2017-2018学年天津市南开区七年级数学下期中试卷(带答案和解释)

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2017-2018学年天津市南开区七年级数学下期中试卷(带答案和解释)

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章 来源莲山课件 ww w.
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2017-2018学年天津市南开区七年级(下)期中数学试卷
 
一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分)
1.(3分) 的平方根是(  )
A.  B.﹣  C.±  D.±
2.(3分)三角形两边的长分别是4和10,则此三角形第三边的长可能是(  )
A.5 B.6 C.11 D.16
3.(3分)下列等式正确的是(  )
A.  B.  C.  D.
4.(3分)实数 ,0, ,3.14159, , ,0.1010010001…(相邻两个1之间依次多一个0),其中,无理数有(  )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
5.(3分)如图,下面说法错误的是(  )
 
A.∠1与∠C是内错角 B.∠2与∠C是同位角
C.∠1与∠3是对顶角 D.∠1与∠2是邻补角
6.(3分)下列命题中,真命题的个数是(  )
①如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行
②两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补
③两直线平行,内错角相等
④同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
⑤从直线外一点到这条直线的垂线段,叫做这点到直线的距离
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.(3分)在如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中,不一定能判断纸带两条边a,b互相平行的是(  )
 
A.如图1,展开后测得∠1=∠2
B.如图2,展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4
C.如图3,测得∠1=∠2
D.在图④中,展开后测得∠1+∠2=180°
8.(3分)实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示,则化简 ﹣|a+b|的结果为(  )
 
A.b B.﹣2a+b C.2a+b D.2a﹣b
9.(3分)如图,现将一块三角板的含有60°角的顶点放在直尺的一边上,若∠1=2∠2,那么∠1的度数为(  )
 
A.50° B.60° C.70° D.80°
10.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D在AB边上,将△CBD沿CD折叠,使点B恰好落在AC边上的点E处,若∠A=26°,则∠CDE度数为(  )
 
A.71° B.64° C.80° D.45°
11.(3分)如图,玲玲在美术课上用丝线绣成了一个“2”,AB∥DE,∠A=30°,∠ACE=110°,则∠E的度数为(  )
 
A.30° B.150° C.120° D.100°
12.(3分)如图,AB⊥BC,AE平分∠BAD交BC于点E,AE⊥DE,∠1+∠2=90°,M、N分别是BA、CD延长线上的点,∠EAM和∠EDN的平分线交于点F.∠F的度数为(  )
 
A.120° B.135° C.150° D.不能确定
 
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
13.(3分)如图,要把池中的水引到D处,可过D点引DC⊥AB于C,然后沿DC开渠,可使所开渠道最短,试说明设计的依据:     .
 
14.(3分)如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB,垂足为点O,若∠AOD=132°,则∠EOC=     °.
 
15.(3分)若x、y为实数,且满足|2x+3|+ =0,则xy的立方根为     .
16.(3分)如图,将△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF,若△ABC的周长等于10cm,则四边形ABFD的周长等于     .
 
17.(3分)如图所示,在△ABC中,∠1=∠2,G是AD的中点,延长BG交AC于点E,F为AB上一点,CF⊥AD交AD于点H.①AD是△ABE的角平分线;②BE是△ABD的边AD上的中线;③CH为△ACD的边AD上的高;④AH是△ACF的角平分线和高线,其中判断正确的有     .
 
18.(3分)任何实数a,可用[a]表示不超过a的最大整数,如[4]=4,[ ]=1,现对72进行如下操作:
72  [ ]=8  [ ]=2  [ ]=1,这样对72只需进行3次操作后变为1,类似地:
(1)对81只需进行      次操作后变为1;
(2)只需进行3次操作后变为1的所有正整数中,最大的是     .
 
三、解答题(本大题共6小题,共46分)
19.(8分)计算:
(1)| ﹣1|﹣| ﹣2|+| ﹣ |
(2)
20.(6分)如图,直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOC,∠FOD=90°
(1)若∠AOF=50°,求∠BOE的度数;
(2)若∠BOD:∠BOE=1:4,求∠AOF的度数.
 
21.(8分)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,点P为线段AD上的一个动点,PE⊥AD交BC的延长线于点E.
(1)若∠B=35°,∠ACB=85°,求∠E得度数.
(2)当点P在线段AD上运动时,设∠B=α,∠ACB=β(β>α),求∠E得大小.(用含α、β的代数式表示)
 
22.(8分)如图,已知CD∥AB,OE平分∠BOD,OE⊥OF,∠CDO=62°,求∠DOF的度数.
 
23.(8分)如图,已知∠1+∠2=180°,∠B=∠3,判断∠C与∠AED的大小关系,并说明理由.
 
24.(8分)如图,△ABC中,∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线交于A1.
 
(1)当∠A为70°时,
∵∠ACD﹣∠ABD=∠     
∴∠ACD﹣∠ABD=     °
∵BA1、CA1是∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线
∴∠A1CD﹣∠A1BD= (∠ACD﹣∠ABD)
∴∠A1=     °;
(2)∠A1BC的角平分线与∠A1CD的角平分线交于A2,∠A2BC与A2CD的平分线交于A3,如此继续下去可得A4、…、An,请写出∠A与∠An的数量关系     ;
(3)如图2,四边形ABCD中,∠F为∠ABC的角平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的角,若∠A+∠D=230度,则∠F=     .
(4)如图3,若E为BA延长线上一动点,连EC,∠AEC与∠ACE的角平分线交于Q,当E滑动时有下面两个结论:①∠Q+∠A1的值为定值;②∠Q﹣∠A1的值为定值.其中有且只有一个是正确的,请写出正确的结论,并求出其值.
 
 

2017-2018学年天津市南开区七年级(下)期中数学试卷
参考答案与试题解析
 
一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分)
1.(3分) 的平方根是(  )
A.  B.﹣  C.±  D.±
【考点】21:平方根.
【分析】依据平方根的定义回答即可.
【解答】解:∵(± )2= ,
∴ 的平方根是± .
故选:C.
【点评】本题主要考查的是平方根的定义,熟练掌握平方根的定义是解题的关键.
 
2.(3分)三角形两边的长分别是4和10,则此三角形第三边的长可能是(  )
A.5 B.6 C.11 D.16
【考点】K6:三角形三边关系.
【分析】设此三角形第三边的长为a,再由三角形的三边关系即可得出结论.
【解答】解:设此三角形第三边的长为a,则10﹣4<a<10+4,即6<a<14.
故选:C.
【点评】本题考查的是三角形的三边关系,熟知三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边是解答此题的关键.
 
3.(3分)下列等式正确的是(  )
A.  B.  C.  D.
【考点】24:立方根;22:算术平方根.
【分析】原式各项利用立方根及算术平方根定义计算即可得到结果.
【解答】解:A、原式= ,错误;
B、原式=﹣(﹣ )= ,错误;
C、原式没有意义,错误;
D、原式= =4,正确,
故选:D.
【点评】此题考查了立方根,以及算术平方根,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.
 
4.(3分)实数 ,0, ,3.14159, , ,0.1010010001…(相邻两个1之间依次多一个0),其中,无理数有(  )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【考点】26:无理数;22:算术平方根;24:立方根.
【分析】根据无理数的三种形式:①开方开不尽的数,②无限不循环小数,③含有π的数,结合所给数据进行判断即可.
【解答】解:在所列实数中无理数有 , ,0.1010010001…(相邻两个1之间依次多一个0)这3个数,
故选:B.
【点评】本题考查了无理数的定义,属于基础题,解答本题的关键是掌握无理数的三种形式.
 
5.(3分)如图,下面说法错误的是(  )
 
A.∠1与∠C是内错角 B.∠2与∠C是同位角
C.∠1与∠3是对顶角 D.∠1与∠2是邻补角
【考点】J6:同位角、内错角、同旁内角;J2:对顶角、邻补角.
【分析】依据内错角、同位角、对顶角、邻补角的定义回答即可.
【解答】解:A、∠1与∠C是内错角,故A正确,与要求不符;
B、∠2与∠C是同旁内角,故B错误,与要求相符;
C、∠1与∠3是对顶角,故C正确,与要求不符;
D、∠1与∠2是邻补角,故D正确,与要求不符.
故选:B.
【点评】本题主要考查的是内错角、同位角、对顶角、邻补角的定义,掌握相关定义是解题的关键.
 
6.(3分)下列命题中,真命题的个数是(  )
①如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行
②两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补
③两直线平行,内错角相等
④同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
⑤从直线外一点到这条直线的垂线段,叫做这点到直线的距离
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【考点】O1:命题与定理.
【分析】根据平行公理、平行线的性质、点到直线的距离的定义判断即可,
【解答】解:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行,①是真命题;
两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补,②是假命题;
两直线平行,内错角相等,③是真命题;
同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,④是真命题;
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做这点到直线的距离,⑤数假命题;
故选:C.
【点评】本题考查的是命题的真假判断,正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.
 
7.(3分)在如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中,不一定能判断纸带两条边a,b互相平行的是(  )
 
A.如图1,展开后测得∠1=∠2
B.如图2,展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4
C.如图3,测得∠1=∠2
D.在图④中,展开后测得∠1+∠2=180°
【考点】J9:平行线的判定.
【分析】根据平行线的判定定理,进行分析,即可解答.
【解答】解:A、当∠1=∠2时,a∥b;
B、由∠1=∠2且∠3=∠4可得∠1=∠2=∠3=∠4=90°,∴a∥b;
C、∠1=∠2不等判定a,b互相平行;
D、由∠1+∠2=180°可知a∥b;
故选:C.
【点评】本题主要考查平行线的判定,熟练掌握平行线的判定定理是关键.
 
8.(3分)实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示,则化简 ﹣|a+b|的结果为(  )
 
A.b B.﹣2a+b C.2a+b D.2a﹣b
【考点】73:二次根式的性质与化简;29:实数与数轴.
【分析】直接利用数轴得出a<0,a+b<0,进而化简得出答案.
【解答】解:原式=﹣a﹣[﹣(a+b)]
=﹣a+a+b
=b.
故选:A.
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简,正确得出各项符号是解题关键.
 
9.(3分)如图,现将一块三角板的含有60°角的顶点放在直尺的一边上,若∠1=2∠2,那么∠1的度数为(  )
 
A.50° B.60° C.70° D.80°
【考点】JA:平行线的性质.
【分析】先根据两直线平行的性质得到∠3=∠2,再根据平角的定义列方程即可得解.
【解答】解:∵AB∥CD,
∴∠3=∠2,
∵∠1=2∠2,
∴∠1=2∠3,
∴3∠3+60°=180°,
∴∠3=40°,
∴∠1=2×40°=80°,
故选:D.
 
【点评】本题考查了平行线的性质,三角板的知识,熟记性质是解题的关键.
 
10.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D在AB边上,将△CBD沿CD折叠,使点B恰好落在AC边上的点E处,若∠A=26°,则∠CDE度数为(  )
 
A.71° B.64° C.80° D.45°
【考点】K7:三角形内角和定理.
【分析】由折叠的性质可求得∠ACD=∠BCD,∠BDC=∠CDE,在△ACD中,利用外角可求得∠BDC,则可求得答案.
【解答】解:
由折叠可得∠ACD=∠BCD,∠BDC=∠CDE,
∵∠ACB=90°,
∴∠ACD=45°,
∵∠A=26°,
∴∠BDC=∠A+∠ACD=26°+45°=71°,
∴∠CDE=71°,
故选:A.
【点评】本题主要考查折叠的性质,掌握折叠前后图形的对应线段和对应角相等是解题的关键.
 
11.(3分)如图,玲玲在美术课上用丝线绣成了一个“2”,AB∥DE,∠A=30°,∠ACE=110°,则∠E的度数为(  )
 
A.30° B.150° C.120° D.100°
【考点】JA:平行线的性质;J8:平行公理及推论.
【分析】过C作CQ∥AB,得出AB∥DE∥CQ,根据平行线的性质推出∠A=∠QCA=30°,∠E+∠ECQ=180°,求出∠ECQ,即可求出选项.
【解答】解:过C作CQ∥AB,
∵AB∥DE,
∴AB∥DE∥CQ,
∵∠A=30°,
∴∠A=∠QCA=30°,∠E+∠ECQ=180°,
∵∠ACE=110°,
∴∠ECQ=110°﹣30°=80°,
∴∠E=180°﹣80°=100°,
故选:D.
 
【点评】本题主要考查对平行线的性质,平行公理及推论等知识点的理解和掌握,能正确作辅助线并灵活运用性质进行推理是解此题的关键.
 
12.(3分)如图,AB⊥BC,AE平分∠BAD交BC于点E,AE⊥DE,∠1+∠2=90°,M、N分别是BA、CD延长线上的点,∠EAM和∠EDN的平分线交于点F.∠F的度数为(  )
 
A.120° B.135° C.150° D.不能确定
【考点】JB:平行线的判定与性质.
【分析】先根据∠1+∠2=90°得出∠EAM+∠EDN的度数,再由角平分线的定义得出∠EAF+∠EDF的度数,根据AE⊥DE可得出∠3+∠4的度数,进而可得出∠FAD+∠FDA的度数,由三角形内角和定理即可得出结论.
【解答】解:∵∠1+∠2=90°,
∴∠EAM+∠EDN=360°﹣90°=270°.
∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F,
∴∠EAF+∠EDF= ×270°=135°.
∵AE⊥DE,
∴∠3+∠4=90°,
∴∠FAD+∠FDA=135°﹣90°=45°,
∴∠F=180°﹣(∠FAD+∠FDA)=180﹣45°=135°.
故选:B.
 
【点评】本题查的是三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平分线的性质,熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键.
 
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
13.(3分)如图,要把池中的水引到D处,可过D点引DC⊥AB于C,然后沿DC开渠,可使所开渠道最短,试说明设计的依据: 垂线段最短 .
 
【考点】J4:垂线段最短.
【分析】根据垂线段的性质,可得答案.
【解答】解:要把池中的水引到D处,可过D点引DC⊥AB于C,然后沿DC开渠,可使所开渠道最短,试说明设计的依据:垂线段最短.
故答案为:垂线段最短.
【点评】本题考查了垂线段最短,利用了垂线段的性质:直线外的点与直线上任意一点的连线中垂线段最短.
 
14.(3分)如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB,垂足为点O,若∠AOD=132°,则∠EOC= 42 °.
 
【考点】J3:垂线;J2:对顶角、邻补角.
【分析】根据对顶角相等可得∠COB=132°,再根据垂直定义可得∠EOB=90°,再利用角的和差关系可得答案.
【解答】解:∵∠AOD=132°,
∴∠COB=132°,
∵EO⊥AB,
∴∠EOB=90°,
∴∠COE=132°﹣90°=42°,
故答案为:42.
【点评】此题主要考查了垂线,以及对顶角,关键是掌握对顶角相等.
 
15.(3分)若x、y为实数,且满足|2x+3|+ =0,则xy的立方根为 ﹣  .
【考点】24:立方根;16:非负数的性质:绝对值;23:非负数的性质:算术平方根.
【分析】根据偶次方和绝对值的非负性得出方程,求出方程的解,再代入求出立方根即可.
【解答】解:∵|2x+3|+ =0,
∴2x+3=0且9﹣4y=0,
解得:x=﹣ 、y= ,
则 = = =﹣ ,
故答案为:﹣
【点评】本题考查了偶次方和绝对值,方程的思想,立方根的应用,关键是求出x、y的值.
 
16.(3分)如图,将△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF,若△ABC的周长等于10cm,则四边形ABFD的周长等于 12cm .
 
【考点】Q2:平移的性质.
【分析】根据平移的性质可得AD=CF=1,AC=DF,然后根据四边形的周长的定义列式计算即可得解.
【解答】解:∵△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF,
∴AD=CF=1,AC=DF,
∴四边形ABFD的周长=AB+(BC+CF)+DF+AD=AB+BC+AC+AD+CF,
∵△ABC的周长=10,
∴AB+BC+AC=10,
∴四边形ABFD的周长=10+1+1=12cm.
故答案为:12cm,
【点评】本题考查了平移的性质,熟记性质得到相等的线段是解题的关键.
 
17.(3分)如图所示,在△ABC中,∠1=∠2,G是AD的中点,延长BG交AC于点E,F为AB上一点,CF⊥AD交AD于点H.①AD是△ABE的角平分线;②BE是△ABD的边AD上的中线;③CH为△ACD的边AD上的高;④AH是△ACF的角平分线和高线,其中判断正确的有 ③④ .
 
【考点】K2:三角形的角平分线、中线和高.
【分析】根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断.
连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线;
三角形的一个角的角平分线和对边相交,顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线;
从三角形的一个顶点向对边引垂线,顶点和垂足间的线段叫三角形的高.
【解答】解:①根据三角形的角平分线的概念,知AD是△ABC的角平分线,故此说法不正确;
②根据三角形的中线的概念,知BG是△ABD的边AD上的中线,故此说法不正确;
③根据三角形的高的概念,知CH为△ACD的边AD上的高,故此说法正确;
④根据三角形的角平分线和高的概念,知AH是△ACF的角平分线和高线,故此说法正确.
故答案为③④.
【点评】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念,注意:三角形的角平分线、中线、高都是线段,且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段.透彻理解定义是解题的关键.
 
18.(3分)任何实数a,可用[a]表示不超过a的最大整数,如[4]=4,[ ]=1,现对72进行如下操作:
72  [ ]=8  [ ]=2  [ ]=1,这样对72只需进行3次操作后变为1,类似地:
(1)对81只需进行 3  次操作后变为1;
(2)只需进行3次操作后变为1的所有正整数中,最大的是 255 .
【考点】2B:估算无理数的大小.
【分析】(1)根据运算过程得出[ ]=9,[ ]=3,[ ]=1,即可得出答案.
(2)最大的正整数是255,根据操作过程分别求出255和256进行几次操作,即可得出答案.
【解答】解:(1)∵[ ]=9,[ ]=3,[ ]=1,
∴对81只需进行3次操作后变为1,
故答案为:3.

(2)最大的正整数是255,
理由是:∵[ ]=15,[ ]=3,[ ]=1,
∴对255只需进行3次操作后变为1,
∵[ ]=16,[ ]=4,[ ]=2,[ ]=1,
∴对256只需进行4次操作后变为1,
∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中,最大的是255,
故答案为:255.
【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用,主要考查学生的理解能力和计算能力.
 
三、解答题(本大题共6小题,共46分)
19.(8分)计算:
(1)| ﹣1|﹣| ﹣2|+| ﹣ |
(2)
【考点】2C:实数的运算.
【分析】(1)首先利用绝对值的性质计算绝对值,然后再计算实数的加减即可;
(2)本题涉及开立方、二次根式化简.在计算时,需要针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果.
【解答】解:(1)原式= ﹣1﹣(2﹣ )+ ,
= ﹣1﹣2+  ﹣ ,
=2 ﹣3;

(2)原式=0.5﹣2﹣ =﹣ .
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算.
 
20.(6分)如图,直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOC,∠FOD=90°
(1)若∠AOF=50°,求∠BOE的度数;
(2)若∠BOD:∠BOE=1:4,求∠AOF的度数.
 
【考点】J2:对顶角、邻补角;IJ:角平分线的定义.
【分析】(1)根据补角,余角的关系,可得∠COB,根据角平分线的定义,可得答案;
(2)根据邻补角,可得关于x的方程,根据解方程,可得∠AOC,再根据余角的定义,可得答案.
【解答】解:(1)∵∠COF与∠DOF是邻补角,
∴∠COF=180°﹣∠DOF=90°.
∵∠AOC与∠AOF互为余角,
∴∠AOC=90°﹣∠AOF=90°﹣50°=40°.
∵∠AOC与∠BOC是邻补角,
∴∠COB=180°﹣∠AOC=180°﹣40°=140°.
∵OE平分∠BOC,
∴∠BOE= ∠BOC=70°;
(2)∠BOD:∠BOE=1:4,
设∠BOD=∠AOC=x,∠BOE=∠COE=4x.
∵∠AOC与∠BOC是邻补角,
∴∠AOC+∠BOC=180°,
即x+4x+4x=180°,
解得x=20°.
∵∠AOC与∠AOF互为余角,
∴∠AOF=90°﹣∠AOC=90°﹣20°=70°.
【点评】本题考查了对顶角、邻补角,利用邻补角的定义、余角的定义是解题关键.
 
21.(8分)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,点P为线段AD上的一个动点,PE⊥AD交BC的延长线于点E.
(1)若∠B=35°,∠ACB=85°,求∠E得度数.
(2)当点P在线段AD上运动时,设∠B=α,∠ACB=β(β>α),求∠E得大小.(用含α、β的代数式表示)
 
【考点】K7:三角形内角和定理;K8:三角形的外角性质.
【分析】(1)由∠B=35°,∠ACB=85°,根据三角形内角和等于180°,可得∠BAC的度数,因为AD平分∠BAC,从而可得∠DAC的度数,进而求得∠ADC的度数,由PE⊥AD,可得∠DPE的度数,从而求得∠E的度数.
(2)根据第一问的推导,可以用含α、β的代数式表示∠E.
【解答】解:(1)∵∠B=35°,∠ACB=85°,∠B+∠ACB+∠BAC=180°.
∴∠BAC=60°.
∵AD平分∠BAC.
∴∠DAC=30°.
∵∠ACB=85°,∠ACB+∠DAC+∠PDE=180°.
∴∠PDE=65°.
又∵PE⊥AD.
∴∠DPE=90°.
∵∠PDE+∠DPE+∠E=180°.
∴∠E=25°.
(2))∵∠B=α,∠ACB=β,∠B+∠ACB+∠BAC=180°.
∴∠BAC=180°﹣α﹣β.
∵AD平分∠BAC.
∴∠DAC= (180°﹣α﹣β).
∵∠ACB=β,∠ACB+∠DAC+∠PDE=180°.
∴∠PDE=180°﹣β﹣ (180°﹣α﹣β)=90° .
又∵PE⊥AD.
∴∠DPE=90°.
∵∠PDE+∠DPE+∠E=180°.
∴∠E=180°﹣90°﹣(90° )= .
【点评】本题主要考查三角形的内角和的应用,关键是可以根据题意,灵活变化,最终求出所要求的问题的答案.
 
22.(8分)如图,已知CD∥AB,OE平分∠BOD,OE⊥OF,∠CDO=62°,求∠DOF的度数.
 
【考点】JA:平行线的性质.
【分析】根据两直线平行,同旁内角互补求出∠BOD,再根据角平分线的定义求出∠DOE,然后根据垂直的定义求出∠EOF=90°,再根据∠DOF=∠EOF﹣∠DOE代入数据计算即可得解.
【解答】解:∵CD∥AB,
∴∠BOD=180°﹣∠CDO=180°﹣62°=118°,
∵OE平分∠BOD,
∴∠DOE= ∠BOD= ×118°=59°,
∵OE⊥OF,
∴∠EOF=90°,
∴∠DOF=∠EOF﹣∠DOE=90°﹣59°=31°.
【点评】本题考查了平行线的性质,角平分线的对,垂线的定义,是基础题,熟记性质并准确识图是解题的关键.
 
23.(8分)如图,已知∠1+∠2=180°,∠B=∠3,判断∠C与∠AED的大小关系,并说明理由.
 
【考点】JB:平行线的判定与性质.
【分析】相等,根据同角的补角相等可得∠2=∠EFD,则AB∥EF,得∠3=∠ADE,证明DE∥BC,可得结论.
【解答】解:∠C=∠AED,理由是:
∵∠1+∠2=180°,∠1+∠EFD=180°,
∴∠2=∠EFD,
∴AB∥EF,
∴∠3=∠ADE,
∵∠B=∠3,
∴∠ADE=∠B,
∴DE∥BC,
∴∠C=∠AED.
【点评】本题考查了平行线的性质和判定及平角的定义,熟练掌握平行线的判定是关键.
 
24.(8分)如图,△ABC中,∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线交于A1.
 
(1)当∠A为70°时,
∵∠ACD﹣∠ABD=∠ A 
∴∠ACD﹣∠ABD= 70 °
∵BA1、CA1是∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线
∴∠A1CD﹣∠A1BD= (∠ACD﹣∠ABD)
∴∠A1= 35 °;
(2)∠A1BC的角平分线与∠A1CD的角平分线交于A2,∠A2BC与A2CD的平分线交于A3,如此继续下去可得A4、…、An,请写出∠A与∠An的数量关系 ∠An= ∠A ;
(3)如图2,四边形ABCD中,∠F为∠ABC的角平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的角,若∠A+∠D=230度,则∠F= 25° .
(4)如图3,若E为BA延长线上一动点,连EC,∠AEC与∠ACE的角平分线交于Q,当E滑动时有下面两个结论:①∠Q+∠A1的值为定值;②∠Q﹣∠A1的值为定值.其中有且只有一个是正确的,请写出正确的结论,并求出其值.
【考点】L3:多边形内角与外角;K7:三角形内角和定理;K8:三角形的外角性质.
【分析】(1)根据角平分线的定义可得∠A1BC= ∠ABC,∠A1CD= ∠ACD,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC,∠A1CD=∠A1BC+∠A1,整理即可得解;
(2)由∠A1CD=∠A1+∠A1BC,∠ACD=∠ABC+∠A,而A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD,得到∠ACD=2∠A1CD,∠ABC=2∠A1BC,于是有∠BAC=2∠A1,同理可得∠A1=2∠A2,即∠A=22∠A2,因此找出规律;
(3)先根据四边形内角和等于360°,得出∠ABC+∠DCB=360°﹣(α+β),根据内角与外角的关系和角平分线的定义得出∠ABC+(180°﹣∠DCE)=360°﹣(α+β)=2∠FBC+(180°﹣2∠DCF)=180°﹣2(∠DCF﹣∠FBC)=180°﹣2∠F,从而得出结论;
(4)依然要用三角形的外角性质求解,易知2∠A1=∠AEC+∠ACE=2(∠QEC+∠QCE),利用三角形内角和定理表示出∠QEC+∠QCE,即可得到∠A1和∠Q的关系.
【解答】解:(1)当∠A为70°时,
∵∠ACD﹣∠ABD=∠A,
∴∠ACD﹣∠ABD=70°,
∵BA1、CA1是∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线,
∴∠A1CD﹣∠A1BD= (∠ACD﹣∠ABD)
∴∠A1=35°;
故答案为:A,70,35;

(2)∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD,
∴∠ACD=2∠A1CD,∠ABC=2∠A1BC,
而∠A1CD=∠A1+∠A1BC,∠ACD=∠ABC+∠BAC,
∴∠BAC=2∠A1=80°,
∴∠A1=40°,
同理可得∠A1=2∠A2,
即∠BAC=22∠A2=80°,
∴∠A2=20°,
∴∠A=2n∠An,即∠An= ∠A,
故答案为:∠An= ∠A.

(3)∵∠ABC+∠DCB=360°﹣(∠A+∠D),
∴∠ABC+(180°﹣∠DCE)=360°﹣(∠A+∠D)=2∠FBC+(180°﹣2∠DCF)=180°﹣2(∠DCF﹣∠FBC)=180°﹣2∠F,
∴360°﹣(α+β)=180°﹣2∠F,
2∠F=∠A+∠D﹣180°,
∴∠F= (∠A+∠D)﹣90°,
∵∠A+∠D=230°,
∴∠F=25°;
故答案为:25°.

(4)①∠Q+∠A1的值为定值正确.
∵∠ACD﹣∠ABD=∠BAC,BA1、CA1是∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线
∴∠A1=∠A1CD﹣∠A1BD= ∠BAC,(1分)
∵∠AEC+∠ACE=∠BAC,EQ、CQ是∠AEC、∠ACE的角平分线,
∴∠QEC+∠QCE= (∠AEC+∠ACE)= ∠BAC,
∴∠Q=180°﹣(∠QEC+∠QCE)=180°﹣ ∠BAC,
∴∠Q+∠A1=180°.
【点评】本题考查了多边形内角与外角和角平分线的定义,三角形的内角和定理,角平分线的定义,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,熟记性质并准确识图是解题的关键,要注意整体思想的利用.


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