2016新余一中高三文科数学3月模拟试题(带答案)

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2016新余一中高三文科数学3月模拟试题(带答案)

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新余一中2016届毕业年级第八次模拟考试
数学(文)试题
命题人:廖宇慧      审题人:欧阳志
第Ⅰ卷(选择题     共60分)
试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题意)
1. 命题“ ”的否定是(  C  )
A.          B. 
C.           D. 
2. 若纯虚数 满足 ,则实数 等于( D  )
 A.                  B. 或                 C.               D.
3.已知 是等差数列, ,其前10项的和 ,则其公差 (  A )
A.                B.                C.            D. 
4. 已知点 是抛物线 的焦点, 是该抛物线上两点, ,则  中点的横坐标为(   B  )
A.                 B.2             C.            D.3
5.设平面向量 ,若 ,则 等于(  D  )
A.                 B.              C.           D. 
6. 我国古代数学名著《九章算数》中的更相减损法的思路与右图相似.记 为 除以 所得余数 ,执行程序框图,若输入 分别为243,45,则输出的 的值为( C  )
A.0            B.1        C.9          D.18
7.在△ 中,若三个内角 成等差数列且 ,则 的取值范围是(  D  )
A.        B.          C.        D. 
8. 已知实数 满足: , ,则 的取值范围是(  B  )
  A.              B.                C.               D.
9. 如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该该几何体的体积为(  C )
A.        B.6           C.           D. 
10. 已知函数 ,若存在 ,当 时, ,则 的取值范围是(  B  )
A.              B.               C.            D.
11.设 分别是双曲线 的左、右焦点, 是 的右支上的点,射线 平分 交 轴与点 ,过原点 作 的平行线交 于点 ,若 ,则 的离心率为(   A  )
A.               B.3                  C.              D.
12.已知函数 对于 使得 成立,则 的最小值为( A  )
A.             B.            C.         D.
第Ⅱ卷(非选择题   共90分)
本卷包括必考题和选做题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选做题,考生根据要求做答.
二、填空题(本大题共4个小题.每小题5分,共20分,请将答案填在答题卡上)
13.函数 在区间 上的最小值是          . 
14. 已知圆 ,直线 ,则圆 上任一点到直线 的距离小于2的概率是           . 
15.已知三棱锥 的4个顶点都在球 的表面上,若 , 平面 , ,则球 的表面积是         .
16. 如图,有一圆柱开口容器(下表面封闭),其轴截面是边长为2的正方形, 是 的中点,现有一只蚂蚁位于外壁 处,内壁 处有一粒米,则这只蚂蚁取得米粒的所经过的最短路程是            
三、解答题(本大题共6小题,满分70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17、(本小题满分12分)
已知数列 的前 项和为 ,向量 , ,满足条件 , 且 .
(1)求数列 的通项公式;
(2)设函数 ,数列 满足条件 
①求数列 的通项公式;       ②设 ,求数列 的前 和 .
 
18、(本小题满分12分)
有一名同学家开了一个小卖部,他为了研究气温对某种引领销售的影响,记录了2015年7月至12月每月15号下午14时的气温和当天卖出的饮料杯数,得到如下资料:
 
该同学确定的研究方案是:先从这六组数据中选取2组,用剩下的4组数据求线性回归方程,再用被选中的2组数据进行检验。
(1)求选取2组数据恰好是相邻的两个月的概率;
   (2)若选中的是8月与12月的两组数据,根据剩下的4组数据,求出 关于 的线性回归方程 .
附:对于一组数据 ,其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为: ,
 
19.(本小题满分12分)
如图,四棱柱 的底面 是平行四边形,且 , , , 为 的中点,  平面 .
(1)证明:平面 平面 ;
(2)若 ,试求异面直线 与 所成角的余弦值.
解析:(Ⅰ)依题意 ∴ 是正三角形, ,  --3分
 
∵ ⊥平面 , 平面 ,
 平面              ------5分
 平面 ,∴平面 平面 .   -------------6分
(Ⅱ)取 的中点 ,连接 、 ,连接
 中, 是中位线, ,
 
∴四边形 是平行四边形,可得     -------------8分
可得 (或其补角)是异面直线 与 所成的角.
  --------10分
  ,
即异面直线 与 所成角的余弦值为 .            -------------12分
20.(本小题满分12分)
如图,在平面直角坐标系 中,离心率为 的椭圆  的左顶点为 ,过原点 的直线(与坐标轴不重合)与椭圆 交于 两点,直线 分别与 轴交于 两点.若直线 斜率为 时, .
(1)求椭圆 的标准方程;
(2)试问以 为直径的圆是否经过定点(与直线 的斜率无关)?请证明你的结论.   
【解析】(Ⅰ)设 , ∵直线 斜率为 时, ,∴ ,∴   ,∴ ,∵ ,∴ .∴椭圆 的标准方程为 .   
(Ⅱ)以 为直径的圆过定点 .  设 ,则 ,且 ,即 ,∵ ,∴直线 方程为:  ,∴  ,  直线 方程为:  ,∴ ,以 为直径的圆为 ,即 ,  ∵ ,∴ ,  令 , ,解得 , ∴以 为直径的圆经过定点: .

21.(本小题满分12分)
已知函数 (其中 , 是自然对数的底数), 为 导函数.
(1)当 时,求曲线 在点 处的切线方程;
(2)若 ,试证明:对任意 , 恒成立.
解析:(Ⅰ)由 得 , ,所以曲线 在点 处的切线斜率为 ,  ,    ----------3分
 曲线 切线方程为 ,即 .    ----------5分
(Ⅱ)由 ,得 ,令 ,
所以 , ,
因此,对任意 , 等价于 ,
由 , ,得 , ,  -------8分
因此,当 时, , 单调递增;
 时, , 单调递减,
所以 的最大值为 ,故 , ---------10分
设 ,  ,所以 时, , 单调递增, ,故 时, ,即 ,
所以 .       
因此,对任意 , 恒成立.    ----------12分

请考生在第(22)、(23)两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑,把答案填在答题卡上.
22、(本小题满分10分)选修4-4  坐标系与参数方程
已知曲线 的参数方程为 ,当 时,对应曲线 上一点 ,且点 关于原点的对称点为 .以原点为极点,以 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为  .
(1)求 两点的极坐标;
(2)设 为曲线 上的动点,求 的 最大值.

23、(本小题满分10分)选修4-5  不等式选讲
设函数 .
(1)求 的最大值;
(2)若 恒成立,求 的取值范围.
 

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