2015-2016赣州市高二上学期期末考试数学(理)试题及答案

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2015-2016赣州市高二上学期期末考试数学(理)试题及答案

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江西省赣州市2015~2016学年度第一学期期末考试
          高二数学(理科)试题         2016年1月
(考试时间120分钟.共150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每一小题的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.将正确答案填写在下表中)
1.右面茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次数学考试
中的成绩(单位:分).已知甲组数据的中位数为 ,乙
组数据的平均数为 ,则 的值分别为
A.             B.            C.            D.
2.已知 表示直线, 表示两个不同的平面,则下列说法正确的是
A.若 ∥ , ∥ ,则 ∥           B.若 , ∥ ,则 ∥  
C.若 , ,则            D.若 , ,则 
3.已知双曲线 的离心率为 ,则 的渐近线方程为
A.       B.       C.       D. 
4.命题“ 恒成立”是假命题,则实数 的取值范围是
A.     B. 或     C. 或    D. 或
5.某人 次上班途中所花时间(单位:分钟)分别为 ,已知这组数据的平均数为 ,方差为 ,则
A.              B.              C.              D.
6.某单位有 名职工,现采用系统抽样方法抽取 人做问卷调查,将 人按 随机编号,则抽取的 人中,编号落入区间 的人数为
A.              B.             C.             D.
7.设 ,那么“ ”是“ ”的
A.充分不必要条件             B.必要不充分条件
C.充要条件                   D.既不充分也不必要条件
8.一个算法的框图如右图所示,若该程序输出的结果为
  ,则判断框中应填入的条件是
A.     B.    
C.    D. 
9.已知 的取值如下表:
 


从散点图可以看出 与 线性相关,且回归方程为 ,则
A.          B.          C.         D.
10.一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为C
A.                B.        
C.               D.
11.在平面 内,向图形 内投点,则点落在由
不等式组 所确定的平面区域的概率为
A.              B.            C.            D.
12. 为坐标原点, 为抛物线 的焦点, 为 上一点,若 ,则 的面积为
A.              B.           C.           D.
二、填空题:本大题共有4小题,每小题5分,共20分
13.有 、 、 三种零件,分别为 个、 个、 个,采用分层抽样法抽取一个容量为 的样本, 种零件被抽取 个,则         .
14.已知以坐标轴为对称轴且离心率等于 的双曲线的一个焦点与抛物线 的焦点重合,则该双曲线的方程为              .
15.在区间 内任取两数 ,则椭圆 的离心率大于 的概率是    .
16.已知正四面体 的棱长为 ,则其内切球的半径是       .
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(本小题满分10分)
已知命题 实数 满足 ,命题 实数 满足
 ,若 是 的必要不充分条件,求实数 的取值范围.
 
 
 
18.(本小题满分12分)
从全校参加数学竞赛的学生的试卷中,抽取一个样本,考察竞赛的成绩分布,将样本分成 组,绘成频率分布直方图,图中从左到右各小组的长方形的高之比为 ,最右边一组的频数是 .
  (1)成绩落在哪个范围的人数最多?并求出该小组的频数、频率;
(2)估计这次竞赛中,成绩高于 分的学生占总人数的百分百.
 
19.(本小题满分12分)
某电视机的广告支出 (单位:万元)与销售收入 (单位:万元)之间有下表所对应的关系:


(1)求出 对 的回归直线方程;
(2)若广告费为 万元,则销售收入为多少万元?
(参考公式: , )


20.(本小题满分12分)
一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为 .
(1)从袋中随机抽取两个球,求取出的球的编号之和为偶数的概率;
(2)先从袋中随机取一个球,该球的编号为 ,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为 ,求 的概率.


21.(本小题满分12分)
如图,直三棱柱 中, 、 分别是 ,
的中点, .
(1)证明: ∥平面 ;
(2)求二面角 的正弦值.


22.(本小题满分12分)
已知动点 到直线 的距离是它到点 的距离的 倍.
(1)求动点 的轨迹 的方程;
(2)过点 的直线 与轨迹 交于 两点,若 是 的中点,求直线 的斜率.
 

江西省赣州市2015~2016学年度第一学期期末考试
高二数学(理科)试题
一、选择题
1~5.CDCDD;      6~10.BBABC       11~12.DC
二、填空
13. ;        14. ;        15. ;        16. .
三、解答题
17.解:设集合 ………………2分
集合 …………4分
 是 的必要不充分条件,即为 是 的必要不充分条件…………………………6分
所以 ,即 ,解得 ………………………………………………9分
所以实数 的取值范围是 …………………………………………………………10分
18.解:(1)成绩落在 内人数最多…………………………………………2分
频数为 ,频率为 …………………………………………6分
(2)成绩高于 分的学生占总人数的
 …………………………………………………………12分
19.解:(1) , ,所以 ……………………………………………2分
 ……………………………………………………………………………4分
故 对 的回归直线方程为 ………………………………………………6分
(2)当 时, ,故若广告费为 万元,则销售收入为 万元……12分
20.解:(1)从袋中随机取两个球,其中所有可能的结果组成的基本事件有 和 , 和 ,
 和 , 和 , 和 , 和 共 个,从袋中取出的球的编号之和为偶数的的事件共有 和 , 和 两个……………………………………………………………………………3分
因此所求事件的概率 ………………………………………………………………6分
(2)先从袋中随机取一个球,记下编号为 ,放回后,再从袋中随机取一个球,记下编号为 , 一切可能的结果有: , , , , , , , ,
 , , , , , , , 共 个……………8分
其中满足 的有: , , , , , , , , , 十个…………………………………………………………………………………10分
故满足条件的概率为 ……………………………………………………………12分
21.解:(1)证明:连接 ,交 于点 …………………………………………1分
则 为 的中点………………………………………………………………………2分
又 是 的中点,连接 …………………………………………………………3分
则 ∥ ,因为 平面 , 平面 ………………………4分
所以 ∥平面 ……………………………………………………………………6分
(2)解:由 ,得 ………………………………7分
以 为坐标原点, 、 、 为 轴、 轴、 轴建立如图的空间坐标系 ,
设 ,则 , , , , ,
 ………………………………………………8分
设 是平面 的法向量,
则 ,即 ,
可取 …………………………………………9分
同理,设 是平面 的法向量,则 ,
可取 ………………………………………………………………………10分
从而 ……………………………………………………11分
故 ……………………………………………………………………12分
即二面角 的正弦值为 .
22.解:如图,设点 到直线 的距离为 ,
根据题意, ,由此 …2分
化简得: ………………………………………4分
所以动点 的轨迹 的方程为 ……………5分
(2)由题意,设直线 的方程为 ……………6分
 , ,如图所示.
将 代入 ,得 ………………………7
其中,
且 …①, …②………………………………………8
又 是 的中点,故 …③
将③代入①②,得 , ………………………………………9分
所以 ,且 …………………………………………………11分
解得 或 ………………………………………………………………………12分
所以直线 的斜率为 或 .

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