2015年秋沂源县七年级数学上期末试卷解析

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2015年秋沂源县七年级数学上期末试卷解析

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2015-2016学年山东省淄博市沂源县七年级(上)期末数学试卷

一、选择题(共15小题,在每小题所给出的四个选项中,只有一个是正确的,请把正确的选项选出来,每小题3分,共45分,错选、不选或选出的答案超过一个,均记0分)
1.下列计算正确的是(     )
A. =±3 B. =﹣2 C. =9 D. =0.1

2.估算 的大小,四舍五入到十分位是(     )
A.2.1 B.2.2 C.2.3 D.2.4

3.在平面直角坐标系中有一点P(﹣3,4),则点P到原点O的距离是(     )
A.3 B.4 C.5 D.6

4.下列说法中,正确的是(     )
A. 的立方根是±
B.立方根等于它本身的数是1
C.负数没有立方根
D.互为相反数的两个数的立方根也互为相反数

5.如图,在△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC交AC于D,DE是AB的垂直平分线,若AD=3,则AC等于(     )
 
A.4 B.4.5 C.5 D.6

6.如图,直线l1∥l2,l3⊥l4,∠1=44°,那么∠2的度数(     )
 
A.46° B.44° C.36° D.22°

7.下列命题中,是真命题的是(     )
A.角是轴对称图形,角平分线是它的对称轴
B.线段是轴对称图形,并且只有一条对称轴
C.三角形的一个外角等于它任意两个内角的和
D.在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半

8.如图所示,已知在三角形纸片ABC中,BC=3,AC=4,∠BCA=90°,在AC上取一点E,BE为折痕,使AB的一部分与BC重合,A与BC延长线上的点D重合,则CD的长度为(     )
 
A.1 B.2 C.3 D.5

9.下列满足条件的三角形中,不是直角三角形的是(     )
A.三内角之比为1:2:3 B.三边长的平方之比为1:2:3
C.三边长之比为3:4:5 D.三内角之比为3:4:5

10.如图,由四个小正方形组成的田字格中,△ABC的顶点都是小正方形的顶点.在田字格上画与△ABC成轴对称的三角形,且顶点都是小正方形的顶点,则这样的三角形(不包含△ABC本身)共有(     )
 
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

11.如图,在△ABC中,BF平分∠ABC,CF平分∠ACB,∠BFC=115°,则∠A的度数是(     )
 
A.50° B.57.5° C.60° D.65°

12.一次函数y=kx+b满足kb>0,且y随x的增大而减小,则此函数的图象不经过(     )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

13.将直线y=﹣2x+1向上平移1个单位,得到一个新的函数是(     )
A.y=﹣2x+2 B.y=2x+1 C.y=﹣2x﹣1 D.y=﹣2x

14.在早餐店里,王伯伯买5颗馒头,3颗包子,老板少拿2元,只要50元.李太太买了11颗馒头,5颗包子,老板以售价的九折优待,只要90元.若馒头每颗x元,包子每颗y元,则下列哪一个二元一次联立方程式可表示题目中的数量关系(     )
A.  B.
C.  D.

15.用图象法解某二元一次方程组时,在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象(如图所示),则所解的二元一次方程组是(     )
 
A.  B.
C.  D.


二、填空题(共5小题,每小题4分,满分20分,只要求填写最后结果)
16. 的平方根是__________.

17.已知a、b、c是△ABC的三边长,且满足关系c2﹣a2﹣b2+|a﹣b|=0,则△ABC的形状为__________.

18.命题“两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等”的题设是__________,它是__________命题(填“真”或“假”).

19.如图,AB∥EF∥CD,∠ABC=46°,∠CEF=154°,则∠BCE等于__________.
 

20.一次越野跑中,当小明跑了1600米时,小刚跑了1400米,小明、小刚所跑的路程y(米)与时间t(秒)之间的函数关系如图,则这次越野跑的全程为__________米.
 


三、解答题(共7小题,满分55分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
21.解下列方程组:
(1)
(2) .

22.如图,已知四边形ABCD(网格中每个小正方形的边长均为1).
(1)写出点A,B,C,D的坐标;
(2)求线段AD的长度;
(3)求四边形ABCD的面积.
 

23.已知,如图,AD⊥BC,EF⊥BC,∠4=∠C.求证:∠1=∠2.
 

24.如图,在△ABC中,BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB,过点D作平行于BC的直线EF,分别交AB、AC于E、F,若BE=2,CF=3,若BE=2,CF=3,求EF的长度.
 

25.长沙市某公园的门票价格如下表所示:
购票人数 1~50人 51~100人 100人以上
票价 10元/人 8元/人 5元/人
某校七年级甲、乙两班共100多人去该公园举行联欢活动,其中甲班50多人,乙班不足50人.如果以班为单位分别买票,两个班一共应付920元;如果两个班联合起来作为一团体购票,一共只要付515元.问:甲、乙两班分别有多少人?

26.如图,OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片,O为原点,点A在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,OA=10,OC=8,在OC边上取一点D,将纸片沿AD翻折,使点O落在BC边上的点E处,求D、E两点的坐标.
 

27.小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料,学校与天一阁的路程是4千米,小聪骑自行车,小明步行,当小聪从原路回到学校时,小明刚好到达天一阁,图中折线O﹣A﹣B﹣C和线段OD分别表示两人离学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分钟)之间的函数关系,请根据图象回答下列问题:
(1)小聪在天一阁查阅资料的时间为__________分钟,小聪返回学校的速度为__________千米/分钟;
(2)请你求出小明离开学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分钟)之间的函数关系;
(3)当小聪与小明迎面相遇时,他们离学校的路程是多少千米?
 


 

2015-2016学年山东省淄博市沂源县七年级(上)期末数学试卷


一、选择题(共15小题,在每小题所给出的四个选项中,只有一个是正确的,请把正确的选项选出来,每小题3分,共45分,错选、不选或选出的答案超过一个,均记0分)
1.下列计算正确的是(     )
A. =±3 B. =﹣2 C. =9 D. =0.1
【考点】立方根;算术平方根.
【分析】根据平方根、立方根,即可解答.
【解答】解:A、 =3,故错误;
B、 =2,故错误;
C、 =3,故错误;
D、 ,故正确;
故选:D.
【点评】本题考查了平方根、立方根,解决本题的关键是熟记平方根、立方根的定义.

2.估算 的大小,四舍五入到十分位是(     )
A.2.1 B.2.2 C.2.3 D.2.4
【考点】估算无理数的大小;近似数和有效数字.
【分析】由4<5<9可知2< <3,然后由2.22<5<2.32,可知2.2< <2.3,然依据上述方法进行估算即可.
【解答】解:∵4<5<9,
∴2< <3.
∵2.22=4.84,2.32=5.29,
∴2.22<5<2.32,
∴2.2< <2.3.
∵2.232=4.9729,2.242=5.0176,
∴2.232<5<2.242.
∴2.23< <2.24.
∴ ≈2.2.
故选:B.
【点评】本题主要考查的是估算无理数的大小,明确被开方数越大,对应的算术平方根越大是解题的关键.

3.在平面直角坐标系中有一点P(﹣3,4),则点P到原点O的距离是(     )
A.3 B.4 C.5 D.6
【考点】点的坐标.
【分析】根据勾股定理,可得答案.
【解答】解:PO= =5,
故选:C.
【点评】本题考查了点的坐标,利用勾股定理是解题关键.

4.下列说法中,正确的是(     )
A. 的立方根是±
B.立方根等于它本身的数是1
C.负数没有立方根
D.互为相反数的两个数的立方根也互为相反数
【考点】立方根.
【分析】根据立方根的定义,即可解答.
【解答】解:A、 的立方根是 ,故本选项错误;
B、立方根等于它本身的数是1、﹣1、0,故本选项错误;
C、负数有立方根,故本选项错误;
D、互为相反数的两个数的立方根也互为相反数,正确;
故选:D.
【点评】本题考查了立方根,解决本题的关键是熟记立方根的定义.

5.如图,在△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC交AC于D,DE是AB的垂直平分线,若AD=3,则AC等于(     )
 
A.4 B.4.5 C.5 D.6
【考点】线段垂直平分线的性质;角平分线的性质.
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD,再根据等边对等角的性质求出∠A=∠ABD,然后根据角平分线的定义与直角三角形两锐角互余求出∠CBD=30°,再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CD,然后求解即可.
【解答】解:∵点D在AB的垂直平分线上,
∴AD=BD=4,
∴∠A=∠ABD,
∵BD是角平分线,
∴∠ABD=∠CBD,
∵∠C=90°,
∴∠A+∠ABD+∠CBD=90°,
∴∠CBD=30°,
∴CD= BD= ×3=
∴AC=AD+CD=3+ = .
故选B.
【点评】本题考查了角平分线的定义,线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质,直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质,题目难度稍微复杂,熟记性质是解题的关键.

6.如图,直线l1∥l2,l3⊥l4,∠1=44°,那么∠2的度数(     )
 
A.46° B.44° C.36° D.22°
【考点】平行线的性质.
【分析】由l1∥l2,可得:∠1=∠3=44°,由l3⊥l4,可得:∠2+∠3=90°,进而可得∠2的度数.
【解答】解:如图,
 
∵l1∥l2,
∴∠1=∠3=44°,
∵l3⊥l4,
∴∠2+∠3=90°,
∴∠2=90°﹣44°=46°.
故选:A.
【点评】此题考查了平行线的性质,解题的关键是:熟记两直线平行同位角相等,两直线平行内错角相等,两直线平行同旁内角互补.

7.下列命题中,是真命题的是(     )
A.角是轴对称图形,角平分线是它的对称轴
B.线段是轴对称图形,并且只有一条对称轴
C.三角形的一个外角等于它任意两个内角的和
D.在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半
【考点】命题与定理.
【分析】利用对称轴及轴对称的定义、线段和角的对称性,三角形的外角的性质及直角三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项.
【解答】解:A、角是轴对称图形,角平分线所在直线是它的对称轴,故错误,为假命题;
B、线段是轴对称图形,它有两条对称轴,故错误,为假命题;
C、三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和,故错误,为假命题;
D、在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半,正确,为真命题,
故选D.
【点评】本题考查了命题与定理的知识,解题的关键是了解称轴及轴对称的定义、线段和角的对称性,三角形的外角的性质及直角三角形的性质,属于基础定义,难度较小,但也应重点掌握.

8.如图所示,已知在三角形纸片ABC中,BC=3,AC=4,∠BCA=90°,在AC上取一点E,BE为折痕,使AB的一部分与BC重合,A与BC延长线上的点D重合,则CD的长度为(     )
 
A.1 B.2 C.3 D.5
【考点】翻折变换(折叠问题).
【分析】先在Rt△ABC中根据勾股定理求得AB=5,然后由翻折的性质可知BD=AB=5,最后根据CD=BD﹣BC求解即可.
【解答】解:∵BC=3,AC=4,∠BCA=90°,
∴AB= =5.
由翻折的性质可知:BD=AB=5.
∴CD=BD﹣BC=5﹣3=2.
故选:B.
【点评】本题主要考查的是翻折变换、勾股定理的应用,由翻折的性质求得BD=AB=5是解题的关键.

9.下列满足条件的三角形中,不是直角三角形的是(     )
A.三内角之比为1:2:3 B.三边长的平方之比为1:2:3
C.三边长之比为3:4:5 D.三内角之比为3:4:5
【考点】勾股定理的逆定理;三角形内角和定理.
【分析】根据三角形的内角和定理及勾股定理的逆定理进行分析,从而得到答案.
【解答】解:A、因为根据三角形内角和定理可求出三个角分别为30度,60度,90度,所以是直角三角形,故正确;
B、因为其符合勾股定理的逆定理,所以是直角三角形,故正确;
C、因为其符合勾股定理的逆定理,所以是直角三角形,故正确;
D、因为根据三角形内角和公式得三个角中没有90°角,所以不是直角三角形,故不正确.
故选D.
【点评】本题考查了直角三角形的判定:可用勾股定理的逆定理或三角形的内角和定理来判定.

10.如图,由四个小正方形组成的田字格中,△ABC的顶点都是小正方形的顶点.在田字格上画与△ABC成轴对称的三角形,且顶点都是小正方形的顶点,则这样的三角形(不包含△ABC本身)共有(     )
 
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【考点】轴对称的性质.
【分析】先把田字格图标上字母如图,确定对称轴找出符合条件的三角形,再计算个数.
【解答】解:△HEC关于CD对称;△FDB关于BE对称;△GED关于HF对称;关于AG对称的是它本身.
所以共3个.
故选C.
 
【点评】本题考查了轴对称的性质;确定对称轴然后找出成轴对称的三角形是解题的关键.

11.如图,在△ABC中,BF平分∠ABC,CF平分∠ACB,∠BFC=115°,则∠A的度数是(     )
 
A.50° B.57.5° C.60° D.65°
【考点】三角形内角和定理.
【分析】先根据三角形内角和定理得出∠BCF+∠CBF的度数,再由角平分线的性质得出∠ABC+∠ACB的度数,根据三角形内角和定理即可得出结论.
【解答】解:∵∠BFC=115°,
∴∠BCF+∠CBF=180°﹣115°=65°.
∵BF平分∠ABC,CF平分∠ACB,
∴∠ABC+∠ACB=2(∠BCF+∠CBF)=130°,
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠A=180°﹣130°=50°.
故选A.
【点评】本题考查的是三角形内角和定理,熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键.

12.一次函数y=kx+b满足kb>0,且y随x的增大而减小,则此函数的图象不经过(     )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【考点】一次函数图象与系数的关系.
【分析】根据y随x的增大而减小得:k<0,又kb>0,则b<0.再根据k,b的符号判断直线所经过的象限.
【解答】解:根据y随x的增大而减小得:k<0,又kb>0,则b<0,
故此函数的图象经过第二、三、四象限,
即不经过第一象限.
故选A.
【点评】能够根据k,b的符号正确判断直线所经过的象限.

13.将直线y=﹣2x+1向上平移1个单位,得到一个新的函数是(     )
A.y=﹣2x+2 B.y=2x+1 C.y=﹣2x﹣1 D.y=﹣2x
【考点】一次函数图象与几何变换.
【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答即可.
【解答】解:由“上加下减”的原则可知,将直线y=﹣2x+1向上平移1个单位所得直线的解析式为:y=﹣2x+1+1,即y=﹣2x+2.
故选A.
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换,熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键.

14.在早餐店里,王伯伯买5颗馒头,3颗包子,老板少拿2元,只要50元.李太太买了11颗馒头,5颗包子,老板以售价的九折优待,只要90元.若馒头每颗x元,包子每颗y元,则下列哪一个二元一次联立方程式可表示题目中的数量关系(     )
A.  B.
C.  D.
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组.
【专题】应用题
【分析】设馒头每颗x元,包子每颗y元,根据题意王伯伯买5颗馒头,3颗包子,老板少拿2元,只要50元,可列式为5x+3y=52,李太太买了11颗馒头,5颗包子,老板以售价的九折优待,只要90元,可列式为0.9(11x+5y)=90,联立方程即可得到所求方程组.
【解答】解:设馒头每颗x元,包子每颗y元,
伯伯买5颗馒头,3颗包子,老板少拿2元,只要50元,可列式为5x+3y=50+2,
李太太买了11颗馒头,5颗包子,老板以售价的九折优待,只要90元,
可列式为0.9(11x+5y)=90,
故可列方程组为 ,
故选B.
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出的二元一次方程组的知识点,解答本题的关键是理解题意,找出题干中的等量关系,列出等式,本题难度一般.

15.用图象法解某二元一次方程组时,在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象(如图所示),则所解的二元一次方程组是(     )
 
A.  B.
C.  D.
【考点】一次函数与二元一次方程(组).
【专题】数形结合.
【分析】由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解.因此本题应先用待定系数法求出两条直线的解析式,联立两个函数解析式所组成的方程组即为所求的方程组.
【解答】解:根据给出的图象上的点的坐标,(0,﹣1)、(1,1)、(0,2);
分别求出图中两条直线的解析式为y=2x﹣1,y=﹣x+2,
因此所解的二元一次方程组是 .
故选:D.
【点评】方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值,而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式,因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标.

二、填空题(共5小题,每小题4分,满分20分,只要求填写最后结果)
16. 的平方根是±3.
【考点】算术平方根;平方根.
【分析】直接根据平方根的定义即可求解.
【解答】解: 的平方根是±3,
故答案为:±3.
【点评】本题考查了平方根的定义.注意一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根.注意:1或0平方等于它的本身.

17.已知a、b、c是△ABC的三边长,且满足关系c2﹣a2﹣b2+|a﹣b|=0,则△ABC的形状为等腰直角三角形.
【考点】三角形三边关系.
【分析】根据题意得出c2=a2+b2,a=b进而得出△ABC的形状.
【解答】解:∵c2﹣a2﹣b2+|a﹣b|=0,
∴c2﹣a2﹣b2=0,|a﹣b|=0,
∴c2=a2+b2,a=b,
∴△ABC的形状为等腰直角三角形.
故答案为:等腰直角三角形.
【点评】直接利用绝对值以及偶次方的性质,得出a,b,c之间的关系是解题关键.

18.命题“两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等”的题设是两三角形两边分别相等且其中一组等边的对角相等,它是假命题(填“真”或“假”).
【考点】命题与定理.
【分析】改写成“如果…,那么…”的形式后即可确定其题设和结论,判断正误后即可确定真假.
【解答】解:命题“两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等”改写成“如果…,那么…”为:如果两三角形两边分别相等且其中一组等边的对角相等,那么这两个三角形全等,
所以题设是:两三角形两边分别相等且其中一组等边的对角相等,为假命题,
故答案为:两三角形两边分别相等且其中一组等边的对角相等,假.
【点评】本题考查了命题与定理的知识,解题的关键是能够将原命题写成“如果…,那么…”的形式,难度不大.

19.如图,AB∥EF∥CD,∠ABC=46°,∠CEF=154°,则∠BCE等于20°.
 
【考点】平行线的性质.
【分析】先根据AB∥CD求出∠BCD的度数,再由EF∥CD求出∠ECD的度数,由∠BCE=∠BCD﹣∠ECD即可得出结论.
【解答】解:∵AB∥CD,∠ABC=46°,
∴∠BCD=∠ABC=46°,
∵EF∥CD,∠CEF=154°,
∴∠ECD=180°﹣∠CEF=180°﹣154°=26°,
∴∠BCE=∠BCD﹣∠ECD=46°﹣26°=20°.
故答案为:20°.
【点评】本题考查的是平行线的性质,熟知两直线平行,内错角相等;同旁内角互补是解答此题的关键.

20.一次越野跑中,当小明跑了1600米时,小刚跑了1400米,小明、小刚所跑的路程y(米)与时间t(秒)之间的函数关系如图,则这次越野跑的全程为2200米.
 
【考点】一次函数的应用.
【专题】数形结合.
【分析】设小明的速度为a米/秒,小刚的速度为b米/秒,由行程问题的数量关系建立方程组求出其解即可.
【解答】解:设小明的速度为a米/秒,小刚的速度为b米/秒,由题意,得
 ,
解得: ,
∴这次越野跑的全程为:1600+300×2=2200米.
故答案为:2200.
【点评】本题考查了行程问题的数量关系的运用,二元一次方程组的解法的运用,解答时由函数图象的数量关系建立方程组是关键.

三、解答题(共7小题,满分55分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
21.解下列方程组:
(1)
(2) .
【考点】解二元一次方程组.
【专题】计算题;一次方程(组)及应用.
【分析】(1)方程组利用加减消元法求出解即可;
(2)方程组整理后,利用加减消元法求出解即可.
【解答】解:(1) ,
①×3+②×2得:13x=﹣11,
解得:x=﹣ ,
把x=﹣ 代入①得:y=﹣ ,
则方程组的解为 ;
(2)方程组整理得: ,
①﹣②得:5y=150,即y=30,
把y=30代入①得:x=28,
则方程组的解为 .
【点评】此题考查了解二元一次方程组,利用了消元的思想,消元的方法有:代入消元法与加减消元法.

22.如图,已知四边形ABCD(网格中每个小正方形的边长均为1).
(1)写出点A,B,C,D的坐标;
(2)求线段AD的长度;
(3)求四边形ABCD的面积.
 
【考点】坐标与图形性质;三角形的面积;勾股定理.
【分析】(1)根据图象可以直接写出A、B、C、D的坐标.
(2)把AD作为斜边,利用勾股定理解决.
(3)把四边形分割成3个直角三角形和一个正方形来求面积.
【解答】解:(1)由图象可知A(﹣2,3),B(﹣3,0),C(3,0),D(1,4);
(2)AD= = ;
(3)S四边形ABCD=S△ABE+S△ADF+S△CDG+S正方形AEGF= ×1×3+ ×1×3+ ×2×4+3×3=13.
 
【点评】本题目考查了已知点写坐标以及勾股定理,三角形的面积有关知识,应该掌握分割法求面积.

23.已知,如图,AD⊥BC,EF⊥BC,∠4=∠C.求证:∠1=∠2.
 
【考点】平行线的判定与性质.
【专题】证明题.
【分析】根据垂直的定义得到∠ADF=∠EFC=90°,再根据同位角相等,两直线平行得到AD∥EF,利用直线平行的性质有∠2=∠DAC;由∠4=∠C,根据同位角相等,两直线平行得到DG∥AC,再利用直线平行的性质得∠1=∠DAC,最后利用等量代换即可得到结论.
【解答】解:∵AD⊥BC,EF⊥BC,
∴∠ADF=∠EFC=90°,
∴AD∥EF,
∴∠2=∠DAC,
又∵∠4=∠C,
∴DG∥AC,
∴∠1=∠DAC,
∴∠1=∠2.
【点评】本题考查了直线平行的判定与性质:同位角相等,两直线平行;两直线平行,内错角相等.

24.如图,在△ABC中,BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB,过点D作平行于BC的直线EF,分别交AB、AC于E、F,若BE=2,CF=3,若BE=2,CF=3,求EF的长度.
 
【考点】等腰三角形的判定与性质;平行线的性质.
【分析】由BD为角平分线,利用角平分线的性质得到一对角相等,再由EF与BC平行,利用两直线平行内错角相等得到一对角相等,等量代换可得出∠EBD=∠EDB,利用等角对等边得到EB=ED,同理得到FC=FD,再由EF=ED+DF,等量代换可得证.
【解答】证明:∵BD为∠ABC的平分线,
∴∠EBD=∠CBD,
又∵EF∥BC,
∴∠EDB=∠CBD,
∴∠EBD=∠EDB,
∴EB=ED,
同理FC=FD,
又∵EF=ED+DF,
∴EF=EB+FC=5.
【点评】此题考查了等腰三角形的判定,平行线的性质,利用了等量代换的思想,熟练掌握性质与判定是解本题的关键.

25.长沙市某公园的门票价格如下表所示:
购票人数 1~50人 51~100人 100人以上
票价 10元/人 8元/人 5元/人
某校七年级甲、乙两班共100多人去该公园举行联欢活动,其中甲班50多人,乙班不足50人.如果以班为单位分别买票,两个班一共应付920元;如果两个班联合起来作为一团体购票,一共只要付515元.问:甲、乙两班分别有多少人?
【考点】二元一次方程组的应用.
【专题】图表型.
【分析】本题等量关系有:甲班人数×8+乙班人数×10=920;(甲班人数+乙班人数)×5=515,据此可列方程组求解.
【解答】解:设甲班有x人,乙班有y人.
由题意得:
解得: .
答:甲班55人,乙班48人.
【点评】解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程组,再求解.本题按购票人数分为三类门票价格.

26.如图,OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片,O为原点,点A在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,OA=10,OC=8,在OC边上取一点D,将纸片沿AD翻折,使点O落在BC边上的点E处,求D、E两点的坐标.
 
【考点】翻折变换(折叠问题);坐标与图形性质.
【分析】先根据勾股定理求出BE的长,进而可得出CE的长,求出E点坐标,在Rt△DCE中,由DE=OD及勾股定理可求出OD的长,进而得出D点坐标.
【解答】解:依题意可知,折痕AD是四边形OAED的对称轴,
∴在Rt△ABE中,AE=AO=10,AB=8,BE= = =6,
∴CE=4,
∴E(4,8).
在Rt△DCE中,DC2+CE2=DE2,
又∵DE=OD,
∴(8﹣OD)2+42=OD2,
∴OD=5,
∴D(0,5),
综上D点坐标为(0,5)、E点坐标为(4,8).
 
【点评】本题主要考查了翻折变换、勾股定理等知识点,熟知折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等是解答此题的关键.

27.小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料,学校与天一阁的路程是4千米,小聪骑自行车,小明步行,当小聪从原路回到学校时,小明刚好到达天一阁,图中折线O﹣A﹣B﹣C和线段OD分别表示两人离学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分钟)之间的函数关系,请根据图象回答下列问题:
(1)小聪在天一阁查阅资料的时间为15分钟,小聪返回学校的速度为 千米/分钟;
(2)请你求出小明离开学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分钟)之间的函数关系;
(3)当小聪与小明迎面相遇时,他们离学校的路程是多少千米?
 
【考点】一次函数的应用.
【专题】应用题
【分析】(1)直接根据图象上所给的数据的实际意义可求解;
(2)由图象可知,s是t的正比例函数,设所求函数的解析式为s=kt(k≠0),把(45,4)代入解析式利用待定系数法即可求解;
(3)由图象可知,小聪在30≤t≤45的时段内s是t的一次函数,设函数解析式为s=mt+n(m≠0)
把(30,4),(45,0)代入利用待定系数法先求得函数关系式,再根据求函数图象的交点方法求得交点坐标即可.
【解答】解:(1)∵30﹣15=15,4÷15=
∴小聪在天一阁查阅资料的时间和小聪返回学校的速度分别是15分钟, 千米/分钟.

(2)由图象可知,s是t的正比例函数
设所求函数的解析式为s=kt(k≠0)
代入(45,4),得
4=45k
解得k=
∴s与t的函数关系式s= t(0≤t≤45).

(3)由图象可知,小聪在30≤t≤45的时段内s是t的一次函数,设函数解析式为s=mt+n(m≠0)
代入(30,4),(45,0),得
 
解得
∴s=﹣ t+12(30≤t≤45)
令﹣ t+12= t,解得t=
当t= 时,S= × =3.
答:当小聪与小明迎面相遇时,他们离学校的路程是3千米.
【点评】主要考查了一次函数的实际运用和读图能力.从图象中获得所需的信息是需要掌握的基本能力,还要会熟练地运用待定系数法求函数解析式和使用方程组求交点坐标的方法.

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