江苏南京六校2017-2018高二数学理科下学期期末试题(附答案)

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江苏南京六校2017-2018高二数学理科下学期期末试题(附答案)

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南京市六校联合体高二期末试卷
           数学(理科)        2018.6
参考公式:方差
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
1.设 为虚数单位,复数 ,则 的模    ▲   .
2.一根木棍长为5米,若将其任意锯为两段,则锯成的两段木棍的长度都大于2米的概率为 ▲   .
3.命题“若 ,则复数 为纯虚数”的逆命题是  ▲  命题.(填“真”或“假”)
4.已知一组数据为2,3,4,5,6,则这组数据的方差为   ▲   .
5.将一颗骰子抛掷两次,用 表示向上点数之和,则 的概率为   ▲   .
6.用分层抽样的方法从某校学生中抽取1个容量为45的样本,其中高一年级抽20人,高三年级抽10人.已知该校高二年级共有学生300人,则该校学生总数为   ▲   .
7.函数 在点 处切线方程为 ,则 =   ▲   .
8.若 的展开式中所有二项式系数和为64,则展开式中的常数项是   ▲   .
9.根据如图所示的伪代码可知,输出的结果为   ▲   .
10.若 ,
则 =   ▲   .
11.已知 ∈R,设命题P: ;
命题Q:函数 只有一个零点.
则使“P Q”为假命题的实数 的取值范围为   ▲   .
12.有编号分别为1,2,3,4,5的5个黑色小球和编号分别为1,2,3,4,5的5个白色小球,若选取的4个小球中既有1号球又有白色小球,则有   ▲   种不同的选法.


13.观察下列等式:

 

 

 

 


请你归纳出一般性结论   ▲   .
14.乒乓球比赛,三局二胜制.任一局甲胜的概率是 ,甲赢得比赛的概率是 ,则 的最大值为   ▲   .
二、解答题:本大题共6小题,共计90分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(本小题满分14分)
在平面直角坐标系 中,以 为极点, 为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程是 ,直线 的参数方程是 ( 为参数).求直线 被曲线 截得的弦长.


16.(本小题满分14分)
在棱长为 的正方体 中,O是AC的中点,E是线段D1O上一点,且D1E=λEO.
(1)若λ=1,求异面直线DE与CD1所成角的余弦值;
(2)若平面CDE⊥平面CD1O,求λ的值.

 

 

 


17.(本小题满分14分)
已知 ,
(1)求 的值;
(2)若 且 ,求 的值;
(3)求证: .

 

 

 

 

 

 

18.(本小题满分16分)
某抛掷骰子游戏中,规定游戏者可以有三次机会抛掷一颗骰子,若游戏者在前两次抛掷中至少成功一次才可以进行第三次抛掷,其中抛掷骰子不成功得0分,第1次成功得3分,第2次成功得3分,第3次成功得4分.游戏规则如下:抛掷1枚骰子,第1次抛掷骰子向上的点数为奇数则记为成功,第2次抛掷骰子向上的点数为3的倍数则记为成功,第3次抛掷骰子向上的点数为6则记为成功.用随机变量 表示该游戏者所得分数.
(1)求该游戏者有机会抛掷第3次骰子的概率;
(2)求随机变量 的分布列和数学期望.

 

 

 


19.(本小题满分16分)
已知函数
(1)若 在区间 上是单调递增函数,求实数 的取值范围;
(2)若 在 处有极值10,求 的值;
(3)若对任意的 ,有 恒成立,求实数 的取值范围.

 

 

 

 

 

20.(本小题满分16分)
把圆分成 个扇形,设用4种颜色给这些扇形染色,每个扇形恰染一种颜色,并且要求相邻扇形的颜色互不相同,设共有 种方法.
(1)写出 , 的值;
(2)猜想  ,并用数学归纳法证明。

 

 

 


南京市六校联合体高二期末试卷数学(理科)参考答案
一、填空
1.       2. .      3. 真       4.      5.       6.        7.   
8.      9.       10.      11.        12.
13.     14.
二、解答题
15.曲线 的直角坐标方程是 …………4分
    直线 的普通方程是 …………………8分
圆心 到直线 的距离 ……………………11分
弦长为 …………………………………………14分
16.解(1以 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 .
则A(1,0,0), , ,D1(0,0,1),
E ,
于是 , .
由cos = = .
所以异面直线AE与CD1所成角的余弦值为 .              ………6分
(2)设平面CD1O的向量为m=(x1,y1,z1),由m• =0,m• =0
得   取x1=1,得y1=z1=1,即m=(1,1,1) .     ………8分
由D1E=λEO,则E , = .10分
又设平面CDE的法向量为n=(x2,y2,z2),由n• =0,n• =0.
得   取x2=2,得z2=-λ,即n=(-2,0,λ) .12分
因为平面CDE⊥平面CD1F,所以m•n=0,得λ=2.           ……14分
17(1)令 ,则 =0,又
     所以 ………………………………………………………………4分
(2)由 ,解得 ,所以  ………………9分
(3)
 
………………………………………………………………14分
18.⑴该游戏者抛掷骰子成功的概率分别为 、 、 ,该游戏者有机会抛掷第3次骰子为事件 .
则 ;
答:该游戏者有机会抛掷第3次骰子的概率为 ………………………………6分
(2)由题意可知, 的可能取值为 、 、 、 、 ,
 ,  ,
 ,
 , 
  ,
所以 的分布列为
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 

………………………………………………14分
所以 的数学期望 …………………16分
19解:(1) f'(x)=3x2+2mx,由f(x)在区间[1,+∞)上是单调递增函数得,
当x≥1时,3x2+2mx≥0恒成立,即m≥-32x恒成立,
解得m≥-32;………………………………4分
   (2) ,由题 或
        当 时, , 无极值,舍去.
       所以 …………………………8分(没有舍扣2分)
(3)由对任意的x1,x2∈[-1,1],有| f(x1)-f(x2)|≤2恒成立,得fmax(x)-fmin(x)≤2.
且| f(1)-f(0)|≤2,| f(-1)-f(0)|≤2,解得m∈[-1,1],…………10分
①当m=0时,f'(x)≥0,f(x)在[-1,1]上单调递增,
fmax(x)-fmin(x)= | f(1)-f(-1)|≤2成立.……………………………11分
②当m∈(0,1]时,令f'(x)<0,得x∈(-23m,0),则f(x)在(-23m,0)上单调递减;
同理f(x)在(-1,-23m),(0,1)上单调递增,
f(-23m)= 427m3+m2,f(1)= m2+m+1,下面比较这两者的大小,
令h(m)=f(-23m)-f(1)= 427m3-m-1,m∈[0,1],
h'(m)= 49m2-1<0,则h(m)在(0,1] 上为减函数,h(m)≤h(0)=-1<0,
故f(-23m)<f(1),又f(-1)= m-1+m2≤m2=f(0),仅当m=1时取等号.
所以fmax(x)-fmin(x)= f(1)-f(-1)=2成立.
③同理当m∈[-1 ,0)时,fmax(x)-fmin(x)= f(1)-f(-1)=2成立.
综上得m∈[-1 ,1].…………………………16分
20.解:(1) …………2+4=6分
(2).当 时,首先,对于第1个扇形 ,有4种不同的染法,由于第2个扇形 的颜色与 的颜色不同,所以,对于 有3种不同的染法,类似地,对扇形 ,…, 均有3种染法.对于扇形 ,用与 不同的3种颜色染色,但是,这样也包括了它与扇形 颜色相同的情况,而扇形 与扇形 颜色相同的不同染色方法数就是 ,于是可得
 …………………………10分
猜想 …………………………12分
① 当 时,左边 ,右边 ,所以等式成立
② 假设 时, ,
则 时, 
即 时,等式也成立
综上  …………………………16分


 

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