2015-2016三明一中高二上数学第二次月考试卷(文科有解析)

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2015-2016三明一中高二上数学第二次月考试卷(文科有解析)

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2015-2016学年福建省三明一中高二(上)第二次月考数学试卷(文科)(特保班)
 
一、选择题:(每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的)
1.下列命题中,不是全称命题的是(  )
A.任何一个实数乘以0都等于0
B.自然数都是正整数
C.每一个向量都有大小
D.一定存在没有最大值的二次函数
2.焦点在x轴,且焦点到准线的距离为4的抛物线方程为(  )
A.y2=4x B.y2=8x C.y2=±4x D.y2=±8x
3.下列结论正确的是(  )
A.(5x)'=5x B.(5x)'=5xln5 C.  D..
4.已知双曲线 实轴的一端点为A,虚轴的一端点为B,且|AB|=5,则该双曲线的方程为(  )
A.  B.
C.  D.
5.已知函数f(x)=2x﹣lnx的单调递减区间为(  )
A.  B.(0,+∞) C.  D.
6.抛物线y2=2px(p>0)上一点M(x0,8)到焦点的距离是10,则x0=(  )
A.1或8 B.1或9 C.2或8 D.2或9
7.已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示,那么函数f(x)的图象最有可能的是(  )
A.  B.  C.  D.
8. 、 是两个非零向量,   >0是 与 的夹角< >为锐角的(  )条件
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
9.已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则实数a的取值范围是(  )
A.﹣1<a<2 B.﹣3<a<6 C.a<﹣3或a>6 D.a<﹣1或a>2
10.如果方程 表示椭圆,则实数a的取值范围是(  )
A.a>﹣6 B.﹣2<a<3
C.a<﹣2或a>3 D.a>﹣6且a≠0且a≠﹣2且a≠3
11.以椭圆 的左右焦点F1,F2为直径的圆若和椭圆有交点,则椭圆离心率的取值范围是(  )
A.  B.  C.  D.
12.已知函数f(x)的定义域为R,f(﹣1)=2,对任意x∈R,f′(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为(  )
A.(﹣1,1) B.(﹣1,+∞) C.(﹣∞,﹣1) D.(﹣∞,+∞)
 
二、填空题:(每小题5分,共20分)
13.命题“若a∉A,则b∈B”的否命题是      .
14.双曲线 =1(a>0,b>0)的焦点到渐近线的距离等于      .
15.椭圆 + =1的焦距为6,则k的值为      .
16.已知f1(x)=sinx+cosx,记 ,则 =      .
 
三、解答题:(第17题10分,第18~22题每题12分,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.命题p:“方程 + =1表示双曲线”(k∈R);命题q:y=log2(kx2+kx+1)定义域为R,若命题p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数k的取值范围.
18.已知函数f(x)=x3﹣ax(其中a是实数),且f′(1)=3.
(1)求a的值及曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值.
19.已知抛物线C;y2=2px(p>0)过点A(1,﹣2);
(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程;
(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使直线l与抛物线C有公共点,直线OA与l的距离等于 ?若存在,求出直线l的方程,说明理由.
20.已知函数f(x)=x3﹣ax2+bx+c(a,b,c∈R).
(1)若函数f(x)在x=1或x=3处取得极值,试求a,b的值;
(2)在(1)的条件下,当x∈[﹣2,5]时,f(x)<c2恒成立,求c的取值范围.
21.已知椭圆的一个顶点为A(0,﹣1),焦点在x轴上,离心率为 .
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点M、N,当|AM|=|AN|时,求m的取值范围.
22.已知函数f(x)=alnx﹣bx2图象上点P(1,f(1))处的切线方程为2x﹣y﹣3=0.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)函数g(x)=f(x)+m﹣ln4,若方程g(x)=0在 上恰有两解,求实数m的取值范围.
 
 

2015-2016学年福建省三明一中高二(上)第二次月考数学试卷(文科)(特保班)
参考答案与试题解析
 
一、选择题:(每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的)
1.下列命题中,不是全称命题的是(  )
A.任何一个实数乘以0都等于0
B.自然数都是正整数
C.每一个向量都有大小
D.一定存在没有最大值的二次函数
【考点】全称命题;命题的真假判断与应用.
【分析】根据全程命题的定义,命题中必须含有全称量词.
【解答】解:A中含有全称量词“任何一个”.
B中含有全称量词“都”.
C中含有全称量词“每一个”.
D中含有特称量词“存在”,是特称命题,不是全称命题.
故选D.
 
2.焦点在x轴,且焦点到准线的距离为4的抛物线方程为(  )
A.y2=4x B.y2=8x C.y2=±4x D.y2=±8x
【考点】抛物线的标准方程.
【分析】根据焦点到准线的距离为4,可得p=4,2p=8,即可求得抛物线方程.
【解答】解:根据焦点到准线的距离为4,可得p=4,∴2p=8,
∴所求抛物线方程为:y2=±8x.
故选:D.
 
3.下列结论正确的是(  )
A.(5x)'=5x B.(5x)'=5xln5 C.  D..
【考点】导数的运算.
【分析】直接利用导数的运算法则化简求解即可.
【解答】解:(5x)′=5xln5,(logax)′= ,
可知B正确.
故选:B.
 
4.已知双曲线 实轴的一端点为A,虚轴的一端点为B,且|AB|=5,则该双曲线的方程为(  )
A.  B.
C.  D.
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】求出双曲线实轴端点A与虚轴的一端点为B的坐标,利用距离求解即可.
【解答】解:由题意不妨A(4,0),B(0,b),|AB|=5,
可得16+b2=25,解得b=3,
则该双曲线的方程为: .
故选:C.
 
5.已知函数f(x)=2x﹣lnx的单调递减区间为(  )
A.  B.(0,+∞) C.  D.
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】求出函数的导数为f′(x),再解f′(x)<0得x<2.结合函数的定义域,即可得到单调递减区间.
【解答】解:函数f(x)=2x﹣lnx的导数为f′(x)=2﹣ ,
令f′(x)=2﹣ <0,得x<
∴结合函数的定义域,得当x∈(0, )时,函数为单调减函数.
因此,函数f(x)=2x﹣lnx的单调递减区间是(0, )
故选:A.
 
6.抛物线y2=2px(p>0)上一点M(x0,8)到焦点的距离是10,则x0=(  )
A.1或8 B.1或9 C.2或8 D.2或9
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】由抛物线定义可知,x0+ =10,M(x0,8)代入y2=2px可得64=2px0,联立解之可得x0.
【解答】解:∵抛物线y2=2px,p>0,∴抛物线的准线方程为x=﹣
∵抛物线y2=2px(p>0)上一点M(x0,8)到焦点的距离是10,
∴根据抛物线上任一点到焦点F的距离与到准线的距离是相等的,可得x0+ =10,
∴p=20﹣2x0,
M(x0,8)代入y2=2px可得64=2px0,
∴32=(20﹣2x0)x0,
∴x02﹣10x0+16=0,
∴x0=2或8.
故选:C.
 
7.已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示,那么函数f(x)的图象最有可能的是(  )
A.  B.  C.  D.
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】由导函数图象可知,f(x)在(﹣∞,﹣2),(0,+∞)上单调递减,在(﹣2,0)上单调递增;从而得到答案.
【解答】解:由导函数图象可知,
f(x)在(﹣∞,﹣2),(0,+∞)上单调递减,
在(﹣2,0)上单调递增,
故选A.
 
8. 、 是两个非零向量,   >0是 与 的夹角< >为锐角的(  )条件
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
【考点】数量积表示两个向量的夹角.
【分析】先看当  >0时,能否推出 与 的夹角< >是否为锐角,再看当 与 的夹角< >为锐角时,   >0是否一定成立,然后根据充分条件、必要条件的定义进行判断.
【解答】解:当  >0时, 与 的夹角< >可能为锐角,也可能为零角,故充分性不成立.
当 与 的夹角< >为锐角时,   >0一定成立,故必要性成立.
综上,   >0是 与 的夹角< >为锐角的必要而不充分条件,
故选B.
 
9.已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则实数a的取值范围是(  )
A.﹣1<a<2 B.﹣3<a<6 C.a<﹣3或a>6 D.a<﹣1或a>2
【考点】利用导数研究函数的极值.
【分析】题目中条件:“函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值”告诉我们其导数有两个不等的实根,利用二次方程根的判别式可解决.
【解答】解:由于f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1,
有f′(x)=3x2+2ax+(a+6).
若f(x)有极大值和极小值,
则△=4a2﹣12(a+6)>0,
从而有a>6或a<﹣3,
故选C.
 
10.如果方程 表示椭圆,则实数a的取值范围是(  )
A.a>﹣6 B.﹣2<a<3
C.a<﹣2或a>3 D.a>﹣6且a≠0且a≠﹣2且a≠3
【考点】椭圆的标准方程.
【分析】利用椭圆的性质求解.
【解答】解:∵方程 表示椭圆,
∴ ,解得a>﹣6且a≠0且a≠﹣2且a≠3.
故选:D.
 
11.以椭圆 的左右焦点F1,F2为直径的圆若和椭圆有交点,则椭圆离心率的取值范围是(  )
A.  B.  C.  D.
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】以椭圆 的左右焦点F1,F2为直径的圆为:x2+y2=c2,与椭圆联立,得(b2﹣a2)x2=a2b2﹣a2c2,由此利用根的判别式能求出椭圆离心率的取值范围.
【解答】解:以椭圆 的左右焦点F1,F2为直径的圆为:x2+y2=c2,
联立 ,得(b2﹣a2)x2=a2b2﹣a2c2,
∴ = ,
∴以椭圆 的左右焦点F1,F2为直径的圆若和椭圆有交点,
∴ ≥0,
∴c≥b,
∴椭圆离心率的取值范围是e=  ,
又0<e<1,∴椭圆离心率的取值范围是[ ,1).
故选:A.
 
12.已知函数f(x)的定义域为R,f(﹣1)=2,对任意x∈R,f′(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为(  )
A.(﹣1,1) B.(﹣1,+∞) C.(﹣∞,﹣1) D.(﹣∞,+∞)
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】构造函数g(x)=f(x)﹣2x﹣4,利用导数研究函数的单调性即可得到结论.
【解答】解:设g(x)=f(x)﹣2x﹣4,
则g′(x)=f′(x)﹣2,
∵对任意x∈R,f′(x)>2,
∴对任意x∈R,g′(x)>0,
即函数g(x)单调递增,
∵f(﹣1)=2,
∴g(﹣1)=f(﹣1)+2﹣4=4﹣4=0,
则∵函数g(x)单调递增,
∴由g(x)>g(﹣1)=0得x>﹣1,
即f(x)>2x+4的解集为(﹣1,+∞),
故选:B
 
二、填空题:(每小题5分,共20分)
13.命题“若a∉A,则b∈B”的否命题是 若a∈A,则b∉B .
【考点】四种命题.
【分析】利用否命题和原命题的关系写出否命题.
【解答】解:根据否命题的定义可知,命题“若a∉A,则b∈B”的否命题是:若a∈A,则b∉B.
故答案为:若a∈A,则b∉B.
 
14.双曲线 =1(a>0,b>0)的焦点到渐近线的距离等于 b .
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】双曲线的一个焦点(c,0),一条渐近线是bx﹣ay=0,由点到直线距离公式可求出双曲线 的一个焦点到一条渐近线的距离.
【解答】解:双曲线的一个焦点(c,0),一条渐近线是bx﹣ay=0,
由点到直线距离公式,双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是
 ;
故答案为b.
 
15.椭圆 + =1的焦距为6,则k的值为 11或29 .
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】分椭圆的焦点在x轴、y轴两种情况加以讨论,结合椭圆基本量的平方关系解关于k的方程,即可得到实数k的值.
【解答】解:∵椭圆 + =1的焦距为6,∴c=3
当椭圆的焦点在x轴上时,
∵a2=20,b2=k,∴c= =3,解之得k=11;
当椭圆的焦点在y轴上时,
∵a2=k,b2=20,∴c= =3,解之得k=29
综上所述,得k的值为11或29
故答案为:11或29
 
16.已知f1(x)=sinx+cosx,记 ,则 = ﹣1 .
【考点】导数的运算.
【分析】利用三角函数求导法则求出f2(x)、f3(x)、f4(x),…观察所求的结果,归纳其中的规律,发现标号的周期性为4,再将代入,每四项的和是一个常数,即可求得正确答案.
【解答】解:f2(x)=f1′(x)=cosx﹣sinx,
f3(x)=(cosx﹣sinx)′=﹣sinx﹣cosx,
f4(x)=﹣cosx+sinx,f5(x)=sinx+cosx,
以此类推,可得出fn(x)=fn+4(x)
又∵f1(x)+f2(x)+f3(x)+f4(x)=0,
∴ =f1( )+f2( )+f3( )=﹣sin +cos =﹣1,
故答案为:﹣1.
 
三、解答题:(第17题10分,第18~22题每题12分,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.命题p:“方程 + =1表示双曲线”(k∈R);命题q:y=log2(kx2+kx+1)定义域为R,若命题p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数k的取值范围.
【考点】复合命题的真假.
【分析】先对命题p,q 化简,再由命题p∨q为真命题,p∧q为假命题知命题p,q一个为真,一个为假.从而解出实数k的取值范围.
【解答】解:p:由(k﹣3)(k+3)<0得:﹣3<k<3;
q:令t=kx2+kx+1,由t>0对x∈R恒成立.
(1)当k=0时,1>0,∴k=0符合题意.
(2)当k≠0时, ,
由△=k2﹣4×k×1<0得k(k﹣4)<0,解得:0<k<4;
综上得:q:0≤k<4.
因为p∨q为真命题,p∧q为假命题,所以命题p,q一个为真,一个为假.
∴ 或 ;
∴﹣3<k<0或3≤k<4.
 
18.已知函数f(x)=x3﹣ax(其中a是实数),且f′(1)=3.
(1)求a的值及曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值.
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】(1)求导函数,利用f′(1)=3,确定a的值,从而可得切点坐标,即可求得切线的方程;
(2)求导函数,确定函数的单调性,即可求得函数在区间[0,2]上的最大值.
【解答】解:(1)由于函数f(x)=x3﹣ax,则可得f′(x)=3x2﹣a,
∵f′(1)=3,∴3﹣a=3,∴a=0
又当a=0时,f(x)=x3,∴f(1)=1,
所以,曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y﹣1=3(x﹣1),即y=3x﹣2.
(2)由于f′(x)=3x2≥0,
则f(x)在(0,2)上f′(x)>0,即f(x)在[0,2]上为增函数,
∴f(x)max=f(2)=8.
 
19.已知抛物线C;y2=2px(p>0)过点A(1,﹣2);
(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程;
(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使直线l与抛物线C有公共点,直线OA与l的距离等于 ?若存在,求出直线l的方程,说明理由.
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】(1)将(1,﹣2)代入抛物线方程求得p,则抛物线方程可得,进而根据抛物线的性质求得其准线方程.
(2)先假设存在符合题意的直线,设出其方程,与抛物线方程联立,根据直线与抛物线方程有公共点,求得t的范围,利用直线AO与L的距离,求得t,则直线l的方程可得.
【解答】解:(1)将(1,﹣2)代入y2=2px,
得(﹣2)2=2p•1,所以p=2.
故所求的抛物线C的方程为y2=4x,其准线方程为x=﹣1.
(2)假设存在符合题意的直线l,
其方程为y=﹣2x+t,代入抛物线方程得y2+2y﹣2t=0.
因为直线l与抛物线C有公共点,
所以△=4+8t≥0,解得t≥﹣ .
另一方面,由直线OA到l的距离d=
可得 = ,解得t=±1.
因为﹣1∉[﹣ ,+∞),1∈[﹣ ,+∞),
所以符合题意的直线l存在,其方程为2x+y﹣1=0.
 
20.已知函数f(x)=x3﹣ax2+bx+c(a,b,c∈R).
(1)若函数f(x)在x=1或x=3处取得极值,试求a,b的值;
(2)在(1)的条件下,当x∈[﹣2,5]时,f(x)<c2恒成立,求c的取值范围.
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的极值.
【分析】(1)根据所给的函数的解析式,对函数求导,使得导函数等于0,得到关于a,b的关系式,解方程组即可,写出函数的解析式.
(2)要求一个恒成立问题,f(x)<c2恒成立,即c2﹣c>x3﹣6x2+9x,只须c2﹣c>(x3﹣6x2+9x)max.设g(x)=x3﹣6x2+9x,下面利用导数求其最大值即可.
【解答】解:(1)∵函数f(x)在x=1或x=3处取得极值
∴f'(1)=0,f'(3)=0…
又∵f'(x)=3x2﹣2ax+b
∴ …
∴a=6,b=9…
经检验,当a=6,b=9时,函数f(x)在x=1或x=3处取得极值    …
∴a=6,b=9…
(2)由(1)得所求的函数解析式为f(x)=x3﹣6x2+9x+c;
∵当x∈[﹣2,5]时,f(x)<c2恒成立,
∴x3﹣6x2+9x+c<c2,对x∈[﹣2,5]恒成立,
∴c2﹣c>x3﹣6x2+9x,∴c2﹣c>(x3﹣6x2+9x)max
设g(x)=x3﹣6x2+9x,
g′(x)=3x2﹣12x+9=3(x﹣3)(x﹣1),
列表:
x (﹣2,1) 1 (1,3) 3 (3,5)
g′(x) + 0 ﹣ 0 +
g(x) ↑ 极大值4 ↓ 极小值0 ↑
且g(﹣2)=﹣50,g(5)=20,
故函数g(x)的g(x)最大值=f(5)=20,
∴c2﹣c>20,解得c<﹣4或c>5.
故c的取值范围是:c<﹣4或c>5.…
 
21.已知椭圆的一个顶点为A(0,﹣1),焦点在x轴上,离心率为 .
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点M、N,当|AM|=|AN|时,求m的取值范围.
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的简单性质.
【分析】(1)设出椭圆方程,利用椭圆的一个顶点为A(0,﹣1),离心率为 ,确定几何量,从而可得椭圆的方程;
(2)设P为弦MN的中点,直线与椭圆方程联立得(3k2+1)x2+6mkx+3(m2﹣1)=0,由于直线与椭圆有两个交点,可得m2<3k2+1,|AM|=||AN|,可得AP⊥MN,由此可推导出m的取值范围.
【解答】解:(1)∵椭圆的焦点在x轴上,故设椭圆的方程为: …
又椭圆的一个顶点为A(0,﹣1),离心率为
∴ 即 …
又a2=b2+c2∴ …
∴a2=3…
∴椭圆的方程为: …
(2)设P(xP,yP)、M(xM,yM)、N(xN,yN),P为弦MN的中点,
直线y=kx+m与椭圆方程联立,消去y可得(3k2+1)x2+6mkx+3(m2﹣1)=0,
∵直线与椭圆相交,∴△=(6mk)2﹣12(3k2+1)(m2﹣1)>0,∴m2<3k2+1,①
由韦达定理,可得P( )
∵|AM|=||AN|,∴AP⊥MN,

∴2m=3k2+1②
把②代入①得2m>m2解得0<m<2
∵2m=3k2+1>1,∴m>
∴ <m<2.
 
22.已知函数f(x)=alnx﹣bx2图象上点P(1,f(1))处的切线方程为2x﹣y﹣3=0.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)函数g(x)=f(x)+m﹣ln4,若方程g(x)=0在 上恰有两解,求实数m的取值范围.
【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】(1)利用导数的运算法则可得f′(x),由题意可得 ,解出即可;
(2)分别解出f′(x)>0,f′(x)<0,即可得出其单调区间;
(3)利用导数的运算法则可得g′(x),列出表格,要满足条件,则g(x)max>0, ,g(2)≤0即可.
【解答】解:(1)∵f(x)=alnx﹣bx2,(x>0),∴ ,
∵函数f(x)=alnx﹣bx2图象上点P(1,f(1))处的切线方程为2x﹣y﹣3=0,
∴ 即 ,
∴ ,
∴a=4,b=1,
∴函数f(x)的解析式为f(x)=4lnx﹣x2
(2)∵函数f(x)的定义域为(0,+∞),
∴由(1)有 ,
令 ,解得:
令 ,解得: …
∴函数f(x)的单调增区间是 ;单调减区间是 .
(3)由(1)可知:g(x)=f(x)+m﹣ln4=4lnx﹣x2+m﹣ln4(x>4),
∴ =﹣ ,
令g′(x)=0,解得x= .
∴当x变化时,如下表:
可得函数的大致图象:
由图象可知:要使方程g(x)=0在 上恰有两解,则 ,
即 ,解得2<m≤4﹣2ln2,
∴实数m的取值范围是(2,4﹣2ln2].
 
 
 

2016年8月12日

 

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