2014-2015玉溪一中高三数学上学期期中试题(理科附答案)

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2014-2015玉溪一中高三数学上学期期中试题(理科附答案)

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2014-2015玉溪一中高三数学上学期期中试题(理科附答案)
第I卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ,   ,则 是 (  )
A.         B.      C.        D.
2.已知复数 满足 ,则 (    )
   A.        B.        C.        D.
3.下列命题中正确的是(     )
A.若 ,则
B.若 为真命题,则 也为真命题
 
   C.“函数 为奇函数”是“ ”的充分不必要条件
D.命题“若 ,则 ”的否命题为真命题
4.公比不为1的等比数列 的前 项和为 ,且 , , 成等差数列,若 ,则 = (  )                                  
A.           B.           C.          D.
5.若框图所给的程序运行结果为S=20,那么判断框中应填入的关于k的条件是(  ).
 

 A.k=9?         B.k≤8?         C.k<8?        D.k>8?

6.函数 的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是 (   )   (  ).
    A.(1,3)         B.(1,2)        C.(0,3)         D.(0,2)

7. 如图,在正方体 中,点 是上底面 内一动点,则三棱锥 的正视图与侧视图的面积之比为(   )
    A.  :            B. :  
 C. :             D. :


8.在平行四边形 中, 60°, 为 的中点,若 ,则 的长为(    )
     A.          B.          C.           D.     
9.若任取 ,则点 满足 的概率为(   )
     A.          B.          C.           D.     
10.已知  是圆心在坐标原点的单位圆上任意一点,且射线 绕原点逆时针旋转 °到 交单位圆于点  ,则 的最大值为(   )
    A.    B.1   C.   D.
11.函数y=x33x-1的图象大致是 (  )
 
12.函数 ,当 时, 恒成立,则实数 的取值范围是 (    )
A.         B.        C.        D.

                     第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13.将 名教师, 名学生分成 个小组,安排到甲、乙两地参加活动,每个小组由 名
教师和 名学生组成,不同的安排方案共有__________种.
  
   14.数列 的前 项和为 ,若 则 =____________.
15.如果存在实数 使不等式 成立,则实数的取值范围是__________.

16.已知函数 ,给出下列五个说法:
① . ②若 ,则 .③ 在区间 上单调递增. ④将函数 的图象向右平移 个单位可得到 的图象.
⑤ 的图象关于点 成中心对称.其中正确说法的序号是             .
三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤
17.(本小题满分10分)
已知极坐标的极点与平面直角坐标系的原点重合,极轴与 轴的正半轴重合,且长度单位相同.曲线 的极坐标方程为
(Ⅰ)求曲线 的直角坐标方程.
(Ⅱ)直线  ( 为参数)与曲线 交于 两点,于 轴交于点E,求 .


18.(本小题满分12分)
已知函数 .设 时 取到最大值.
(Ⅰ)求 的最大值及 的值;
(Ⅱ)在 中,角 所对的边分别为 , ,且 ,试判断三角形的形状.


19.(本小题满分12分)某高校自主招生选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被淘汰. 已知某同学能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为 、 、 ,且各轮问题能否正确回答互不影响.
(Ⅰ)求该同学被淘汰的概率;
(Ⅱ)该同学在选拔中回答问题的个数记为 ,求随机变量 的分布列与数学期望.

20.(本小题满分12分)如图,在四棱锥 中, 底面 ,底面 是直角梯形, , , , 是 的中点。
(Ⅰ)求证:平面 平面 ;
(Ⅱ)若二面角 的余弦值为 ,求直线 与 平面 所成角的正弦值。

 

21.(本小题满分12分)已知椭圆C的左、右焦点分别为 ,椭圆的离心率为 ,且椭圆经过点 .
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)线段 是椭圆过点 的弦,且 ,求 面积最大时实数 的值.


22.(本小题满分12分)设  ,    .
(Ⅰ)当 时,求曲线 在 处的切线的方程;(Ⅱ)如果存在 ,使得 成立,求满足上述条件的最大整数 ;
(Ⅲ)如果对任意的 ,都有 成立,求实数 的取值范围.

 

 

 

玉溪一中2015届高三上学年期中考试理科数学
                  参考答案
 1-----5     DADAD  6-----10     CACAB     11-----12    CA  
13. 12    14.   127    15.     16.①,④

17.【答案】(1)     (2)

18.【答案】
 又 ,则 ,故当
   即 时,                 6分
(2)由(1)知 ,由 即 ,
     又 ,
     则 即 ,
     故    
     又       所以三角形为等边三角形.  12分

19.【答案】(Ⅰ)记“该同学能正确回答第 轮的问题”的事件为 ,
则 , , ,………………3分
∴该同学被淘汰的概率
 .……………………6分
(Ⅱ) 的可能值为1,2,3, ,
 , .………………8分
∴ 的分布列为
 
1 2 3

 
 

                          ……………………10分
∴ ……………………12分
20【答案】.
解:(Ⅰ) 平面ABCD, 平面ABCD, ,
 , ,
 ,
又 , 平面PBC,
∵ 平面EAC, 平面 平面PBC   ……………6分             
(2)以C为原点,建立空间直角坐标系如图所示,
则C(0,0,0),A(1,1,0),B(1,-1,0)。
设P(0,0,a)(a>0),则E( , , ),          
 , , ,                                                                    
     取 =(1,-1,0)……………8分
则 , m为面PAC的法向量
设 为面EAC的法向量,则 ,
即 ,取 , , ,则 ,
依题意, ,则 。于是
设直线PA与平面EAC所成角为 ,则 ,
即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为 。……………12分
21.【答案】(1) ,又
     …………4分
(2)显然直线 不与 轴重合
当直线 与 轴垂直时,| |=3, , ;………5分
当直线 不与 轴垂直时,设直线 : 代入椭圆C的标准方程,
整理,得
    ……………7分
 

所以  由上,得
所以当直线 与 轴垂直时 最大,且最大面积为3    ……………10分
所以,       ………………12分

22【答案】(1)当 时, , ,
 , , 所以曲线 在 处的切线方程为 ;           2分
(2)存在 ,使得 成立  等价于: , 考察 ,  ,
          
          
    递减 极小值  递增 

 

由上表可知: ,
 ,
 所以满足条件的最大整数 ;   7分
(3)当 时, 恒成立等价于 恒成立,
 
   ∴f(x)的最大值是0,   最小值是 .………………12分

 

 

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