2015-2016汕头市高二数学下学期期末试题(理有答案)

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2015-2016汕头市高二数学下学期期末试题(理有答案)

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莲山 课件 w ww.5 Y
K J.CO
M

汕头市2015-2016学年高二下学期期末质量监测
数学理试题
一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每个小题给出的四个选项中,只有一
    项是符合题目要求的。)
1•集合A={x| },B={x |x2<16},则A B=()
  A.(1,4)  B.[l,4)  C.[l,+ )  D.[e,4)
2.复数
      A.一3一4  B.一3+4   C.3一4   D.3+4i
3•函数 的图象中相邻的两条称轴间距离为()
    A、3   B、   C、   D、
4.下列命题中,是真命题的是()
    A.    B.已知 ,b为实数,则 十b=0的充要条件是 =一1
    C.   D.已知 ,b为实数,则 >1,b>1是 b>1的充分条件
5.现有2个男生,3个女生和1个老师共六人站成一排照相,若两端站男生,3个女生中有且仅
  有两人相邻,则不同的站法种数是()
A.12  B.24  C.36  D.48
6.已知向量 =(1, x), =(1, x一1),若 ,则| |=()
    A.     B.     C. 2   D.
7.已知双曲线 的离心率为 ,则C的渐近线方程为()
A. y=   B. y=   C. y=   D. y=
8.在△ABC中, ,AC=3,D在边BC上,且CD=2DB,则AD=(  )
    A.     B.     C. 5   D. 2
9.某程序框图如图所示,现将输出 值依次记为: , ,…, ),…若程序运行中输出的一个数组是 (x,一10),则数组中的x=()
   A. 32      B. 24      C. 18       D. 16
 
10.如图1,已知正方体ABCD一A1B1C1D1的棱长为a,动点M、N、Q分别在线段AD1,B1C,C1D1上,当三棱锥Q-BMN的俯视图如图2所示时,三棱锥Q-BMN的正视图面积等于()
   
11.已知函数f(x)= ,如果存在实数x0,使得对任意的实数x,
  都有f(x0) 成立,则 的最小值为( )
 A、   B、   C、    D、
12.已知函数 ,设 为实数,若存在实数 ,使
    f(m)一2g(a)=0则实数a的取值范围为()
    A.[-1,+ )   B.[-1, 3]  C.(一 ,-1]U[3,+ )   D.(一 ,3]


                               第II卷
    本卷包括必考题和选考题两部分。第13题一第21题为必考题,每个考生都必须做答。第22
题一第24题为选考题,考生根据要求做答。
二.填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分。)
13.若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2一y2=1的一个焦点,则P=   .
14.点M(x, y)是不等式组 表示的平面区域 内的一动点,且不等式2x-y+m≥0
    总成立,则m的取值范围是    
15.若三棱锥P-ABC的最长的棱PA=2,且各面均为直角三角形,则此三棱锥的外接球的体
    积是    
16.设 的展开式中常数项是     

三.解答题:(本大题8个小题,共70分,解答须写出文字说明、证明过程、演算步骤。)
17.(本小题满分12分)若数列 的前n项和 满足 ,等差数列
    满足
(1)求数列 , 的通项公式;
(2)设 ,求数列 的前n项和 .

 

18.(本小题满分12分)如图,四棱锥 中, , , 与 都是等边三角形.
(1)证明: ;
(2)求二面角 的余弦值.
 

 

 

19. 2016年4月21日上午10时,某省会首次启动重污染天气II级应急响应,正式实施机动车车尾号限行,当天某报社为了解公众对“车辆限行”的态度,随机抽查了50人,将调查情况进行整理后制成下表:
年龄(岁) 
 
 
 
 
 

频数 5 10 15 10 5 5
赞成人数 4 6 9 6 3 4
(1)完成被调查人员的频率分布直方图;
(2)若从年龄 , 的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查,记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为 ,求随机变量 的分布列和数学期望.
 

20.如图,已知抛物线 的焦点为 ,椭圆 的中心在原点, 为其右焦点,点 为曲线 和 在第一象限的交点,且 .(1)求椭圆 的标准方程;
(2)设 为抛物线 上的两个动点,且使得线段 的中点 在直线 上,
 为定点,求 面积的最大值.
 

 

21.已知函数 
(1)求曲线 在点 处的切线方程;  (2)证明: .


请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答,并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑,按所涂题号进行评分;不涂、多图均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分。
22. (本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲
如图所示,已知 是⊙ 相切, 为切点,过点 的
割线交圆于 两点,弦 , 相交于点
 , 为 上一点,且 .
(1)求证: ;
(2)若 ,求 的长.

 


23.本小题满分10分)选修4—4;坐标系与参数方程
已知曲线 的参数方程为  ( 为参数),以直角坐标系原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线 的极坐标方程;
(2)若直线 的参数方程为 其中 为参数,求直线 被曲线 截得的弦长.

 

24.(本小题满分10分)选修 :不等式选讲
已知函数 , .
(1)解关于 的不等式 ;
(2)若函数 的图像恒在函数 图像的上方,求实数 的取值范围.

 

 

 


参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
选项 B A C D B A C A A B B B
二、填空题:
13、        14、 或 ,       15、 ,      16、
三、解答题.
17、解:(1)当 时, …………(1分)
当 时, ,即 …………(3分)
 数列 是以 为首项,3为公比的等比数列, …………(4分)
设 的公差为 …………(5分)
所以 …………(6分)
⑵由(1)可知道: …………(7分)
 ①
 ②,…………(8分)
由①-②得,
 …………(9分)
 …………(10分)
 …………(11分)
所以 …………(12分)
18.(本小题满分12分)如图,四棱锥 中, , , 与 都是等边三角形.(1)证明: ;
(2)求二面角 的余弦值.
 
证明:(1)取 的中点 ,连接 ,则 为正方形…………(1分)
过 作 平面 ,垂足为点 ,由 与 都是等边三角形.
不难得到 ,所以 ,…………(2分)
即点 为正方形 的对角线交点,故 …………(3分)
所以 平面 ,又 平面 ,所以 …………(4分)
因为 分别是 的中点,所以 ,所以 ;…………(6分)
(2)由(1)知,可以 为坐标原点, 为 轴的正方向,建立如图所示的直角坐标系,设 ,则点 , , …………(7分)
所以 , ,…………(8分)
设平面 的一个法向量为 所以 ,
取 得到 ,所以 …………(9分)
又 平面 ,所以可以取平面 的一个法向量 …………(10分)
由图像可知,该二面角为锐角,可设为
所以 .…………(12分)
19. 2016年4月21日上午10时,某省会首次启动重污染天气II级应急响应,正式实施机动车车尾号限行,当天某报社为了解公众对“车辆限行”的态度,随机抽查了50人,将调查情况进行整理后制成下表:
年龄(岁) 
 
 
 
 
 

频数 5 10 15 10 5 5
赞成人数 4 6 9 6 3 4
(1)完成被调查人员的频率分布直方图;
(2)若从年龄 , 的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查,记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为 ,求随机变量 的分布列和数学期望.
解:(1)各组的频率分别是0.1,0.2,0.3,0.2,0.1,0.1,所以图中各组的纵坐标分别是0.01,0.02,0.03,0.02,0.01,0.01,画图……………(2分)
 ……………(5分)
(2) 的所有可能取值为:0,1,2,3……………(6分)
 ……………(7分)
 ……………(8分)
 ……………(9分)
 ……………(10分)
所以 的分布列是:
 
0 1 2 3
 
 
 
 
 

所以 的数学期望是 .……………(12分)
20.如图,已知抛物线 的焦点为 ,椭圆 的中心在原点, 为其右焦点,点 为曲线 和 在第一象限的交点,且 .(1)求椭圆 的标准方程;
(2)设 为抛物线 上的两个动点,且使得线段 的中点 在直线 上,
 为定点,求 面积的最大值.
 
解:(1)设椭圆 的方程为 ,半焦距为 .
由已知,点 ,则 .………………(1分)
设点  ,据抛物线定义,得 .由已知, ,则 .从而 ,所以点 .………………(2分)
设点 为椭圆的左焦点,则 , .
据椭圆定义,得 ,则 .……………(4分)
从而 ,所以椭圆 的标准方式是 .……(5分)
(2)设点 , , ,则 .
两式相减,得 ,即 .因为 为线段 的中点,则 .
 
21.已知函数 
(1)求曲线 在点 处的切线方程;  (2)证明: .
解:(1)显然函数f(x)的定义域为(0,+∞),………(1分)
且  ……………(3分)
所以切线斜率 ,且 ……………(4分)
所以曲线 在点 处的切线方程为
即 ……………(5分)
(2)由题意知
由于 ,该不等式可以转化为如下等价的不等式:
 ,即证对于 不等式 恒成立。…………(6分)
设  ,则
由 得到 ,所以函数 在 上是增函数。
由 得到 ,所以函数 在 上是减函数。…………(7分)
所以函数 在 上有最小值 …………(8分)
设 ,则
由 得到 ,所以函数 在 上是增函数。
由 得到 ,所以函数 在 上是减函数。…………(9分)
所以函数 在 上有最大值 …………(10分)
综上所述:   …………(12分)
请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答,并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑,按所涂题号进行评分;不涂、多图均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分。
22. (本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲
如图所示,已知 是⊙ 相切, 为切点,过点 的
割线交圆于 两点,弦 , 相交于点
 , 为 上一点,且 .
(1)求证: ;
(2)若 ,求 的长.

 解:(Ⅰ)∵ ,
∴ ∽ ,      ∴ ……………………(1分)
又∵ ,       ∴ , ……………………(2分)
∴ ,
∴ ∽ ,   
∴ ,∴  ……………………(3分)
又∵ ,……………………(4分)  
∴ .……………………(5分)
(Ⅱ)∵ ,   
 ∴  ,………………(6分)
∵    ∴ ……………………(7分)
由(1)可知: ,解得 .……………………(8分)
∴ .
∵ 是⊙ 的切线,∴ ………………(9分)
∴ ,解得 .……………………(10分)
23.本小题满分10分)选修4—4;坐标系与参数方程
已知曲线 的参数方程为  ( 为参数),以直角坐标系原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线 的极坐标方程;
(2)若直线 的参数方程为 其中 为参数,求直线 被曲线 截得的弦长.
解(1)∵曲线 的参数方程为  (α为参数)
∴曲线 的普通方程为 ……………………(2分)
将  代入并化简得:   
即曲线c的极坐标方程为  ……………………(5分)
(2)直线 的普通方程为 ,……………………(6分)
将  代入并化简得:
直线 的极坐标方程为: ……………………(7分)
所以 或 ……………………(8分)
将 或 分别代入 得: 或 ……………………(9分)
即直线 与曲线 两个交点的极坐标为 ,
所以弦长 ……………………(10分)
24.(本小题满分10分)选修 :不等式选讲
已知函数 , .
(1)解关于 的不等式 ;
(2)若函数 的图像恒在函数 图像的上方,求实数 的取值范围.
解:(Ⅰ)由 得 ,
  ……(*)        …………(1分)
(1) 当 时,不等式(*)可以化为: ,即 ………(2分)
(2) 当 时,不等式(*)显然不成立。………(3分)
(3) 当 时,不等式(*)可以化为: ,即 ………(4分)
综上,原不等式的解集为  ………(5分)
(Ⅱ)∵函数 的图象恒在函数 图象的上方
∴ 恒成立,即 恒成立………(6分)

(1)当 时, = ,则
(2)当 时, = ,则 ………(7分)
(3)当 时, = ,则 ………(8分)
(4)当 时, = ,则 ………(9分)
综上, ∴ 的取值范围为 . ………(10分)


 

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