2015届高三数学【理】上学期期中考试题含答案

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2015届高三数学【理】上学期期中考试题含答案

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注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上。
2.考生作答时,选择题和综合题均须做在答题卡上,在本试卷上答题无效。考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。
3.考试结束后,将答题卡收回。
4.本试题卷共4页,如有缺页,考生须声明,否则后果自负。
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2015届高三上期中考试数学理试题
试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分. 时量:120分钟.
第Ⅰ卷(选择题   共50分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共计50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请把正确答案的代号填在答题卡上.
1. 已知全集 ,集合 , ,则 为
A.  B.  C.  D.
2. 设 ,则下列不等式成立的是
A.  B.  C.  D.
3. 已知向量 , , ,若 ,则实数 的值为
A.              B.              C.             D.
4. 运行如图1的程序框图,则输出 的结果是
A.          B.       
C.         D. 
5. 函数
A.是偶函数,且在 上是减函数
B.是偶函数,且在 上是增函数
C.是奇函数,且在 上是减函数
D.是奇函数,且在 上是增函数
6. 由下列条件解 ,其中有两解的是
A.           B. 
C.  D.   
7. 从装有2个黄球和2个蓝球的口袋内任取2个球,则恰有一个黄球的概率是
A.             B.          C.             D. 
8. 方程(x2+y2-4)x+y+1=0表示的曲线形状是
9. 函数 的一个零点在区间(1,3)内,则实数 的取值范围是
A.(-1,7)         B.(0,5)           C.(-7,1)          D.(1,5)
10.已知定义域为 的单调函数 ,若对任意的 ,都有
 ,则方程 的解的个数是
A.0             B.1             C.2             D.3

第Ⅱ卷(非选择题  共100分)
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分. 把答案填在答题卡上的相应横线上.
11.已知数列 满足 , ( ),则 的值为        .
12.已知 ____.
13.已知函数 ,则 的定义域为_______________ .
14.已知一个正三棱柱的所有棱长均等于2,它的俯视图是一个边长为2的正三角形,那么它的侧(左)视图面积的最小值是________.
15.已知集合 ,若 ,则实数 的取值范围是_______________ .
三、解答题:本大题共6小题, 共75分.  解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分12分)
函数 部分图象如图所示.
(Ⅰ)求 的最小正周期及解析式;
(Ⅱ)设 ,
求函数 在区间 上的最大值和最小值.
 

17.(本小题满分12分)
设 : ; : .若 是 的必要而不充分条件,求实数 的取值范围.
 

18.(本小题满分12分)
如图,在四棱锥 中,底面 是正方形, 底面 , ,点 是 的中点, 且交 于点 .
(Ⅰ)求证:平面 平面 ;
(Ⅱ)求二面角 的余弦值.
 

19.(本小题满分13分)
设等差数列 的前 项和为 ,且 ;数列 的前 项和为 ,且 , .
(Ⅰ)求数列 , 的通项公式;
(Ⅱ)设 , 求数列 的前 项和 .
 
20.(本小题满分13分)
在平面直角坐标系 中, 为坐标原点,以 为圆心的圆与直线 相切.
(Ⅰ)求圆 的方程;
(Ⅱ)若直线 : 与圆 交于 , 两点,在圆 上是否存在一点 ,使得 ,若存在,求出此时直线 的斜率;若不存在,说明理由.


21.(本小题满分13分)
已知函数 
(Ⅰ)求函数 在点 处的切线方程; 
(Ⅱ)求函数 单调递增区间;
(Ⅲ)若存在 ,使得 是自然对数的底数),求实数 的取值范围.
 
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理科数学参考答案及评分标准 
一、选择题:
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A B D C C C A B
二、填空题:
11. ;   12.  ;    13.  ;    14.  ;   15.  .
16解:(Ⅰ)由图可得 , ,所以 …………2分
所以  ………3分
当 时, ,可得  ,
因为 ,  所以     …………5分
     所以 的解析式为 ……………………6分
(Ⅱ)
     
     …………………9分
  因为 ,所以  …………10分
当 ,即 时, 有最大值,最大值为 ;
当 ,即 时, 有最小值,最小值为 .……12分
17解:由 得,  ,  故 ……………3分
由   ……6分
 若 是 的必要而不充分条件, 
  的必要而不充分条件, 即 ………………9分
  …………………11分
故所求 的取值范围是 ………………12分
18证明(Ⅰ): 底面 , 
又底面 是正方形, 
 平面 ,    
    又 , 是 的中点, ,
 面     
由已知 ,   平面 .
又 面 , 面 面 ………6分
(Ⅱ)取 的中点 ,则 .
作 于 ,连结 .
  底面 ,   底面     ,  
 为二面角 的平面角 
设 ,在 中 , , 
 ………………11分
     所以二面角 的余弦值为 …………12分
解法2:(Ⅰ)如图,以 为坐标原点,建立空间直角坐标系 ,由于 ,
可设 , 则 
  ,
 …………………3分
 , …………………4分
 ,       
又 且   平面 .又 平面 
所以,平面  平面 …………………6分
(Ⅱ) 底面  是平面 的一个法向量,   ……7分
设平面 的一个法向量为  , ,
则     得 …………9分    
 …………11分
 二面角 的余弦值是 …………12分
19解:(Ⅰ)由题意, ,得 …………3分   
 , ,
 ,两式相减,得
数列 为等比数列, …………6分
(Ⅱ)  .
当 为偶数时,
           = ……………8分
当 为奇数时,
法一: 为偶数,   ……11分
法二:
         ……………11分
  ……………13分
20解:(Ⅰ)设圆 的半径为 ,因为直线 与圆 相切,
所以  ………………3分
所以圆 的方程为  ………………5分
(Ⅱ)方法一:因为直线 : 与圆 相交于 , 两点,
所以  ,
所以 或 ……………7分
假设存在点 ,使得 ……………8分
因为 , 在圆上,且 ,同时
由向量加法的平行四边形法则可知
四边形 为菱形,所以 与 互相垂直且平分 ……………9分
所以原点 到直线 : 的距离为 …………10分
即  ,解得 ,  ,经验证满足条件…………12分
所以存在点 ,使得  …………13分
方法二:假设存在点 ,使得 .记 与 交于点  
 因为 , 在圆上,且 ,由向量加法的平行四边形法则可知四边形 为菱形,
因为直线 斜率为 ,显然 ,所以 直线方程为  …………7分
 , 解得 , 所以点 坐标为 ………9分
因为点 在圆上,所以  ,解得 …………11分
即 ,经验证满足条件…………12分
所以存在点 ,使得 …………13分
21解:(Ⅰ)因为函数 ,
所以 , ,
又因为 ,所以函数 在点 处的切线方程为  ……3分
(Ⅱ)由⑴, .
令 ,则
所以当 时,  在 上是增函数…………………5分
又 ,所以不等式 的解集为
故函数 的单调增区间为 …………………8分
(Ⅲ)因为存在 ,使得 成立,
而当 时, ,
所以只要 即可. …………………9分
又因为 , , 的变化情况如下表所示:
      
      
  减函数 极小值 增函数
所以 在 上是减函数,在 上是增函数,所以当 时, 的最小值  , 的最大值 为 和 中的最大值
因为 ,
令 ,因为 ,
所以 在 上是增函数.
而 ,故当 时, ,即 ;
当 时, ,即 .
所以,当 时, ,即 ,函数 在 上是增函数,解得 ………………11分
当 时, ,即 ,函数 在 上是减函数,解得 .………………12分
综上可知,所求 的取值范围为 ………………13分
 

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