上海市2016年高考理科数学试题(带答案)

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上海市2016年高考理科数学试题(带答案)

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2016年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试
上海   数学试卷(理工农医类)
一、填空题(本大题共有14题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.
1、设x ,则不等式 的解集为______________________
2、设 ,期中 为虚数单位,则 =______________________
3、已知平行直线 ,则 的距离_______________
4、某次体检,6位同学的身高(单位:米)分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________(米)
5、已知点 在函数 的图像上,则
6、如图,在正四棱柱 中,底面 的边长为3, 与底面所成角的大小为 ,则该正四棱柱的高等于____________
7、方程 在区间 上的解为___________ 
8、在 的二项式中,所有项的二项式系数之和为256,则常数项等于_________
9、已知 的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于_________
10、设 若关于 的方程组 无解,则 的取值范围是____________
11.无穷数列 由k个不同的数组成, 为 的前n项和.若对任意 , ,则k的最大值为.
12.在平面直角坐标系中,已知A(1,0),B(0,-1),P是曲线 上一个动点,则 的取值范围是.
13.设 ,若对任意实数 都有 ,则满足条件的有序实数组 的组数为.
14.如图,在平面直角坐标系 中,O为正八边形 的中心, .任取不同的两点 ,点P满足 ,则点P落在第一象限的概率是.
二、选择题(5×4=20)
15.设 ,则“ ”是“ ”的(    ) 
(A)充分非必要条件         (B)必要非充分条件
(C)充要条件               (D)既非充分也非必要条件
16.下列极坐标方程中,对应的曲线为右图的是(    )
(A)           (B)
(C)           (D)
17.已知无穷等比数列 的公比为 ,前n项和为 ,且 .下列条件中,使得 恒成立的是(    )
(A)      (B)
(C)      (D)
18、设 、 、 是定义域为 的三个函数,对于命题:①若 、 、 均为增函数,则 、 、 中至少有一个增函数;②若 、 、 均是以 为周期的函数,则 、 、 均是以 为周期的函数,下列判断正确的是(    )
 、①和②均为真命题 、①和②均为假命题
 、①为真命题,②为假命题 、①为假命题,②为真命题 
 
三、解答题(74分)
19.将边长为1的正方形 (及其内部)绕的 旋转一周形成圆柱,如图, 长为 , 长为 ,其中 与 在平面 的同侧。
(1)求三棱锥 的体积;
(2)求异面直线 与 所成的角的大小。
 


20、(本题满分14)
  有一块正方形菜地 , 所在直线是一条小河,收货的蔬菜可送到 点或河边运走。于是,菜地分为两个区域 和 ,其中 中的蔬菜运到河边较近, 中的蔬菜运到 点较近,而菜地内 和 的分界线 上的点到河边与到 点的距离相等,现建立平面直角坐标系,其中原点 为 的中点,点 的坐标为(1,0),如图
(1)求菜地内的分界线 的方程
(2)菜农从蔬菜运量估计出 面积是 面积的两倍,由此得到 面积的“经验值”为 。设 是 上纵坐标为1的点,请计算以 为一边、另一边过点 的矩形的面积,及五边形 的面积,并判断哪一个更接近于 面积的经验值
 
21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
 双曲线 的左、右焦点分别为 ,直线 过 且与双曲线交于 两点。
(1)若 的倾斜角为 , 是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;
(2)设 ,若 的斜率存在,且 ,求 的斜率.
 

22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.
 已知 ,函数 .
(1)当 时,解不等式 ;
(2)若关于 的方程 的解集中恰好有一个元素,求 的取值范围;
(3)设 ,若对任意 ,函数 在区间 上的最大值与最小值的差不超过1,求 的取值范围.
 


23. (本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
 若无穷数列 满足:只要 ,必有 ,则称 具有性质 .
(1)若 具有性质 ,且 , ,求 ;
(2)若无穷数列 是等差数列,无穷数列 是公比为正数的等比数列, , , 判断 是否具有性质 ,并说明理由;
(3)设 是无穷数列,已知 .求证:“对任意 都具有性质 ”的充要条件为“ 是常数列”.

 

参考答案
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
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8. 
9. 
10. 
11. 4
12. 
13. 4
14. 
15.A
16.D
17.B
18.D
19. (1)由题意可知,圆柱的高 ,底面半径 .
由 的长为 ,可知 .
 ,
 .
(2)设过点 的母线与下底面交于点 ,则 ,
所以 或其补角为直线 与 所成的角.
由 长为 ,可知 ,
又 ,所以 ,
从而 为等边三角形,得 .
因为 平面 ,所以 .
在 中,因为 , , ,所以 ,
从而直线 与 所成的角的大小为 .
20. (1)因为 上的点到直线 与到点 的距离相等,所以 是以 为焦点、以
 为准线的抛物线在正方形 内的部分,其方程为 ( ).
(2)依题意,点 的坐标为 .
所求的矩形面积为 ,而所求的五边形面积为 .
矩形面积与“经验值”之差的绝对值为 ,而五边形面积与“经验值”之差
的绝对值为 ,所以五边形面积更接近于 面积的“经验值”.
考点:1.抛物线的定义及其标准方程;2.面积.
21(1)设 .
由题意, , , ,
因为 是等边三角形,所以 ,
即 ,解得 .
故双曲线的渐近线方程为 .
(2)由已知, , .
设 , ,直线  .显然 .
由 ,得 .
因为 与双曲线交于两点,所以 ,且 .
设 的中点为 .
由 即 ,知 ,故 .
而 , , ,
所以 ,得 ,故 的斜率为 .
22.解:(1)由 ,得 ,
解得 .
(2) , ,
当 时, ,经检验,满足题意.
当 时, ,经检验,满足题意.
当 且 时, , , .
 是原方程的解当且仅当 ,即 ;
 是原方程的解当且仅当 ,即 .
于是满足题意的 .
综上, 的取值范围为 .
(3)当 时, , ,
所以 在 上单调递减.
函数 在区间 上的最大值与最小值分别为 , .
 即 ,对任意
 成立.
因为 ,所以函数 在区间 上单调递增, 时,
有最小值 ,由 ,得 .
故 的取值范围为 .
23.解析:(1)因为 ,所以 , , .
于是 ,又因为 ,解得 .
(2) 的公差为 , 的公比为 ,
所以 , .
 .
 ,但 , , ,
所以 不具有性质 .
(3)[证]充分性:
当 为常数列时, .
对任意给定的 ,只要 ,则由 ,必有 .
充分性得证.
必要性:
用反证法证明.假设 不是常数列,则存在 ,
使得 ,而 .
下面证明存在满足 的 ,使得 ,但 .
设 ,取 ,使得 ,则
 , ,故存在 使得 .
取 ,因为 ( ),所以 ,
依此类推,得 .
但 ,即 .
所以 不具有性质 ,矛盾.
必要性得证.
综上,“对任意 , 都具有性质 ”的充要条件为“ 是常数列”.

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