江苏南京六校2017-2018高二数学文科下学期期末试题(含答案)

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江苏南京六校2017-2018高二数学文科下学期期末试题(含答案)

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文 章来 源莲山 课件 w w
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南京市六校联合体高二期末试卷
           数学(文科)        2018.6
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
1.已知集合A={1,3},B={1,4,5},则A∪B=   ▲   .

2.已知复数z=(4+3i)2(i为虚数单位),则z的实部为   ▲   .

3. 一个原命题的逆否命题是“若x=1,则x2-2x<0”,那么该原命题是   ▲   命题.(填“真”或“假”).   

4.函数f(x)=5-4x-x2的定义域是   ▲   .
 

5.以双曲线x22-y2=1的左焦点为焦点的抛物线的标准方程为   ▲   .
6.函数f(x)=2x(0<x<1),其值域为D,在区间(-1,2)上随机取一个数x,则x∈D的概率是   ▲   .


7.某地区为了了解居民每天的饮水状况,采用分层抽样的方法随机抽取100名年龄在[10,20),[20,30),…,[50,60]年龄段的市民进行问卷调查,由此得到样本的频率分布直方图如图所示,则[30,40)年龄段应抽取的人数为   ▲   .

 

 

 

 


8.如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的s值等于    ▲   .
9.观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a8+b8等于   ▲   .

10.从集合A={-2,-1,1,2}中随机取一个数为m,从集合B={-1,1,2,3}中随机取一个数为n,则方程x2m+y2n=1表示双曲线的概率为   ▲   .
11.设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆C上的点,
PF2⊥F1F2,∠PF1F2=θ,若cosθ=13,则椭圆C的离心率为   ▲   .
12.函数f(x)满足f(x+2)=f(x)(x∈R),且在区间[-1,1)上,f(x)=2sinπx3,﹣1≤x≤0x+3,0<x<1,
则f(f(2019))=    ▲   .
13.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=12(|x-1|+|x-2|-3).若函数g(x)=f(x) -ax恰有三个不同的零点,则实数a的取值范围为   ▲    .
14.已知函数f(x)=|x|ex(x∈R),其中e为自然对数的底数,g(x)=-x2+2ax-2(a∈R),
若A={x|f(g(x))>e}=R,则a的取值范围是   ▲   .
二、解答题:本大题共6小题,共计90分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(本小 题满分14分)
已知二次函数f(x)满足f(1)=1,f(-1)=5,且图象过原点.
(1)求二次函数f(x)的解析式;
(2)已知集合U=[1,4],B={y|y=f(x)x2,x∈U},求 .

 

 

16.(本小 题满分14分)
已知命题p:指数函数f(x)=(a-1)x在定义域上单调递减,
命题q:函数g(x)=lg(ax2-2x+a2)的定义域为R.
(1)若q是真命题,求实数a的取值范围;
(2)若“p∧q”为假命题“p∨q”为真命题,求实数a的取值范围.

 

 

 

 

 


17.(本小 题满分14分)
已知函数f(x)=ax-(k-1)a-x(a>0且a≠1)是奇函数.
(1)求实数k的值;
(2)若f(1)<0,解关于x的不等式f(x2+2x)+f(x-4)<0.

 

 

 

 

18.(本小 题满分16分)
某礼品店要制作一批长方体包装盒,材料是边长为60cm的正方形纸板.如图所示,先在其中相邻两个角处各切去一个边长是xcm的正方形,然后在余下两个角处各切去一个长、宽分别为30cm、xcm的矩形,再将剩余部分沿图中的虚线折起,做成一个有盖的长方体包装盒.
 
 (1)求包装盒的容积V(x)关于x的函数表达式,并求函数的定义域;
 (2)当x为多少cm时,包装盒的容积最大?最大容积是多少cm3?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19.(本小 题满分16分)
已知离心率为32的椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0) ,经过点A(1,32),过A作直线 与椭圆相交于另一点B,与 轴相交于点D,取线段AB的中点P,以线段DP为直径作圆与直线OP相交于点Q.
(1)求椭圆的方程;
(2)若P点坐标为(32,34),求直线DQ的方程;
(3)求证:直线DQ过定点,并求出该定点坐标.

 

 

 

 

 

 

 

20.(本小 题满分16分)
已知函数f(x)=ax+xlnx的图象在(1,f(1))处的切线与直线2x-y+1=0平行.
(1)求实数a的值;
(2)若f(x)≤(k2+k-1)x2对任意x>0恒成立,求实数k的取值范围;
(3)当n>m>1(m,n∈N*)时,证明:nnm >mmn .

 

 

 

 


   
高二期末考试
数学试题答案  
1、 {1,3,4,5}  2、7   3、真    4、[-5,1]   5、y2=﹣43x   6、13 
7、35      8、-3      9、47      10、12     11、3-22      12、2 
13、(﹣1,1)  14、(﹣1,1)

15.解:(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),因为f(1)=1,f(﹣1)=5,且图象过原点,所以a+b+c=1,a-b+c=5,c=0, ……………………………………………………………………………3分
解得a=3,b=-2,c=0,所以f(x)=3x2﹣2x. ………………………………………………………7分

(2)y=f(x)x2=3﹣2x,当x∈[1,4]时,函数y=3﹣2x是增函数,当x=1时,y取得最小值1,当x=4时,y取得最大值52,所以B=[1,52], ………………………………………………11分
 =(52,4] ………………………………………………………………………………14分


16解:(1)若命题q是真命题,则有①当a=0时定义域为(﹣∞,0),不合题意 ………1分

②当a≠0时,由已知可得a>04﹣4a•a2<0, ………………………………………………4分
解得:a>2,故所求实数a的取值范围为(2,+∞). …………………………………6分
(2)若命题p为真命题,1<a<2  ……………………………………………………………8分

若p为真q为假,则1<a<2a≤2,得到1<a≤2   ………………………………………10分
若p为假q为真,则 a≤1或a≥2a>2得到a≥2  . ………………………………………12 分

综上所述, 的取值范围是1<a≤2 或a≥2.  ………………………………………14分

17解:(1)因为f(x)是奇函数,且f(0)有意义,所以f(0)=0,所以1-(k-1)=0,
k=2.…………………………………………………………………………………………………2分
当k=2时,f(x)=ax-a-x,f(-x)=a-x-ax,f(x)+f(-x)=0,所以f(x)是奇函数,
k=2符合题意.…………………………………………………………………………………4分
(2)因为f(1)<0,所以a-1a>0,即0<a<1,………………………………………………6分
f (x)=axlna+a-xlna,因为0<a<1,所以f (x)<0,所以f(x)是R上的单调减函数.…9分
由f(x2+2x)<-f(x-4)=f(4-x),得x2+2x>4-x,即x2+3x-4>0,…………………12分
解得x<-4或x>1,故所求不等式的解集为(-∞,-4)∪(1,+∞).…………………14分
18.(1)因为包装盒高h=x,底面矩形的长为60-2x,宽为30-x,   
所以铁皮箱的体积V(x)=(60-2x)•(30-x)•x=2x3-120x2+1800x.……………………………4分
函数的定义域为(0,30). ……………………………………………………………………6分
(2)由(1)得, V (x)=6x2-240x+1800=6(x-10)(x-30),
令V (x)=0,解得x=10. ……………………………………………………………………8分
当x∈(0,10)时, V (x)>0,函数V(x)单调递增;
当x∈(10,30)时, V (x)<0,函数V(x)单调递减.………………………………………12分
所以函数V(x)在x=10处取得极大值,这个极大值就是函数V(x)的最大值.
又V(10)=8000cm3. …………………………………………………………………………15分
答:切去的正方形边长x=10cm时,包装盒的容积最大,最大容积是8000cm3. ……16分
19.(1)因为ca=321a2+34b2=1所以:a=2,b=1椭圆的方程为:x24+y2=1……………………4分
(2)因为点P的坐标为(32,34),所以AB的方程为:y=-32x+3 ,
所以D点坐标为(0,3) ………………………………………………………………………5分
又因为以DP为直径的圆与OP交于Q,所以DQ⊥OP又kOP=36,所以kDQ=-23…7分
所以DQ的方程为:y=-23x+3 …………………………………………………………8分
(3) 由题意知直线l的斜率存在,可设l的方程为:y-32=k(x-1),
所以D点坐标为(0,32-k)……………………………………………………………………9分
又y-32=k(x-1)x24+y2=1消去y后得:(4k2+1)x2+4k(3-2k)x+4(32-k)2-4=0
所以:xA+xB=-4k(3-2k)4k2+1,………………………………………………………………10分
所以xP=2k(2k-3)4k2+1,yP=32-k4k2+1,所以kOP=-14k ………………………………………12分
又DQ⊥OP,所以kDQ=4k……………………………………………………………………14分
所以DQ的方程为:y-32+k=4kx,即y-32=k(4x-1) ………………………………15分
所以直线DQ恒过定点(14,32)  ……………………………………………………………16分

20.解:(1)求导数,得f ′(x)=a+lnx+1.
由已知,得f ′(1)=2,即a+ln1+1=2   ∴a=1.  ………………………………………3分

(2)由(1)知f(x)=x+xlnx,
∴f(x)≤(k2+k-1)x2对任意x>0成立⇔k2+k-1≥1+lnxx对任意x>0成立. …………5分
令g(x)=1+lnxx,则问题转化为求g(x)的最大值. …………………………………………6分
求导得g′(x)=-lnxx2,令g′(x)=0,解得x=1.   ……………………………………………7分
当0<x<1时,g′(x)>0,∴g(x)在(0,1)上是增函数;
当x>1时,g′(x)<0,∴g(x)在(1,+∞)上是减函数.
∴g(x)在x=1处取得最大值g(1)=1.
∴k2+k-1≥1即k≥1或k≤-2为所求.   ………………………………………………9分
(3)证明:令h(x)=xlnxx-1,则h′(x)=x-1-lnx(x-1)2  …………………………………………11分
由(2)知, x≥1+lnx(x>0),∴h′(x)≥0,∴h(x)是(1,+∞)上的增函数.
∵n>m>1,∴h(n)>h(m),即nlnnn-1>mlnmm-1,………………………………………………14分
∴mnlnn-nlnn>mnlnm-mlnm,即mnlnn+mlnm>mnlnm+nlnn,
∴lnnmn+lnmm>lnmmn+lnnn,即ln(mnn)m>ln(nmm)m,∴(mnn)m>(nmm)m。
∴nnm >mmn . …………………………………………………………………………16分


 

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