2015-2016正定名校高二数学上学期期末考试题(带答案)

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2015-2016正定名校高二数学上学期期末考试题(带答案)

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文 章来源 莲
山 课 件 w w w.
5Y k J. c oM

2015-2016学年高二第一学期期末考试
数学试题

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.
1. 已知集合 ,则 (    )
 A.       B.     C.        D.
2.复数 (  )
 A.       B.         C.          D.
3.抛物线 的焦点到准线的距离为(     )
 A.     B.         C.           D.
4. (   )
 A.                B.              C.0              D.
5.曲线 在 处的切线平行于直线 ,则 点坐标为(   )
 A.              B.       C. 或      D. 或
6.已知函数 ,若将函数 的图像向左平移 个单位后所得图像对应的函数为偶函数,则实数 (     )
A.    B.    C.   D.
7.已知 是不等式组 表示的平面区域内的一点, ,O为坐标原点,则 的最大值(     )
A.    B.    C.    D.
8.分配 名水暖工去 个不同的居民家里检查暖气管道. 要求 名水暖工都分配出去,且每个居民家都要有人去检查,那么分配的方案共有(    )
A.  种       B.  种       C.  种        D.  种
9. 已知 展开式中各项系数和为625,则展开式中含 项的系数为(    )
A.        B.         C.           D.
10. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(    )
A.                    B.           
C.                     D.
11.已知双曲线 的左、右焦点分别为 , ,过 的直线与双曲线 的右支相交于 两点,若 ,且 ,则双曲线的离心率 (     )
A.   B.   C.   D.
12.已知数列 满足: ,则 (     )
A.   B.    C.    D.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13.在正项等比数列 中,前 项和为 ___________.
14.设向量 与 的夹角为 ,且 ,则 ___________.
15.在航天员进行的一项太空实验中,要先后实施 个程序,其中程序 只能出现在第一或最后一步,程序 和 在实施时必须相邻,则实验顺序的编排方法共有          ___________种(用数字作答).
16.已知函数 的导函数为 ,若使得 成立的 ,则实数 的取值范围为___________.

三、解答题: (本大题共6小题,共70分.)
17.(本题满分10分)等差数列 中,
(1)求 的通项公式;
(2)设
18.(本题满分12分)在 中,已知角 、 、 的对边分别为 ,且 。
(1)求 的大小;
(2)若 ,试判断 的形状.

19.(本题满分12分)某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取 名学生,将其数学成绩(均为整数)分成六组 , ,…, 后得到如下部分频率分布直方图,观察图形的信息,回答下列问题:
 
(1)求分数在 内的频率;
(2)估计本次考试的平均分;
(3)用分层抽样的方法在分数段为 的学生中抽取一个容量为 的样本,将该样本看成一个总体,从中任取 人,求至多有 人在分数段 内的概率.
 
20.(本题满分12分)如图:四棱锥 中,底面 是平行四边形, ,平面 平面 , , , 分别为线段 和 的中点.
(1) 求证: 平面 ;
(2)在线段 上是否存在一点 ,使得平面 和平面 所成二面角的大小为 ?若存在,试确定 的位置;若不存在,请说明理由.
 


21. (本题满分12分)已知两点 ,直线AM、BM相交于点M,且这两条直线的斜率之积为 .
(1)求点M的轨迹方程;
(2)记点M的轨迹为曲线C,曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1,过点P且斜率互为相反数的两条直线分别交曲线C于Q、R,求△OQR的面积的最大值(其中点O为坐标原点).

 

22.(本题满分12分)
设 为实数,函数
(1)当 时,求 在 上的最大值;
(2)设函数 ,当 有两个极值点 时,总有 ,求实数 的值.
 
高二期末考试   数学答案
一BACCC    DDCAA     DB
二13.     14.     15. 96   16. 
三17.解(Ⅰ)设等差数列 的公差为d,则 
因为 ,所以 .
解得, .
所以 的通项公式为 .
(Ⅱ) ,
所以 .
18.解:(1)
     
(2)
      又
  又  是等边三角形
19.解:(1)分数在[120,130)内的频率为
1-(0.1+0.15+0.15+0.25+0.05)=1-0.7=0.3.
(2)估计平均分为
 =95×0.1+105×0.15+115×0.15+125×0.3+135×0.25+145×0.05=121.
(3)由题意,[110,120)分数段的人数为60×0.15=9(人).
在[120,130)分数段的人数为60×0.3=18(人).
∵用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本,∴需在[110,120)分数段内抽取2人,并分别记为m,n;
在[120,130)分数段内抽取4人,并分别记为a,b,c,d;设“从样本中任取2人,至多有1人在分数段[120,130)内”为事件A,则基本事件共有{m,n},{m,a},…,{m,d},{n,a},…,{n,d},{a,b},…,{c,d},共15个.
则事件A包含的基本事件有{m,n},{m,a},{m,b},{m,c},{m,d},{n,a},{n,b},{n,c},{n,d},共9个.
∴P(A)= = .
20.(1)取PA中点为H,连结CE、HE、FH,
因为H、E分别为PA、PD的中点,所以HE∥AD, ,
因为ABCD是平行四边形,且F为线段BC的中点   
所以FC∥AD,
所以HE∥FC,  四边形FCEH是平行四边形     所以EC∥HF
又因为      
所以CE∥平面PAF        ……………4分
(2)因为四边形ABCD为平行四边形且∠ACB=90°,
         所以CA⊥AD       又由平面PAD⊥平面ABCD可得
          CA⊥平面PAD      所以CA⊥PA    
  由PA=AD=1,PD=  可知,PA⊥AD…………5分                   
      所以可建立如图所示的平面直角坐标系A-xyz
      因为PA=BC=1,AB= 所以AC=1         
所以
假设BC上存在一点G,使得平面PAG和平面PGC
所成二面角的大小为60°,
设点G的坐标为(1,a,0),     
所以
设平面PAG的法向量为
则 令 
 所以

设平面PCG的法向量为
则 令 所以      
因为平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°,所以
       所以 又 所以                   
       所以线段BC上存在一点G,使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°点G即为B点.
21.解:(1)设点 ,      
整理得点M所在的曲线C的方程: ( )  
(2)由题意可得点P( )
直线PQ与直线PR的斜率互为相反数
设直线PQ的方程为 ,
与椭圆方程联立消去 ,得:
 ,             
由于 1是方程的一个解,
所以方程的另一解为      同理    
故直线RQ的斜率为    = 
把直线RQ的方程 代入椭圆方程,消去 整理得
所以       
原点O到直线RQ的距离为                        
 .

22.(1)当  时, ,
则 ,
∴当  时, ,这时  单调递增,
  当  时, ,这时 单调递减,
∴ 在 的极大值是 .
(2)由题意可知 ,则 .
根据题意,方程  有两个不同的实根 ,
∴ ,即 ,且 .
由 ,其中 ,
可得 ,
注意到 ,
∴上式化为 ,
即不等式  对任意的  恒成立,
(i)当  时,不等式  恒成立, ;
(ii)当  时,  恒成立,即 ,
令函数 ,显然,  是  上的减函数,
∴当  时, ,∴ ,
(iii)当  时,  恒成立,即 ,
由(ii),当  时,  即  ,
综上所述, .
 

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