辽宁实验中学2016年高二数学下学期期末试题(文有答案)

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辽宁实验中学2016年高二数学下学期期末试题(文有答案)

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辽宁省实验中学分校2015—2016学年下学期期末测试
文科数学   高二年级    命题人:王洋   校对人:慈倩倩第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一.选择题(共12小题,每小题5分,共60分)
1.已知全集 , , ,则集合 等于(  )
A.       B.   C.    D.
2.函数 的定义域为(  )
A.    B.  C.   D.
3.已知集合 , ,则“ ”是“ ”的(  )
A.充分不必要条件   B.必要不充分条件  C.充要条件   D.既不充分也不必要条件
4.用反证法证明命题:“已知 ,如果 可被 5 整除,那么  中至少有一个能被 5 整除”时,假设的内容应为(  )
A.  都能被5 整除      B.  不都能被5 整 除
C. 都不能被5 整除     D. 不能被5 整除
5.设函数 ,则 (      )
A.3         B.1        C.0        D.
6.某产品在某零售摊位的零售价 (单位:元)与每天的销售量 单位:个)的统计资料如表所示:
 
 16  17  18  19
 
 50  34  41  31
由表可得回归直线方程 中的 ,据此模型预测零售价为20元时,每天的销售量为(  )
A.26个     B.27个     C.28个     D.29个
7.已知函数 在区间[0,1]上的最大值为2,则 的值为(  )
A.2     B.﹣1或﹣3      C.2或﹣3    D.﹣1或2
8.已知命题 有 成立,则 为(  )
A. ,有 成立    B. ,有 成立
C. ,有 成立    D. ,有 成立
9.已知函数 是定义域为 的偶函数,且 ,若 在[﹣1,0]上是减函数,记 ,则(  )
A.    B.    C.     D.
10.已知函数 的图象如图所示,其中 为函数 的导函数,则 的大致图象是(  )
 
A. B. C. D.
11.定 义在 上的函数 满足  ,且在 上为减函数,若 ,则实数 的取值范围是(  )
A.    B.     C.    D.
12.已知函数 是奇函数,当 ,若不等式
  对 恒成立,则实数 的取值范围 是(  )
A.       B.     C.     D.
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二.填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
13.函数   不论 为何值时,其图象恒过的定点为    .
14.已知函数 ,则       .
15.观察式子 , …,则可归纳出       .
16.若函数 与 的图象有且只有两个交点,则实数 的取值范围是      .
三.解答题(共6小题)
17.(本小题12分)已知命题 :方程 有实根,命题q: .若 为假命题, 为真命题,求实数 的取值范围.
18.(本小题12分)已知 ,求证:  .
19.(本小题12分)某医院对治疗支气管肺炎的两种方案A,B进行比较研究,将志愿者分为两组,分别采用方案A和方案B进行治疗,统计结果如下:
 有效 无效 合计
使用方案A组 96  120
使用方案B组 72[来源:学_科_网Z_X_X_K]  
合计  32 
(Ⅰ)完成上述列联表,并比较两种治疗方案有效的频率;
(Ⅱ)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为治疗是否有效与方案选择有关?[来源:学,科,网]
附:  , 其中
 
0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
 
0.455 0.708 1.323[来源:Zxxk.Com] 2.072 2.706 3.841[来源:学#科#网] 5.024 6.635 7.879 10.828
20.(本小题12分)已知关于 的函数 ,
(1)试求函数 的单调区间 ;
(2)若 在区间 内有极值,试求 的取值范围.
21.(本小题12分)已知函数
(1)若函数 在定义域内单调递增,求 的取值范围;
(2)若 且关于 的方程 在 上恰有两个不相等的实数根,求实数 的取值范围.

 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做则按所做的第一题记分。
22.选修4﹣1: 几何证明选讲(本小题10分)
如图, 是圆 切线, 是切点,割线 , 是圆 的直径, 交 于 ,  , , .
(Ⅰ)求线段 的长;
(Ⅱ)求证: .

23.选修4﹣3:极坐标和参数方程:(本小题10分)
极坐标系的极点为直角坐标系 的原点,极轴为 轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位相同,已知曲线 的极坐标方程为 ,斜率为 的直线 交 轴于点 .
(1)求 的直 角坐标方程, 的参数方程;
(2)直线 与曲线 交于 两点,求 .
24.选修4﹣4: 不等式选讲:(本小题10分)
已知函数 .
(1)当 时,求不等式 的解集;
(2)若 对 恒成立,求实数 的取值范围.
 
辽宁省实验中学分校2015-2016学年下学期期末考试
文科数学参考答案 
一.选择题(共12小题)
1-5   BBACA     6-10  DDCCB  11-12  AB
二.填空题(共4小题)
13.(2,2)   14.      15.  (n≥1). 16. (0,3)
三.解答题(共6小题)
17【解答】解:p为真命题⇔ ,            (2分)
∵ 为假命题, 为真命题,∴p,q一真一假       (4分)      
当p真q假时, ,得            (7分)
当p假q真时, ,得   (10分)                                      
综上所述,实数m的取值范围是: (12分)
18【解答】证明:∵m>0,
∴1+m>0,
∴要证 ,
即证(a+mb)2≤(1+m)(a2+mb2),
即证m(a2﹣2ab+b2)≥0,
即证(a﹣b)2≥0,
而(a﹣b)2≥0显然成立,
故 .                           (12分)

19【解答】解:(Ⅰ)根据题意,填写列联表如下;
 有效 无效  合计
使用方案A组 96 24 120
使用方案B组 72 8 80
合计 168 32 200
使用方案A有效的频率是 =0.8,
使用方案B有效的频率是 =0.9,
使用使用方案B治疗有效的频率更高些;(6分)
(Ⅱ) 计算观测值K2=  ≈3.571<3.841;(9分)
所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为治疗是否有效与方案选择有关.(12分)

20【解答】(1)由题意 的定义域为
 .(2分)
① 若 ,则 在 上恒成立, 为其单调递减区间;(4分)
②若 ,则由 得 , 时,
 , 时, ,
所以 为其单调递减区间; 为其单调递增区间.       (6分)
(2)∵ ,所以 的定义域 也为 ,且
 
令 , ①
则 ②                                              (8分)
当 时, 恒成立,所以 为 上的单调递增函数,
又 , ,
所以在区间 内 至少存在一个变号零点 ,
且 也是 的变号零点,此时 在区间 内有极值.          (10分)
当 时 , ,
即在区间 上 恒成立,此时 无极值.
综上所述,若 在区间 内有极值,则 的取值范围为    (12分)

21【解答】解:(1)f'(x)=﹣ (x>0)
依题意f'(x)≥0 在x>0时恒成立,即ax2+2x﹣1≤0在x>0恒成立.
则a≤ =在x>0恒成立,
即a≤[ ﹣1]min  x>0
当x=1时, ﹣1取最小值﹣1
∴a的取值范围是(﹣∝,﹣1]                            (6分)
(2)a=﹣ ,f(x)=﹣ x+b∴
设g(x)= 则g'(x)= 列表:
X (0,1) 1 (1,2) 2 (2,4)
g′(x) + 0 ﹣ 0 +
g(x) ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑
∴g(x)极小值=g(2)=ln2﹣b﹣2,g(x)极大值=g(1)=﹣b﹣ ,
又g(4)=2ln2﹣b﹣2
∵方程g(x)= 0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根.[来源:Z*xx*k.Com]
则  ,得ln2﹣2<b≤﹣ .         (12分)
22(本题满分10分)
选修4﹣1:几何证明选讲
【解答】解 :(Ⅰ)∵BM是圆E直径,∴∠BCM=90°,…(1分)
又MC=2,∠EBC=30°,∴BC=2 ,…(2分)
又AB= AC,∴AB= ,∴AC=3 ,…(3分)
根据切割线定理得: =9,…(4分)
解得AF=3.…(5分)
证明:(Ⅱ)过E作EH⊥BC于H,…(6分)
则△EDH∽△ADF,…(7分)
从而有 ,…(8分)
又由题意知CH= BC= ,EB=2,
∴EH=1,…(9分)
∴ ,即AD=3ED.…(10分)

 选修4﹣3:极坐标和参数方程:
【解答】解:(Ⅰ)由ρ=2(cosθ+sinθ),得ρ2=2(ρcosθ+ρsinθ),
即x2+y2=2x+2y,即(x﹣1)2+(y﹣1)2=2.
l的参数方程为 (t为参数,t∈R),    (5分)
(Ⅱ)将 代入(x﹣1)2+(y﹣1)2=2得t2﹣t﹣1=0,
解得,t1= ,t2= .
则|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|= .               (10分)

选修4﹣4:不等式选讲:
【解答】解:(1)a=3时,即求解|2x﹣3|+|x﹣1|≥2,
①当x≥ 时,不等式即2x﹣3+x﹣1≥2,解得x≥2,
②当1<x< 时,不等式即3﹣2x+x﹣1≥2,解得x<0.
③当x≤1时,3﹣2x+1﹣x≥2,解得2x≤2,即x≤ .
∴综上,原不等式解集为{x|x≤ 或x≥2}.                   (5分)
(2)即|2x﹣a|≥5﹣x﹣|x﹣1|恒成立
令g(x)=5﹣x﹣|x﹣1|= ,
则由函数g(x)的图象可得它的最大值为4,
故函数y=|2x﹣a|的图象应该恒在函数g(x)的图象的上方,
数形结合可得 ≥3,
∴a≥6,即a的范围是[6,+∞).                       (10分)

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