形BEFC的面积为S,求S与x之间的函数表达式,并求出S的最小值.
【思路分析】(1)利用△AEM为直角三角形,结合勾股定理可得x的值;(2)考量△MDP的周长,由于MP的长度不方便求,∴需要考虑将MP的长度进行转化,进而确定周长是否为定值;(3)只需考虑将CF的长度用x表示出来,面积的最小值即可利用二次函数求出.

【解题过程】(1)由折叠可知ME=BE=x,∴AE=1-x.
在Rt△AEM中,由AM= ,得( )2+(1-x)2=x2.                    2分
解得x= .                                                            1分

(2)连接AM、BO,过点B作BH⊥MN,垂足为H.
∵EB=EM,∴∠EBM=∠EMB.
∵∠EBC=∠EMN,
∴∠MBC=∠BMN.
又∵∠A=∠MHB,BM=BM,
∴△BAM≌△BHM.                                      1分
∴AM=HM,BH=AB.
∵BC=AB,
∴BH=BC.
又∵BP=BP,
∴Rt△BHP≌Rt△BCP.                                   1分
∴HP=PC.
∴△MDP的周长=MD+DP+MP=MD+DP+MH+HP=MD+AM+DP+PC=AD+DC=2.
∴△MDP的周长为2.                                     3分

(3)连接BM,过点F作FQ⊥AB,垂足为Q.
则QF=BC=AB.
∵∠BEF+∠EBM=90°,∠AMB+∠EBM=90°,
∴∠BEF=∠AMB.
又∵∠A=∠EQF,
∴△AMB≌△QEF.
∴AM=EQ.
设AM=a,则a2+(1-x)2=x2.
∴a= .
∴CF=x- .                                            1分
∴S= (CF+BE)×1
= ( x- +x)
= (2 x- )  .                                   1分
设 =t,则2x=t2+1.
S= (t2+1-t)= (t- )2+ .                      1分
∴当t= ,即x= 时,面积的最小值为 .                 1分
【知识点】折叠问题,勾股定理,正方形的性质,一元二次方程,三角形全等

35. (2018山东省泰安市, 24,11)如图,在平面直角坐标系中,二次函数 交 轴于点 、 ,交 轴于点 ,在 轴上有一点 ,连接 .
(1)求二次函数的表达式;
(2)若点 为抛物线在 轴负半轴上方的一个动点,求 面积的最大值;
(3)抛物线对称轴上是否存在点 ,使 为等腰三角形,若存在,请直接写出所有 点的坐标,若不存在请说明理由.
 
【思路分析】本题考查了二次函数表达式的确定,利用函数求三角形面积的最大值以及直角三角形的判定. (1)直接将A、B、C三个点的坐标代入 即可;(2)先求出直线AE的表达式,过点 作 与 轴平行,交 于点 ,交 轴于点 ,过点 作 ,垂足为 ,因为D、F的纵坐标相同,利用同一字母表示它们的坐标,DF为竖直高, ,列出面积与 的函数关系式,利用配方法求最值;(3)分为∠PAE=90°、∠APE=90°和∠AEP=90°三种情况进行讨论,利用相似或勾股定理进行解答.

【解题过程】解:(1)由题意可得
 , 1分
解得 ,
所以二次函数的解析式为 . 3分
(2)由 , ,
可求得 所在直线解析式为 .  4分
过点 作 与 轴平行,交 于点 ,交 轴于点 ,过点 作 ,垂足为 ,
设 点坐标为 ,则 点坐标为 ,
则  , 5分
又 ,
∴  
 .  7分
∴当 时, 的面积取得最大值 . 8分
(3) 点的坐标为 , , . 11分
 


【知识点】二次函数的表达式,待定系数法,二次函数求最值,勾股定理;分类讨论思想;数形结合思想;存在性问题.


36.(2018陕西,24,10分)已知抛物线L: y=x2+x-6与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),并与y轴相交于点C.
(1)求A、B、C三点的坐标,并求△ABC的面积;
(2)将抛物线L向左或向右平移,得到抛物线L′,则L′与x轴相交于A′、B′两点(点A′在点B′的左侧),并与y轴相交于点C′,要使△A′B′C′和△ABC的面积相等,求所有满足条件的抛物线的函数表达式. 
【思路分析】(1)分别求出△ABC的底和高,即可求出面积;(2)根据△A′B′C′和△ABC的面积相等而它们的底相等,故只需高相等即可,又知抛物线左右平移时,顶点纵坐标不变,故可设抛物线解析式进行解答.
【解题过程】解:(1)令y=0,得x2+x-6=0,解得:x1=-3,x2=2.
∵点A在点B的左侧,
∴A(-3,0),B(2,0).
∵当x=0时,y=-6,
∴C(0,-6)
∴AB=|2-(-3)|=5
∴S△ABC= .
(2)方法1:由题意,得A′B′=AB=5,
要使S△A′B′C′=S△ABC,只要抛物线L′与y轴交点为C′(0,-6)或C′(0,6)即可.
设所求抛物线L′:y=x2+mx+6,y=x2+nx-6.
又知抛物线L′与抛物线L的顶点纵坐标相同,
∴ ,
解之,得:m=±7,n=±1(n=1舍去)
抛物线L′的函数表达式为: y=x2+7x+6,y=x2-7x+6 或y=x2-x-6.
方法2:
y=x2+x-6 .
设平移后的抛物线解析式为:
根据题意可知A′B′=AB,要使△A′B′C′和△ABC的面积相等只需高相等即可,故平移后的抛物线应过点(0,-6)或点(0,6).
①若过点(0,-6),则 ,解得: (舍去), .
故此时满足条件的抛物线解析式为: .
②若过点(0,6),则 ,解得: , .
故此时满足条件的抛物线解析式为: 或 .
综上所述,满足条件的抛物线的函数表达式为:y=x2-x-6,y=x2+7x+6或y=x2-7x+6.
【知识点】二次函数,二次函数的平移,分类讨论思想


 

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