江苏盐城市2017-2018高二数学下学期期末试题(含答案)

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江苏盐城市2017-2018高二数学下学期期末试题(含答案)

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2017/2018学年度第二学期高二年级期终考试
数 学 试 题

注意事项:
  1.本试卷考试时间为120分钟,试卷满分160分,考试形式闭卷.
  2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置,否则不给分.
  3.答题前,务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.

一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分. 请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.已知复数 ( 为虚数单位),则    ▲   .
2.某学校高三年级700人,高二年级700人,高一年级800人,若采用分层抽样的办法,从高一年级抽取80人,则全校总共抽取   ▲   人.
3.命题“ 使得 ”是   ▲   命题. (选填“真”或“假”)
4.从甲、乙、丙、丁四个人中随机选取两人,则甲、乙两人中有且只有一人被选取的概率为  ▲  .
5.设双曲线  的左、右焦点分别为 , ,右顶点为 ,若 为线段  的一个三等分点,则该双曲线离心率的值为   ▲   .
6.执行如图所示的伪代码,最后输出的 值为   ▲   .

 
                                   (第6题图)

7.若变量 , 满足约束条件  则 的最大值为   ▲   .
8.若函数 为偶函数,则 的值为   ▲   .
9.(理科学生做)若 展开式中的常数项为 ,则实数 的值为   ▲   .
(文科学生做) 函数 的值域为   ▲   .
10.(理科学生做)要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表,要求数学课排在前3节,英语课不排在第6节,则不同的排法种数为  ▲  种.(用数字作答)
(文科学生做) 若 , ,则     ▲   .
11.已知对任意正实数 , , , 都有 ,类比可得对任意正实数 , , , , , 都有       ▲        .
12.若函数 在 和 时取极小值,则实数 的取值范围
是    ▲    .
13.若方程 有实根,则实数 的取值范围是   ▲   .
14.若 ,且 ,则 的最大值为   ▲   .
二、解答题:本大题共6小题,共计90分. 请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
(理科学生做)某一智力游戏玩一次所得的积分是一个随机变量 ,其概率分布如下表,数学期望 .
(1)求 和 的值;
(2)某同学连续玩三次该智力游戏,记积分 大于0的次数为 ,求 的概率分布与数学期望.
X 0 3 6
 
 
 
 

 

(文科学生做)已知集合 , , .
(1)求  ;
(2)若“ ”是“ ”的必要不充分条件,求实数 的取值范围.

 
16.(本小题满分14分)
(理科学生做)如图,在正四棱柱 中, , ,点 是 的中点.
(1)求异面直线 与 所成角的余弦值;
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
                
(第16题理科图)                   (第16题文科图)
(文科学生做)已知函数 的部分图象如图所示.
(1)求 的值;
(2)设函数 ,求 在 上的单调递减区间.

17.(本小题满分14分)
(理科学生做)已知数列 满足 , ( ).
(1)求 , ,并猜想 的通项公式;
(2)用数学归纳法证明(1)中所得的猜想.
(文科学生做)已知数列 满足 .
(1)求 , , 的值,猜想并证明 的单调性;
(2)请用反证法证明数列 中任意三项都不能构成等差数列.

18.(本小题满分16分)
直角坐标系 中,椭圆 的离心率为 ,过点 .
(1)求椭圆 的方程;
(2)已知点 ,直线 与椭圆 相交于 两点,且线段 被直线 平分.
①求直线 的斜率;
②若 ,求直线 的方程.
19. (本小题满分16分)
如图是一个路灯的平面设计示意图,其中曲线段 可视为抛物线的一部分,坐标原点 为抛物线的顶点,抛物线的对称轴为 轴,灯杆 可视为线段,其所在直线与曲线 所在的抛物线相切于点 .已知 分米,直线 轴,点 到直线 的距离为8分米.灯杆 部分的造价为10元/分米;若顶点 到直线 的距离为t分米,则曲线段 部分的造价为 元. 设直线 的倾斜角为,以上两部分的总造价为S元.
(1)①求t关于的函数关系式;
②求S关于的函数关系式;
(2)求总造价S的最小值.
        

 

20.(本小题满分16分)
设函数 的导函数为 .若不等式 对任意实数 恒成立,则称函数 是“超导函数”.
(1)请举一个“超导函数” 的例子,并加以证明;
(2)若函数 与 都是“超导函数”,且其中一个在 上单调递增,另一个在 上单调递减,求证:函数 是“超导函数”;
(3)若函数 是“超导函数”且方程 无实根, ( 为自然对数的底数),判断方程 的实数根的个数并说明理由.

 

 

2017-2018学年度第二学期高二年级期终考试数学试题
数学参考答案
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,计70分.
1.       2.      3. 真        4.   
5.       6.      7.           8.     
9. (理)  (文)         10. (理)  (文)   
11.     12.         13.              14. 

二、解答题:本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.
15.(理科)解:(1)因为 ,所以 ,
即 .①                      …………………………………………………………………2分
又 ,得 .②         …………………………………………………………………4分
联立①,②解得 , .          …………………………………………………………………6分
(2) ,依题意知 ,
故 , ,
 , .                   …………………………………………………………………10分
故 的概率分布为
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 

 的数学期望为 .……………………………………………………14分
(文科)解:(1) ,   …………………………………………………2分
 .              …………………………………………………4分
则                             …………………………………………………6分
(2) ,
因为“ ”是“ ”的必要不充分条件,
所以 且 .                  ……………………………………………………10分
由 ,得 ,解得 .   ……………………………………………………12分
经检验,当 时, 成立,
故实数 的取值范围是 .                   ……………………………………………………14分
16.(理科)解:在正四棱柱 中,以 为原点, 、 、 分别为 轴、 轴、 轴建立如图所示空间直角坐标系 .
 
因为 , , ,
所以 , ,         ……………………………………………………………2分
所以 ,
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .   ……………………………………………………6分
(2) ,设平面 的一个法向量为 .
则 ,得 ,取 ,得 , ,
故平面 的一个法向量为 .                   ………………………………………10分
于是 ,
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .       ………………………………………………14分
(文科)解:(1)由图形易得 ,
 ,解得 ,         …………………………………………………………………2分
此时 .
因为 的图象过 ,
所以 ,得 .       …………………………………………………………………4分
因为 ,所以 ,
所以 ,得 .
综上 , , .                  …………………………………………………………6分
 (2)由(1)得   .……10分
由 ,解得 ,其中 .
取 ,得 ,
所以 在 上的单调递减区间为 .……………………………………………………14分
17(理科)(1) ,猜想 .          ………………………………………………6分
(2)当 时,命题成立;                          ………………………………………………8分
假设当 时命题成立,即 ,       ………………………………………………10分
故当 时, ,
故 时猜想也成立.                            ………………………………………………12分
综上所述,猜想成立,即 .                    ………………………………………………14分

(文科)(1)计算得 ,猜想该数列为单调递减数列. ………………………2分
下面给出证明: ,
因为 ,故 ,所以 恒成立,即数列为单调递减数列. ………………………6分
(2)假设 中存在三项成等差数列,不妨设为  这三项,………………………8分
由(1)证得数列 为单调递减数列,则 ,即 ,
两边同时乘以 ,则等式可以化为 ,(※) ……………12分
因为 ,所以 均为正整数,故 与 为偶数,
而 为奇数,因此等式(※)两边的奇偶性不同,故等式(※)不可能成立,
所以假设不成立,故数列 中任意三项都不能构成等差数列.             ………………………14分
18.(1)由 可得 ,                                         ………………………2分
设椭圆方程为 ,代入点 ,得 ,
故椭圆方程为: .                                            ………………………4分
(2)①由条件知 ,
设 ,则满足 , ,
两式作差得: ,                                    ………………………6分
化简得 ,
因为 被 平分,故 ,
所以 ,即直线 的斜率 .                             ………………………10分
②设直线 为 ,代入椭圆方程 可得 ,(#)
所以 , ,
 ,
 ,         ………………………12分

              ………………………14分
解得 ,此时方程(#)中 ,
故所求直线方程为 .                                        ………………………16分
19.解:(1)①设曲线段 所在的抛物线的方程为 ,将 代入 得 ,故抛物线的方程为 ,求导得 ,故切线 的斜率为 ,而直线 的倾斜角为,故 ,t关于的函数关系为 .………………………………2分
②因为 ,所以曲线段 部分的造价为 元,
因为点 到直线 的距离为8分米,直线 的倾斜角为,故 , 部分的造价为 ,
得两部分的总造价为 , .               ………………………………6分
(2) ,  …………………8分
 ,
其中 恒成立,令 得 ,设 且 为锐角,…………10分
列表如下:
 
 
 
 

 
 

 
 
极小 

…………………………………12分
故当 时 有最小值,此时 , , ,                              …………………………………14分
故总造价S的最小值为 元.                                   ……………………………16分
20.解:(1)举例:函数 是“超导函数”,
因为 , ,满足 对任意实数 恒成立,故 是“超导函数”. ……4分
注:答案不唯一,必须有证明过程才能给分,无证明过程的不给分.
(2)∵ ,∴ ,

     ……………………………………………………………6分
因为函数 与 都是“超导函数”,所以不等式 与 对任意实数 都恒成立,故 , ,①        ………………………………………………………8分
而 与 一个在 上单调递增,另一个在 上单调递减,故 ,②
由①②得 对任意实数 都恒成立,所以函数 是“超导函数”.  ……10分
(3)∵ ,所以方程 可化为 ,
设函数 , ,则原方程即为 ,③   ……………………………12分
因为 是“超导函数”, ∴ 对任意实数 恒成立,
而方程 无实根,故 恒成立,所以 在 上单调递减,
故方程③等价于 ,即 ,                    ……………………………14分
设  , ,则 在 上恒成立,
故 在 上单调递增,
而 , ,且函数 的图象在 上连续不断,
故  在 上有且仅有一个零点,从而原方程有且仅有唯一实数根.
……………………………16分
注:发现 但缺少论证过程的扣4分.

 

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